高频考点专练20 直角三角形（讲义+练习+测试）2026年中考数学一轮复习(广东专用)

高频考点专练20 直角三角形 （4个知识点+7个题型+1个专练+验收卷） 1．直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余． 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 3．直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形． 2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，若a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 4．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么． 5．勾股定理的证明方法： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 6.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边． 拓展：若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； 若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 类型1 含30°角的直角三角形 【例题】 1．（25-26八年级上�广东江门�月考）已知等腰三角形的底角是，腰长是，则其腰上的高是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】 2．（25-26八年级上�广东湛江�期末）如图，在中，，平分，交于点D．，，则点D到的距离是（    ） A．4 B．2 C．3 D．6 3．（25-26八年级上�广东汕尾�期末）如图，在中，，是高，，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．6 D．16 4．（25-26八年级上�广东广州�期末）如图，，P是的平分线上的一点，于点M，交于点N，若，则的长为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26八年级上�安徽合肥�期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（25-26八年级上�广东惠州�期末）如图，是等边三角形，是的角平分线，过点作于点；若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．（25-26八年级上�广东东莞�月考）如图，在中，，平分，交边上的高于点F．已知，则的长度是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 8．（25-26八年级上�广东东莞�期末）如图在四边形中，，则（    ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 9．（25-26八年级上�广东韶关�期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形．若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上�广东东莞�期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 类型2 斜边的中线等于斜边的一半 【例题】 11．（25-26九年级上�广东河源�期末）如图，在中，，点为的中点，若，则的长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式】 12．（25-26九年级上�广东佛山�期末）如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下�贵州铜仁�月考）如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级上�河北石家庄�期末）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 15．（24-25九年级上�广东佛山�期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 16．（25-26九年级上�广东河源�期末）如图，在中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 类型3 勾股树 （数）问题 【例题】 17．（25-26八年级上�江苏盐城�期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．6，8，10 D．4，5，6 【变式】 18．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为（    ）． A．16 B．256 C．32 D．64 19．（25-26九年级上�广东揭阳�月考）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·广东佛山·月考）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 …… …… …… x y 122 A．142 B．143 C．144 D．145 类型4 用勾股定理解三角形 【例题】 21．（24-25八年级上�广东梅州�期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【变式】 22．（25-26八年级上�广东河源�期末）如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上�广东深圳�期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为圆心，分别以为半径画弧交轴于点，则为（    ）    A． B． C． D． 24．（25-26九年级上�广东江门�月考）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（   ）． A． B． C． D． 25．（25-26八年级上�广东梅州�期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若，则图2中阴影部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 26．（2024�广东�二模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，交，于点M，N．已知，正方形的面积为，则图中非阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D．5 27．（25-26八年级上�广东梅州�期末）如图，在中，，点，，，P为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 28．（25-26八年级上�广东深圳�期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 类型5 求最短路径 【例题】 29．（2025�广东广州�二模）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 【变式】 30．（2025�广东�二模）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为______． 31．（2025�广东�三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 32．（2025�广东肇庆�三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 类型6 勾股定理与网格问题 【例题】 33．（24-25八年级下�广东惠州�期中）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式】 34．（23-24八年级下�广东广州�期中）如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级上�广东佛山�期末）如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 36．（2023�广东�中考真题）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：    (1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 类型7 勾股定理逆定理的实际应用 【例题】 37．（25-26八年级上�广东佛山�期末）如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．有一个角是直角的三角形是直角三角形 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【变式】 38．（25-26八年级上�广东河源�月考）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 39．（24-25八年级上�山西晋中�期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 40．（2024�广东清远�二模）综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 41．（24-25八年级下�广东东莞�期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 42．（24-25八年级上�甘肃兰州�期末）如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 43．（24-25八年级上�广东佛山�期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 44．（25-26八年级上�广东佛山�期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 满分：60分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共21分） 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 6．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共24分） 8．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 9．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 10．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ． 11．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 12．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 13．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    14．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 15．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ． 三、解答题（共45分） 16．（2025·吉林长春·中考真题，9分）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 17．（2025·西藏·中考真题，9分）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）． 18．（2025·江苏镇江·中考真题，9分）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 19．（2025·江西·中考真题，9分）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 20．（2025·江苏苏州·中考真题，9分）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 直角三角形验收卷 满分：120分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．在中，若，，，则下列条件能判定是直角三角形的是（   ） A．， B． C．，， D．，， 2．在校园科技节的户外实践活动中，小佳于倾斜角为的斜坡上，自点使用激光笔向点发射激光（激光传播路径记为），如图所示．已知线段的长度为，且地面处于水平状态，那么、两点间的竖直高度差为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 4．如图所示为某气象雷达监测图，规定：1个单位长度代表，以雷达站为原点，每隔画一个同心圆，并将每个圆周平均分为12个扇形区域（每个区域对应）．雷达发现两团雷雨云，分别位于点A和点B，那么A、B两团雷雨云之间的实际距离约为（   ） A． B． C． D． 5．如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（    ）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 6．如图是一张正方形方格纸，点A、B、C均在格点上，方格线上有，，，四个点，其中有一点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等，该点可能是（　　） A． B． C． D． 7．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 8．如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动，在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（　　）    A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大 9．在中，，按如图所示作图．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（每题3分，共15分） 11．如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 12．以下是小莹和小亮对家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为________． 13．定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为．如果中，，，那么边的高比系数______． 14．生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为__米（旋梯宽度忽略不计）． 15．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是_________． 三、解答题（共75分） 16．（9分）数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 17．（9分）爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强身体素质，计划要在道路上建立一个体育器材放置点，同时向，两栋教学楼提供器材．已知：到道路的距离，到道路的距离，，两地距离．现要求放置点到、两栋教学楼距离相等． (1)请利用圆规与直尺在直线上作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算器材放置点到处的距离． 18．（9分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 19．（9分）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 20．（9分）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 21．（10分）【问题背景】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）古今中外，勾股定理有很多证明方法，请你利用图3推导勾股定理； （2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_____个； 【拼图发现】 （3）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为，宽为的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 22．（10分）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 23．（10分）综合与探究 问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为． 猜想证明： （1）如图1，若，求证：． 拓展延伸： （2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长． （3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点专练20 直角三角形 （4个知识点+7个题型+1个专练+验收卷） 1．直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余． 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 3．直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形． 2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，若a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 4．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么． 5．勾股定理的证明方法： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 6.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边． 拓展：若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； 若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 类型1 含30°角的直角三角形 【例题】 1．（25-26八年级上�广东江门�月考）已知等腰三角形的底角是，腰长是，则其腰上的高是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形，关键是掌握直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半． 根据等腰三角形的性质可求得两底角的度数，从而可求得顶角的邻补角的度数为，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半即可求得腰上的高的长． 【详解】解：如图，等腰中，，， 过点作，交延长线于， ． 在中，． 故腰上的高为． 故选：C． 【变式】 2．（25-26八年级上�广东湛江�期末）如图，在中，，平分，交于点D．，，则点D到的距离是（    ） A．4 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和，含30度角的直角三角形，角平分线，点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 过点D作于点E，先求出，推导出，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，， ∴， ∵平分，交 于点D， ∴， ∴， ∴点D到的距离是4． 故选：A． 3．（25-26八年级上�广东汕尾�期末）如图，在中，，是高，，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．6 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了角直角三角形的性质，直角三角形的性质．根据直角三角形锐角互余得到，然后在和中运用角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上�广东广州�期末）如图，，P是的平分线上的一点，于点M，交于点N，若，则的长为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线、角平分线和含角的直角三角形的性质，根据角平分线的定理得到垂线段相等是解题的关键． 首先根据角平分线的定理得到，再根据平行线同位角相等得到进而结合角的直角三角形的性质，即可求解的长． 【详解】解：如图，作于点D， ∵P是的平分线上的一点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：C． 5．（25-26八年级上�安徽合肥�期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，等边对等角，求出，中垂线的性质，得到，进而得到，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，线段的和差关系求出的长． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 6．（25-26八年级上�广东惠州�期末）如图，是等边三角形，是的角平分线，过点作于点；若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半是解答的关键． 先根据等边三角形的性质得到，，，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 7．（25-26八年级上�广东东莞�月考）如图，在中，，平分，交边上的高于点F．已知，则的长度是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到，从而得出，再利用含30度角的直角三角形，得到，再证明是等边三角形，得到即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵平分， ， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 8．（25-26八年级上�广东东莞�期末）如图在四边形中，，则（    ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质． 延长交于点E，证明是直角三角形，由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵在四边形中，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 9．（25-26八年级上�广东韶关�期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形．若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及度角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图所示 为等边三角形， ，． ，， ． ． ． ． ， ． 、…均为等边三角形． ． ， ． ，． ，． ． 同理，， 以此类推：． 即的边长为． 故选：D． 10．（25-26八年级上�广东东莞�期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为（    ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，   ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键． 类型2 斜边的中线等于斜边的一半 【例题】 11．（25-26九年级上�广东河源�期末）如图，在中，，点为的中点，若，则的长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴． 故选：B． 【变式】 12．（25-26九年级上�广东佛山�期末）如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 13．（24-25八年级下�贵州铜仁�月考）如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】解：由题意可得：， 所以； 故选：D． 14．（22-23八年级上�河北石家庄�期末）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 15．（24-25九年级上�广东佛山�期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 16．（25-26九年级上�广东河源�期末）如图，在中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质．关键是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角关系，再结合垂直的性质逐步计算角度． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵是边上的中线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴在中，； ∴； 故选：A． 类型3 勾股树 （数）问题 【例题】 17．（25-26八年级上�江苏盐城�期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．6，8，10 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的含义．勾股数需满足两个条件：一是三个正整数；二是满足勾股定理 （其中 为最大数），据此分析即可． 【详解】解：选项A：，三者均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义． 选项C：6，8，10，均为正整数，验证得 ，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不是勾股数． 故选： C． 【变式】 18．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为（    ）． A．16 B．256 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和． 【详解】解：如图， 根据勾股定理知： ，，， ∴ ， 故选：B． 19．（25-26九年级上�广东揭阳�月考）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 20．（23-24八年级上·广东佛山·月考）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 …… …… …… x y 122 A．142 B．143 C．144 D．145 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【详解】解：由题可得，，，， ，，，（且n为正整数） 当时， 解得：， ，， ， 故选：A． 类型4 用勾股定理解三角形 【例题】 21．（24-25八年级上�广东梅州�期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 【变式】 22．（25-26八年级上�广东河源�期末）如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，勾股定理． 根据勾股定理求出的长，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为． ∴点D表示的数为． 故选：D． 23．（25-26八年级上�广东深圳�期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以为圆心，分别以为半径画弧交轴于点，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算，，再根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 24．（25-26九年级上�广东江门�月考）如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，根据正六边形的性质得出，即可证明是等边三角形，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，设正六边形的中心是，， ∴，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 25．（25-26八年级上�广东梅州�期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若，则图2中阴影部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键． 设，根据题意得出，得出阴影部分的面积为，代入求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴， ∴阴影部分的面积为2, 故选：B． 26．（2024�广东�二模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，交，于点M，N．已知，正方形的面积为，则图中非阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，以弦图为背景的计算题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积，再求出图中非阴影部分的面积之和． 【详解】解：， ， 设， 则， ∴， ， 根据题意可知： ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积之和为： ． ∴图中非阴影部分的面积之和为， 故选：A． 27．（25-26八年级上�广东梅州�期末）如图，在中，，点，，，P为上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理． 在轴正半轴上截取，连接，证明，可得，由两点之间线段最短可得，当点、、共线时，取得最小值，最小值为，作轴于点，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在轴正半轴上截取，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点、、共线时，取得最小值，最小值为， 作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 28．（25-26八年级上�广东深圳�期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 类型5 求最短路径 【例题】 29．（2025�广东广州�二模）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，平面展开-最短路径问题，简单组合体的三视图，关键是得到点M、N所在位置． 先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果． 【详解】解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的处，即处，如图， 所以所求的最短路径的长度为． 故选：D． 【变式】 30．（2025�广东�二模）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握用轴对称的性质解决线段最短问题，作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，再据此求解即可． 【详解】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点， 由轴对称性质可得，由平移的性质可得， 当三点共线时，的值最小， 此时，的值最小， 矩形中，，洞口M 位于的中点处， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 31．（2025�广东�三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物． (1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长． 【答案】(1)见解析 (2)最短矩离的长为 【分析】本题考查的知识点是尺规作图—垂直平分线、勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． （1）点即为侧面展开图中长的垂直平分线与长的交点，作垂直平分线找到点后，连接即可； （2）结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由题意知，，，， 在中，． 答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为． 32．（2025�广东肇庆�三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 类型6 勾股定理与网格问题 【例题】 33．（24-25八年级下�广东惠州�期中）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，连接，设小正方形的边长为x，根据勾股定理得，，，再根据勾股定理的逆定理，得，从而，由，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设图中每个小正方形的边长为x， ，，， ，， ， ， 由题意得，， ， ， ， 故选：B． 【变式】 34．（23-24八年级下�广东广州�期中）如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理． 在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，证明出是等腰直角三角形，继而可得出的度数． 【详解】解：如图，连接． 根据勾股定理可以得到：，， ，即， ∴， 是等腰直角三角形． ． 故选：B． 35．（23-24八年级上�广东佛山�期末）如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，共有6个格点使为直角三角形． 故选：B． 36．（2023�广东�中考真题）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：    (1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）和均是等腰直角三角形，； （2）证明是等腰直角三角形即可. 【详解】（1）解： （2）证明：连接，    设小正方形边长为1，则，， ， 为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， 故 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键． 类型7 勾股定理逆定理的实际应用 【例题】 37．（25-26八年级上�广东佛山�期末）如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形．其中蕴含的数学原理是（　　） A．两角互余的三角形是直角三角形 B．有一个角是直角的三角形是直角三角形 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：设相邻两个结的距离为m，则此三角形三边的长分别为 ， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D. 【变式】 38．（25-26八年级上�广东河源�月考）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用和三角形面积的计算，关键是根据三边关系确定直角三角形． 通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边为5千米和12千米， ∴面积（平方千米）． 故选：B． 39．（24-25八年级上�山西晋中�期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 40．（2024�广东清远�二模）综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用， （1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论； （2）在边上量一小段，在边上量一小段，这时只要量一下是否等于即可． 【详解】（1）解：垂直，理由为： 在中，因为，，， 所以， ， 所以， 所以． （2）解：在边上量一小段， 在边上量一小段，， 这时只要量一下是否等于即可． 41．（24-25八年级下�广东东莞�期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 42．（24-25八年级上�甘肃兰州�期末）如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的长为，BM的长为， ∴， ∴， ∴， ∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．（24-25八年级上�广东佛山�期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ， ， ， 是直角三角形； （2）解：的面积， ， ， ， 方案一所修的管道较短． 44．（25-26八年级上�广东佛山�期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）根据勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 在中，，，， ∴， ∴． ∴是直角三角形． （2）∵是直角三角形，在同一直线上， ∴， ∴． 即池塘两端，之间的距离为． 满分：60分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共21分） 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 6．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【详解】在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共24分） 8．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 9．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 10．（2025·四川成都·中考真题）正六边形的边长为1，则对角线的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，如解图，连接，求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出的度数，进而推出为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∵正六边形为轴对称图形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 11．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 12．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得，由垂线段最短可得，当时，有最小值，则此时点D为的中点，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴当时，点D为的中点， ∴此时， 故答案为：． 13．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 【详解】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    14．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)． 【答案】2 【分析】本题考查了圆柱的性质、圆的直径与周长关系以及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆柱内铅笔能放置的最大长度为以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边． 由点B坐标确定圆柱的高，根据圆柱侧面展开图的周长求出底面直径；利用勾股定理计算以底面直径和高为直角边的直角三角形的斜边长度，即笔筒内铅笔能放置的最大长度；用铅笔总长度减去该最大长度，得到露出部分的最小长度并保留整数． 【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度， ∵点坐标为， ∴，， ∴， ∵铅笔总长度为，即， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∵结果保留整数， ∴露出部分的最小长度约为． 故答案为：2． 15．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，进而得到，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：． 三、解答题（共45分） 16．（2025·吉林长春·中考真题，9分）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 17．（2025·西藏·中考真题，9分）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知，求四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了利用，，的特殊直角三角形拼接图形计算面积及勾股定理，需熟练掌握相关的知识点是解此题的关键．通过理解，，的特殊直角三角形的性质，并根据已知条件通过勾股定理求出对应的边长后再分别将两个三角形的面积求出之后即可得出四边形的面积． 【详解】解：由题意知，是底角为的等腰直角三角形，是带角的直角三角形， ∴，，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴ ， 即四边形的面积为． 18．（2025·江苏镇江·中考真题，9分）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 19．（2025·江西·中考真题，9分）图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（   ） A．越来越大    B．越来越小    C．先增大后减小 (2)当时，求的面积． 【答案】(1)①，；②C． (2) 【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答； （2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值． ∵，， ∴，即有最大值为． 故答案为：，． ②由特殊情况分析：点与点重合时，； 过没有点的限制，点与点重合时，； ∴面积的变化情况是先增大后减小． 故选：C． （2）解：如图2，过N作延长线于G 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键． 20．（2025·江苏苏州·中考真题，9分）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 【答案】(1)55 (2) (3)或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用直角三角形斜边中线的性质求得，得到，，推出，，分当点Q在上和点Q在上时，两种情况讨论，分别求得，，据此求解即可； （3）根据题意求得，分当点Q在上和点Q在上时两种情况讨论，列式一元一次方程方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴机器人乙运动的路线长为， 故答案为：55； （2）解：根据题意，得， ∵中，，为中点， ∴， ∴，， ∴，， 当点Q在上时，， ∴，解得， 当点Q在上时，作，垂足为H（如图）， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当时，， 此时，， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时，由，得， 解得． 当点Q在上时，由，得， 解得． ∴或． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 直角三角形验收卷 满分：120分 得分：_____ 一、单选题（每题3分，共30分） 1．在中，若，，，则下列条件能判定是直角三角形的是（   ） A．， B． C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，三角形三边的关系，逐项判断即可解答． 【详解】解：A 、，，， ， 是锐角三角形，故A选项不符合题意； B、当时，设，，， 则， 是直角三角形，故B选项符合题意； C、，，， ，， ， 不是直角三角形，故C选项不符合题意； D、，，， ， 、、不能构成三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．在校园科技节的户外实践活动中，小佳于倾斜角为的斜坡上，自点使用激光笔向点发射激光（激光传播路径记为），如图所示．已知线段的长度为，且地面处于水平状态，那么、两点间的竖直高度差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，解决问题的关键是灵活运用此定理求线段长． 根据含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：在中，，，， 则． 故选：B． 3．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 4．如图所示为某气象雷达监测图，规定：1个单位长度代表，以雷达站为原点，每隔画一个同心圆，并将每个圆周平均分为12个扇形区域（每个区域对应）．雷达发现两团雷雨云，分别位于点A和点B，那么A、B两团雷雨云之间的实际距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据雷达监测图得到，，，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，，， ∴， 故选：C． 5．如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（    ）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理解三角形，理解方位角的定义，准确建立直角三角形，熟练运用勾股定理是解题关键．由题意，首先确定出直角三角形，以及两直角边长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，即为直角三角形， 两小时后，（海里），（海里）， ∴在中，（海里）， ∴此时两轮船相距40海里． 故选：B． 6．如图是一张正方形方格纸，点A、B、C均在格点上，方格线上有，，，四个点，其中有一点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等，该点可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点D，E，F，连接，得，再求出，可得在的垂直平分线上，证明得，可得在的角平分线上，进而可得结论． 【详解】解：如图，取格点D，E，F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在的垂直平分线上，即到点A，B的距离相等． ∵， ∴， ∴， ∴在的角平分线上，即到两边的距离相等． 综上可知，点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等． 7．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 8．如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动，在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（　　）    A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大 【答案】C 【分析】过点A作直线l，根据勾股定理表示出的长，从而表示出的长，在转动过程中，先变小再变大，根据固定不变，于是先变小再变大，从而得出先变大再变小． 【详解】解：过点A作直线l，垂足为H，设与直线l交于点E，   点A和直线l的位置固定， 点A到直线l的距离不变，即的长不变， 设直线l下方木条长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ，且，在转动过程中长度始终不变， ①当木条从点B往H点方向转动时，不断减小， 则不断减小，即AE不断减小， 所以不断变大； ②当木条从H点往C点方向转动时，不断增大， 则不断增大，即不断增大， 所以不断变小； 综上，木条从B点转动到C点的过程中，在直线l下方木条的长度先变大再变小． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在转动过程中，长度始终不变，观察出的变化，从而得出的变化是解题的关键． 9．在中，，按如图所示作图．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，根据作图可得是的中点，，进而得出，则，根据得出，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得是的中点， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：C． 10．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按不同方法将长方体盒子展开成平面图形，再用勾股定理求得装饰条的长度，比较大小即可求得装饰条的最小长度；用勾股定理可得最大长度． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：          ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， 在中，， ∵， ∴装饰条的最小长度为； 如图：， ， 又 ∵， 在中，， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 二、填空题（每题3分，共15分） 11．如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 【答案】/ 【分析】本题根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是． 12．以下是小莹和小亮对家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为________． 【答案】北偏西方向，距小亮家米 【分析】本题主要考查了利用方位角、距离确定位置、直角三角形的性质，设小莹家为点，学校为点，图书馆为点，小亮家为点，过点作轴，连接，根据点是的中点，可知米，根据等腰三角形的三线合一定理可知，从而可得图书馆在小亮家北偏西，距离米处． 【详解】解：如下图所示，设小莹家为点，学校为点，图书馆为点，小亮家为点， 学校在的北偏东方向，距离米， ， 过点作轴，连接， ， 学校在图书馆的正东方向， 轴， ， 点是的中点， 米， 是的垂直平分线， ， 图书馆在小亮家北偏西，距离米处． 故答案为：北偏西方向，距离米． 13．定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为．如果中，，，那么边的高比系数______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分母有理化，为的高，由等腰三角形的性质得到，，由直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，最后得到边的高比系数． 【详解】解：如图，为的高， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴边的高比系数， 故答案为：． 14．生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为__米（旋梯宽度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、平移的性质等知识点，灵活运用勾股定理是解题的关键． 如图，此时B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，，，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值，再利用勾股定理求出的长，进而完成解答． 【详解】解：如图，B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，由题意可得：米， 将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，则，， 所以旋梯底部A到顶部B的扶手长度 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值， ∵油罐底面圆半径约为米，高为12米， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴旋梯的扶手长度的最小值为米． 故答案为：． 15．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，与轴重合，与轴重合，为上点，沿折叠矩形使得点落在上，且知，则点坐标是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形．在直角中利用勾股定理即可求得的长，则、的横坐标可以求得，则点的纵坐标就是点的纵坐标，由此得出点的坐标；设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，从而求得的纵坐标． 【详解】解：在直角中，， 则，即、的横坐标是， 则点坐标为； 设，则， 在直角中，， ， 则， 解得：． 故的坐标是． 三、解答题（共75分） 16．（9分）数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． （1）利用网格特征画出图形即可； （2）设小正方形的边长为，利用网格特征，根据勾股定理分别求出，，的长，利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：设小正方形的边长为， 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形； 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形． 17．（9分）爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强身体素质，计划要在道路上建立一个体育器材放置点，同时向，两栋教学楼提供器材．已知：到道路的距离，到道路的距离，，两地距离．现要求放置点到、两栋教学楼距离相等． (1)请利用圆规与直尺在直线上作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算器材放置点到处的距离． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）连接，作线段的垂直平分线交于点连接，点E即为所求； （2）设,根据，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求． （2）设， ， ， ， ， ， 点到处的距离． 18．（9分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算． （1）利用题干给出的海伦公式即可求解； （2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答． 【详解】（1）解：选择海伦提出的公式， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图 ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 即：， ∴该四边形的面积． 19．（9分）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 20．（9分）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 21．（10分）【问题背景】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）古今中外，勾股定理有很多证明方法，请你利用图3推导勾股定理； （2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_____个； 【拼图发现】 （3）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为，宽为的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）每个小长方形纸片的对角线长为． 【分析】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识； （1）根据面积法即可证明勾股定理； （2）设面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为；根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （3）根据大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，得到，，求得，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即， 化简得：； （2）三个图形中面积关系满足的有3个； 设直角三角形两直角边中，较短的边长为，较长的边长为，直角三角形的斜边的边长为； 根据题意得：， 如图4： ，， ∴； 如图5： ，，， ∵， ∴； 如图6： ，，， ∵， ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个； 故答案为：3； （3）解：大正方形的面积为32，小正方形的面积为8， ∴，， ∴， ， 每个小长方形纸片的对角线长． 22．（10分）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 23．（10分）综合与探究 问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为． 猜想证明： （1）如图1，若，求证：． 拓展延伸： （2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长． （3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）平移的距离为6或10 【分析】（1）证明得出，然后结合三角形外角的性质求解即可； （2）过点作于点，在上取一点，使得，根据旋转的性质、等边对等角等知识可求出，根据三线合一的性质、线段垂直平分线的性质可得出，，则，，进而求出，根据等腰三角形的判定与性质得出，，进而求出，设，则，，则，即可求解； （3）分和两种情况讨论，根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）证明：由等边知，，． ， ， ． ， ． （2）如图，过点作于点，在上取一点，使得． 旋转， ，， ． 为的中点， ，， ，， ， ，． ， ， ． 设，则，， ，解得， ． （3）平移的距离为6或10． 由题意可知，是等边三角形． 由平移的性质可得， 如图，当时， ． ， ， ． 是的中点， ， ； 如图，当时，令与的交点为． ， ， ，， ． 综上所述，平移的距离为6或10． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $