第12讲 宇宙航行【10大考点+10大题型】-2025-2026学年高一下学期物理《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教版必修第二册)

本讲义聚焦“宇宙航行”核心知识点，系统梳理宇宙速度（第一、二、三宇宙速度的定义与计算）、卫星物理量（v、ω、T、a）与轨道半径的关系，以及卫星轨道类型（圆轨道、椭圆轨道）、同步卫星特点、变轨问题处理等内容，构建从基础概念到实际应用的完整知识支架。 资料以科学思维为核心，通过10类题型（如宇宙速度计算、同步卫星分析、双星系统等）培养模型建构与科学推理能力，结合“天通一号”“嫦娥六号”等航天案例渗透科学态度与责任。课中助力教师高效授课，课后通过例题与达标练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第12讲:宇宙航行 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点一：宇宙速度 数值 意义 第一宇宙速度 7.9 km/s 卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 11.2 km/s 使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度 第三宇宙速度 16.7 km/s 使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度 1．第一宇宙速度的定义 又叫环绕速度，是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度，v＝7.9 km/s. 2．第一宇宙速度的计算 地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v： 方法一：→→ 方法二：→→ 知识点二：卫星各物理量分析： 项目 推导式 关系式 结论 v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小 ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小 T与r的关系 G＝mr2 T＝2π r越大，T越大 a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小 由上表可以看出：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小．可以概括为“高轨低速长周期”． 知识点三．人造地球卫星的轨道 人造卫星的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道． (1)椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上． (2)圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道平面内绕地球做匀速圆周运动． 总之，地球卫星的轨道平面可以与赤道平面成任意角度，但轨道平面一定过地心．当轨道平面与赤道平面重合时，称为赤道轨道；当轨道平面与赤道平面垂直时，即通过极点，称为极地轨道 2．地球同步卫星 (1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星． (2)六个“一定”． ①同步卫星的运行方向与地球自转方向一致． ②同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h. ③同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度． ④同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方． ⑤同步卫星的高度固定不变． ⑥同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于G＝m，所以v＝＝ 四：卫星变轨问题的处理技巧 1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G＝m，得v＝，由此可见轨道半径r越大，线速度v越小．当由于某原因速度v突然改变时，若速度v突然减小，则F＞m，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v突然增大，则F＜m，卫星将做离心运动，轨迹变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动． 2．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度也相同． 技巧归纳：同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较 1.同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man.由上式比较各运动量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大. 2.同步卫星和赤道上物体都做周期和角速度相同的圆周运动.因此要通过v＝ωr，an＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小. 【题型归纳】 题型一：宇宙第一速度的理解和计算 【例1】．（24-25高一下·陕西榆林·期末）2025年3月10日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十五号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设卫星绕地球做匀速圆周运动，其质量为，轨道半径为，绕地球运行的周期为，地球半径为，引力常量为。求： (1)地球的质量； (2)地球的平均密度； (3)地球第一宇宙速度的大小。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）卫星绕地球做匀速圆周运动，所受到的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律 解得地球的质量 （2）地球的质量，解得地球的平均密度 （3）根据牛顿第二定律，解得第一宇宙速度 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东东莞·期末）若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一质量为m的物体，从离地高度为h处以速度v0水平抛出，测得落地点与抛出点的水平距离为x。已知引力常量为G，月球的半径为R（h≪R，不考虑月球自转的影响）。求： (1)月球表面的重力加速度gR； (2)月球的质量M； (3)月球的第一宇宙速度v。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）月球表面附近的物体做平抛运动， 解得 （2）不考虑月球自转的影响，有 解得 （3）由第一宇宙速度的物理意义为 解得 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）如图所示，某人造地球卫星A围绕地球赤道所在平面做周期为T的匀速圆周运动，B是赤道上的一点，直线AB与半径OB垂直，直线与AB夹角为，地球的半径为R，忽略地球自转，引力常量为G，求： (1)地球的质量M； (2)地球第一宇宙速度v。 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设卫星A的轨道半径为，根据几何关系可得 由万有引力提供向心力可得 联立解得地球的质量为 （2）地球第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度，由万有引力提供向心力可得 可得 3．（24-25高一下·陕西渭南·期中）2025年1月17日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将巴基斯坦PRSC-EO1卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知地球的半径为R、地球表面的重力加速度大小为g，卫星入轨后在距地面高度为kR（k为大于1的常数）的轨道上做匀速圆周运动。引力常量为G，不计地球自转的影响。求： (1)地球的平均密度； (2)地球的第一宇宙速度； (3)卫星绕地球运行的周期T。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设地球质量为M，由于忽略地球自转，在地球表面有 解得 地球的体积为 则地球的密度 （2）第一宇宙速度是卫星在地球表面附近做匀速圆周运动的速度。此时，卫星受到的万有引力近似等于重力，且万有引力提供向心力，则有 联立解得 （3）设该卫星的质量，对卫星，由牛顿第二定律有 在地球表面有 联立解得 题型二：宇宙第二速度和宇宙第三速度的理解 【例2】．（25-26高一下·全国·期末）下列关于三种宇宙速度的说法中不正确的是（　　） A．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度 B．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚的最小发射速度 C．发射的火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度 D．不同行星的第一宇宙速度一般是不同的 【答案】C 【详解】A．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，如果比第一宇宙速度小，卫星会落回地面，也是卫近地卫星的环绕速度，同时也是运行卫星的最大环绕速度，故A正确，不符合题意； B．第二宇宙速度，是物体挣脱地球引力束缚脱离地球的最小发射速度，故B正确，不符合题意； C．火星探测卫星仍在太阳系内运行，其发射速度需大于第二宇宙速度，但小于第三宇宙速度，故C错误，符合题意； D．第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，可得 则有，其中 为引力常量， 为中心天体质量， 为半径，不同行星的 和 不同，因此第一宇宙速度一般不同，故D正确,不符合题意。 故选C。 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东湛江·期中）关于地球的三个宇宙速度，下列说法正确的是（　　） A．第一宇宙速度大小为7.9 km/h，是发射卫星所需的最小速度 B．绕地球运行的同步卫星的环绕速度必定大于第一宇宙速度 C．第二宇宙速度为11.2 km/s，是绕地飞行器最大的环绕速度 D．在地面附近发射的飞行器速度等于或大于第三宇宙速度时，飞行器就能逃出太阳系了 【答案】D 【详解】A． 第一宇宙速度是卫星绕地球表面做圆周运动的最小发射速度，也是最大环绕速度，其数值为7.9 km/s，而非7.9 km/h（单位错误），故A错误； B． 同步卫星的轨道半径远大于地球半径，由万有引力提供向心力有 解得 可知，轨道半径越大，环绕速度越小。因此同步卫星的速度小于第一宇宙速度，故B错误； C． 第二宇宙速度11.2 km/s是物体脱离地球引力所需的最小发射速度，而最大的环绕速度仍为第一宇宙速度，故C错误； D． 第三宇宙速度16.7 km/s是脱离太阳引力束缚的最小速度，当飞行器速度≥16.7 km/s时，可逃出太阳系，故D正确。 故选D。 2．（24-25高一下·河北邢台·月考）下列关于宇宙速度的说法正确的是（　　） A．绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度不可能大于第一宇宙速度 B．若卫星的发射速度大于第三宇宙速度，则卫星将绕太阳运动 C．若卫星的发射速度大于第二宇宙速度，则卫星将绕地球做椭圆运动 D．若卫星的发射速度小于第一宇宙速度，则卫星也能绕地球做圆周运动 【答案】A 【详解】AD．第一宇宙速度是卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，故A正确，D错误； B．若卫星的发射速度大于第三宇宙速度，则卫星会挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，故B错误； C．若卫星的发射速度大于第二宇宙速度，则卫星会克服地球的引力，永远离开地球，故C错误。 故选A。 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）对于宇宙速度的理解，下列说法正确的是（　　） A．中国空间站“天宫”的发射速度一定大于第二宇宙速度 B．月球探测器“嫦娥五号”的发射速度一定大于第二宇宙速度 C．火星探测器“天问一号”发射速度一定大于第二宇宙速度 D．火星探测器“天问一号”的发射速度一定大于第三宇宙速度 【答案】C 【详解】A. 中国空间站“天宫”因没有脱离地球的引力范围，可知其发射速度一定小于第二宇宙速度，选项A错误； B. 月球探测器“嫦娥五号”因没有脱离地球的引力范围，则其发射速度一定小于第二宇宙速度，选项B错误； CD. 火星探测器“天问一号” 因要脱离地球的引力范围，但是没脱离太阳的引力范围，可知发射速度一定大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，选项C正确，D错误。 故选C。 题型三：其他星球宇宙速度的计算 【例3】．（24-25高一下·北京东城·期中）若火星质量是月球的N倍，火星半径是月球的P倍，火星与月球均视为球体，则（　　） A．火星的第一宇宙速度是月球的倍 B．火星的第一宇宙速度是月球的倍 C．火星表面的重力加速度大小是月球表面的倍 D．火星表面的重力加速度大小是月球表面的倍 【答案】D 【详解】AB．根据牛顿第二定律得，解得 火星的第一宇宙速度是月球的倍，AB错误；，CD．根据 解得，星表面的重力加速度大小是月球表面的倍，C错误，D正确。 故选D。 【举一反三】 1．（24-25高一下·河北保定·期末）如图所示，“嫦娥六号”探测器包括轨道器、返回器、上升器、着陆器四部分，探测器自动完成月面样品采集，在 2024 年 6 月25 日14 时07 分安全着陆回家。若已知月球半径为R，“嫦娥六号”在距月球表面为 R 的圆轨道上飞行，周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球表面的重力加速度为 C．月球的密度为 D．月球第一宇宙速度为 【答案】B 【详解】A．设“嫦娥六号”质量为m，月球质量为M，对“嫦娥六号”有 解得，故A错误； B．根据黄金代换式有 联立解得月球表面的重力加速度为，故B正确； C．月球密度 联立解得，故C错误； D．设月球第一宇宙速度为v，则有 联立解得，故D错误。 故选B。 2．（24-25高一下·江西景德镇·期末）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船在距离月球表面的高度等于月球半径处绕月球做匀速圆周运动，周期为；已知月球的半径为，引力常量为，下列说法正确的是（    ） A．该飞船在轨的速度大小为 B．月球的第一宇宙速度为 C．月球的质量为 D．月球两极的重力加速度为 【答案】B 【详解】A．飞船轨道半径为，根据线速度 解得，故A错误； B．当某卫星绕月球表面做匀速圆周运动时，其线速度为月球的第一宇宙速度，设为，根据万有引力提供向心力有 飞船绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有 联立解得，故B正确； C．飞船绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有 解得月球质量，故C错误； D． 在月球表面，根据万有引力等于重力有 解得月球两极重力加速度，故D错误。 故选B。 3．（24-25高一下·山东泰安·期中）火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的，火星的质量约为地球质量的，把地球和火星均看作质量分布均匀的球体，若地球的第一宇宙速度大小为v，则火星的第一宇宙速度大小约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据 解得，可知地球的第一宇宙速度为，火星的第一宇宙速度为 联立，解得 故选A。 题型四：同步卫星问题 【例4】．（23-24高一下·天津南开·期末）华为Mate60Pro成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机，该手机的卫星通信功能可以让我们在无信号环境下，通过“天通一号”系列卫星与外界进行联系。“天通一号”系列卫星为地球同步静止卫星，则下列说法正确的是（　　） A．地球同步静止卫星的轨道半径一定都相等 B．地球同步静止卫星可以在天津上空相对地面静止 C．地球同步静止卫星的质量不同，线速度大小也不同 D．地球同步静止卫星的运动周期大于地球自转周期 【答案】A 【详解】AD．因为地球同步静止卫星的运行周期等于地球自转周期，即T=24h，根据万有引力提供向心力有 解得 可知地球同步静止卫星的轨道半径一定都相等，故A正确，D错误； B．地球同步静止卫星只能在赤道上空相对地面静止，天津不在赤道上，所以地球同步静止卫星不可以在天津上空相对地面静止，故B错误； C．根据万有引力提供向心力有 解得 可知同步卫星的线速度大小都相等，与卫星质量无关，故C错误。 故选A。 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏扬州·月考）下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是（　　） A．为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B．通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度大小可以不同 C．不同国家发射通信卫星的地点不同，但卫星轨道一定不在同一平面内 D．通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上 【答案】D 【详解】CD．地球同步通信卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得 可得 由于各个静止卫星的运行周期都等于地球自转的周期，则轨道半径相同，且地球同步通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上，所以不同国家发射通信卫星的地点不同，但卫星轨道一定在同一平面内，故C错误，D正确； AB．通信卫星定点在地球赤道上空固定高度处，根据， 由于各个通信卫星的运行周期相同，轨道半径相同，则角速度相同，线速度大小也相同，所以这些卫星在同一轨道上运行不会发生相撞事故，故AB错误。 故选D。 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）地球静止卫星位于地面上方高度约36000km处，周期与地球自转周期相同，其运动可视为绕地球做匀速圆周运动。其中一种轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同，因其相对地面静止，也称静止卫星。下列说法正确的是（　　） A．与静止于赤道上的物体相比，静止卫星向心加速度更小 B．与近地轨道卫星相比，静止卫星的线速度更小 C．静止卫星内的物体处于平衡状态 D．所有静止卫星受到地球的引力大小相等 【答案】B 【详解】A．静止于赤道上的物体与静止卫星的角速度相等，根据 可知与静止于赤道上的物体相比，静止卫星向心加速度更大，故A错误； B．根据 解得 可知与近地轨道卫星相比，静止卫星的线速度更小，故B正确； C．静止卫星内的物体绕地球做匀速圆周运动，不是平衡状态，故C错误； D．由于不同静止卫星的质量不一定相等，所以不同静止卫星受到地球的引力大小不一定相等，故D错误。 故选B。 3．（23-24高一下·上海·期末）关于地球静止卫星的说法正确的是（    ） A．静止卫星可以定点在上海上空 B．不同静止卫星的周期相同 C．不同静止卫星的轨道高度和速率不相同 D．不同静止卫星的向心力相同 【答案】B 【详解】A．静止卫星只能定点在赤道上空，无法定点在上海上空，A错误；     B．不同静止卫星的周期相同，都等于24小时，B正确； C．根据牛顿第二定律得 解得 所以不同静止卫星的轨道高度相同 又因为 所以不同静止卫星的速率相同，C错误； D．根据万有引力定律得 不同静止卫星的质量不相同，所以向心力不相同，D错误。 故选B。 题型五：计算卫星的各个物理量 【例5】．（24-25高一下·安徽·阶段练习）假设人类在某未知星系中发现了一颗新行星，某探测器绕该行星做匀速圆周运动，运行周期为，轨道半径为，且恰好等于该行星的直径。已知万有引力常量为，将行星视为质量分布均匀的球体，忽略行星自转，下列说法正确的是（　　） A．行星的密度为 B．行星的第一宇宙速度为 C．行星表面的重力加速度是探测器向心加速度的8倍 D．若探测器质量变为原来2倍，其运行周期将变为原来的 【答案】A 【详解】A．探测器绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，解得 行星半径 ，体积 ，联立可得行星的密度为 ，故A正确； B．由万有引力提供向心力，有 解得第一宇宙速度 联立解得，故B错误； C．行星表面的万有引力等于重力，有 由万有引力提供向心加速度 联立解得 ，故C错误； D．由万有引力提供向心力 解得 由此可知周期与探测器质量无关，所以周期不变，故D错误。 故选A。 【举一反三】 1．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）2025年5月14日，我国成功将太空计算卫星星座发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国首个整轨互联的太空计算星座正式进入组网阶段。如图所示，假设其中一颗太空计算卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，距地面的高度为h，观察发现每经过时间t，该卫星绕地球转过的圆心角为θ（弧度）。已知地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．该卫星的线速度大小为 B．该卫星的向心加速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的第一宇宙速度大小为 【答案】D 【详解】A．该卫星绕地球做圆周运动的角速度 卫星的线速度，故A错误； B．根据 可得卫星的向心加速度，故B错误； C．根据 可得地球的质量，故C错误； D．根据 联立可得，故D正确。 故选D。 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）中国空间站作为太空家园，承载着人类探索宇宙的伟大梦想。将空间站视为在距离地球表面高度为h的圆轨道上做匀速圆周运动。已知地球质量为M、半径为R，万有引力常量为G，空间站质量为m。下列关于空间站在轨道上运行时各物理量的表达式，正确的是（　　） A．线速度 B．周期 C．所受地球的万有引力 D．向心加速度 【答案】B 【详解】A．由可得线速度。故A错误； B．由可得周期。故B正确； C．由万有引力公式可得卫星所受地球的万有引力。故C错误； D．由可得向心加速度。故D错误。 故选B。 3．（24-25高一下·四川南充·期末）2025年5月14日，全球首个“超算卫星”在我国酒泉卫星发射中心发射成功，后续还会发射13000颗“超算卫星”。已知该卫星在离地面高的圆轨道上绕地球运动，地球的质量为、半径为，卫星的质量为，引力常量为。则该卫星（　　） A．受到地球的万有引力为 B．线速度为 C．周期为 D．加速度为 【答案】B 【详解】A．根据万有引力定律，得卫星受到地球的万有引力，故A错误； BCD．卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，有 得线速度，周期，加速度 故B正确，CD错误。 故选B。 题型六：同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较 【例6】．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）如图所示a为静止于赤道地面上的物体，b为低轨道卫星，c为地球静止卫星，则下列说法中正确的是（　　） A．a的向心加速度比b的向心加速度小 B．若某时刻b卫星经过a的正上方，则b再运动一圈会再次经过a的正上方 C．b的周期比c的周期大 D．a物体做圆周运动仅由万有引力提供向心力 【答案】A 【详解】A．a、c的周期相同，所以a、c的角速度相等，根据知的向心加速度比c的向心加速度小，根据万有引力提供向心力，则有 解得 则b的向心加速度大于c的向心加速度，可知，a的向心加速度比b的向心加速度小，故A正确； BC．根据万有引力提供向心力，则有 解得 轨道半径越大周期越大，c的周期比b的周期大；由于a物体和静止卫星c的周期都为24h，所以a的周期比b的周期大，若某时刻b卫星经过a的正上方，则b再运动一圈不会再次经过a的正上方，故BC错误； D．a物体做圆周运动由万有引力和地面对其支持力提供向心力，故D错误。 故选A。 【举一反三】 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道表面上随地球一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图。地表附近的重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．a的向心加速度小于重力加速度g B．在相同时间内d转过的弧长最长 C．c在8h内转过的圆心角是 D．b的运行周期有可能是28h 【答案】A 【详解】A．同步卫星的周期与地球自转周期相同，由 得 由， 得 由， 得 设地球半径为，由， 得，，故A正确； B．由 得 可知 由，可知，得四个卫星中b线速度最大，解得b在相同时间内转过的弧长最长，故B错误； C．依题意，则c在8h内转过的圆心角，故C错误； D．由开普勒第三定律 可知卫星的轨道半径r越大，周期T越大，，解得，故D错误。 故选A。 2．（24-25高一下·河南三门峡·期末）自1970年4月24日中国第一颗人造卫星“东方红一号”的成功发射，我国已发射各式卫星、飞船、空间站等人造天体600余颗，航天事业取得了举世瞩目的伟大成就。如图所示，为地球赤道上的物体，为近地空间站，为中轨道极地卫星，为地球同步轨道卫星，则下列说法中正确的是（　　） A．的向心加速度比的向心加速度大 B．与地心的连线在相同的时间内扫过的面积都相同 C．线速度大小关系为 D．周期的关系为 【答案】D 【详解】A．对卫星，根据牛顿第二定律，则有 解得 b为近地空间站，d为地球同步轨道卫星，所以 由于a、d具有相同角速度，相同周期，根据向心加速度与角速度的关系 可得 所以a的向心加速度比b的向心加速度小，故A错误； B．卫星与地心的连线扫过的面积为 根据万有引力提供向心力，则有 联立可得 由此可知，由于b、c、d卫星的轨道半径不相等，所以其与地心的连线在相同的时间内扫过的面积不相同，故B错误； C．根据万有引力提供向心力，则有 解得 由于，所以 根据线速度与角速度的关系 可知 线速度大小关系为，故C错误； D．根据万有引力提供向心力，则有 解得 由于，所以 由于为地球同步轨道卫星，则有 所以周期的关系为，故D正确。 故选D。 3．（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图所示，a为地球赤道上随地球自转的物体，b为近地卫星（轨道半径近似等于地球半径），c为地球静止轨道同步卫星。已知地球半径为R，c的轨道半径为r。a、b、c做匀速圆周运动的角速度分别为ωa、ωb、ωc，a、c的向心加速度大小分别为aa、ac，b、c的线速度大小分别为vb、vc，下列说法中正确的是（　　） A．a、c的向心加速度的大小之比为 B．b、c的线速度大小之比为 C．a、b、c的角速度关系为 D．b、c相邻两次相距最近的时间大于b的周期 【答案】D 【详解】A．静止卫星和地球赤道上的物体具有相同的角速度，即，根据向心加速度和角速度的关系a=ω2r 可知，故A 错误；B．对b由万有引力定律提供向心力，有 对c 由万有引力定律提供向心力，有 联立解得，故B错误； C．根据万有引力提供向心力，有 解得 可知 即它们的角速度大小关系为，故C错误； D．b、c相邻两次相距最近的过程中，b比c多转动一周，有 解得，故D正确。故选D。 题型七：不同轨道上卫星各物理量的比较 【例7】．（25-26高一上·江苏无锡·期末）我们的邻居火星有两颗天然卫星。火卫一呈土豆形状，一日围绕火星转3圈。火星自转周期和地球接近。据估计，火卫一将在未来5000万年进入火星大气层并与火星相撞，下列说法正确的是（　　） A．火卫一的环绕半径比火星的同步卫星的轨道半径小 B．火卫一的运行速度比火星的同步卫星的运行速度小 C．在火卫一逐渐靠近火星的过程中，线速度逐渐变小 D．在火卫一逐渐靠近火星的过程中，向心加速度减小 【答案】A 【详解】A．火星的同步卫星运行周期与火星自转周期相同，大约为1天，当万有引力充当向心力时，有，可解得 由于火卫一的运行周期更小，所以火卫一的轨道半径小于火星的同步卫星的轨道半径，故A正确； B．根据公式，可解得 由于火卫一的轨道半径更小，所以火卫一的运行速度更大，故B错误； C．在火卫一逐渐靠近火星的过程中，轨道半径减小，速度增大，故C错误； D．假设在火卫一缓慢靠近火星时依然做圆周运动，有 可解得加速度 随着半径减小，加速度会增大，故D错误。 故选A。 【举一反三】 1．（25-26高三上·江苏南京·月考）天舟九号货运飞船A与空间站B交会对接的示意图如图所示，飞船从1号圆轨道经2号转移轨道逐步接近在3号圆轨道运行的空间站，最后飞船与空间站组合体完成交会对接。下列说法正确的是（    ） A．飞船在1号轨道上运行时的速率可能为8.0km/s B．飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火减速 C．飞船在1号轨道上的速度大于3号轨道上的速度 D．飞船在1号和3号轨道上运行时单位时间内与地球球心连线扫过的面积相等 【答案】C 【详解】A．绕地球做圆周运动的物体，其最大速度为第一宇宙速度（7.9km/s），飞船在1号轨道上运行时的速率一定小于7.9km/s，故A错误； B．飞船从1号轨道进入2号转移轨道做离心运动，需要点火加速，故B错误； C．根据万有引力提供向心力 可得 3号轨道的轨道半径大于1号轨道的轨道半径，则飞船在1号轨道上的速度大于3号轨道上的速度，故C正确； D．该卫星在t时间内扫过面积 单位时间内扫过面积 可知飞船在3号轨道上运行时单位时间内与地球球心连线扫过的面积大于飞船在1号轨道上运行时单位时间内与地球球心连线扫过的面积，故D错误。 故选C。 2．（25-26高三上·江苏南京·月考）某公司的星链计划不断向地球卫星轨道发射大量小型卫星组成庞大的卫星群，严重影响了地球其他轨道卫星的使用安全，中国空间站就不得不做两次紧急避险动作，避免被星链卫星撞击的危险。如图所示，假设在地球附近存在圆轨道卫星1和椭圆轨道卫星2，A、B两点为椭圆轨道长轴两端，C点为两轨道交点。A距离地心R，B距离地心3R，C距离地心2R，卫星都绕地球逆时针运行。下列说法正确的是（　　） A．卫星2和卫星1的周期不相同 B．卫星2和卫星1在C点加速度不相同 C．卫星1在C点的速度小于卫星2在A点的速度 D．若卫星2在A点适当点火加速，即可在半径为R的低轨道绕地球圆周运动 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第三定律有 由题知圆的半径与椭圆的半长轴相等，则卫星2的周期与卫星1的周期相同，故A错误； B．根据牛顿第二定律有 则有 可知在C点时，加速度相同，故B错误； C．以地球球心为圆心，并过A点画出圆轨道3，如图所示，由图可知卫星从轨道3到卫星2的椭圆轨道要在A点点火加速，做离心运动，则卫星在轨道3的速度小于卫星2在椭圆轨道A点的速度，又由图可知，轨道1和轨道3都是圆轨道，则有 可得 可知轨道1上卫星的速度小于轨道3上卫星的速度，可知卫星在轨道1上经过C点的速度小于卫星2在A点的速度，故C正确； D．根据前面分析，在椭圆轨道上运行的卫星2在A点适当减速，即可在半径为的低轨道绕地球运行，故D错误。 故选C。 3．（23-24高一下·新疆喀什·期末）2024年5月3日嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场发射升空，开启了全球瞩目的月背出差之旅，并于6月4日完成人类首次月球背面采样，在月背挖出一个“中”字。如图所示，假设嫦娥登月探测器在环月轨道1上的远地点P点实施变轨，进入椭圆轨道2，再由近地点Q点进入圆轨道3，已知轨道1的半径为3r，轨道3的半径为r，登月探测器在轨道3的运行周期为T，则下列说法正确的是（　　） A．探测器在地面上的发射速度为7.9km/s B．探测器在轨道1上运行经过P点时的加速度小于在轨道2上运行经过P点时的加速度 C．探测器在轨道2上运行的周期为 D．探测器从轨道2上的Q点进入圆轨道3时，需要点火加速 【答案】C 【详解】A．探测器在地面上的发射速度大于第一宇宙速度7.9km/s，故A错误； B．根据牛顿第二定律可得 可得 可知探测器在轨道1上运行经过P点时的加速度等于在轨道2上运行经过P点时的加速度，故B错误； C．探测器在轨道2上运行时的轨道半长轴为 探测器在轨道2和轨道3上运行时，根据开普勒第三定律可得 解得，故C正确； D．卫星从高轨道变轨到低轨道需要在变轨处点火减速，则探测器从轨道2上的Q点进入圆轨道3时，需要点火减速，故D错误。 故选C。 题型八：卫星变轨问题 【例8】．（23-24高一下·新疆喀什·期末）三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知，则对于三颗卫星，下列关系正确的是（　　） A．运行线速度关系为 B．运行周期关系为 C．向心力大小关系为 D．运行半径与周期关系为 【答案】A 【详解】AB．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得， 由于，则有，，故A正确，B错误； C．根据 由于，，则有，，故C错误； D．根据开普勒第三定律可知，运行半径与周期关系为，故D错误。 故选A。 【举一反三】 1．（2025·广东·模拟预测）2025年5月29日凌晨1时31分，天问二号在西昌卫星发射中心成功发射，其主要任务之一是完成对小行星2016HO3的伴飞、取样并返回地球。如图所示，Ⅰ轨道和Ⅱ轨道为其中的两个轨道，下列说法正确的是（　　） A．天问二号在Ⅰ轨道上运行时加速度可能为零 B．天问二号在Ⅱ轨道上运行的周期大于在Ⅰ轨道上运行的周期 C．天问二号在Ⅱ轨道上通过P点时的速度小于通过N点时的速度 D．天问二号在Ⅰ轨道上通过P点时的速度大于在Ⅱ轨道上通过P点时的速度 【答案】D 【详解】A．天问二号在Ⅰ轨道上运行时做曲线运动，加速度不可能为零，故A错误； B．天问二号在Ⅰ轨道上运行的半长轴大于在Ⅱ轨道上运行的半长轴，根据开普勒第三定律可知，天问二号在Ⅰ轨道上运行的周期大于在Ⅱ轨道上运行的周期，故B错误； C．天问二号从P点到N点做减速运动，在Ⅱ轨道上通过P点时的速度大于通过N点时的速度，故C错误； D．Ⅱ轨道相对于Ⅰ轨道是低轨道，由高轨道变轨到低轨道需要在切点位置减速，所以天问二号在Ⅱ轨道上通过P点时的速度小于在Ⅰ轨道上通过P点时的速度，故D正确。 故选D。 2．（24-25高一下·上海嘉定·期中）如图，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为的圆轨道Ⅰ上的点，通过变轨操作后，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动到处与天和核心舱对接。则飞船（　　） A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ要在点加速 B．由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要在点减速 C．沿轨道Ⅱ运动到对接点过程中，速度不断增大 D．沿轨道Ⅲ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期 【答案】A 【详解】A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ要在点加速做离心运动，A正确； B．由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要在点加速做离心运动，B错误； C．沿轨道Ⅱ运动到对接点过程中，地球的引力做负功，则速度不断减小，C错误； D．根据开普勒第三定律，可知沿轨道Ⅲ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期，D错误。 故选A。 3．（24-25高一下·湖南常德·月考）据中国国家航天局探月与航天工程中心消息，中国探月工程四期嫦娥七号任务将实现在月球南极着陆，开展极区环境与资源勘查。若嫦娥七号探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道I，在B点变轨后进入环月椭圆轨道II，轨道II可视为与月面相切于C点。则嫦娥七号（　　） A．在地月转移轨道上运行的最大速度大于11.2km/s B．在地月转移轨道上经过A点需要点火加速才能完成变轨 C．在轨道Ⅰ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的大 D．在轨道II上经过B点时的速度比经过C点时的大 【答案】C 【详解】A．探测器在地球表面上的发射速度大于11.2km/s时，将脱离地球引力的束缚，嫦娥七号在地月转移轨道上运行时，依然没有脱离地球的束缚，故其最大速度小于11.2km/s，故A错误； B．嫦娥七号在地月转移轨道上经过A点时需要点火减速，做近心运动，才能变轨到轨道Ⅰ，故B错误； C．根据开普勒第三定律 由图可知轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的大，故C正确； D．嫦娥七号从B到C过程，万有引力做正功，速率增大，故嫦娥七号在轨道Ⅱ上经过B点时的速度小于经过C点时的速度，故D错误。 故选C。 题型九：卫星的追及相遇问题 【例9】．（2025·山东济南·一模）我国设想的登月载人飞船运行轨迹如图所示。飞船在圆形“停泊轨道”的点加速进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地球表面最近距离为，飞船到达离点最远距离为的点时，被月球引力“俘获”后，在距月球表面的圆形“绕月轨道”上飞行。已知地球半径为，月球半径为，地球表面重力加速度为，飞船在“过渡轨道”运行时忽略月球引力影响。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“过渡轨道”上的点运行速度大于 B．飞船在“过渡轨道”上点的加速度大于“停泊轨道”上点的加速度 C．飞船的发射速度大于 D．飞船从点运动到点的时间为 【答案】A 【详解】A．由万有引力等于重力有 由万有引力提供向心力有，可得飞船在“停泊轨道”上的P点运行速度为 飞船需要在点加速由“停泊轨道”进入“过渡轨道”，则飞船在“过渡轨道”上的P点运行速度大于，故A正确； B．由万有引力提供向心力有，解得 可知，飞船在“过渡轨道”上P点加速度等于“停泊轨道”上P点的加速度，故B错误； C．飞船只是从地球轨道转移到绕月轨道，没有脱离地球引力束缚，所以发射速度小于11.2km/s，故C错误； D．飞船在停泊轨道的周期，对停泊轨道与过渡轨道，由开普勒第三定律有 飞船从P点运动到Q点的时间为，解得，故D错误。 故选A。 【举一反三】 1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）如图所示，在遥远的银河中有一颗0-50行星，卫星P绕其做匀速圆周运动，卫星Q绕其运行的轨迹为椭圆，两卫星的绕行方向均为顺时针方向，为椭圆轨道的“近地点”，为椭圆轨道的上顶点。已知0-50行星的半径为，卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，卫星的周期为，引力常量为，忽略行星的自转，不计两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期为 B．卫星从点运行到点所需的时间为 C．相同时间内，卫星和与行星连线扫过的面积不相等 D．若卫星和的轨道共面，则它们一定会在交点处相遇 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，绕同一中心天体运行的行星（卫星），其轨道半长轴的三次方与周期的平方之比是一常数，由于卫星P的绕行半径和卫星Q运行轨道的半长轴均为10R，因此二者的周期相等，故A错误； B．卫星Q在椭圆轨道上运动时，近地点H的速度最大，远地点附近速度最小。从H到K的过程中，卫星Q的速度逐渐减小，因此这段路程的平均速度大于从K到远地点的平均速度，所以从H到K的时间小于，故B错误； C．开普勒第二定律（面积定律）是对同一颗行星而言的，即同一行星与中心天体的连线在相等时间内扫过的面积相等。卫星P和Q是两颗不同的卫星，它们的轨道和速度都不同，因此在相同时间内，它们与行星连线扫过的面积不相等，故C正确； D．虽然卫星P和Q的轨道共面且周期相同，但它们的初始位置不一定相同，因此不一定会在交点处相遇，故D错误。 故选C。 2．（25-26高一下·全国·单元测试）两颗人造卫星绕地球逆时针运动，卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．两卫星在图示位置的速度 B．两卫星在A处的加速度 C．两卫星在A点或B点处可能相遇 D．两卫星永远不可能相遇 【答案】D 【详解】A．为椭圆轨道的远地点速度，其值小于对应圆轨道的环绕速度，对于做圆周运动的卫星有 解得 由图可知卫星1与地球距离小于卫星2在远地点与地球的距离，可知，综上可知，故A错误； B．根据 解得 则两卫星在A处的加速度，故B错误； CD．椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律知，两卫星的运动周期相等，则不会相遇，故C错误，D正确。 故选D。 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）2024年5月29日，我国“天问二号”探测器成功发射。“天问二号”探测器计划对小行星2016HO3进行探测取样并返回地球，之后对主带彗星311P开展科学探测。如图所示，某时刻发生“火星冲日”，即火星、地球、太阳三者处于同一直线.火星和地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，已知火星绕太阳的公转周期约为地球公转周期的1.9倍，则下一次“火星冲日”将发生在约（　　） A．1.1年后 B．2.1年后 C．3.1年后 D．4.1年后 【答案】B 【详解】地球公转周期年，火星公转周期年。地球和火星的角速度分别为，。 由于（地球周期短于火星周期），地球角速度大于火星角速度（）。 火星冲日时，地球和火星位于太阳同侧共线。下一次冲日发生时，地球需比火星多转一圈（即多转弧度），以重新达到三者共线且同侧的位置。设会合周期为T，则 解得年 故选B。 题型十：双星系统 【例10】．（24-25高一下·陕西汉中·期末）有研究表明，在银河系中至少一半以上的恒星系统都是由双星构成的。由恒星1、2（可视为质点）组成的双星系统如图所示，两恒星以相等的角速度绕两者连线上的点做匀速圆周运动，测得恒星1、2到点的距离分别为，引力常量为。忽略其他星体的影响，求： (1)恒星1、2的质量之比； (2)恒星1的质量； (3)恒星1、2之间万有引力大小。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）恒星1、2的向心力均由彼此间的万有引力提供，有，解得 （2）恒星2做匀速圆周运动，可得，解得 （3）恒星1、2之间万有引力大小 【举一反三】 1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）2020年诺贝尔物理学奖授予黑洞研究。黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大而体积较小的天体，黑洞的引力很大，连光都无法逃逸。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，不考虑其他天体的影响，两者围绕连线上O点做匀速圆周运动，O点离黑洞B更近，黑洞A质量为，黑洞B质量为，两黑洞间距离为L。试求黑洞A与黑洞B 的轨迹半径和角速度。 【答案】，， 【详解】黑洞A与黑洞B绕连线上O点做匀速圆周运动，两者的角速度相等；对黑洞A，由万有引力提供向心力得 对黑洞B，由万有引力提供向心力得 又 联立可得，， 2．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为、，，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为。忽略A与C之间的引力，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。万有引力常量为G，求： (1)恒星A、B的质量； (2)A、B、C三星由图示位置到再次共线所用时间t； (3)若A也有一颗周期为的卫星D，求卫星C、D的轨道半径之比。 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，角速度和周期相同，由相互间的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得 联立可得， （2）由于A、B双星系统顺时针匀速圆周运动，C做逆时针匀速圆周运动，三个天体再次共线时，即C在B的外侧，根据，解得 （3）C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有 同理，联立解得 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图所示，质量分别为M和m的两个星球A和B（均视为质点）在它们之间的引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B之间的距离为L。已知星球A和B和O三点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。 (1)求星球A的周期T； (2)求星球B的线速度大小v； (3)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在处理近似问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为m地和m月。求 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意知和有相同的角速度和周期，设、的运行半径分别为、，则对分析由万有引力提供向心力，同理对分析有 其中，解得，， （2）q的线速度 带入周期和半径解得星球B的线速度大小 （3）将地月系统看成双星系统，由（1）问得 常常认为月球绕地心做圆周运动，有 解得 则 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高三上·广东佛山·月考）2025年11月1日，神舟二十一号载人飞船与距地面高度约为400km的空间站组合体顺利完成对接，再次上演“太空会师”。已知同步卫星距地面高度约为36000km，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．空间站的周期大于地球同步卫星的周期 B．空间站的环绕速度小于地球的第一宇宙速度 C．空间站的加速度小于地球同步卫星的加速度 D．根据题中已知物理量可估算地球的质量 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第三定律，因，故空间站周期小于同步卫星周期，A错误。 B．根据 可得 因，而第一宇宙速度对应时的环绕速度，故空间站环绕速度小于第一宇宙速度，故B正确。 C．根据 可得 因，故空间站加速度大于同步卫星加速度，故C错误。 D．根据题中已知物理量（高度h和) 无法估算地球质量，故D错误。 故选B。 2．（24-25高一下·山东威海·期末）如图所示，地球的半径为R，表面的重力加速度为g。两卫星1、2分别在圆轨道Ⅰ、Ⅱ上沿顺时针做匀速圆周运动。1为近地卫星，2距地球表面的距离为3R。某时刻1、2相距最远，1、2再一次相距最远经历的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】轨道Ⅰ运行时，，解得 根据开普勒第三定律，解得，1、2再一次相距最远时 解得经历的时间为 故选C。 3．（25-26高一上·江苏镇江·期末）卫星绕地球运行的轨迹如图所示，卫星从M运行到N、从P运行到Q的过程中，与地球连线扫过的面积与相等。则该卫星（　　） A．发射速度一定大于第二宇宙速度 B．从M运行到N的过程中速度不断增大 C．从M运行到N的过程中加速度先增大后减小 D．从M运行到N的时间大于从P运行到Q的时间 【答案】C 【详解】A．由于卫星依然绕地球运行，没有摆脱地球的束缚，因此其发射速度一定小于第二宇宙速度，故A错误； B．根据万有引力提供向心力，可得 解得 由于从M到N的过程中，轨道半径先减小后增大，则卫星从M到N的过程中，速度先增大后减小，故B错误； C．对卫星受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得 由于从M到N的过程中，轨道半径先减小后增大，因此卫星从M运行到N的过程中，加速度先增大后减小，故C正确； D．根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，因此卫星从M运行到N的时间等于从P运行到Q的时间，故D错误。 故选C。 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在同一轨道平面上的几颗人造地球卫星A、B、C，下列说法正确的是（   ） A．根据，可知三颗卫星的线速度 B．根据万有引力定律，可知三颗卫星受到的万有引力 C．三颗卫星的向心加速度 D．三颗卫星运行的角速度 【答案】C 【详解】A．由 得，故，选项A错误； B．卫星受到的万有引力，但三颗卫星的质量关系不知道，故它们受到的万有引力大小不能比较，选项B错误； C．由，得，故，选项C正确； D．由，得，故，选项D错误。 故选C。 5．（25-26高一上·江苏·期末）如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨迹为椭圆，ab、cd分别为椭圆的长轴和短轴。哈雷彗星的运行周期为76年。只考虑太阳对哈雷彗星的作用力，则哈雷彗星（　　） A．从d点运动到c点的时间为38年 B．从a点运动到b点的过程中速率增大 C．在a点的加速度大于b点的加速度 D．在a点的速度小于b点的速度 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第二定律可知，距离太阳越近则速率越大，则从d点运动到c点的时间小于半周期，即小于38年，A错误； B．从a点运动到b点的过程引力做负功，则速率减小，B错误； C．在a点受万有引力大于在b点的万有引力，由牛顿第二定律可知，在a点的加速度大于b点的加速度，C正确； D．根据开普勒第二定律可知，距离太阳越近则速率越大，在a点的速度大于b点的速度，D错误。 故选C。 6．（25-26高一下·全国·课后作业）探测火星一直是人类的梦想，若在未来某个时刻，人类乘飞船来到了火星，宇航员先乘飞船绕火星做圆周运动，测出飞船做圆周运动时离火星表面的高度为，环绕的周期为及环绕的线速度为，引力常量为，由此可得出（　　） A．火星的半径为 B．火星表面的重力加速度为 C．火星的质量为 D．火星的第一宇宙速度为 【答案】B 【详解】A．设为火星半径，飞船绕火星做圆周运动，轨道半径 由线速度公式 可得 故，A错误； B．由万有引力提供向心力 可得 火星表面重力加速度 代入公式和 可得，B正确； C．根据 可得火星质量，C错误； D．第一宇宙速度，D错误。 故选B。 7．（2025·福建·模拟预测）如图所示，A、B两个恒星绕A、B连线上的O点做匀速圆周运动，形成一个稳定的双星系统。已知A、B两恒星的质量之比为，则A、B两恒星的动能之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双星运动中角速度相同，则由可知， 即 因此有。 故选C。 8．（2023高三·全国·专题练习）近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球密度为 ，“蛟龙号”下潜深度为 ，位于地球内部，根据质量分布均匀的球壳对壳内质点万有引力为零的性质，其所在处的重力加速度仅由半径为 的球体产生。 该球体质量为 ，重力加速度为 卫星轨道距离地面高度为 ，故距离地心为 ，卫星所在处的重力加速度由整个地球（质量为 ）产生，卫星所在处重力加速度与“蛟龙号”所在处重力加速度的大小之比为，故选 C。 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·单元测试）下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是（　　） A．第一宇宙速度，第二宇宙速度，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于，小于 B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度 C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度 D．第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 【答案】CD 【详解】AD．根据可知，卫星的轨道半径越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，故A错误，D正确； B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，故B错误； C．第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度，选项C正确。 故选CD。 10．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，P、Q两点到太阳球心的距离分别为、，“天问一号”沿地火转移轨道在P点的速度为。下列关于“天问一号”说法正确的是（　　）          A．发射速度大于小于 B．从P点转移到Q点的时间大于6个月 C．“天问一号”沿地火转移轨道到Q点的速度为 D．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 【答案】BD 【详解】A．因发射的卫星要脱离地球的引力能变轨到绕太阳转动，则发射速度应大于11.2km/s而小于16.7km/s，故A错误； B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年，共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半，应大于6个月，故B正确； C．在P点和Q点附近取一段很短的时间，根据开普勒第二定律有 解得，故C错误； D．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知，在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故D正确。 故选BD。 11．（25-26高一上·山东泰安·期末）2024年9月19日，第59颗、第60颗（简称60号星）北斗导航卫星顺利进入预定轨道。如图所示，若60号星先在半径为的圆轨道Ⅰ上绕行，经其上点变轨后进入预定轨道Ⅱ。已知、分别为轨道Ⅱ的近地点和远地点，与地心的距离为，60号星在轨道Ⅰ上运行的周期为，则60号星（　　） A．从到历时 B．从到历时 C．在点变轨进入轨道Ⅱ需要点火加速 D．在点变轨进入轨道Ⅱ需要点火减速 【答案】AC 【详解】AB．根据开普勒第三定律可知 可知，可知从A到B历时，A正确，B错误； CD．在点变轨进入轨道Ⅱ要做离心运动，则需要点火加速，C正确，D错误。 故选AC。 12．（23-24高一上·北京海淀·期末）发射地球同步静止轨道卫星的基本过程，简化后如下：先将卫星发射至近地圆轨道I（轨道半径可视为等于地球半径），然后在轨道I上P点处短暂点火，使其进入椭圆转移轨道II，之后在轨道II上Q点处再次短暂点火，将卫星送入同步静止轨道III，卫星在I、II轨道相切于P点，II、III轨道相切于Q点，已知万有引力常量为G，地球半径为R，其自转周期为T，同步静止轨道III的轨道半径为r、对于卫星分别在I、II、III轨道上正常运行（非点火的时段）时的运动，根据题目所给的信息及所学的知识，可以推理得出（　　） A．卫星在轨道I上正常运行时经过P点的速率大于在轨道II上正常运行时经过P点的速率 B．卫星在轨道II上正常运行时经过P点的速率与在轨道II上正常运行时经过Q点的速率更大 C．卫星在轨道II上正常运行时的周期为 D．卫星在轨道II上正常运行时经过Q点的加速度等于在轨道III上正常运行时经过Q点的加速度 【答案】BD 【详解】A．卫星从轨道I进入轨道II做离心运动，需要发动机点火加速，故卫星在轨道II上经过P点时的速率大于它在轨道I上经过P点时的速率，故A错误； B．卫星在轨道II上运行时，根据开普勒第二定律，可知卫星从P点到Q点速率减小，则卫星在轨道II上正常运行时经过P点的速率与在轨道II上正常运行时经过Q点的速率更大，故B正确； C．由题知，同步卫星的周期等于地球自转周期，轨道半径为；卫星在轨道II上的半长轴为，设对应的周期为，根据开普勒第三定律有 解得，故C错误； D．根据牛顿第二定律 解得 可知在同一点离地球的高度不变，即轨道半径不变，加速度的方向也相同，即指向地心，故卫星在轨道II上正常运行时经过Q点的加速度等于在轨道III上正常运行时经过Q点的加速度，故D正确。 故选BD。 13．（25-26高三上·河北·期中）2025年8月8日，中国载人航天工程办公室宣布，“天宫”空间站正式进入应用与发展阶段的常态化商业运营模式。已知“天宫”空间站运行轨道距地面的高度为地球半径的倍，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．宇航员在空间站所受重力为在地面上所受重力的倍 B．空间站绕地球运动的线速度大小为 C．空间站绕地球运动的周期为 D．空间站绕地球运动的向心加速度大小为 【答案】ABD 【详解】A．空间站轨道半径约 地球表面重力 可得 空间站上宇航员受到的重力为，故A正确； B．线速度大小为，故B正确； C．周期为，故C错误； D．向心加速度大小为，故D正确 故选ABD。 14．（24-25高一下·云南大理·期中）中国计划于2025年5月发射“天问二号”火星探测器，其变轨过程如图所示，探测器在近日点M短暂加速后进入霍曼转移轨道，接着沿着这个轨道抵达远日点P，又在P点短暂加速进入火星轨道。已知引力常量为G，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R。若只考虑太阳对探测器的作用力。下列正确的是（　　） A．探测器在霍曼转移轨道上经过P点的速率小于在地球轨道上经过M点的速率 B．探测器在地球轨道上的线速度与在火星轨道上的线速度之比为 C．探测器运行中在霍曼转移轨道上P点的加速度与在火星轨道上P点的加速度之比为 D．探测器在霍曼转移轨道上的运行周期与在火星轨道的运行周期之比为 【答案】AD 【详解】A．根据 可得 所以，探测器在地球轨道的线速度大于火星轨道的线速度，即v地 > v火，探测器从霍曼转移轨道到火星轨道需在P点点火加速则v火 > v霍P，综上所述v地 > v霍P，故A正确； B．根据 可得 即探测器在地球轨道上的线速度为 同理，可得探测器在火星轨道上的线速度大小 则探测器在地球轨道上的线速度与在火星轨道上的线速度之比为，故B错误； C．探测器运行中在霍曼转移轨道上过P点与在火星轨道上过P点时，根据 可得 则探测器运行中在霍曼转移轨道上P点的加速度与在火星轨道上P点的加速度相等，故C错误； D．探测器在霍曼转移轨道上与在火星轨道上运行时，根据开普勒第三定律有 其中 联立探测器在霍曼转移轨道上的运行周期与在火星轨道的运行周期之比为，故D正确。 故选AD。 三、解答题 15．（25-26高一上·浙江杭州·期末）火星为太阳系里四颗类地行星之一，把火星和地球均看作质量分布均匀的球体，忽略火星和地球的自转。已知火星和地球绕太阳公转半径之比为，火星与地球质量之比为，火星的半径与地球的半径之比为，求： (1)火星与地球表面重力加速度之比； (2)火星与地球公转周期之比； (3)火星与地球的第一宇宙速度之比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，解得，由已知条件可知，，解得火星与地球表面重力加速度之比 （2）由万有引力提供向心力可得，解得 由已知条件可知，解得火星与地球公转周期之比 （3）由，解得 由已知条件可知，，解得火星与地球的第一宇宙速度之比 16．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）月球自转一周的时间与月球绕地球公转的周期相等均为T0，“嫦娥一号”探月卫星成功进入“极月轨道”，即通过月球两极上空的圆形轨道，距月球表面的高度为h，若月球质量为M，月球半径为R，引力常量为G。 (1)求“嫦娥一号”绕月运行的周期。 (2)在月球自转一周的过程中，“嫦娥一号”绕月运行多少圈？ (3)“嫦娥一号”携带了一台CCD摄像机，随着卫星的飞行，摄像机将对月表进行连续拍摄，拍摄不受日照的影响。要求在月球自转一周的时间里，将月球各处全部拍下来，摄像机拍摄到的月球表面赤道上的宽度至少是多少？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）嫦娥一号绕月球飞行，万有引力提供圆周运动向心力有 由此可得嫦娥一号运行周期为 （2）嫦娥一号运行n圈的时间和月球自转一周的时间相同，故有nT=T0 整理得 （3）令摄像机拍摄赤道宽为d，则嫦娥一号绕月球一周拍摄赤道长度为2d，在月球自转一周的过程中嫦娥一号绕行n圈，故根据几何关系有 联立解得 17．（24-25高一下·江苏南通·月考）2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道。随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道。如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为。不考虑其它星体对飞船的影响，求： (1)飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比； (2)飞船在轨道Ⅰ的周期； (3)飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由万有引力提供向心力有，解得，所以 （2）设飞船在轨道I上的运动周期为T1，在轨道I有 在月球表面有 由以上可得 （3）设飞船在轨道II上的运动周期为T2，而轨道II的半长轴为2.5R，根据开普勒定律得 可解得 所以飞船从A到B的飞行时间为 18．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1发射一探测器，使其与月球同周期绕地球运动。地球和月球对在拉格朗日点L1上的探测器的万有引力不可忽略，而在拉格朗日点L1上的空探测器对地球和月球的万有引力可忽略不计。在拉格朗日点L1上的探测器可看作质点，地球和月球均可视作均匀的球体。 (1)若已知引力常量G、地球质量M1、月球质量未知、地心到月心的距离r、拉格朗日点到月心的距离d。求该探测器绕地球做圆周运动的线速度大小？ (2)若，求月球质量M2与地球质量M1的比值？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小问探测器绕地球做圆周运动的轨道半径为地心到拉格朗日点的距离，即 探测器与月球绕地球运动的周期相同，故二者角速度相等。对月球，地球对月球的引力提供其做圆周运动的向心力，有 化简得探测器的角速度 探测器的线速度 代入数据得 （2）已知 则探测器轨道半径 探测器所受地球引力与月球引力的合力提供向心力，设探测器质量为，有 得 整理得 解得月球质量与地球质量的比值 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲:宇宙航行 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点一：宇宙速度 数值 意义 第一宇宙速度 7.9 km/s 卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 11.2 km/s 使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度 第三宇宙速度 16.7 km/s 使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度 1．第一宇宙速度的定义 又叫环绕速度，是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度，v＝7.9 km/s. 2．第一宇宙速度的计算 地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v： 方法一：→→ 方法二：→→ 知识点二：卫星各物理量分析： 项目 推导式 关系式 结论 v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小 ω与r的关系 G＝mrω2 ω＝ r越大，ω越小 T与r的关系 G＝mr2 T＝2π r越大，T越大 a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小 由上表可以看出：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小．可以概括为“高轨低速长周期”． 知识点三．人造地球卫星的轨道 人造卫星的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道． (1)椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上． (2)圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道平面内绕地球做匀速圆周运动． 总之，地球卫星的轨道平面可以与赤道平面成任意角度，但轨道平面一定过地心．当轨道平面与赤道平面重合时，称为赤道轨道；当轨道平面与赤道平面垂直时，即通过极点，称为极地轨道 2．地球同步卫星 (1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星． (2)六个“一定”． ①同步卫星的运行方向与地球自转方向一致． ②同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h. ③同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度． ④同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方． ⑤同步卫星的高度固定不变． ⑥同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于G＝m，所以v＝＝ 四：卫星变轨问题的处理技巧 1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G＝m，得v＝，由此可见轨道半径r越大，线速度v越小．当由于某原因速度v突然改变时，若速度v突然减小，则F＞m，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v突然增大，则F＜m，卫星将做离心运动，轨迹变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动． 2．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度也相同． 技巧归纳：同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较 1.同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man.由上式比较各运动量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大. 2.同步卫星和赤道上物体都做周期和角速度相同的圆周运动.因此要通过v＝ωr，an＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小. 【题型归纳】 题型一：宇宙第一速度的理解和计算 【例1】．（24-25高一下·陕西榆林·期末）2025年3月10日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十五号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设卫星绕地球做匀速圆周运动，其质量为，轨道半径为，绕地球运行的周期为，地球半径为，引力常量为。求： (1)地球的质量； (2)地球的平均密度； (3)地球第一宇宙速度的大小。 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东东莞·期末）若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一质量为m的物体，从离地高度为h处以速度v0水平抛出，测得落地点与抛出点的水平距离为x。已知引力常量为G，月球的半径为R（h≪R，不考虑月球自转的影响）。求： (1)月球表面的重力加速度gR； (2)月球的质量M； (3)月球的第一宇宙速度v。 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）如图所示，某人造地球卫星A围绕地球赤道所在平面做周期为T的匀速圆周运动，B是赤道上的一点，直线AB与半径OB垂直，直线与AB夹角为，地球的半径为R，忽略地球自转，引力常量为G，求： (1)地球的质量M； (2)地球第一宇宙速度v。 3．（24-25高一下·陕西渭南·期中）2025年1月17日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将巴基斯坦PRSC-EO1卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知地球的半径为R、地球表面的重力加速度大小为g，卫星入轨后在距地面高度为kR（k为大于1的常数）的轨道上做匀速圆周运动。引力常量为G，不计地球自转的影响。求： (1)地球的平均密度； (2)地球的第一宇宙速度； (3)卫星绕地球运行的周期T。 题型二：宇宙第二速度和宇宙第三速度的理解 【例2】．（25-26高一下·全国·期末）下列关于三种宇宙速度的说法中不正确的是（　　） A．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度 B．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚的最小发射速度 C．发射的火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度 D．不同行星的第一宇宙速度一般是不同的 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东湛江·期中）关于地球的三个宇宙速度，下列说法正确的是（　　） A．第一宇宙速度大小为7.9 km/h，是发射卫星所需的最小速度 B．绕地球运行的同步卫星的环绕速度必定大于第一宇宙速度 C．第二宇宙速度为11.2 km/s，是绕地飞行器最大的环绕速度 D．在地面附近发射的飞行器速度等于或大于第三宇宙速度时，飞行器就能逃出太阳系了 2．（24-25高一下·河北邢台·月考）下列关于宇宙速度的说法正确的是（　　） A．绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度不可能大于第一宇宙速度 B．若卫星的发射速度大于第三宇宙速度，则卫星将绕太阳运动 C．若卫星的发射速度大于第二宇宙速度，则卫星将绕地球做椭圆运动 D．若卫星的发射速度小于第一宇宙速度，则卫星也能绕地球做圆周运动 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）对于宇宙速度的理解，下列说法正确的是（　　） A．中国空间站“天宫”的发射速度一定大于第二宇宙速度 B．月球探测器“嫦娥五号”的发射速度一定大于第二宇宙速度 C．火星探测器“天问一号”发射速度一定大于第二宇宙速度 D．火星探测器“天问一号”的发射速度一定大于第三宇宙速度 题型三：其他星球宇宙速度的计算 【例3】．（24-25高一下·北京东城·期中）若火星质量是月球的N倍，火星半径是月球的P倍，火星与月球均视为球体，则（　　） A．火星的第一宇宙速度是月球的倍 B．火星的第一宇宙速度是月球的倍 C．火星表面的重力加速度大小是月球表面的倍 D．火星表面的重力加速度大小是月球表面的倍 【举一反三】 1．（24-25高一下·河北保定·期末）如图所示，“嫦娥六号”探测器包括轨道器、返回器、上升器、着陆器四部分，探测器自动完成月面样品采集，在 2024 年 6 月25 日14 时07 分安全着陆回家。若已知月球半径为R，“嫦娥六号”在距月球表面为 R 的圆轨道上飞行，周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球表面的重力加速度为 C．月球的密度为 D．月球第一宇宙速度为 2．（24-25高一下·江西景德镇·期末）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船在距离月球表面的高度等于月球半径处绕月球做匀速圆周运动，周期为；已知月球的半径为，引力常量为，下列说法正确的是（    ） A．该飞船在轨的速度大小为 B．月球的第一宇宙速度为 C．月球的质量为 D．月球两极的重力加速度为 3．（24-25高一下·山东泰安·期中）火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的，火星的质量约为地球质量的，把地球和火星均看作质量分布均匀的球体，若地球的第一宇宙速度大小为v，则火星的第一宇宙速度大小约为（    ） A． B． C． D． 题型四：同步卫星问题 【例4】．（23-24高一下·天津南开·期末）华为Mate60Pro成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机，该手机的卫星通信功能可以让我们在无信号环境下，通过“天通一号”系列卫星与外界进行联系。“天通一号”系列卫星为地球同步静止卫星，则下列说法正确的是（　　） A．地球同步静止卫星的轨道半径一定都相等 B．地球同步静止卫星可以在天津上空相对地面静止 C．地球同步静止卫星的质量不同，线速度大小也不同 D．地球同步静止卫星的运动周期大于地球自转周期 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏扬州·月考）下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是（　　） A．为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B．通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度大小可以不同 C．不同国家发射通信卫星的地点不同，但卫星轨道一定不在同一平面内 D．通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）地球静止卫星位于地面上方高度约36000km处，周期与地球自转周期相同，其运动可视为绕地球做匀速圆周运动。其中一种轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同，因其相对地面静止，也称静止卫星。下列说法正确的是（　　） A．与静止于赤道上的物体相比，静止卫星向心加速度更小 B．与近地轨道卫星相比，静止卫星的线速度更小 C．静止卫星内的物体处于平衡状态 D．所有静止卫星受到地球的引力大小相等 3．（23-24高一下·上海·期末）关于地球静止卫星的说法正确的是（    ） A．静止卫星可以定点在上海上空 B．不同静止卫星的周期相同 C．不同静止卫星的轨道高度和速率不相同 D．不同静止卫星的向心力相同 题型五：计算卫星的各个物理量 【例5】．（24-25高一下·安徽·阶段练习）假设人类在某未知星系中发现了一颗新行星，某探测器绕该行星做匀速圆周运动，运行周期为，轨道半径为，且恰好等于该行星的直径。已知万有引力常量为，将行星视为质量分布均匀的球体，忽略行星自转，下列说法正确的是（　　） A．行星的密度为 B．行星的第一宇宙速度为 C．行星表面的重力加速度是探测器向心加速度的8倍 D．若探测器质量变为原来2倍，其运行周期将变为原来的 【举一反三】 1．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）2025年5月14日，我国成功将太空计算卫星星座发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国首个整轨互联的太空计算星座正式进入组网阶段。如图所示，假设其中一颗太空计算卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，距地面的高度为h，观察发现每经过时间t，该卫星绕地球转过的圆心角为θ（弧度）。已知地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．该卫星的线速度大小为 B．该卫星的向心加速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的第一宇宙速度大小为 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）中国空间站作为太空家园，承载着人类探索宇宙的伟大梦想。将空间站视为在距离地球表面高度为h的圆轨道上做匀速圆周运动。已知地球质量为M、半径为R，万有引力常量为G，空间站质量为m。下列关于空间站在轨道上运行时各物理量的表达式，正确的是（　　） A．线速度 B．周期 C．所受地球的万有引力 D．向心加速度 3．（24-25高一下·四川南充·期末）2025年5月14日，全球首个“超算卫星”在我国酒泉卫星发射中心发射成功，后续还会发射13000颗“超算卫星”。已知该卫星在离地面高的圆轨道上绕地球运动，地球的质量为、半径为，卫星的质量为，引力常量为。则该卫星（　　） A．受到地球的万有引力为 B．线速度为 C．周期为 D．加速度为 题型六：同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较 【例6】．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）如图所示a为静止于赤道地面上的物体，b为低轨道卫星，c为地球静止卫星，则下列说法中正确的是（　　） A．a的向心加速度比b的向心加速度小 B．若某时刻b卫星经过a的正上方，则b再运动一圈会再次经过a的正上方 C．b的周期比c的周期大 D．a物体做圆周运动仅由万有引力提供向心力 【举一反三】 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道表面上随地球一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图。地表附近的重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．a的向心加速度小于重力加速度g B．在相同时间内d转过的弧长最长 C．c在8h内转过的圆心角是 D．b的运行周期有可能是28h 2．（24-25高一下·河南三门峡·期末）自1970年4月24日中国第一颗人造卫星“东方红一号”的成功发射，我国已发射各式卫星、飞船、空间站等人造天体600余颗，航天事业取得了举世瞩目的伟大成就。如图所示，为地球赤道上的物体，为近地空间站，为中轨道极地卫星，为地球同步轨道卫星，则下列说法中正确的是（　　） A．的向心加速度比的向心加速度大 B．与地心的连线在相同的时间内扫过的面积都相同 C．线速度大小关系为 D．周期的关系为 3．（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图所示，a为地球赤道上随地球自转的物体，b为近地卫星（轨道半径近似等于地球半径），c为地球静止轨道同步卫星。已知地球半径为R，c的轨道半径为r。a、b、c做匀速圆周运动的角速度分别为ωa、ωb、ωc，a、c的向心加速度大小分别为aa、ac，b、c的线速度大小分别为vb、vc，下列说法中正确的是（　　） A．a、c的向心加速度的大小之比为 B．b、c的线速度大小之比为 C．a、b、c的角速度关系为 D．b、c相邻两次相距最近的时间大于b的周期 题型七：不同轨道上卫星各物理量的比较 【例7】．（25-26高一上·江苏无锡·期末）我们的邻居火星有两颗天然卫星。火卫一呈土豆形状，一日围绕火星转3圈。火星自转周期和地球接近。据估计，火卫一将在未来5000万年进入火星大气层并与火星相撞，下列说法正确的是（　　） A．火卫一的环绕半径比火星的同步卫星的轨道半径小 B．火卫一的运行速度比火星的同步卫星的运行速度小 C．在火卫一逐渐靠近火星的过程中，线速度逐渐变小 D．在火卫一逐渐靠近火星的过程中，向心加速度减小 【举一反三】 1．（25-26高三上·江苏南京·月考）天舟九号货运飞船A与空间站B交会对接的示意图如图所示，飞船从1号圆轨道经2号转移轨道逐步接近在3号圆轨道运行的空间站，最后飞船与空间站组合体完成交会对接。下列说法正确的是（    ） A．飞船在1号轨道上运行时的速率可能为8.0km/s B．飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火减速 C．飞船在1号轨道上的速度大于3号轨道上的速度 D．飞船在1号和3号轨道上运行时单位时间内与地球球心连线扫过的面积相等 2．（25-26高三上·江苏南京·月考）某公司的星链计划不断向地球卫星轨道发射大量小型卫星组成庞大的卫星群，严重影响了地球其他轨道卫星的使用安全，中国空间站就不得不做两次紧急避险动作，避免被星链卫星撞击的危险。如图所示，假设在地球附近存在圆轨道卫星1和椭圆轨道卫星2，A、B两点为椭圆轨道长轴两端，C点为两轨道交点。A距离地心R，B距离地心3R，C距离地心2R，卫星都绕地球逆时针运行。下列说法正确的是（　　） A．卫星2和卫星1的周期不相同 B．卫星2和卫星1在C点加速度不相同 C．卫星1在C点的速度小于卫星2在A点的速度 D．若卫星2在A点适当点火加速，即可在半径为R的低轨道绕地球圆周运动 3．（23-24高一下·新疆喀什·期末）2024年5月3日嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场发射升空，开启了全球瞩目的月背出差之旅，并于6月4日完成人类首次月球背面采样，在月背挖出一个“中”字。如图所示，假设嫦娥登月探测器在环月轨道1上的远地点P点实施变轨，进入椭圆轨道2，再由近地点Q点进入圆轨道3，已知轨道1的半径为3r，轨道3的半径为r，登月探测器在轨道3的运行周期为T，则下列说法正确的是（　　） A．探测器在地面上的发射速度为7.9km/s B．探测器在轨道1上运行经过P点时的加速度小于在轨道2上运行经过P点时的加速度 C．探测器在轨道2上运行的周期为 D．探测器从轨道2上的Q点进入圆轨道3时，需要点火加速 题型八：卫星变轨问题 【例8】．（23-24高一下·新疆喀什·期末）三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知，则对于三颗卫星，下列关系正确的是（　　） A．运行线速度关系为 B．运行周期关系为 C．向心力大小关系为 D．运行半径与周期关系为 【举一反三】 1．（2025·广东·模拟预测）2025年5月29日凌晨1时31分，天问二号在西昌卫星发射中心成功发射，其主要任务之一是完成对小行星2016HO3的伴飞、取样并返回地球。如图所示，Ⅰ轨道和Ⅱ轨道为其中的两个轨道，下列说法正确的是（　　） A．天问二号在Ⅰ轨道上运行时加速度可能为零 B．天问二号在Ⅱ轨道上运行的周期大于在Ⅰ轨道上运行的周期 C．天问二号在Ⅱ轨道上通过P点时的速度小于通过N点时的速度 D．天问二号在Ⅰ轨道上通过P点时的速度大于在Ⅱ轨道上通过P点时的速度 2．（24-25高一下·上海嘉定·期中）如图，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为的圆轨道Ⅰ上的点，通过变轨操作后，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动到处与天和核心舱对接。则飞船（　　） A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ要在点加速 B．由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ要在点减速 C．沿轨道Ⅱ运动到对接点过程中，速度不断增大 D．沿轨道Ⅲ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期 3．（24-25高一下·湖南常德·月考）据中国国家航天局探月与航天工程中心消息，中国探月工程四期嫦娥七号任务将实现在月球南极着陆，开展极区环境与资源勘查。若嫦娥七号探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道I，在B点变轨后进入环月椭圆轨道II，轨道II可视为与月面相切于C点。则嫦娥七号（　　） A．在地月转移轨道上运行的最大速度大于11.2km/s B．在地月转移轨道上经过A点需要点火加速才能完成变轨 C．在轨道Ⅰ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的大 D．在轨道II上经过B点时的速度比经过C点时的大 题型九：卫星的追及相遇问题 【例9】．（2025·山东济南·一模）我国设想的登月载人飞船运行轨迹如图所示。飞船在圆形“停泊轨道”的点加速进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地球表面最近距离为，飞船到达离点最远距离为的点时，被月球引力“俘获”后，在距月球表面的圆形“绕月轨道”上飞行。已知地球半径为，月球半径为，地球表面重力加速度为，飞船在“过渡轨道”运行时忽略月球引力影响。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“过渡轨道”上的点运行速度大于 B．飞船在“过渡轨道”上点的加速度大于“停泊轨道”上点的加速度 C．飞船的发射速度大于 D．飞船从点运动到点的时间为 【举一反三】 1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）如图所示，在遥远的银河中有一颗0-50行星，卫星P绕其做匀速圆周运动，卫星Q绕其运行的轨迹为椭圆，两卫星的绕行方向均为顺时针方向，为椭圆轨道的“近地点”，为椭圆轨道的上顶点。已知0-50行星的半径为，卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，卫星的周期为，引力常量为，忽略行星的自转，不计两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期为 B．卫星从点运行到点所需的时间为 C．相同时间内，卫星和与行星连线扫过的面积不相等 D．若卫星和的轨道共面，则它们一定会在交点处相遇 2．（25-26高一下·全国·单元测试）两颗人造卫星绕地球逆时针运动，卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．两卫星在图示位置的速度 B．两卫星在A处的加速度 C．两卫星在A点或B点处可能相遇 D．两卫星永远不可能相遇 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）2024年5月29日，我国“天问二号”探测器成功发射。“天问二号”探测器计划对小行星2016HO3进行探测取样并返回地球，之后对主带彗星311P开展科学探测。如图所示，某时刻发生“火星冲日”，即火星、地球、太阳三者处于同一直线.火星和地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，已知火星绕太阳的公转周期约为地球公转周期的1.9倍，则下一次“火星冲日”将发生在约（　　） A．1.1年后 B．2.1年后 C．3.1年后 D．4.1年后 题型十：双星系统 【例10】．（24-25高一下·陕西汉中·期末）有研究表明，在银河系中至少一半以上的恒星系统都是由双星构成的。由恒星1、2（可视为质点）组成的双星系统如图所示，两恒星以相等的角速度绕两者连线上的点做匀速圆周运动，测得恒星1、2到点的距离分别为，引力常量为。忽略其他星体的影响，求： (1)恒星1、2的质量之比； (2)恒星1的质量； (3)恒星1、2之间万有引力大小。 【举一反三】 1．（24-25高一下·陕西商洛·期中）2020年诺贝尔物理学奖授予黑洞研究。黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大而体积较小的天体，黑洞的引力很大，连光都无法逃逸。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，不考虑其他天体的影响，两者围绕连线上O点做匀速圆周运动，O点离黑洞B更近，黑洞A质量为，黑洞B质量为，两黑洞间距离为L。试求黑洞A与黑洞B 的轨迹半径和角速度。 2．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为、，，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为。忽略A与C之间的引力，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。万有引力常量为G，求： (1)恒星A、B的质量； (2)A、B、C三星由图示位置到再次共线所用时间t； (3)若A也有一颗周期为的卫星D，求卫星C、D的轨道半径之比。 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）如图所示，质量分别为M和m的两个星球A和B（均视为质点）在它们之间的引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B之间的距离为L。已知星球A和B和O三点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。 (1)求星球A的周期T； (2)求星球B的线速度大小v； (3)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在处理近似问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为m地和m月。求 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高三上·广东佛山·月考）2025年11月1日，神舟二十一号载人飞船与距地面高度约为400km的空间站组合体顺利完成对接，再次上演“太空会师”。已知同步卫星距地面高度约为36000km，引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．空间站的周期大于地球同步卫星的周期 B．空间站的环绕速度小于地球的第一宇宙速度 C．空间站的加速度小于地球同步卫星的加速度 D．根据题中已知物理量可估算地球的质量 2．（24-25高一下·山东威海·期末）如图所示，地球的半径为R，表面的重力加速度为g。两卫星1、2分别在圆轨道Ⅰ、Ⅱ上沿顺时针做匀速圆周运动。1为近地卫星，2距地球表面的距离为3R。某时刻1、2相距最远，1、2再一次相距最远经历的时间为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏镇江·期末）卫星绕地球运行的轨迹如图所示，卫星从M运行到N、从P运行到Q的过程中，与地球连线扫过的面积与相等。则该卫星（　　） A．发射速度一定大于第二宇宙速度 B．从M运行到N的过程中速度不断增大 C．从M运行到N的过程中加速度先增大后减小 D．从M运行到N的时间大于从P运行到Q的时间 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在同一轨道平面上的几颗人造地球卫星A、B、C，下列说法正确的是（   ） A．根据，可知三颗卫星的线速度 B．根据万有引力定律，可知三颗卫星受到的万有引力 C．三颗卫星的向心加速度 D．三颗卫星运行的角速度 5．（25-26高一上·江苏·期末）如图所示，哈雷彗星绕太阳运行的轨迹为椭圆，ab、cd分别为椭圆的长轴和短轴。哈雷彗星的运行周期为76年。只考虑太阳对哈雷彗星的作用力，则哈雷彗星（　　） A．从d点运动到c点的时间为38年 B．从a点运动到b点的过程中速率增大 C．在a点的加速度大于b点的加速度 D．在a点的速度小于b点的速度 6．（25-26高一下·全国·课后作业）探测火星一直是人类的梦想，若在未来某个时刻，人类乘飞船来到了火星，宇航员先乘飞船绕火星做圆周运动，测出飞船做圆周运动时离火星表面的高度为，环绕的周期为及环绕的线速度为，引力常量为，由此可得出（　　） A．火星的半径为 B．火星表面的重力加速度为 C．火星的质量为 D．火星的第一宇宙速度为 7．（2025·福建·模拟预测）如图所示，A、B两个恒星绕A、B连线上的O点做匀速圆周运动，形成一个稳定的双星系统。已知A、B两恒星的质量之比为，则A、B两恒星的动能之比为（    ） A． B． C． D． 8．（2023高三·全国·专题练习）近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7 000 m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·全国·单元测试）下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是（　　） A．第一宇宙速度，第二宇宙速度，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于，小于 B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度 C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度 D．第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 10．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，P、Q两点到太阳球心的距离分别为、，“天问一号”沿地火转移轨道在P点的速度为。下列关于“天问一号”说法正确的是（　　）          A．发射速度大于小于 B．从P点转移到Q点的时间大于6个月 C．“天问一号”沿地火转移轨道到Q点的速度为 D．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 11．（25-26高一上·山东泰安·期末）2024年9月19日，第59颗、第60颗（简称60号星）北斗导航卫星顺利进入预定轨道。如图所示，若60号星先在半径为的圆轨道Ⅰ上绕行，经其上点变轨后进入预定轨道Ⅱ。已知、分别为轨道Ⅱ的近地点和远地点，与地心的距离为，60号星在轨道Ⅰ上运行的周期为，则60号星（　　） A．从到历时 B．从到历时 C．在点变轨进入轨道Ⅱ需要点火加速 D．在点变轨进入轨道Ⅱ需要点火减速 12．（23-24高一上·北京海淀·期末）发射地球同步静止轨道卫星的基本过程，简化后如下：先将卫星发射至近地圆轨道I（轨道半径可视为等于地球半径），然后在轨道I上P点处短暂点火，使其进入椭圆转移轨道II，之后在轨道II上Q点处再次短暂点火，将卫星送入同步静止轨道III，卫星在I、II轨道相切于P点，II、III轨道相切于Q点，已知万有引力常量为G，地球半径为R，其自转周期为T，同步静止轨道III的轨道半径为r、对于卫星分别在I、II、III轨道上正常运行（非点火的时段）时的运动，根据题目所给的信息及所学的知识，可以推理得出（　　） A．卫星在轨道I上正常运行时经过P点的速率大于在轨道II上正常运行时经过P点的速率 B．卫星在轨道II上正常运行时经过P点的速率与在轨道II上正常运行时经过Q点的速率更大 C．卫星在轨道II上正常运行时的周期为 D．卫星在轨道II上正常运行时经过Q点的加速度等于在轨道III上正常运行时经过Q点的加速度 13．（25-26高三上·河北·期中）2025年8月8日，中国载人航天工程办公室宣布，“天宫”空间站正式进入应用与发展阶段的常态化商业运营模式。已知“天宫”空间站运行轨道距地面的高度为地球半径的倍，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，下列说法正确的是（　　） A．宇航员在空间站所受重力为在地面上所受重力的倍 B．空间站绕地球运动的线速度大小为 C．空间站绕地球运动的周期为 D．空间站绕地球运动的向心加速度大小为 14．（24-25高一下·云南大理·期中）中国计划于2025年5月发射“天问二号”火星探测器，其变轨过程如图所示，探测器在近日点M短暂加速后进入霍曼转移轨道，接着沿着这个轨道抵达远日点P，又在P点短暂加速进入火星轨道。已知引力常量为G，地球轨道和火星轨道半径分别为r和R。若只考虑太阳对探测器的作用力。下列正确的是（　　） A．探测器在霍曼转移轨道上经过P点的速率小于在地球轨道上经过M点的速率 B．探测器在地球轨道上的线速度与在火星轨道上的线速度之比为 C．探测器运行中在霍曼转移轨道上P点的加速度与在火星轨道上P点的加速度之比为 D．探测器在霍曼转移轨道上的运行周期与在火星轨道的运行周期之比为 三、解答题 15．（25-26高一上·浙江杭州·期末）火星为太阳系里四颗类地行星之一，把火星和地球均看作质量分布均匀的球体，忽略火星和地球的自转。已知火星和地球绕太阳公转半径之比为，火星与地球质量之比为，火星的半径与地球的半径之比为，求： (1)火星与地球表面重力加速度之比； (2)火星与地球公转周期之比； (3)火星与地球的第一宇宙速度之比。 16．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）月球自转一周的时间与月球绕地球公转的周期相等均为T0，“嫦娥一号”探月卫星成功进入“极月轨道”，即通过月球两极上空的圆形轨道，距月球表面的高度为h，若月球质量为M，月球半径为R，引力常量为G。 (1)求“嫦娥一号”绕月运行的周期。 (2)在月球自转一周的过程中，“嫦娥一号”绕月运行多少圈？ (3)“嫦娥一号”携带了一台CCD摄像机，随着卫星的飞行，摄像机将对月表进行连续拍摄，拍摄不受日照的影响。要求在月球自转一周的时间里，将月球各处全部拍下来，摄像机拍摄到的月球表面赤道上的宽度至少是多少？ 17．（24-25高一下·江苏南通·月考）2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道。随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道。如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为。不考虑其它星体对飞船的影响，求： (1)飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比； (2)飞船在轨道Ⅰ的周期； (3)飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间。 18．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1发射一探测器，使其与月球同周期绕地球运动。地球和月球对在拉格朗日点L1上的探测器的万有引力不可忽略，而在拉格朗日点L1上的空探测器对地球和月球的万有引力可忽略不计。在拉格朗日点L1上的探测器可看作质点，地球和月球均可视作均匀的球体。 (1)若已知引力常量G、地球质量M1、月球质量未知、地心到月心的距离r、拉格朗日点到月心的距离d。求该探测器绕地球做圆周运动的线速度大小？ (2)若，求月球质量M2与地球质量M1的比值？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $