精品解析：黑龙江省大庆第一中学2025-2026学年高一下学期开学验收考试数学试题

大庆一中2025级高一年级下学期开学验收考试 数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（本题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，已知命题，命题．则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数对任意的都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题包括3个小题，每小题6分，共18分，每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将正确选项填涂在答题卡上） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 扇形半径为2，圆心角弧度数为，则扇形面积为 D. 函数的值域为 10. 如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（ ） A. B. 该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟 C. D. 该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米 11. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 的周期为4 B. C. 的所有零点之和为14 D. 三、填空题（本题包括3个小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填在答题卡中横线上） 12. 已知都是锐角，，则___________. 13. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是________. 14. 已知 ，关于的方程有6个根，则m的取值范围为________ 四、解答题（本题共5题，共77分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 16. 某药物研究所发现，病人在服用某种药物1g后，血液中药物的含量y（单位：g）在0-6小时内随时间x（单位：h）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数来近似地刻画y随x变化的规律：当时，可选择用函数（a为常数）来近似地刻画y随x变化的规律. （1）当时，求这段曲线的函数解析式； （2）如果该药物在病人血液中的含量保持在0.4g以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物1g，持续有疗效时长约为多少小时？ （参考数据：） 17. 已知函数，是奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断并用定义证明在区间上的单调性； （3）若，求实数m取值范围. 18. 已知函数. （1）求函数的单调增区间和对称轴方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若，求. 19. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，. （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆一中2025级高一年级下学期开学验收考试 数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（本题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简，根据并集定义求，再结合补集定义求结论. 【详解】依题意，全集， 又，， 所以， 所以. 故选：C. 2. 设，已知命题，命题．则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 由，得，即， 由于集合是集合的真子集， 故是的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法判断得，再利用角的范围判断得余弦值的符号，从而进行判断即可. 【详解】， ； ， ； ， ，即； . 故选：A. 4. 已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象得函数的定义域与奇偶性后判断即可. 【详解】由图象知，的定义域为，关于轴对称，为偶函数， 对于A，的定义域为，故A错误； 对于B，当，定义域为， ，故是奇函数，故B错误； 对于C，当，定义域为， ，故是奇函数，故C错误； 对于D，，定义域为， ，故是偶函数，故D正确， 故选：D. 5. 已知函数对任意的都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知在上严格单调递增，再结合对数函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】对任意的都有， 可知函数在上严格单调递增，故在上单调递增，则， 由函数开口向下，对称轴为，则可知，则， 且，解之可得， 综上所述可知. 故选： 6. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方关系由结合已知角的范围求出的值，再代入二倍角公式和和角公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 因为，所以， 所以. 则. 故选：A. 7. 若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的单调区间，由奇函数性质分段求解不等式即可得出答案. 【详解】在R上的奇函数在上单调递减，则在上单调递减，且， ，当时，，当时，， 由，得或或， 解得或或，因此或， 所以满足的的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象，求出函数解析式，再结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案． 【详解】由图象可知：，， 由，又，所以. 所以， 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由，，， 所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误． 故选：B． 二、多选题（本题包括3个小题，每小题6分，共18分，每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将正确选项填涂在答题卡上） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 扇形的半径为2，圆心角弧度数为，则扇形面积为 D. 函数的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：举反例可判断；对于B：利用三角函数运算法则计算即可；对于C：利用扇形面积公式即可；对于D：利用复合函数单调性法则计算即可. 【详解】选项A：若，取，则，，， 有，即，与结论矛盾，故A错误； 选项B：，，， ，等式成立，故B正确； 选项C：扇形的半径，圆心角， 则扇形面积，故C正确； 选项D：令，， 函数在上单调递减， 故，且时， 所以的值域为，而非，故D错误. 10. 如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（ ） A. B. 该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟 C. D. 该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米 【答案】BCD 【解析】 【分析】由即可求出，结合周期，即可求解. 【详解】依题知，则， 因为，所以，A错误； 由，则周期为， 则该摩天轮转动一周需30分钟，B正确； ，由， 可得，故座舱距离地面的最大高度为，CD正确. 故选：BCD 11. 已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 的周期为4 B. C. 的所有零点之和为14 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为是定义在R上的奇函数，所以. 因为为偶函数，所以. 用代替可得：，即. 结合，可得. 再用代替，则，所以有. 所以的周期为4，A正确； 因为，令，则. 令，得. 因为当时，，所以. 所以，又， 所以， 所以，B错误； 对于C，令，所以. 由于关于中心对称，关于轴对称，可得关于中心对称， 由于关于中心对称，则的交点关于中心对称， 画出图像可得，1个交点为，另外3组交点关于中心对称， 则其和为，C正确； 对于D，由于周期为，周期为4， 画出1个周期的图像可得，成立，D正确. 三、填空题（本题包括3个小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填在答题卡中横线上） 12. 已知都是锐角，，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求. 【详解】、为锐角， ， ， 由于为锐角， 故答案为： 13. 函数在上单调递减，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数单调性法则“同增异减”，可得答案. 【详解】令，， 外层函数是减函数， 要使函数在上单调递减， 因此内层函数必须在上单调递增， 且满足恒成立， 即，解得：. 因此实数a的取值范围是. 14. 已知 ，关于的方程有6个根，则m的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共5题，共77分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据题意，可转换成一元二次不等式解集为，所以即可。 (2) 不等式对任意恒成立，分离常数转化成恒成立问题，只用即可，利用基本不等式可求. 【小问1详解】 由不等式的解集为，得解集为， 即解集为，可得，即， 解得，故的取值范围是. 【小问2详解】 由不等式对任意恒成立， ，即对任意恒成立， 即对任意恒成立. ， ； 当且仅当，即时取等号. ，故的取值范围是. 16. 某药物研究所发现，病人在服用某种药物1g后，血液中药物的含量y（单位：g）在0-6小时内随时间x（单位：h）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数来近似地刻画y随x变化的规律：当时，可选择用函数（a为常数）来近似地刻画y随x变化的规律. （1）当时，求这段曲线的函数解析式； （2）如果该药物在病人血液中的含量保持在0.4g以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物1g，持续有疗效时长约为多少小时？ （参考数据：） 【答案】（1） （2）3.5 【解析】 【分析】（1）由余弦函数的周期和点在指数函数上代入可得； （2）结合题意，由对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 由题意知，当时，函数的最大值为，最小值为0 所以函数的周期为2，所以， 当时，函数过点，代入得. 所求曲线的函数解析式为 【小问2详解】 当时，令，解得. 当时，令，两边同时取常用对数得：， ，由于，故， 综上可得当服药时间满足时，该药物在病人血液中的含量保持在0.4g以上，故， 故病人一次性服用药物1g，持续有疗效时长约为3.50小时. 17. 已知函数，是奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断并用定义证明在区间上的单调性； （3）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由以及定义域关于原点对称，求出a，b的值并验证，进而求出的解析式. （2）借助指数函数单调性判断单调性，再利用增函数的定义证明即可. （3）由奇函数化不等式为，再利用单调性和定义域列出关于的不等式求解. 【小问1详解】 由函数，是奇函数， 故，故， 又，则， 故， ，函数是在上的奇函数， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，函数在上单调递减， 且，则， 由，得，， 则，即， 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 不等式恒成立，即， 又函数在上单调递减，因此，解得， 所以实数的取值范围为 18. 已知函数. （1）求函数的单调增区间和对称轴方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若，求. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再由三角函数的性质即可求解； （2）由得，进而求的最大值和最小值； （3）由得，再由，最后结合二倍角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为， 令，解得； 【小问2详解】 由得， 所以当时，即时，， 当时，即时，， 所以最大值为，最小值为； 【小问3详解】 由题意得：， 所以， 所以 ， 所以 19. 对于函数，若，则称实数为函数不动点，设函数，. （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，化简得到，即可求解； （2）根据题意，将方程，化简得到，利用换元法和对勾函数的性质，即可求解； （3）根据题意，将不等式化为，利用指数函数的单调性，得到，分类参数转化为在上恒成立，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，方程，即为， 即，可得， 解得或，可得或， 所以函数的不动点为和. 【小问2详解】 解：由方程，可得， 即，可得，即为， 令，当时，可得， 因为函数在区间上存在两个不动点， 可得关于的方程在上有两个不等的实数根， 令，可得在单调递减，在单调递增， 且， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：不等式，可化为， 由函数在上单调递减函数， 可得， 因对任意，不等式恒成立， 即对任意，不等式，即， 可得，即为， 所以在上恒成立， 令，当时，可得， 由题意得，对任意，不等式恒成立， 函数在上为单调递增函数，所以， 函数在上为单调递减函数，所以， 所以，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $