5 数学广角——鸽巢问题-【黄冈随堂练】2025-2026学年六年级下册数学同步分层练（人教版）

数学广角 鸽巢问题 鸽巢问题 (对应教材第67、69页)】 ⊙本节目标 ⊙重点：能应用“鸽巢原理”解决实际问题。 难点：了解“鸽巢问题”的原理。 练核心知识 4.李叔叔参加了到店付款赢奖励的活动，两周 1.填空。 内共获得12次抽奖机会。如果他不放弃每 次抽奖机会，至少有2次的抽奖结果是相同 (1)5只鸽子飞进4个笼子，总有一个笼子 至少飞进()只鸽子。 的，你知道为什么吗？ (2)六(3)班有20个男生、18个女生参 到店付款满2元即可参与抽奖 加大扫除，至少叫出（)人能保证 8.88元 88元 神秘任 有两人的性别相同，至少叫出( 务包 人能保证男生、女生都有。 开始 16.88元 小惊喜 练 关键能力 抽奖 5.88元 2.名校真题黑色、白色、黄色筷子各有8 小奖励 谢谢参与 根，混杂地放在一个不透明的袋子中。如果 想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子 (每双筷子的颜色应一致)，那么至少要取出 多少根才能保证达到要求？ 5.新情境麦积山石窟是“中国四大石窟”之 一，因其形似麦垛而得名。未来小学有36 人乘车前往麦积山石窟，最多乘几辆车才能 保证至少有一辆车上的人数不少于8？ 3.某次数学趣味问答赛，六（1)班有4名同 学参加，总成绩为365分，则至少有一名学 生的得分不低于92分，为什么？（得分均为 整数) 小百科：“鸽巢问题”也叫作“抽屉问题”。 61 黄冈随堂练 6年级示册数学 6.一个布袋中有40块相同的木块，木块上的8.某班有44名学生，他们都订阅了甲、乙、 号码是1,2,3,4的各有10块。一次至少 丙3种报刊中的若干种（每名学生订阅了其 取出多少块木块，才能保证其中至少有3块 中的1种，2种或3种)。至少有几名学生 木块上的号码相同？ 订阅的报刊完全相同？ 9.名校真题有53个桃子，分给10只猴子。 如果要保证每只猴子至少分得1个桃子，且 7.有白、黑、黄三种颜色的袜子各10只混放 每只猴子分到的桃子数都不同，那么这些桃 在一起，让你闭上眼睛去摸。（同色为一双） 子够吗？为什么？ (1)至少摸出多少只，可以保证配成一双袜 子？ (2)至少摸出多少只，可以保证有3只不同 色的袜子？ 练 素养培优 10.在下面每个格子中任意写上数字“0”或 “1”，至少有几行的填法是完全一样的？填 一填，想一想。 (3)至少摸出多少只，可以保证摸到1双黑 色的袜子？ （4)至少摸出多少只，可以保证配成3双袜 子？ （5)至少摸出多少只，才能保证有2双颜色 不相同的袜子？ 通过填数字，你有什 么发现？为什么？ 62 小百科：用“最不利情况”来思考是解决“鸽巢问题”的一般方法。 5数学广角 鸽巢问题 第5单元 易错专练 易错点1：不能正确理解鸽巢问题。 易错典例研究发现，在抽屉原理的问题中，“抽屉”至少放入物体数的求法是用物体数除以 ()数，当除得的商没有余数时，至少放入的物体数就等于()；当除得的 商有余数时，至少放入的物体数就等于()。 易错解读：运用抽屉原理的核心是分析问题，哪个是物件，哪个是抽屉。一般来说较多的一方 就是物件，较少的一方就是抽屉，根据简单的抽屉原理：把多于个的物体放入几 个抽屉中，至少有一个抽屉里的东西的个数不少于2；把多于m（m是正整数)个 的物体放入个抽屉中，至少有一个抽屉里有不少于(m+1)个物体。所以本题的 正确答案是抽屉；商；商+1。 跟踪训练：1.“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多苹果、桃子、橘子和香蕉，每个小朋 友可以任意选择两种水果，那么至少要有()个小朋友才能保证有两个小朋友 选的水果是相同的；如果每个小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么至少要有 ()个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的。 2.学校有若干个足球、篮球和排球，体育老师让六（2)班52名同学到体育器材室拿 球，每人最多拿2个（可以一个都不拿），那么至少有()名同学拿球的情况完 全相同。 易错点2：解决鸽巢问题时，把“商+1”错用成“商+余数”。 易错典例因为11÷3=3…2，所以把11本书放进3个抽屉中，总有一个抽屉中至少放了5 本书。() 易错解读：在解决这类鸽巢问题时，先用物品个数除以抽屉的个数，如果没有余数，那么商就 是结果；如果有余数，那么商+1就是结果，本题有余数，所以总有一个抽屉中至 少放了3+1=4本书。所以本题的正确答案是×。 跟踪训练：1.六（2)班有43名学生，老师把他们分成了8个学习小组，至少有1个学习小组 的人数不低于6人，为什么？ 2.在1,2,3，…，49,50这些数中，至少取出多少个不同的数，才能保证取出的 数中一定有一个数能被5整除？ 小百科：运用鸽巢原理解决问题要将“物体数”与“鸽巢数”对应正确后再解题。 63 黄冈随堂练 6年级示册数学 第5单元 核心知识梳理 知识要点 要点鸽巢问题 (1)“鸽巢问题”也叫作（)，其中蕴含的数学原理叫作“鸽巢原理”或()。 (2)把（n+1)个物体任意放进n个抽屉里(n是正整数)，那么一定有一个抽屉里至少放进 了()个物体。 (3)把多于n个物体任意分放进n个抽屉里（n≥2，k,n是正整数)，那么一定有一个抽屉 里至少放进了( )个物体。 (4)把a个物体放进n个抽屉，如果a÷n=b…c（c不等于0)，那么总有一个抽屉里至少 放进了( )个物体。 反馈训练 1.把4支铅笔放进3个相同的笔简中，总有一个笔筒中至少有(）)支铅笔。 2.把8本书放进3个抽屉里，8÷3=2…2，总有一个抽屉里至少放了()本书。 3.一个口袋中装有400粒珠子，共5种颜色，每种颜色各80粒。如果你闭上眼睛，至少取出多 少粒珠子才能保证其中5粒颜色相同？为什么？ 4.名校真题任意四个不同的自然数，至少有两个数除以3的余数相同，为什么？ 5.一个不透明的盒子中有9颗除颜色外其他完全相同的玻璃球，其中红色、黄色、蓝色的玻璃 球各3颗。小华每次摸出2颗，记录好颜色后放回。要保证其中两次记录的颜色相同，小华 至少要摸多少次？ 请使用第5单元达标测试卷，测一测吧！ 见夹册 64 小百科：当题千中出现“至少”且不能通过简单列式解决时，一般为鸽巢问题。3.2:16=0.8:4;0.8:4=3.2:16; 3.2:0.8=16:4;16:4=3.2:0.8; 4:16=0.8:3.2;0.8:3.2=4:16; 16:3.2=4:0.8;4:0.8=16:3.2。 20 8 3.x=1.125x=3x=16x=23 4.解：设模型中间方孔的边长为xcm。 2.5:0.5=750:x解得x=150 5.（1)成正比例关系理由略 (2) 弹簧伸长的长度/cm 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 所挂物体的 04 123456 7 产质量/kg (3)伸长1.25cm. 6.(1)16040 (2)成反比例关系。 7.4000000÷2500000=1.6(cm) 官渡之战 乌巢 北 官渡 025km 8.解：设实际x天可以完成。 50×24=60x解得x=20 9.解：设赵叔叔的身高是x米。 7.8:5.2=x:1.2解得x=1.8 ★自行车里的数学 1.（1)后齿轮齿数后齿轮转数 【解析】前齿轮齿数与前齿轮转数的乘积就是 链条走过的距离，后齿轮也要转动同样的距 离，后齿轮齿数与后齿轮转数的乘积也就等于 参考答案及详解 链条走过的距离，由此解答即可。 (2)2:14 2.60×2×3.14×250=94200(cm)=942(m) 13 3.303000÷(3.14×66× 8 )≈900（圈）】 4.5:33:220:1318:1310:7 9:74:36:55:49:8 能变出10种不同的速度，前齿轮40，后齿 轮24组合走的最远。 【解析】变速自行车前、后齿轮齿数的比值越 大，前齿轮转1圈，后齿轮转的圈数就越多。 因此前齿轮齿数最多，后齿轮齿数最少时，同 样的圈数，自行车走得最远。 5.顺风路段：前齿轮用46个，后齿轮用12个。 爬坡路段：前齿轮用38个，后齿轮 用20个。 【解析】根据变速自行车原理，前后齿轮数的 比值越大，前齿轮转圈时，后齿轮所转的圈数 就越多，所以得出前齿轮齿数最多，后齿轮齿 数最少时自行车速度最大；前齿轮齿数最少， 后齿轮齿数最多时自行车速度最小。顺风路 段车速越大越好，加上风速有利于比赛成绩； 爬坡路段速度越小越好，当人骑车的功率一定 时，速度越小，牵引力越大，越利于爬坡。 5 数学广角 鸽巢问题 鸽巢问题 1.(1)2（2)321 2.1+1+1+1+6+1=11(根) 【解析】假设先取出一根黑色的筷子，接着取 出一根白色的筷子，然后取出一根黄色的筷 子，下面任意取出一根筷子都能组成一双颜色 相同的筷子，假设组成了黄色的筷子，接着 把其余6根黄色的筷子取出来，最后任意取出 黄冈随堂练 6年级下册数学 一根筷子，一定能组成另外一双颜色相同的筷 子，共取出11根筷子。 3.365÷4=91(分)…1（分） 91+1=92(分)》 4.假设先抽8次，分别抽中8种不同的结果， 剩下4次无论抽中哪种结果，总能保证至少 有两次结果相同。 5.(36-1)÷(8-1)=5(辆) 6.2×4+1=9(块) 7.(1)3+1=4(只)》 (2)10+10+1=21(只) (3)10+10+2=22(只) (4)4+2+2=8(只) (5)10+2+1=13(只) 【解析】有三种不同颜色的袜子，考虑最差的 种情况：同一种颜色的10只袜子全部摸出， 则此时再任意摸出2只，最差的情况是剩下的 两种颜色的袜子各摸出1只，接着摸出1只袜 子，就能保证有2双颜色不相同的袜子。 8.3+3+1=7(种) 44÷7=6（名)…2（名) 6+1=7(名) 【解析】学生订阅报刊的情况有：只订阅甲种， 只订阅乙种，只订阅丙种，订阅甲种和乙种， 订阅甲种和丙种，订阅乙种和丙种，订阅甲种 乙种和丙种，共7种情况。 9.1+2+…+10=55(个) 55>53,不够。 10. 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 20 至少有3行填法一样。 9÷4=2(行)…1（行） 2+1=3(行) 发现略。 第5单元易错专练 易错点1跟踪训练： 1.711 2.6 易错点2跟踪训练： 1.43÷8=5(人)…3（人） 5+1=6(人) 2.50÷5=10(个) 50-10=40(个) 40+1=41(个) 第5单元核心知识梳理 知识要点 要点(1)抽屉问题抽屉原理 (2)2(3)k+1(4)b+1 反馈训练 1.22.3 3.(5-1)×5+1=21(粒) 【解析】把5种不同颜色看作5个抽屉，把80 种不同颜色的球看作80个元素，从最不利情 况考虑，每个抽屉需要放4个同色球，共需要 4×5=20(个)，再取出1个球不论是什么颜色， 总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取 出20+1=21（个）。 4.4÷3=1(个)…1（个）1+1=2（个） 【解析】因为任何自然数除以3，余数的可能 情况只有三种：没有余数、1、2，可以将余数 的这三种情况看成三个“鸽巢”，一个自然数 除以3的余数属于哪种情形，就将此自然数放 在哪个“鸽巢”中，至少有一个“鸽巢”里放 了不止一个数，也就是至少有两个数除以3的 余数是相同的。 5.6+1=7(次) 6 整理和复习 1数与代数 第1课时 数的认识（1) 1.(1)①-15.8 ③99% ④1.75⑤2650 37 (2)4,108,21.5,66,7.02 2 -7,-3,-5，-045 0,4,108 21.5,-0.45,7.02 237 -5,66 1 5 -3.5 3 2 -101 51 3> 2>3>-3.5 3.在水下2米处，记作-2米。 【解析】运用正、负数的意义，理解向上为正， 向下为负。站在10m跳台，起点为10，向上3m, 位置记作+13m,下落15m,位置记作-2m, 所以是水面下2米处，记作-2m。 4.15÷7=2.1428572023÷6=337…1 第2023位上的数是1。 1+4+2+8+5+7=27 50÷6=8…2 27×8+1+4=221 参考答案及详解 5.2925.462÷（1000×2+1)=1.462 6.993÷2=496…1,则有496个偶数，有 497个奇数，所以原式之和一定是奇数。 第2课时数的认识（2) 1.(1)+8848.86正八千八百四十八点八六 -11034负一万一千零三十四 (2)40209000四千零二十万九千4021 (3)0.01120 (4)七百万2005060 (5)百万6百万百分8百分之一 【解析】根据整数的数位顺次以及各位上的计 数单位，从右边起，第一位是个位、第二位是 十位、第三位是百位、第四位是千位…个位 上的计数单位是个或一，十位上的计数单位 是十，百位上的计数单位是百，千位上的计 数单位是千…据此解答即可。 (6)0.27 2.>=><=> 3.800-300=50060-0=60 279+500-60=719 【解析】将被减数百位上的8看成了3，被减 数少了800-300=500，将被减数十位上的0 看成了6，被减数多了60-0=60，所以错误 的差加500，再减60即为正确的结果。 4.63；62;61;60 5.(1)H(2)D(3)A(4)C(5)B (6)E(7)G(8)F(9)I 第3课时数的认识(3)》 1.(1)6、12、1810(2)10 (3)212(4)1024 2.6和7的倍数有42,84，… 42+3=45(人) 21