20.2勾股定理逆定理及其应用 同步基础达标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下册《20.2勾股定理逆定理及其应用》 同步基础达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．1,2,3 B．3,4,5 C．6,8,10 D．5,12,13 2．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 3．在中，的对边分别为a，b，c且，则下列说法正确的是（  ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法确定谁是直角 4．若a，b，c是的三边长，且满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则的面积为（    ） A．60 B．30 C．65 D．78 7．如图，在中，若，，，则边上的中线的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 8．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面____________（填“合格”或“不合格”）． 10．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 11．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面__________（填“垂直”或“不垂直”）． 12．，， 三地的两两距离如图所示，地在地的正西方向，那么地在地的______方向上． 13．如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于_______． 14．如图，每个小正方形的边长为2，是小正方形的顶点，则的度数为________． 15．如图，在中，，，，点B是延长线上的点，连接，若，则的长为______．    16．如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则________． 三、解答题（满分72分） 17．如图，在中，已知是边上的中线，若，求的度数． 18．如图，D为边上的一点，，，，，求的长． 19．如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 20．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 21．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 22．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 23．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，判断三边能否构成直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先判断能否构成三角形，再验证是否为直角三角形． 【详解】解：∵三角形任意两边之和需大于第三边， ∴在选项A中，， 不满足三边关系， 无法构成三角形， 更不能构成直角三角形； 选项B中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形； 选项C中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形； 选项D中，∵， 符合勾股定理逆定理， ∴能构成直角三角形， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角． 【详解】解：∵， ∴为斜边，且对边是， ∴． 故选A． 3．A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可得，依此即可求解． 【详解】解：在中，的对边分别为a，b，c且， 则， 是直角三角形，． 故选：A． 4．B 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用．根据题意得到，根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 由因式分解，可知，可得，因而可判断的形状． 【详解】解析：∵， ∴， ∴． ∵a，b，c是的三边长， ∴的是直角三角形． 故选：B 5．C 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A．∵，，， ∴三角形不是直角三角形； B．∵，，，， ∴三角形不是直角三角形； C．∵，，，， ∴三角形是直角三角形； D．∵，，，, ∴三角形不是直角三角形． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是熟悉勾股定理的逆定理和三角形的面积公式．根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的面积． 故选：B． 7．C 【分析】根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 8．A 【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 9．合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理在长方形判定中的应用，掌握若四边形的一组邻边与对角线满足勾股定理，则该角为直角，可判定为长方形是解题的关键． 通过计算长、宽和对角线的平方，验证是否满足勾股定理． 【详解】解：长为，宽为，对角线为， 计算，， 满足勾股定理，桌面合格． 故答案为：合格． 10． 等腰直角三角形 【分析】本题考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，判断三边能否构成直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分都为零，得出三边关系，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边长， ∴满足勾股定理且有两边相等， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 11．不垂直 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形，否则不是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理，通过计算电线杆高度和水平距离的平方和与拉线长度的平方是否相等，判断电线杆与地面是否垂直． 【详解】解：∵， ， ∴不满足勾股定理的逆定理， ∴电线杆，地面水平距离，拉线，不能构成直角三角形， ∴电线杆与地面不垂直． 故答案为：不垂直． 12．正南 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，能够利用直角三角形判断方向角．由题中数据可得为直角三角形，所以点，在一条垂线上，进而可得出其方向角． 【详解】解： ， 为直角三角形， 地在地的正南方向上， 故答案为：正南． 13．90 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据，求出，再根据“两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形”，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：90． 14．/45度 【分析】本题主要考查勾股定理和逆定理在网格中的应用、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理得出，，根据勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵每个小正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，再由勾股定理求出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 即 ， 所以三角形是直角三角形，， 在直角三角形中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键． 16．/90度 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．设出正方形的边长，利用中点及线段比例关系表示出相关线段长度，再通过勾股定理分别求出三角形三边的平方，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，从而得出角的度数． 【详解】解：设． E是的中点，， ，，． 在中，由勾股定理可得． 同理可得，， ， 为直角三角形，． 故答案为： 17． 【分析】本题考查了三角形中线的性质和勾股定理的逆定理，解此题的关键是注意数形结合思想的应用．已知是边上的中线，可求出的长度．由根据勾股定理可以确定为直角三角形，从而得出． 【详解】解： 是边上的中线，， ． ，， ． 为直角三角形． ． 18． 【分析】首先利用勾股定理逆定理判断是直角三角形，，然后再利用勾股定理计算长即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵，， ∴ 16． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 19．(1)；5 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：， ； （2）解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 20．(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明； （2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：． 21．(1)与垂直，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 22．(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 23．(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 学科网（北京）股份有限公司 $