培优专题17利用动量定理解决洛伦兹力问题 讲义-2025-2026学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

高中物理人教版选择性必修二教案 第一章 安培力和洛伦兹力 培优专题17 洛伦兹力与动量定理 学习目标 能够根据问题需要，把洛伦兹力正交分解为两个分力，应用动量定理定量解决相关问题。 【专题解读】洛伦兹力冲量的核心推导 如图所示，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一电荷量为q、质量为m的带正电粒子以初速度垂直于磁场进入匀强磁场中，仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，运动一段时间后速度变为v，把带电粒子的速度v和洛伦兹力F进行正交分解，分别以、为初速度和末速度沿x轴方向的分量，分别以、为初速度和末速度沿y轴方向的分量，任意时刻带电粒子所受洛伦兹力在x轴和y轴方向的分量分别为、。 由洛伦兹力公式得：=qB，=qB， 取时间微元△t，对x、y方向分别列动量定理： -qB△t=m△，qB△t=m△， 对全过程累加，-ΣqB△t=mΣ△，ΣqB△t=mΣ△， 结合Σ△t=y，Σ△t=x，可得洛伦兹力冲量的分量式： -qBy=m，qBx=m， 【典例剖析】 【典例】（2023年6月浙江选考第20题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。 课后巩固训练 1. 如图所示，一带电量为-q的小球，质量为m，以初速度v0从水平地面竖直向上射入v0水平方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。图中b为小球轨迹第一次的最高点，重力加速度为g，求： （1）小球从抛出到b点所用时间； （2）b点距射出点的最大高度差； （3）b点距射出点的水平位移。 2.（2024浙江温州三模）如图甲所示，某种离子分析器由加速区、偏转区和检测区组成，分别分布在第Ⅲ、Ⅱ、I象限内。在加速通道内分布着沿y轴负方向的匀强电场，场强大小在0.6 范围内调节；在偏转通道内分布着垂直xOy坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 随的变化而变化；在检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为2L的检测板。在坐标为(-L，-1.5L)的A处有一离子源，可连续释放质量为m、电荷量为-q（q>0） 的离子（释放时的速度可视为零），离子沿直线到达坐标为(-L，0)的小孔 C，再经偏转区后从坐标为(0，L)的小孔D 进入检测区，打在检测板上。三个区域的场互不影响，不计离子的重力及其间的相互作用。 （1）要保证所有的离子都能从C孔出来后从D孔进入检测区，试推导磁感应强度大小 随场强E₁变化的关系式； （2）如图乙所示，将检测板左端放在D孔上沿，板面与x轴正方向的夹角θ=30°检测区内加沿y轴负方向、场强大小 =8的匀强电场，在满足（1）的条件下， ①求检测板上收集到离子记录线的长度△； ②调整θ角使检测板上收集到离子的记录线最长，求此记录线的长度△及调整后的角度正弦值； （3）如图丙所示，检测板与y轴平行，并可沿x轴及y轴平移。检测区内加垂直xOy坐标平面向里的磁场，磁感应强度大小 沿x轴均匀变化，即=kx （k为大于零的常量），在满足（1）的条件下，要使检测板能收集到离子，求检测板x坐标的最大值。 3.（2025湖南质检）在我国新一代量子通信科研实验基地，科研人员通过设置特殊的探测板，根据不同位置射出的离子到达探测板的情况，用来捕捉离子携带的量子信息，其简化结构如图所示。在第二象限中存在一沿 y轴正方向、电场强度的匀强电场。在第一、四象限存在垂直xOy平面向里、磁感应强度的匀强磁场。有一块长度为d的探测板CD，仅可在第二象限范围内移动，且始终接地。在第二象限的抛物线上有一簇粒子源，沿x轴正方向发射大量负离子，离子的质量为 m、电荷量为，速度大小均为。稳定工作后，若探测板CD在某处平行于y轴固定，则从O点出射的离子恰能击中探测板的C点，从 A点、出射的离子恰能击中探测板的D点。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 (1)求探测板上C点的纵坐标； (2)求探测板的横坐标； (3)求离子第二次经过y轴时的纵坐标y与其出发点的横坐标x的关系。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理人教版选择性必修二教案 第一章 安培力和洛伦兹力 培优专题17 洛伦兹力与动量定理 学习目标 能够根据问题需要，把洛伦兹力正交分解为两个分力，应用动量定理定量解决相关问题。 【专题解读】洛伦兹力冲量的核心推导 如图所示，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一电荷量为q、质量为m的带正电粒子以初速度垂直于磁场进入匀强磁场中，仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，运动一段时间后速度变为v，把带电粒子的速度v和洛伦兹力F进行正交分解，分别以、为初速度和末速度沿x轴方向的分量，分别以、为初速度和末速度沿y轴方向的分量，任意时刻带电粒子所受洛伦兹力在x轴和y轴方向的分量分别为、。 由洛伦兹力公式得：=qB，=qB， 取时间微元△t，对x、y方向分别列动量定理： -qB△t=m△，qB△t=m△， 对全过程累加，-ΣqB△t=mΣ△，ΣqB△t=mΣ△， 结合Σ△t=y，Σ△t=x，可得洛伦兹力冲量的分量式： -qBy=m，qBx=m， 【典例剖析】 【典例】（2023年6月浙江选考第20题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。 【疑难点分析】（1）相邻两磁场大小不同，且在两磁场边界入射速度与边界的夹角未知，导致思维受阻。 （2）区域II的磁感应强度随坐标轴均匀增大，而随入射速度方向减小，高中物理中没有定量处理过非匀强磁场中带电粒子运动问题，导致思维受阻。 【解析】（1）画出离子恰不进入区域II的轨迹，由轨迹图中几何关系得 sin30°=， 解得r1=2L。 由洛伦兹力提供向心力，qv1B1=m， 解得v1= 运动轨迹所对圆心角为θ=2π/3 离子在区域II中运动时间t== （2）解法一：常规法 画出离子恰好运动到y=L/2处的运动轨迹，如图。 速度为v2的离子在区域I，由洛伦兹力提供向心力，qv2B1=m， 解得r2= 速度为v2的离子在区域II，由洛伦兹力提供向心力，qv2B2=m， 解得r2’= == r2/2 在区域II，离子运动轨迹恰好与y=L/2水平线相切，r2’- r2’cosα=L/2，即r2- r2cosα=L， 解得：cosα= 在区域I，r2cosα-r2cos60°=L，即r2·-r2cos60°=L， 解得：r2=4L， 由= r2/2=2L，解得v2= 解法二：等效法。 若B2=2B1，由r=mv/qB 可知离子在区域I运动轨迹半径为r2=r’1/2， 可以等效为B2=B1时离子恰好运动到y=0处。 由图中几何关系可得：sin30°=， 解得r1’=4L。 离子在区域I磁场中运动，qv2B1=m， 解得v2= 解法三。动量定理+微元法 画出离子恰好运动到y=L/2处的运动轨迹，如图。我们可以通过微元法，利用动量定理解答。 对离子进入磁场到恰好运动到y=L/2处的过程，沿y轴方向的微元时间△t，运用动量定理， -qB1vy1△t-qB2vy2△t =m△v 方程两侧求和，-qB1Σvy1△t-qB2Σvy2△t=mΣ△v 注意到Σvy1△t=L，Σvy2△t=0.5L，Σ△v=-v2sin30° 可得 -2qB1L=0.5m v2 解得：v2= （3）解法一：等效法 画出B2=图像，如图。 区域II中磁场可等效为匀强磁场B1/2的匀强磁场，若把区域II中磁场等效为匀强磁场B1，则磁场宽度则为L/2。画出恰好能够进入第四象限的离子运动轨迹，如图。 由轨迹图中几何关系得 sin30°=， 解得r3=3L。 由洛伦兹力提供向心力，qv3B1=m， 解得v3= 即速度大于v3=的离子都能够进入第四象限， 进入第四象限的离子数与总离子数之比为 η=×100%=60% 解法二：动量定理+微元法 画出B2=图像，如图。 区域II中磁场可等效为匀强磁场B1/2的匀强磁场， 对离子进入磁场到恰好运动到x轴的过程，沿y轴方向的微元时间△t，运用动量定理，-qB1vy1△t-qB2vy2△t =m△v 方程两侧求和，-qB1Σvy1△t-qB2Σvy2△t=mΣ△v 注意到Σvy1△t=L， ΣB2vy2△t=Σvy2△t =Σvy2△t =L， Σ△v=-v2sin30° 可得 qB1L=m v2 解得：v3= 即速度大于v3=的离子都能够进入第四象限， 进入第四象限的离子数与总离子数之比为 η=×100%=60% 课后巩固训练 1. 如图所示，一带电量为-q的小球，质量为m，以初速度v0从水平地面竖直向上射入v0水平方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外。图中b为小球轨迹第一次的最高点，重力加速度为g，求： （1）小球从抛出到b点所用时间； （2）b点距射出点的最大高度差； （3）b点距射出点的水平位移。 解析：（1）取一水平向右的速度，且 qB=mg 向左的速度大小为，此时有== 小球的运动可看作一沿水平向右的匀速直线运动和以和的合速度为初速度的匀速圆周运动的合成，圆周运动速度大小为，小球到达最高点时竖直方向速率为零，在最高点速率为；匀速圆周运动的初速度方向和水平方向成45°斜向左上方，则小球到最高点的时间为 t=T= = （2） 水平方向利用动量定理，有Σq△t=m(-1)， 即为 qBh=m(-1)， 代入数据得 h= （3） 设水平位移为，竖直方向利用动量定理，有 Σq△t+mgt=m， 即为 qBx+mgt=m， 代入数据得 x=(1-) 2.（2024浙江温州三模）如图甲所示，某种离子分析器由加速区、偏转区和检测区组成，分别分布在第Ⅲ、Ⅱ、I象限内。在加速通道内分布着沿y轴负方向的匀强电场，场强大小在0.6 范围内调节；在偏转通道内分布着垂直xOy坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 随的变化而变化；在检测区内，分布着匀强电场或磁场，检测区内适当位置放有长为2L的检测板。在坐标为(-L，-1.5L)的A处有一离子源，可连续释放质量为m、电荷量为-q（q>0） 的离子（释放时的速度可视为零），离子沿直线到达坐标为(-L，0)的小孔 C，再经偏转区后从坐标为(0，L)的小孔D 进入检测区，打在检测板上。三个区域的场互不影响，不计离子的重力及其间的相互作用。 （1）要保证所有的离子都能从C孔出来后从D孔进入检测区，试推导磁感应强度大小 随场强E₁变化的关系式； （2）如图乙所示，将检测板左端放在D孔上沿，板面与x轴正方向的夹角θ=30°检测区内加沿y轴负方向、场强大小 =8的匀强电场，在满足（1）的条件下， ①求检测板上收集到离子记录线的长度△； ②调整θ角使检测板上收集到离子的记录线最长，求此记录线的长度△及调整后的角度正弦值； （3）如图丙所示，检测板与y轴平行，并可沿x轴及y轴平移。检测区内加垂直xOy坐标平面向里的磁场，磁感应强度大小 沿x轴均匀变化，即=kx （k为大于零的常量），在满足（1）的条件下，要使检测板能收集到离子，求检测板x坐标的最大值。 【解析】（1）粒子从A到C，由动能定理 q·1.5L=m 粒子在偏转区做匀速圆周运动，qv=m 解得 = （2）①粒子进入检测区后做类平抛运动， dcos30°=vt，dsin30°= 解得 d== 代入（0.6） 解得=0.3L，=0.6L， 则=0.3L ②粒子进入检测区后做类平抛运动， dcosθ=vt，dsinθ= 解得 d= 当时d=2L，即2L=，解得sinθ=0.8 当时 = 则=2L-=L （3）由动能定理， q·1.5L=m 由动量定理，q△t=m， 注意到△t=x，解得x= 或者x= 3.（2025湖南质检）在我国新一代量子通信科研实验基地，科研人员通过设置特殊的探测板，根据不同位置射出的离子到达探测板的q情况，用来捕捉离子携带的量子信息，其简化结构如图所示。在第二象限中存在一沿 y轴正方向、电场强度的匀强电场。在第一、四象限存在垂直xOy平面向里、磁感应强度的匀强磁场。有一块长度为d的探测板CD，仅可在第二象限范围内移动，且始终接地。在第二象限的抛物线上有一簇粒子源，沿x轴正方向发射大量负离子，离子的质量为 m、电荷量为，速度大小均为。稳定工作后，若探测板CD在某处平行于y轴固定，则从O点出射的离子恰能击中探测板的C点，从 A点、出射的离子恰能击中探测板的D点。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 (1)求探测板上C点的纵坐标； (2)求探测板的横坐标； (3)求离子第二次经过y轴时的纵坐标y与其出发点的横坐标x的关系。 【解析】（1）O点出射的离子直接进入第四象限做匀速圆周运动，qB=m 解得 =2d 从O点出射的离子恰能击中探测板的C点，得到C点的纵坐标=-2 （2） 若A点发射的离子要进入磁场区域，则有d=t，y’=，解得y’=3d 说明该离子从原点进入磁场，设进入磁场时离子速度为v，且与水平方向夹角为θ， 在磁场中有qB=m 又 =vcosθ，=2cosθ，解得=4d 之后离子从F点射出，由电场中的类平抛运动可知=t，如图所示 由tanθ== 解得=d/6，则探测板的横坐标=-d/6 （3） 在抛物线上任取一点（-x，y），则有y= 若该处发射的离子进入第一象限，有 x=t，=， 解得=。可见=y 第二次过y轴时，坐标为=-2cosα解得=-4d 所以任意离子第二次经过y轴时的纵坐标为-4d，与其出发点的横坐标x无关。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $