2.2一元二次方程的解法 同步练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《2.2一元二次方程的解法》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 2．在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程有一根是0，则m的值是（　　） A．或 B．或 C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．已知关于的方程的解为，则方程的解为（　　） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 二、填空题 8．小明在解方程时，只得出一个根，则被漏掉的一个根是 ． 9．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 10．已知a、b实数且满足，则的值为 ． 11．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为 ． 12．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 13．若直角三角形的两边长a，b是一元二次方程 的两个根，则这个直角三角形的第三边长为 ． 14．定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，因为是的3倍，所以方程是“一元二次三倍根方程”．若关于的一元二次方程是“一元二次三倍根方程”，则的值为 ． 三、解答题 15．解下列方程： (1)（用配方法）； (2) （用公式法）； (3)（因式分解法）； (4)（选适当方法）． 16．已知a，b，c为三角形的三边长，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程仅有一个根是负数，求的取值范围． 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 19．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边长为5． (1)试说明：方程必有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，求的周长． 20．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． (1)判断下列方程一定是“友好方程”有______个． ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程，证明：此方程一定是“友好方程”； 参考答案 1．C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 先移项，再配方即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式，对比已知式子确定a，b，的值． 通过求根公式，分析出a，b，． 【详解】一元二次方程求根公式为，已知， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 将代入一元二次方程， 得到，对应选项B． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程的定义，把代入原方程得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据二次项系数不为0即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根是0， ∴把代入原方程得， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故选： D． 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据根的判别式判断即可． 【详解】解：∵． ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键；把变形为，设，则原方程可转化为，与关于的方程的解相同，据此可求出，即可得解． 【详解】解：方程变形为， 设，则原方程可转化为， 关于的方程的解为， 或， 或， ， 故选：． 6．D 【分析】本题考查了根的判别式， 一次函数的性质，先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 7．A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形的定义是解题的关键；解方程得到两根为2和5，即为等腰三角形的两边长，分两种情况讨论：腰为2底为5或腰为5底为2，利用三角形三边关系检验，只有腰为5底为2成立，再计算周长即可 【详解】解：∵方程可化为， ∴两根为，， ∵等腰三角形两边长分别为2和5， ∴可能情况： ①腰为2，底为5：但，不满足三角形三边关系，不成立； ②腰为5，底为2：，，，均成立； ∴三角形边长为5、5、2，周长为； 故选：A 8． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或， ∴或， ∴被漏掉的一个根是， 故答案为：． 9． 【分析】此题考查了配方法的应用，利用配方法，首先移项，二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∵方程可以配方成的形式， ∴，， ∴， ∴为， ∴， 配方，得，即， 故答案为： ． 10．3 【分析】考查了换元法解一元二次方程，设，由原方程得到求得t的值即可． 【详解】解：设，由原方程得到， 整理，得， 所以或（舍去）， 即的值为3． 故答案为：3． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，整体代入求代数式的值，关键是把得到的等式进行变形． 根据一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式为0，从而可得关于a的等式，把此等式变形后整体代入即可求得代数式的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且, ∴， 则，， ∴， 故答案为：． 12．且 【分析】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，正确理解题意是解题的关键．根据方程根的情况可得，又进而可求解； 【详解】解∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴且， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 13．5或 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程求得直角三角形的两边长，分两种情况讨论求得即可． 【详解】解：∴， ， ∴或， 解得 当3 和4 为直角边长时，第三边长 ； 当4为斜边长时，第三边长 故这个直角三角形的第三边长为5 或 ． 故答案为：5或． 14．或 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，用因式分解法求解方程得出，，再根据 “倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程中，， ∴恒成立， ∴为任意实数， ， ， 或， 解得：，， 方程是“一元二次三倍根方程” 当时，则， 当时，则， 综上，或． 故答案为：或． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用配方法解答即可； （2）先运用根的判别式判断方程根的情况，再运用求根公式求解即可； （3）先移项，然后再运用因式分解法求解即可； （4）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 所以． （2）解：， ∵， ∴， ∴． （3）解：， ， ， ， 或， ∴． （4）解：， ， 或， ∴． 16．等腰三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，等腰三角形的定义，计算一元二次方程根的判别式，进而得出，即可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴该三角形是等腰三角形． 17．(1)证明见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，因式分解法解一元二次方程． （1）计算根的判别式并证明其非负，即可； （2）因式分解方程得到两个根，根据仅有一个根是负数的条件，令另一个根非负，解不等式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 方程总有两个实数根 （2）解：∵ ∴ ∴ 或 ∵ 方程仅有一个根是负数，且 总是成立 分两种情况讨论：① 当两根不相等时，一个根为负数，则另一个根为非负数，即，解得； ② 当两根相等时，均为，则，解得； 此时方程只有一个负根，符合题意； 综上所述，的取值范围是或． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，因式分解法解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：∵是方程的一个根， ， 代入， 整理得， 解得，， ， ． 19．(1)见解析 (2)的周长为或 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解一元二次方程，等腰三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明一元二次方程根的判别式即可； （2）解一元二次方程得两根即得、的长，由是等腰三角形且第三边长为5，分类讨论或求得值，进而可解决问题． 【详解】（1）解： ， 故方程必有两个不相等的实数根； （2）解：， 即 ， 由题意的两边，，第三边长为5， ∵是等腰三角形， ∴若，则，此时， 若，则，此时， 综上所述，的周长为或． 20．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、完全平方公式、整式的加减． (1)根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可； (2)根据一元二次方程根的判别式可得：，利用完全平方公式展开，再合并同类项可得：，可知关于的一元二次方程一定是“友好方程”． 【详解】（1）解：①方程中，，， ， 故①是“友好方程”； ②方程中，，， ， 故②不是“友好方程”； ③方程中，，， ， 故③是“友好方程”； “友好方程”有个； 故答案为：； （2）证明：方程中，，， ， 此方程一定是“友好方程”． 学科网（北京）股份有限公司 $