7.2.2复数的乘、除运算（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

7.2.2复数的乘、除运算 第七章 复数 学 习 目 标 1 2 3 掌握复数乘、除法的代数运算法则，能熟练进行运算，理解复数乘法的运算律. 能利用共轭复数性质简化计算，能在复数范围内求解实系数一元二次方程. 类比多项式乘法，经历复数乘法法则的归纳过程，提升类比归纳与运算求解能力. 新课引入 在前面的学习中，我们已经掌握了复数的加减法。想一想，它们的法则是？几何意义是？ 加减法法则：实部虚部分别相加减； 加减法几何意义：对应向量相加减 回顾实数运算的发展，乘除法是加减法的深入。我们也学过多项式乘法，你还记得多项式的乘法是如何运算的吗？ 多项式乘多项式： 复数， 与二项式形式相似，能否类比多项式乘法来定义复数的乘法？ 探究一：复数的乘法运算 新知探究 仿照多项式乘法 的形式，尝试计算 ，你能得出什么形式？ 设 , , 复数乘法法则： 关键点：类比多项式相乘，注意 ，合并实部虚部。 新知探究 实数乘法有交换律、结合律等。复数的乘法也满足这些运算律吗？为什么？ 以为例，先自己尝试证明乘法交换律结合律与分配律. 点击图标，动态演示证明过程 注：右上角可以切换交换律、结合律与分配律的演示 对于任意 ： 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律： 即时训练 1.若复数满足，其中是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【分析】利用复数的乘法法则 A 【详解】设，则 因此 则，，即 所以. 知识小结 复数的乘法运算 一、复数乘法法则： 步骤：多项式乘 → 代-1 → 合并 二、运算律：交换律、结合律、分配律 即时训练 典例分析 例1 计算 . 【分析】根据复数代数形式的加减运算法则，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，最终合并得到结果. 解： . 典例分析 例2 计算： （1）；（2）． 【分析】本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式①计算． 解：（1） ； （2） 探究二：共轭复数 新知探究 观察：；，这两组复数有什么特点？ 它们都是共轭复数： 的共轭复数 实部相等，虚部互为相反数. 重要性质：（实数） 作用：把复数变成实数，为除法做准备。 观察以上式子，共轭复数相乘的结果有什么规律？ 即时训练 2.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_______. 【分析】本题先求模的平方，再通过分母实数化求 ，最后得到共轭复数并确定其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 1 探究三：复数的除法 新知探究 除法是乘法的逆运算。已知 ，，如何求商 ？ 复数不能直接除，因此关键问题就是把分母变成实数. 推导法则 你能总结复数除法的标准化步骤吗？ ①写：分子分母同乘分母共轭 ②算：分别展开 ③化：合并实部虚部 ④答：写成 标准形式 典例分析 例3 计算. 【分析】将复数除法转化为分式形式，分子分母同乘分母的共轭复数，使分母实数化，再利用复数乘法法则化简计算. 解： 即时训练 3.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（    ） A． B． C． D． 【分析】根据复数的除法法则，通过分子，分母都乘以分母的共轭复数，使分母实数化. 【详解】 所以复数对应的点为 因为复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称 所以复数对应的点为 所以 D 知识小结 复数的乘法运算 一、复数乘法法则： 步骤：多项式乘 → 代-1 → 合并 二、运算律：交换律、结合律、分配律 典例分析 例4 在复数范围内解下列方程： （1）； （2），其中，，，且，． 【分析】利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根．对于（2），当时，一元二次方程无实数根．利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于（1），就能在复数范围内求得（2）中方程的根． 解：（1）因为 所以方程的根为． 典例分析 （2）将方程的二次项系数化为1，得 配方，得 即 由，知．类似（1），可得 所以原方程的根为 题型1 复数代数形式的乘法运算 已知，则 A. B. C. D. 【分析】利用 ，通过复数乘法与模的性质快速计算 【详解】 已知，即. 当时，，; 当时，，. 所以. C 则可得. 由可得 将代入中，得，解得或. 题型2 复数的乘方 2.已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【分析】先对进行分母实数化化简得到,再利用的幂的周期性 ()将指数 2025 拆分计算求出. 【详解】因为 所以. 故选：A A 题型3 复数代数形式的除法运算 3.欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用欧拉公式将复数化为代数形式，再通过分母实数化求出的代数形式，最后根据其坐标符号确定在复平面内的象限. 【详解】由题可得 所以 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限 C 题型4 复数加减法的代数运算 4.已知复数，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．i 【分析】先利用虚数单位的幂的周期性化简,再通过分母实数化求出复数 ,进而得到其共轭复数 ,最后确定的虚部. 【详解】 ，其虚部是1. 故选：C. C 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! i 复数运算律证明 乘法交换律 乘法结合律 分配律 Step 1/5 乘法交换律证明 重置 上一步 下一步 z1 z2 z3 (拖动端点) z1: 2 + 3i z2: 1 + 2i z3: 1 + 1i 复数运算 人教A版 必修二 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 点击蓝色色块查看答案 核心知识梳理 复数的代数运算及其几何意义 01 复数的乘法法则 设 z1 = a + bi, z2 = c + di (a,b,c,d ∈ R)，则： (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i 注：复数乘法满足交换律、结合律和分配律，与实数多项式乘法类似，只需注意 i2 = -1。 02 共轭复数 实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。 定义表示： z = a + bi → z = a - bi 重要性质（实数化工具）： z · z = a2 + b2 (|z|2) 几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称。 03 复数的除法法则 除法的关键是将分母实数化，即分子分母同时乘以分母的共轭复数。 a + bi c + di = (a + bi)(c - di) (c + di)(c - di) = (ac + bd) + (bc - ad)i c2 + d2 易错点警示 避开常见陷阱，规范运算过程 ⚠️ 符号变换陷阱 在进行乘法运算时，常忘记 i2 = -1 这一关键条件，导致符号错误。 错误示例： (1 + 2i)(1 - 2i) = 1 - 4i2 = 1 - 4 = -3 × 正确运算： (1 + 2i)(1 - 2i) = 1 - 4i2 = 1 - 4(-1) = 5 √ ⚠️ 完全平方公式误区 复数的完全平方公式与实数不同，中间项不可忽略，且末项变号。 (a + bi)2 ≠ a2 + b2 应为：a2 - b2 + 2abi ⚠️ 分母实数化计算错误 在除法运算中，分母乘以共轭复数后，结果应为模的平方（实数），常误算为复数或符号错误。 分母计算： (c + di)(c - di) → c2 + d2 (不是 c2 - d2) 解题技巧提炼 掌握通法，巧用性质 1. 巧用虚数单位 i 的周期性 i 的幂运算具有周期性，周期为 4。即 i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = -1, i4n+3 = -i。 应用模型： i + i2 + i3 + i4 = 0 连续 4 个 i 的整数次幂之和为 0。 2. 共轭复数与模的性质 利用 z · z = |z|2 可以快速将复数转化为实数。 性质一： |z1 · z2| = |z1| · |z2| 积的模等于模的积 性质二： |z1| |z2| = | z1 z2 | 商的模等于模的商 3. 常用结论速记 (1 ± i)2 = ±2i 1 + i 1 - i = i 1 - i 1 + i = -i -b + ai = i(a + bi) $