5 三角形-【黄冈随堂练】2025-2026学年四年级下册数学同步分层练（人教版）

第4单元易错专练 易错点1跟踪训练： V 【解析】小数是由整数部分、小数点、小数 部分组成的。最小的一位小数的整数部分为 0,十分位上为1，所以最小的一位小数为0.1。 易错点2跟踪训练： 7.066.03 【解析】6cm=0.06m,所以7m6cm= 7.06m。3分=0.03元，所以6元3分=6.03元。 易错点3跟踪训练： 6.4 第4单元核心知识梳理 知识要点 要点10.10.010.00110 要点2整数小数十分0.1（或） 百分001（或100） 要点3从左到右整数整数右下角 小数 要点4末尾 要点5整数整数十分十分百分 要点6101010010010001000 10010000 1000 1000 要点7除以左 要点8乘右 要点9四舍五人个十分百分 反馈训练 1.(1)0.037一百点零零九 (2)3.625(3)4.0 2.10000×0.1273=1273(欧元) 3.3769000000=37.69亿≈37.7亿 参考答案及详解 725000000=7.25亿≈7.3亿 854000000=8.54亿≈8.5亿 5 三角形 第①课时三角形的特性 1.(1)顶点边高角333 三角形ABC （(2)3条线段 (3)(×)(×)(V) (4)三角形的稳定性 2. 底 底 3.(1)C(2)C 4.② 理由如下：②中的篱笆围成的是三角形， 三角形具有稳定性，不易变形，因此更牢固。 【解析】本题考查三角形的稳定性。①是由多 个四边形构成，具有不稳定性。②是由三角 形构成，三角形具有稳定性，所以②更牢固。 5.(1)BE EF (2)AE (3)CD (4)AE和CD(5)BD和DF 6.在窗框上斜着钉一根木条，可以构成三角 形，三角形具有稳定性，这样窗框不易变形。 7.18 8.1234 第2课时三角形的三边关系 1.(1)511 【解析】根据三角形三边关系，8-4<第三 边<8+4，即4<第三边<12，因此第三根 小棒最短是5cm,最长是11cm。 (2)(V)() 黄冈随堂练 4年级下册数学 2.（1)C 类服务时，不能以破坏环境为代价。（合 【解析】根据三角形三边关系，任意两边之 理即可) 和大于第三边可得，30+40>第三边。结合 5.24×4÷3=32(cm)】 选项，只有C选项60满足题意，因此本题 【解析】根据正方形的周长等于边长乘4， 选择C。 求出铁丝的长度，也就是三角形的周长，已 (2)A 知围成的三角形3条边相等，用求出的周长 【解析】根据三角形三边关系：两边之和大 除以3即可求出三角形的边长。 于第三边，两边之差小于第三边进行解答 6.7cm 即可。A选项3+6=9，不能围成三角形； 【解析】第一个三角形第三条边的长度的取 B选项4+5>8，能围成三角形；C选项7+ 值范围是6cm<第三条边的长度<12cm, 8>9,能围成三角形；D选项4+4>4，能 即有可能是7cm、8cm、9cm、l0cm、 围成三角形。 11cm。第二个三角形第三条边的长度的取 (3)B 值范围是4cm<第三条边的长度<8cm,即 【解析】首先通过计算三边之和等于15，排 有可能是5cm、6cm、7cm。因为两个三角 除C选项；再根据任意两边之和大于第三边， 形的第三条边一样长，所以这两个三角形的 可排除A选项。A选项中3+4<8，不符合 第三条边是7cm。 三角形“任意两边的和大于第三边”这一特 性。因此选择B。B选项中4+4>7,7-4<4， 趣味数学 三角形的稳定性 符合三角形的特性。 衣架、篮球架、相机三角架等。（答案不 3.B 唯一，合理即可) 【解析】通过两点之间线段最短和三角形两 三角形具有稳定性 边之和大于第三边可知，在B点建桥可以使 小乐家到明明家的路程最近。 考点特训图形中三角形的个数 4.情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条 变式15+4+3+2+1=15（个）》 直线上，两，点之间的所有连线中，线段最短： 【解析】观察图中每个三角形的构成规律， 情景二：如图，点P是抽水站的位置。 发现三角形ABC的BC边上的每一条边都能 与顶点A构成一个三角形，所以BC边上有 多少条线段，就对应多少个三角形。BC边 上的线段条数是5+4+3+2+1=15（条）。 B 变式2三角形ABD、三角形ABC、三角形 理由：两点之间线段最短 ADE、三角形ACD、三角形CDE 我赞同情景二中运用知识的做法。 【解析】根据图形可知，三角形ABC里加入 情景一中少数同学为了少走路，踩踏草坪， 了两条线，于是多出了三角形ABD、三角形 是不文明的行为；情景二中管道最短可以 ADE、三角形CDE、三角形ACD。所以一共 节约成本，节约资源。应用数学知识为人 有5个三角形。 变式36+5+4+3+2+1=21（个） 【解析】观察图中每个三角形的构成规律， 发现三角形中的每条线都能与其共同顶点构 成一个三角形，所以图中三角形的个数为 6+5+4+3+2+1=21(个)。 第3课时三角形的分类 1.(1)× 【解析】有两个锐角的三角形不一定是锐角 三角形，如果两个锐角的和小于90°，那么 第三个角一定大于90°，这个三角形是钝角 三角形；如果两个锐角的和等于90°，那么 第三个角为90°，这个三角形是直角三角形； 如果两个锐角的和大于90°，那么第三个角 小于90°，这个三角形是锐角三角形。 (2)V 【解析】等边三角形三个角都是60°，它既 是锐角三角形，也是特殊的等腰三角形。 (3)× 【解析】钝角三角形有三条高，只有一条高 在三角形中。任何三角形都有三条高。 (4)V 【解析】一条红领巾有3个角，其中有一个 钝角和两个锐角，又因为红领巾有两条边相 等，所以红领巾的形状按角分类属于钝角三 角形，按边分类属于等腰三角形。所以红领 巾既是钝角三角形，也是等腰三角形。 (5)X 【解析】等边三角形是特殊的等腰三角形。 因为等边三角形是三条边都相等的三角形； 等腰三角形是两条边相等的三角形。而等腰 三角形包括等腰锐角三角形、等腰直角三角 形、等腰钝角三角形，等边三角形是特殊的 等腰锐角三角形。 参考答案及详解 2.(1)B(2)C 3. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 （答案不唯一) 4.(16+8)×2÷3=16(m) 【解析】由题可知，长方形菜地的周长和等边 三角形菜地的周长相等，可以先算出长方形菜 地的周长为(16+8)×2=48（m),可得等 边三角形菜地的三边之和也是48m,因此等 边三角形菜地的边长为48÷3=16（m)。 第4课时三角形的内角和 1.（1)52(2)相等60 (3)20 【解析】根据三角形的内角和是180°可求三 角形其中一个角的度数。由三角形的内角和 是180°，其中的两个角是40°和120°，可得 另一个角是180°-40°-120°=20°。 (4)等腰直角45° 【解析】两个锐角度数相等，且是直角三角 形，所以它又是等腰直角三角形；再根据三 角形内角和为180°，计算两个锐角度数即可。 2.(1)B 【解析】任何一个三角形的内角和都是180°， 黄冈随堂练 4年级下册数学 把一个大三角形分成三个小三角形，每个小8.(1)如下图（画图不唯一）720° 三角形的内角和都是180°，故选B。 (2)C 【解析】三角形的内角和是180°，其中最 大的一个内角是70°，若还有一个角也是 70°，那么最小的一个内角应是180°-70°- (2)五 70°=40°，所以最小的一个内角不可能小于 9.180°÷(1+2+6)=20° 40°，四个选项中，选项C小于40°，不可 20°×2=40°20°×6=1209 能是最小内角的度数。 这个三角形是一个钝角三角形。 3.180°-50°=130° 【解析】三角形的内角和等于180°，根据最 (130°-30°)÷2=50° 大角的度数是最小角的3倍，另一个角的度 50°+30°=80°50°=50° 数是最小角的2倍，用180°除以(3+2+1) 此三角形为等腰三角形。 得出最小角的度数，再分别求出另外两个角 4.60°÷2=309 的度数。然后根据求出的度数判断是什么三 ∠1=∠2=∠3=∠4=30° 角形。 180°-30°-30°=1209 考点特训 图形中角的计算 【解析】根据题目可得出的条件有等边三角 变式1∠3=180°-45°-30°=1059 形的三个内角都是60°，三角形的内角和是 ∠2=180°-105°=750 180°。因为∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2= ∠1=180°-75°=105° 60°，∠3+∠4=60°，所以∠1=∠2=∠3= 【解析】一把三角尺的一个较小的锐角是 ∠4=30°。∠1、∠3、∠5在一个三角形中， 30°，另一把三角尺的一个锐角是45°。根据 所以∠5=180°-30°-30°=120°。 三角形的内角和是180°，求出∠3的度数； 5.180°-90°=90° 再根据平角是180°，求出∠2和∠1的度数。 (90°-10°)÷2=40° 变式2180°÷(5+3+1)=20 40°+10°=50° 20°×5=100°20°×3=60° 6.120°÷4=30° 【解析】把最小角的度数看作1份，那么最 180°-120°-30°=30° 大角的度数就是这样的5份，另一个角的度 这块菜园是一个钝角三角形。 数是这样的3份。根据三角形的内角和是 7.180°÷(4+4+1)=20° 180°，可求出1份是多少，再分别求出三个 20°×4=80° 内角的度数。 这个三角形的底角是80°，顶角是20°。 变式3∠1=64° 【解析】等腰三角形中的两个底角大小相等， 【解析】如图：∠2=75°∠3=95° 三角形内角和为180°，底角是顶角的4倍， ∠4=180°-75°-34°=71° 所以将底角看做四个顶角，可以求出顶角的 ∠5=180°-40°-95°=45° 大小，再求出底角的大小即可。 ∠1=180°-71°-45°=64° 750 95o 3 344X5 40° 考点特训 多边形的内角和 变式1180°-90°=90° 360°-90°=270° 变式2180°×(6-2)=720° 【解析】本题考查多边形的内角和。根据多 边形内角和的计算公式180°×(n-2)(n 为多边形的边数)，可得此六边形纸片的内 角和是180°×(6-2)=720°。 变式31260°÷180°=7 7+2=9 【解析】本题考查多边形的内角和。根据多 边形内角和的计算公式180°×(n-2)（n 为多边形的边数)，可以逆推出多边形的边 数是1260°÷180°+2=9（条)。 第5单元易错专练 易错点1跟踪训练： 27 易错点2跟踪训练： X 易错点3跟踪训练： 360° 第5单元核心知识梳理 知识要点 要点1线段顶点对边垂线顶点 垂足高对边底 要点2稳定线段距离大于 要点3锐角直角钝角锐角直角 钝角等腰等边 参考答案及详解 要点4180三角360 反馈训练 1.(1)锐角直角钝角平角周角 （2)2(3)68锐角(4)25 (5)直角边 2.(1)A(2)C 3.如图： 1 2> ∠5的度数：360°-145°=215° 360°-32°-25°-90°=213° 215°>213 因为根据∠4=145°可以算出∠5=215°， 360°-∠5=∠1+∠2+∠3=145°，而实 际∠1+∠2+∠3=147°，所以不符合要求。 【解析】我们把四边形的另一个内角称为 ∠5，四边形的内角和是360°，即（∠1+∠2+ ∠3+∠5)为360°，所以∠5等于360° 减去其他的三个角的度数，即(360°- 32°-25°-90°)=213°，（∠4+∠5)的 度数刚好是一个周角，那么∠5的度数等于 360°减去∠4的度数即360°-145°=215°， 两次计算求出来的答案不相等，所以这个零 件不合格。 4.6×3=18(cm) 18=2+8+8=4+7+7=8+5+5 这个等腰三角形铁丝框的底是2cm,腰是 8cm,或底是4cm,腰是7cm,或底是 8cm,腰是5cm。 5.我认为清清说得对。可以把喷泉两边的A、 B与一侧的O所围成的图形看成三角形， 根据三角形任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边可知，A、B之间 的距离应该大于3m、小于15m,不可能 为16m。5 三角形 第1课时 三角形的特性 (对应教材第57~59页) ⊙本节目标 重点：掌握三角形的特性，理解三角形的定义和各部分的名称。 ⊙难点：能准确地画出三角形的底所对应的高。 练 核心知识 (4)名校真题用一根钢条将一扇打开 的玻璃窗支撑起来（如下图）， 1.看图填一填。 这样风就不易吹动窗户，这应用 的是( 2.画出下面三角形底边上的高。 B (1)在括号里标出各部分名称。 底 三角形有( )条边，( 底 个角，( )个顶点。为了表 3.选择。（将正确答案的序号填在括号里) 达方便，上面的三角形可以表示 (1)下面图形是用木条钉成的支架， 为()。 最不容易变形的是（( (2)由()围成的图形（每相邻 两条线段的端点相连)叫作三 角形。 B (3)下面哪些图形是三角形？哪些不 (2)如图所示的三角形ABC中，AB 是？（是的画“√”，不是的画 边上的高是( ）。 “X”) A.线段BD B.线段AC C.线段BC B )()( D.线段CD 44 小百科：三角形是由3条线段围成的图形。 5三角形 练 关键能力 6.盖房子时，在窗框安装之前，木工师 傅常常先在窗框上斜着钉一根木条 4.下面是两种不同的篱笆，你认为哪种 (如图)，木工师傅为什么这样做？ 篱笆更牢固？为什么？ ① 练 素养培优 7.下图中一共有（）个三角形。 5.看图填一填。 B E D 8.要使下面的木架稳定，至少各需添加 (1)三角形的底是AE,对应的高 多少条木棍？（画一画，填一填) 是( ）o (2)三角形的底是EF,对应的高 是（ )。 (3)三角形的底是BD,对应的高 是( )。 ()条 ()条 (4)三角形的底是BF,对应的高 是( )。 (5)三角形的底是CD,对应的高 是( )。 ()条 )条 小百科：三角形具有稳定性是因为三根小棒只能摆出一个唯一的三角形。 45 黄冈随堂练 4年级示册数学 第2课时 三角形的三边关系 (对应教材第60页】 ⊙本节目标 ⑨重点：掌握三角形的三边关系。 ⑨难点：会判断3条线段能否围成三角形。 核心知识 角形。（单位：cm) A.3、6、9 B.4、5、8 1.填空。 C.7、8、9 D.4、4、4 (1)名校真题用三根小棒首尾相连组 (3)把一根长15dm的铁丝折成一个 成三角形，其中两根小棒分别长 三角形，三角形三条边的长度可 4cm、8cm, 第三根小棒最短是 能是( )。 ( )cm,最长是( ）cmo A.3 dm,4 dm,8 dm (边长取整数) B.4 dm,4 dm,7 dm (2)在能摆成三角形的各组小棒下面 C.4 dm,7 dm,5 dm 画“V”。(单位：cm) 关键能力 ▣6 6 3.小乐家和明明家中间隔着一条河，河 上有A、B、C三点。在（ )点 建桥可以使小乐家到明明家的路程 最近。 8 12 小乐家 () 2.选择。（将正确答案的序号填在括号里) B (1)如果一个三角形的两条边分别是 30cm和40cm,那么第三条边 明明家 可能是( ）cm。 4.知识是用来为人类服务的，我们应该 A.80B.70 C.60 D.90 把它们应用于有意义的方面。就下面 (2)下面( )组线段不能围成三 两个情景请你作出评判。 46 小百科：三角形的任意两边之和大于第三边。 5三角形 情景一：从教学楼到图书馆，总有少 素养培优 数同学不走人行道而横穿草坪，这是 为什么呢？试用所学数学知识来说明 5.新情境张叔叔用一根铁丝正好围成 个边长是24cm的正方形。如果用 这个问题。 这根铁丝正好围成一个三角架，并 教学楼 且围成的三角架3条边的长度都相 草坪 等，那么围成的三角形的边长是多 图书馆 少厘米？ 情景二：A、B是河流两旁的两个村 庄，现要在河边修一个抽水站向两村 供水，抽水站修在什么地方，才能使 所需的管道最短？请在图中表示出抽 6.有两个三角形，第一个三角形中两条 水站点P的位置，并说明你的理由。 边的长度分别是3cm和9cm,第二 个三角形中两条边的长度分别是2cm A 和6cm,已知这两个三角形的第三条 边一样长，且长度是整厘米数。这两 B· 个三角形的第三条边是多少厘米？ 你赞同以上哪种做法？你认为应用数 学知识为人类服务时应注意什么？ 小百科：三条线段中，只要两条较短线段的长度之和大于第三条线段，就一定能围成三角形。 47 黄冈随堂练 4年级示册数学 趣味数学 三角形的稳定性 今天我们来探索一个有趣的主题一三角形的稳定性。 三角形在我们的生活中应用得非常广泛，比如桥梁设计、房屋支架等多为三 角形。那么，三角形为什么会如此广泛地应用在我们的生活中呢？答案就是它独 特的稳定性。现在，让我们通过下面的小实验探究一下吧！ 实验过程：①用3根木条钉成一个三角形，用手拉一拉。 发现怎么拉都拉不动，比较稳固。 ②用2组长度相等的木条，钉成一个长方形，然后用手捏住相对的两个角， 向相反方向拉动。 发现轻轻一拉就变形了，不稳固。 结论：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。 想一想：你还能从生活中看到哪些应用三角形稳定性的场景？ 练一练：装修师傅在粉刷墙壁的过程中，需要用到如图所示的脚手架，装修 师傅能站在脚手架上放心工作，是因为（ 48 小百科：三角形的三条边确定了，它的形状就确定了，因为三角形具有稳定性。 5三角形 考点特训 图形中三角形的个数】 典例 下图中分别有多少个三角形？ ()个 ()个 ()个 典例解读：第一个图被分成2+1=3个三角形，第二个图被分成3+2+1=6个 三角形，第三张图被分成4+3+2+1=10个三角形。所以本题的答 案为3；6；10。 变武①下图中一共有多少个三角形？ B 变武2下图一共有多少个三角形？用字母表示出来。 变武3数一数，算一算，图中一共有多少个三角形？ 小百科：可以运用数线段的规律解决数三角形的问题。 49 黄冈随堂练 4年级示册数学 第3课时三角形的分类 (对应教材第61、62页】 ⊙本节目标 ⊙重点：掌握三角形的分类方法，能辨认和区分各类三角形。 ⊙难点：理解等边三角形和等腰三角形之间的关系。 核心知识 1.判断。（对的画“V√”，错的画“X”) (1)有两个锐角的三角形一定是锐角 锐角三角形 直角三角形 三角形。 ( (2)等边三角形也是锐角三角形。 ( 钝角三角形 不等边三角形 (3)钝角三角形只有一条高。 ( (4)红领巾既是钝角三角形，也是等 腰三角形。 ( ) 等腰三角形 等边三角形 (5)等腰三角形是特殊的等边三角形。 素养培优 ( 4.张叔叔把一块长方形菜地上的栅栏拆 2.选择。（将正确答案的序号填在括号里) 了下来（尺寸如下图），用它刚好可 (1)在直角三角形中，( )最长。 以围成一块等边三角形的菜地，菜地 A.直角边B.斜边 C.高 的边长是多少米？（接头处忽略不计) (2)一个等腰三角形的周长是1m, 16m 底边长是40cm,它的一条腰长 8m 是( )厘米。 A.60 B.40 C.30 关键能力 3.操作题。（按要求画出三角形) 50 小百科：等边三角形是特殊的等腰三角形。 5三角形 第4课时 三角形的内角和 (对应教材第65、66页)】 ⊙本节目标 。重点：发现并探究三角形的内角和。 ⊙难点：利用三角形的内角和推导出多边形的内角和。 练 核心知识 内角不可能是（)。 A.50° B.43° C.30° 1.填空。 (1)一个直角三角形，有一个锐角是 关键能力 38°，另一个锐角是( )°。 3.新情境文文买了一个三角形的发卡， (2)一个等边三角形的三个角都 她发现其中一个角是50°，另外两个 (),每个角都是()°。 角相差30°，求这两个角的度数，并 (3)名校真题有一张三角形的纸，撕 判断此三角形的形状。 掉了一个角，如下图，撕掉的角 是()°。 40° 120° (4)两个锐角度数相等的直角三角形， 叫作( )三角形，其中每个 4.名校真题如下图，在等边三角形中， 锐角的度数都是（ ）。 ∠1=∠2，∠3=∠4，求∠5的度数。 2.选择。（将正确答案的序号填在括号里) (1)把一个大三角形分成三个小三 角形，每个小三角形的内角和 为( )。 A.90° B.180° C.360° D.270° (2)名校真题一个三角形中最大的一 个内角是70°，那么最小的一个 小百科：任意一个三角形的内角和都是180°。 51 黄冈随堂练 4年级示册数学 5.在一个三角形中，有一个角是90°， 角和时使用的两种方法。 另外两个角的度数相差10°，另外两 明明：在四边形内任意取一个点， 个角分别是多少度？ 四边形的内角和是180°×4 360°=360°。（如图1) 丽丽：将四边形分成两个三角形， 四边形的内角和是180°×2= 360°。（如图2) 6.红红家有一块三角形的菜园，菜园的 最大内角是120°，且最大内角的度数 是最小内角的4倍，这块三角形菜园 图1 图2 其他内角的度数是多少？按角分类， (1)看完上面的材料，请你选一种方 这块菜园是一个什么三角形？ 法，画一画。 120 该多边形的内角和是()。 (2)一个多边形的内角和是540°， 练 素养培优 这个多边形是一个( )边形。 7.在一个等腰三角形中，一个底角是顶 9.新情境一个三角形中，最大角的度 角的4倍，这个三角形的底角和顶角 数是最小角的6倍，另一个角的度数 分别是多少度？ 是最小角的2倍，你知道这个三角形 每个角的度数吗？这个三角形是一个 什么三角形？ 8.“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。” 在解决问题时，我们经常需要变换角 度。下面是两位同学在求多边形的内 52 小百科：三角形的内角和与三角形的形状、大小无关。 5三角形 考点特训 图形中角的计算 典例 如图，∠1=40°，∠2=20°，∠5=90°，求∠3和∠4的度数。 314 典例解读：根据平角是180°，可以求出∠3=180°-∠5-∠1=180°-40°- 90°=50°。∠4的度数可在钝角三角形内求，∠4=180°-∠2-∠5- ∠1=180°-40°-90°-20°=30°。 变武①如图是由一副三角尺拼成的，求∠1的度数。 变武2一个三角形的内角中，最大角的度数是最小角的5倍，另一个角的度数 是最小角的3倍，求这个三角形的三个内角的度数。 变式③如图，求∠1的度数。 75o 95e 34° 40° 小百科：已知等腰三角形项角的度数，底角=(180°一顶角的度数)÷2。 53