1.3.2 等比数列的前n项和（1）一课一练-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 第三节 等比数列 课时2 等比数列的前n项和（1） 【一课一练】 教材必备知识精练 知识点1 等比数列的前 项和公式 4年7考 1.已知等比数列中，,,前项和，则 ( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案：D 【解析】 由等比数列前项和公式，知,得 ，故选D. 2. ( ) A. B. C. D. 【解析】 3,,,， ，构成公比为 的等比数列. （已知和 ,可优先用公式.） 【归纳总结】 等比数列的前 项和公式有两个，其中应用较多，而公式 往往会被忽视.恰当使用第二个公式可以避免确定项数. 3.已知为等比数列，为其前项和，若，，则 ( ) A.7 B.8 C.15 D.31 答案：C 【解析】 设等比数列的公比为，则 ，所以，所以.又，即，且 ，所以.所以 . 4.[2025湖南株洲期末]记等比数列的前项和为 ，若，则 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案：C 【解析】由求当时，;当 时， ，因为数列 是等比数列，所以 ，解得，所以 .（等比数列前 项和公式的变形） 【归纳总结】 若等比数列的公比为,前项和为 ，则，记，则 .当时，是关于 的指数型函数. 5.已知等比数列的前项和为，且满足,，则 ( ) A.9 B.16 C. D. 【解析】 设等比数列的公比为,，若，则 ，则,,，所以，所以 ，即，所以, ，所以 .（ 整体思想.）故选B. 6.《九章算术》是中国古代的一部重要数学专著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？”题意为：“有一堵墙厚5尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进1尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.问几日相逢？”现有一堵墙厚16尺，则两鼠相逢时，经过的天数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 【解析】 根据题意，大老鼠每天打进的长度构成首项为1，公比为2的等比数列，设该数列为，前项和为 ，小老鼠每天打进的长度构成首项为1，公比为的等比数列，设该数列为，前项和为 ，则， .由 ，得，又 ，所以 ，故选B. 7.【易错题】设为等比数列的前项和.已知，，则公比 _______. 答案：1或 【解析】 ①当（易忽略.）时， ，满足条件.② 当时，有解得综上，或 . 8.在14与之间插入个数组成一个等比数列，若此数列的所有项的和为 ，则其项数为__. 【解析】 设此数列的公比为，则得 故此数列共有5项. 知识点2 等比数列前 项和公式的推导方法（错位相减法）的应用 4年4考 9.若，数列的前项和为，则 ( ) A. B. C. D. 答案：B 【解析】 因为 ，（ 若数列为等差数列与等比数列相乘或相除的形式，常用错位相减法求和.）所以 ， ，两式相减得 ，得 ，所以,所以 . 10.已知数列的通项公式为 ，定义函数是数列 的“生成函数”，则 ( ) A. B. C. D. 答案：D 【解析】 ，则 ，所以 ，所以 . 11.已知数列的前项和为， . （1）求数列 的通项公式； 【解析】 因为 ， ① 所以当时， ， ② 得 ， 当时， ，符合上式，所以 . （2）求数列的前项和 . 【解析】 令，则 ， 故 ， ， 两式相减得， ， 故 . 学科关键能力构建 1.[2025四川成都模考]已知是等比数列，, ，则 ( ) A. B. C. D. 答案：C 【解析】 设等比数列的公比为.由,可得 ，所以，所以 ，所以，所以 是首项为2，公比为4的等比数列，（ 也可直接由等比数列的性质得.）所以 . 2.[2025广东学情联合检测]已知正项等比数列的前项和为 ，若,，则 ( ) A.15 B.31 C.63 D.127 答案：C 【解析】 ①， ②，由①②解得（负值舍去），则由,得数列的公比为2， ，故 .故选C. 3.在等比数列中， ，，则 ( ) A. B. C.5 D.1 答案：C 【解析】 设数列的公比为，则由题意知 ，则 两式相除（ 观察方程组，两式相除可减少计算量.） 得，所以 ， 故选C. 4.【教材3.2例8变式】在等腰直角三角形中，，，以 为斜边作等腰直角三角形，再以为斜边作等腰直角三角形 ，依次类推，记的面积为，依次所得三角形的面积分别为，，. 若，则 ( ) A.2 B. C.3 D.4 答案：B 【解析】 由题知，，， ， ，所以，又 ， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列，所以 ，所以 . 5.已知数列满足，.若数列 是公比为2的等比数列，则 ( ) A. B. C. D. 【解析】 依题意得，，，当 时， ，则，所以 （累加法.） .故选A. 6.【新情境】某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中某序列，，，重新编辑，编辑新序列为，，， ，它的第项为，若序列的所有项都是1，且， ，记数列的前项和、前项积分别为，，若，则 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案：B 【解析】 因为，，，，，，， ，所以，，，.又序列的所有项都是1，所以它的第 项为，所以，所以数列是等比数列，又 ，，所以公比，，所以 ， ， .要使，即，即，即 ，解得，所以 的最小值为4. 7.（多选）已知数列满足 ，数列满足，数列满足 ，则( ) A. B.数列 为等比数列 C.数列的前项和为 D. 答案：AD 【解析】 ，当 时，，两式相减可得 ，所以，当时，，不满足上式，所以 故A正确，B错误；对于C，因为，则数列 为等比数列，,公比为，所以其前项和 ，故C错误；对于D，当时， （ 由此形式考虑裂项.）， 则 ，故D正确. 8.[2025山东济南期末]从数列 的前100项中，选出不同的3项，使其从小到大排列后，构成等比数列，则共有_______种选法，所有符合要求的选法得到的递增等比数列的公比之和为__________. 答案：2450 【解析】 若从数列2，， ， 中取连续的3项，则可以为，， ， ，共有98种选法，公比均为2；若间隔1项取，则可以为，， ， ，共有96种选法，公比均为；若间隔2项取，则可以为 ， ，， ，共有94种选法，公比均为 ；……；若间隔48项取，则可以为， ，共有2种选法，公比均为.共有 种选法，所有符合要求的选法得到的递增等比数列的公比之和为 ①，则 ②，可得，所以 . 9.［2025山东济宁市实验中学调研］已知等差数列的前项和为 ，，数列满足且 ，设 . （1）求 的通项公式； 【解析】 设等差数列的公差为 ， 由，可得 ， 即，解得 ， 由，可得 ， 所以 . （2）证明： ； 【解析】 因为 所以 ， ， 所以 . （3）设，求数列的前项和 . 【解析】 由（2）可知 ， 因为 ， 所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 则 ， 两式相减，可得 ， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $高二下册北师大版数学选择性必修第二册 第1章 数列 第三节 等比数列 课时2 等比数列的前n项和（1） 【一课一练】 教材必备知识精练 知识点1 等比数列的前 项和公式 4年7考 1.已知等比数列中，,,前项和，则 ( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案：D 2. ( ) A. B. C. D. （已知和 ,可优先用公式.） 3.已知为等比数列，为其前项和，若，，则 ( ) A.7 B.8 C.15 D.31 4.[2025湖南株洲期末]记等比数列的前项和为 ，若，则 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 5.已知等比数列的前项和为，且满足,，则 ( ) A.9 B.16 C. D. 6.《九章算术》是中国古代的一部重要数学专著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？”题意为：“有一堵墙厚5尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进1尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.问几日相逢？”现有一堵墙厚16尺，则两鼠相逢时，经过的天数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.【易错题】设为等比数列的前项和.已知，，则公比 _______. 8.在14与之间插入个数组成一个等比数列，若此数列的所有项的和为 ，则其项数为__. 知识点2 等比数列前 项和公式的推导方法（错位相减法）的应用 4年4考 9.若，数列的前项和为，则 ( ) A. B. C. D. 10.已知数列的通项公式为 ，定义函数是数列 的“生成函数”，则 ( ) A. B. C. D. 11.已知数列的前项和为， . （1）求数列 的通项公式； （2）求数列的前项和 . 学科关键能力构建 1.[2025四川成都模考]已知是等比数列，, ，则 ( ) A. B. C. D. 2.[2025广东学情联合检测]已知正项等比数列的前项和为 ，若,，则 ( ) A.15 B.31 C.63 D.127 3.在等比数列中， ，，则 ( ) A. B. C.5 D.1 4.【教材3.2例8变式】在等腰直角三角形中，，，以 为斜边作等腰直角三角形，再以为斜边作等腰直角三角形 ，依次类推，记的面积为，依次所得三角形的面积分别为，，. 若，则 ( ) A.2 B. C.3 D.4 5.已知数列满足，.若数列 是公比为2的等比数列，则 ( ) A. B. C. D. 6.【新情境】某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中某序列，，，重新编辑，编辑新序列为，，， ，它的第项为，若序列的所有项都是1，且， ，记数列的前项和、前项积分别为，，若，则 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 7.（多选）已知数列满足 ，数列满足，数列满足 ，则( ) A. B.数列 为等比数列 C.数列的前项和为 D. 8.[2025山东济南期末]从数列 的前100项中，选出不同的3项，使其从小到大排列后，构成等比数列，则共有_______种选法，所有符合要求的选法得到的递增等比数列的公比之和为__________. 9.［2025山东济宁市实验中学调研］已知等差数列的前项和为 ，，数列满足且 ，设 . （1）求 的通项公式； （2）证明： ； （3）设，求数列的前项和 . 学科网（北京）股份有限公司 $