第10讲 万有引力定律【5大考点+5大题型】-2025-2026学年高一下学期物理《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教版必修第二册)

本讲义聚焦万有引力定律核心知识点，系统梳理定律内容、公式（F=Gm₁m₂/r²）及引力常量G的测定，详解万有引力的普遍性、相互性等特性，分析重力与纬度、高度的关系，构建从定律到应用的完整学习支架。 资料通过例题与举一反三结合科学史（开普勒、牛顿、卡文迪许）及实验（扭秤实验）设计，培养科学思维（模型建构、科学推理）与科学探究能力。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，有效查漏补缺。

第10讲 万有引力定律 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点一．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比． (2)公式：F＝G. 3．符号意义 (1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 知识点二．万有引力的四个特性 特性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 知识点三．万有引力的效果 万有引力F＝G的效果有两个，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力Fn＝mrω2，如图所示，重力是万有引力的一个分力． 1．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大． (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2. (2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G. (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心． 2．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G，若距离地面的高度为h，则mg＝G(R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小． 【题型归纳】 题型一：万有引力定律的理解 【例1】．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）某校天文社成员在校园天文台观测太阳系行星运动，结合万有引力定律相关科学史，下列说法正确的是（　　） A．开普勒通过分析第谷的观测数据，直接推导得出万有引力定律 B．牛顿在研究天体运动时，将行星的椭圆轨道近似为圆轨道，结合开普勒定律与牛顿运动定律，推导出太阳与行星间的引力规律 C．开普勒第三定律中的比值k，与行星的质量有关，与中心天体的质量无关 D．第谷通过扭秤实验测出引力常量G，从而证明了太阳与行星间引力的存在 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）关于万有引力和万有引力定律的理解，正确的是（    ） A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知，两物体间距离减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且约等于 2．（24-25高一下·四川遂宁·期末）下列有关万有引力定律说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，并利用扭秤实验测出了引力常量G B．由万有引力定律公式可知，当时， C．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们间的万有引力将变为原来的 D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的 3．（24-25高一下·河南·期末）万有引力定律公式是结合行星运动的规律以及圆周运动的知识推导而得出，关于该公式的理解，下列说法正确的是（　　） A．该公式只适用于天体之间引力的计算 B．若两物体之间的距离趋近于零，则两物体间的万有引力趋近于无穷大 C．若、、同时加倍，则两物体间的万有引力也加倍 D．任何两物体间都存在万有引力，但不一定都能用公式计算 题型二：万有引力常量的G的测定 【例2】．（24-25高一下·广西南宁·月考）2024年5月，嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场成功发射，并准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。已知地球质量大约是月球质量的81倍，在嫦娥六号探测器经过地月之间某一位置时，月球对它的引力大小是地球对它的引力大小的9倍，则该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（　　） A．1∶3 B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 【举一反三】 1．（24-25高一下·安徽宿州·期中）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，并成功进入预定轨道。若神舟十九号载人飞船的质量为m，在轨道上运行时离地球表面的高度为h，地球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则地球对神舟十九号载人飞船的万有引力的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西南宁·期末）2025年4月27日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将天链二号05星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若卫星的质量为，卫星在圆轨道上运行时所受地球的万有引力大小为，地球的质量为，地球的半径为，引力常量为，则卫星运行时距地球表面的高度为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）两个小球的间距为r时，它们之间的万有引力为F。下列说法正确的是（    ） A．仅将其中一个小球的质量变为2倍，它们之间的万有引力变为F B．仅将间距变为2倍时，它们之间的万有引力变为 C．将两个小球的质量都变为2倍，间距也变为2倍，它们之间的万有引力仍为F D．将两个小球质量变为2倍，间距变为倍，它们之间的万有引力变为8F 题型三：万有引力的计算 【例3】．（24-25高一下·河北石家庄·期中）卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G。 (1)为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是_____。 A．利用平面镜对光线的反射 B．增大T形架横梁的长度 C．增大刻度尺与平面镜的距离 D．减小石英丝的直径 (2)若实验中不慎将两对大铅球与小铅球之间的中心距离增大为原来的2倍，但实验者未察觉，测得的G值将_____。 A．变为原来的四分之一 B．变为原来的二分之一 C．保持不变 D．变为原来的四倍 【举一反三】 1．（24-25高一下·四川广元·月考）在物理学中，常常用等效替代法、类比法、微小量放大法等来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了引力常量的数值。由的数值及其他已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为“第一个称量地球的人”。如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。 (1)若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为、，且球心相距为的两个小球之间引力的大小为，则引力常量________；计算的引力常量________（填写国际单位）。 (2)为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是________ A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架横梁的长度 2．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）卡文迪许利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量： (1)横梁一端固定有一质量为m的均匀铅球A，旁边有一质量为m'的均匀铅球B，A、B两球球心的距离L，已知引力常量为G，则A、B两球间的万有引力大小为F=_________。 (2)在下图所示的几个实验中，与“卡文迪许扭秤实验”中测量微小量的思想方法最相近的是__________。（选填“甲”“乙”或“丙”） 3．（24-25高一下·湖南郴州·期末）牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量G的值。这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来。卡文迪什巧妙地利用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较准确地测出了引力常量G的值，即___________（选填“”或“”）。卡文迪什的实验涉及的物理思想方法是___________（选填“等效替代法”或“微量放大法”）。 题型四：空壳内的万有引力的计算 【例4】．（25-26高二上·安徽·开学考试）如图所示，有一质量分布均匀、半径为R的球形物体，一可视为质点的小球放在距离球形物体球心O点3R处。在小球和物体球心的连线上紧靠球形物体的最左侧挖走一半径为的球，则剩余的阴影部分对小球的万有引力与挖走前球形物体对小球万有引力的比值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）如图所示，质量为M、半径为R的均匀球体，在距离球心3R处有一质量为m的质点。现从球体中挖去一个半径为的小球，其球心与原球心相距。已知引力常量为G，质点、两球球心三者共线，则剩余部分对质点的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，两者之间的万有引力大小为。现从球体中挖去一个半径为的小球体，如图所示，剩余球体部分对质点的万有引力大小为，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京·期中）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 题型五：万有引力的综合问题 【例5】．（24-25高一下·山东·阶段练习）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，已知球体的体积，引力常量为G。 (1)求m对M的万有引力大小； (2)现从M中挖去半径为的球体（两球心和质点在同一直线上，且两球表面相切），如图所示，求： ①剩余部分的质量； ②剩余部分对m的万有引力大小。 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个质量均匀分布的球体，半径为，在其内部挖去一个半径为的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为，在球心和空穴中心连线上，距球心处有一质量为的质点。已知万有引力常量为，球的体积与半径关系为，求： (1)被挖去的小球对的万有引力为多大？ (2)剩余部分对的万有引力为多大？ 2．（22-23高一下·四川成都·期末）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，求： （1）m对M的万有引力大小； （2）现从M中挖去半径为的球体，（两球心和质点在同一直线上，且两球表面相切）如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小。    3．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，有一质量为M、半径为R、球心为O、密度均匀的球体，距球体表面R处有一质量为的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为（未知），从球O中挖去一半径为的球体后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：。求： (1)质点Q在距球心2R的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小； (2)如图所示，若质点Q在空腔中任意一位置P时，它所受球壳A的万有引力大小。 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·单元测试）关于万有引力定律，下列说法正确的是（　　） A．卡文迪什提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值 B．万有引力定律只适用于天体之间 C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的 2．（24-25高一下·天津滨海新·期中）下列说法符合事实的是（　　） A．关于开普勒第三定律公式 式中的k值，对所有行星和卫星都相等 B．开普勒通过对第谷的观测数据的分析中发现了万有引力定律 C．牛顿发现了万有引力定律并测出了引力常量G D．卡文迪什通过扭秤实验第一次精确测出了引力常量的数值 3．（25-26高三上·江苏南通·期中）如图所示是卡文迪什测量引力常量所用的扭秤装置，已知反射光线在刻度尺上移动的距离与小球m、间的引力大小成正比。现将小球的质量增加为原来的两倍，m、间的距离减小为原来的一半，则反射光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的（     ） A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．倍 4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）中国科学家在万有引力常量G测量方面的最新进展是由中科院院士罗俊团队取得的。他们使用了两种独立的测量方法：扭秤周期法（TOS）和扭秤角加速度反馈法（AAF），得到了两个结果：和，相对精度大约为11.6ppm。这项成果被发表在《自然》杂志上，被认为是“精确测量领域卓越工艺的典范”，下列选项中不是万有引力常量G的单位的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西抚州·期末）下列关于万有引力定律说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什测得了引力常量 B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 C．根据表达式可知，当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 D．根据表达式得，由此可知引力常量与、、、有关 6．（24-25高一下·广西贵港·月考）有一质量为2m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m1的质点。现从2m的大球体中挖去半径为的小球体，如图所示，则剩余部分对质点m1的万有引力为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，是一个半径为，质量为M的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为R的球，并在空心球内某点P放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常量G，则球剩余部分对该质点的万有引力（　　） A．方向由P点指向 B．方向由指向 C．大小为 D．大小为 二、多选题 8．（25-26高二上·辽宁·开学考试）“月—地检验”表明地面上物体受到地球的引力与月球受到地球的引力遵从同样的规律，它们属于同一性质的力，把地球看作均质球体，地球表面上物体都随地球自转，下列说法正确的是（　　） A．物体在赤道受到的地球引力等于重力 B．物体在北极受到的地球引力等于重力 C．物体在南极受到的地球引力等于重力 D．同一物体在南纬30°和北纬30°受到的重力大小相等 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）自古以来，天体运动一直吸引着人类孜孜不倦地探索。关于天体运动研究的内容及物理学史，以下描述正确的是（　　） A．根据万有引力定律表达式，当两物体距离趋近于0时，其引力无穷大 B．开普勒利用第谷观测的行星运动数据，通过数学方法建立了开普勒三定律，被誉为“天空立法者” C．牛顿通过“月地检验”，发现了月球受到的引力与地面上的重力是不同性质的力 D．卡文迪许设计扭秤实验装置，借助实验放大法，比较准确地测出了引力常量，被称为“第一个称出地球质量的人” 10．（24-25高一下·广西贵港·阶段练习）人类对天体运动的认识，经历了漫长的发展过程，直到1687年牛顿在其出版的《自然哲学的数学原理》中正式提出万有引力定律，根据该定律，要使两质点间的万有引力减小到原来的，下列说法正确的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍 B．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的 C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍 D．使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍 11．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一个质量均匀分布的球体，半径为，在其内部挖去一个半径为的球形空穴，其表面与球面相切，如下图所示。已知挖去小球的质量为，在球心和空穴中心连线上，距球心处有一质量为的质点，若被挖去的小球挖去前对的万有引力为，剩余部分对的万有引力为，则（　　） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承，被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置，分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球从秋分到春分的运行时间小于公转周期的 D．地球在冬至和夏至时，所受太阳的万有引力之比为 13．（2025·四川·模拟预测）如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（　　） A．卫星运动周期是 B．卫星运动周期是 C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍 D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍 14．（24-25高一下·河北保定·期末）如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为，质量为，在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为，图中O₁、O₂、O₃共线，下列说法正确的是（　　） A．剩余部分对小球O₃的引力大小为 B．剩余部分对小球O₃的引力大小为 C．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 D．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 三、实验题 15．（2024高二·山西·学业考试）卡文迪什利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量： （1）如图所示，横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离为L，两球间的万有引力大小为F，则可以表示出引力常量________。    （2）为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是________。 A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架横梁的长度 16．（24-25高一下·河北唐山·月考）1798年，卡文迪什在《伦敦皇家学会哲学学报》论文中发表了“扭秤”的思想，如图1所示。    阅读完整个实验内容完成下列问题 (1)（单选）卡文迪什扭秤实验中测量时采用的主要研究方法是_____。 A．控制变量法 B．累积法 C．转换研究对象法 D．放大法 (2)（多选）关于卡文迪什扭秤实验下列说法正确的是_____。 A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，万有引力定律不适用 B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰 C．卡文迪什利用扭秤测定了引力常量的数值，被称为第一个测量地球质量的人 D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，重力对该实验的测量有影响 (3)卡文迪什扭秤的某种现代简化模型如图2所示，两个质量为的小球固定在一根总长度为的轻杆两端，用一根石英悬丝将轻杆水平的悬挂起来，距离小球处放置两个质量为的大球。根据万有引力定律，固定小球的轻杆会受到一个力矩而转动，从而使石英悬丝扭转，最终引力力矩与悬丝的弹性恢复力矩大小相等时装置静止不动。已知引力力矩大小可以表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离，弹性恢复力矩可以表示为常数乘以悬丝旋转角。激光水平入射到固定于悬丝上的平面镜上，弧形标尺到平面镜的距离为。从静止释放轻杆到最终平衡的过程中，弧形标尺上反射光点移动的距离为，则引力常量的表达式为_____。（用题干中已知的物理量表示） 四、解答题 17．（24-25高一下·辽宁·期中）海王星是太阳系八大行星之一，也是已知太阳系中离太阳最远的行星。已知海王星、地球均绕太阳做匀速圆周运动，海王星的轨道半径是地球的轨道半径的30倍，海王星的质量是地球的质量的17.1倍，若地球所受太阳的万有引力大小为F，地球的公转周期为T。取。求： (1)海王星所受太阳的万有引力大小； (2)海王星的公转周期。 18．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）如图所示，一个质量为M、密度均匀的球体半径为r，在距球心2r处有一质量为m的质点。若以球心O为中心挖去一个半径为的球体，万有引力常量为G；求剩下部分对质点的万有引力的大小。 19．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到O'的距离为x，求： (1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值； (2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小； (3)列车在运动中的最大速度的大小。 20．（22-23高一下·陕西西安·期末）开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，发表了开普勒三大定律。在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为的圆轨道。 （1）如图所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小，并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：） （2）请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力与行星轨道半径的平方成反比。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 万有引力定律 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点一．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比． (2)公式：F＝G. 3．符号意义 (1)G为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2. (2)r为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离． 知识点二．万有引力的四个特性 特性 内容 普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关 知识点三．万有引力的效果 万有引力F＝G的效果有两个，一个是重力mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力Fn＝mrω2，如图所示，重力是万有引力的一个分力． 1．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大． (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mrω2＋mg，所以mg＝G－mrω2. (2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G. (3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心． 2．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G，若距离地面的高度为h，则mg＝G(R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小． 【题型归纳】 题型一：万有引力定律的理解 【例1】．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）某校天文社成员在校园天文台观测太阳系行星运动，结合万有引力定律相关科学史，下列说法正确的是（　　） A．开普勒通过分析第谷的观测数据，直接推导得出万有引力定律 B．牛顿在研究天体运动时，将行星的椭圆轨道近似为圆轨道，结合开普勒定律与牛顿运动定律，推导出太阳与行星间的引力规律 C．开普勒第三定律中的比值k，与行星的质量有关，与中心天体的质量无关 D．第谷通过扭秤实验测出引力常量G，从而证明了太阳与行星间引力的存在 【答案】B 【详解】A．开普勒通过分析第谷的观测数据得出了开普勒三大定律，万有引力定律是由牛顿基于开普勒定律和牛顿运动定律推导得出的，故A错误； B．牛顿在研究天体运动时，将行星椭圆轨道近似为圆轨道，结合开普勒第三定律和牛顿第二定律、向心力公式，推导出太阳与行星间的引力规律，为万有引力定律奠定基础，故B正确； C．开普勒第三定律中的比值对于同一中心天体的所有行星是常数，且仅与中心天体的质量有关，与行星质量无关，故C错误； D．第谷以天文观测著称，未进行扭秤实验；引力常量是由卡文迪许于1798年通过扭秤实验测出的。牛顿通过理论推导和数学证明证实了太阳与行星间引力的存在，故D错误。 故选B。 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）关于万有引力和万有引力定律的理解，正确的是（    ） A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力 B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用计算 C．由知，两物体间距离减小时，它们之间的引力增大 D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且约等于 【答案】C 【详解】A．任意两个物体间都存在相互作用的引力，无论是否可视为质点，A错误； B．对于质量分布均匀的球体，也可用公式 计算引力，其中为球心间距，B错误； C．由公式 可知，引力大小与距离的平方成反比，因此减小，增大，C正确； D．万有引力常量的大小首先由卡文迪什通过扭秤实验测得，牛顿提出万有引力定律但未测定其值，D错误。 故选C。 2．（24-25高一下·四川遂宁·期末）下列有关万有引力定律说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，并利用扭秤实验测出了引力常量G B．由万有引力定律公式可知，当时， C．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们间的万有引力将变为原来的 D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的 【答案】C 【详解】A．牛顿发现了万有引力定律，但引力常量是卡文迪许通过扭秤实验测得的，故A错误； B．当时，物体无法视为质点，万有引力公式不再适用，此时不会趋向无穷大，故B错误； C．根据公式，当距离变为原来的2倍时，万有引力变为原来的，且题目明确为质点，故C正确； D．在椭圆轨道中，近日点较小，远日点较大，由公式可知万有引力大小不同，故D错误。 故选C。 3．（24-25高一下·河南·期末）万有引力定律公式是结合行星运动的规律以及圆周运动的知识推导而得出，关于该公式的理解，下列说法正确的是（　　） A．该公式只适用于天体之间引力的计算 B．若两物体之间的距离趋近于零，则两物体间的万有引力趋近于无穷大 C．若、、同时加倍，则两物体间的万有引力也加倍 D．任何两物体间都存在万有引力，但不一定都能用公式计算 【答案】D 【详解】A．万有引力定律不仅适用于天体之间引力的计算，也适用于任何两个可以看成质点的有质量物体，故A错误； B．当两物体距离趋近于零时，无法视为质点，公式不再适用，不能得到两物体间的万有引力趋近于无穷大的结论，故B错误； C．若、、同时加倍，代入公式可得 可知两物体间的万有引力不变，故C错误； D．万有引力普遍存在，但公式仅适用于质点或均匀球体，其他情况可能无法直接计算，故D正确。 故选D。 题型二：万有引力常量的G的测定 【例2】．（24-25高一下·广西南宁·月考）2024年5月，嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场成功发射，并准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。已知地球质量大约是月球质量的81倍，在嫦娥六号探测器经过地月之间某一位置时，月球对它的引力大小是地球对它的引力大小的9倍，则该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（　　） A．1∶3 B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 【答案】C 【详解】设嫦娥六号探测器质量为m，月球质量为m月，地球质量为m地，该位置到月球中心和地球中心的距离分别为r1、r2，由万有引力定律可得，月球对探月卫星的引力，地球对探月卫星的引力 由以上两式可得 故选C。 【举一反三】 1．（24-25高一下·安徽宿州·期中）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，并成功进入预定轨道。若神舟十九号载人飞船的质量为m，在轨道上运行时离地球表面的高度为h，地球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则地球对神舟十九号载人飞船的万有引力的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据万有引力定律，地球对飞船的引力大小为，故选B。 2．（24-25高一下·广西南宁·期末）2025年4月27日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将天链二号05星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若卫星的质量为，卫星在圆轨道上运行时所受地球的万有引力大小为，地球的质量为，地球的半径为，引力常量为，则卫星运行时距地球表面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由万有引力定律公式可得轨道半径 因此卫星高度为 故选D。 3．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）两个小球的间距为r时，它们之间的万有引力为F。下列说法正确的是（    ） A．仅将其中一个小球的质量变为2倍，它们之间的万有引力变为F B．仅将间距变为2倍时，它们之间的万有引力变为 C．将两个小球的质量都变为2倍，间距也变为2倍，它们之间的万有引力仍为F D．将两个小球质量变为2倍，间距变为倍，它们之间的万有引力变为8F 【答案】C 【详解】A．根据万有引力公式，仅将其中一个小球质量变为2倍时，引力为 ，故A错误； B．根据万有引力公式，间距变为2倍时，引力为 ，故B错误； C．根据万有引力公式，两球质量均变为2倍且间距变为2倍时，引力为 ，故C正确； D．根据万有引力公式，两球质量变为2倍且间距变为倍时，引力为 ，故D错误。 故选C。 题型三：万有引力的计算 【例3】．（24-25高一下·河北石家庄·期中）卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G。 (1)为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是_____。 A．利用平面镜对光线的反射 B．增大T形架横梁的长度 C．增大刻度尺与平面镜的距离 D．减小石英丝的直径 (2)若实验中不慎将两对大铅球与小铅球之间的中心距离增大为原来的2倍，但实验者未察觉，测得的G值将_____。 A．变为原来的四分之一 B．变为原来的二分之一 C．保持不变 D．变为原来的四倍 【答案】(1)AC (2)A 【详解】（1）B．增大T形架横梁的长度，对测量石英丝极微小的扭转角没有作用，故B错误； AC．为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”。利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的。当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故AC正确； D．当减小石英丝的直径时，会导致石英丝更容易转动，对测量石英丝极微小的扭转角却没有作用，故D错误。 故选AC。 （2）根据万有引力定律 解得 若实验中不慎将两对大铅球与小铅球之间的中心距离增大为原来的2倍，但实验者未察觉，r的测量值为实际值，G的测量值是实际值的。 故选A。 【举一反三】 1．（24-25高一下·四川广元·月考）在物理学中，常常用等效替代法、类比法、微小量放大法等来研究问题。如在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了引力常量的数值。由的数值及其他已知量，就可计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为“第一个称量地球的人”。如图所示是卡文迪许扭秤实验示意图。 (1)若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为、，且球心相距为的两个小球之间引力的大小为，则引力常量________；计算的引力常量________（填写国际单位）。 (2)为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是________ A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架横梁的长度 【答案】(1) / (2)BC 【详解】（1）[1][2]根据万有引力定律有 解得 由上式可知引力常量的单位为。 （2）A．当增大石英丝的直径时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故A错误； BC．为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采用使“微小量放大”。利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的，或当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故BC正确； D．当减小型架横梁的长度时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故D错误。 故选BC。 2．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）卡文迪许利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量： (1)横梁一端固定有一质量为m的均匀铅球A，旁边有一质量为m'的均匀铅球B，A、B两球球心的距离L，已知引力常量为G，则A、B两球间的万有引力大小为F=_________。 (2)在下图所示的几个实验中，与“卡文迪许扭秤实验”中测量微小量的思想方法最相近的是__________。（选填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】(1) (2)乙 【详解】（1）根据万有引力定律，A、B两球间的万有引力大小为 （2）为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”，利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的，当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，而甲中采用的等效替代法，乙采用的放大法，丙采用的控制变量法。 故选乙。 3．（24-25高一下·湖南郴州·期末）牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量G的值。这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来。卡文迪什巧妙地利用如图所示的扭秤装置，第一次在实验室比较准确地测出了引力常量G的值，即___________（选填“”或“”）。卡文迪什的实验涉及的物理思想方法是___________（选填“等效替代法”或“微量放大法”）。 【答案】 微量放大法 【详解】[1]根据万有引力公式 整理得 根据量纲法则，得引力常量的单位为 [2]卡文迪什测量引力常量使用的扭秤装置，入射光线不变，当入射角改变时，将扭秤转动的高度通过反射光线在屏上光斑移动显示出来，采用的微量放大法。 题型四：空壳内的万有引力的计算 【例4】．（25-26高二上·安徽·开学考试）如图所示，有一质量分布均匀、半径为R的球形物体，一可视为质点的小球放在距离球形物体球心O点3R处。在小球和物体球心的连线上紧靠球形物体的最左侧挖走一半径为的球，则剩余的阴影部分对小球的万有引力与挖走前球形物体对小球万有引力的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】整个大球对小球的万有引力大小为 挖走部分对小球的万有引力大小为，其中 所以，所以剩余的阴影部分对小球的万有引力大小为 所以 故选C。 【举一反三】 1．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）如图所示，质量为M、半径为R的均匀球体，在距离球心3R处有一质量为m的质点。现从球体中挖去一个半径为的小球，其球心与原球心相距。已知引力常量为G，质点、两球球心三者共线，则剩余部分对质点的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】质点与原球心的距离为3R，根据万有引力定律，有 原球体积为 则挖去的小球体积 则挖去的小球的质量为 挖去小球的球心到质点的距离为 则根据万有引力定律，挖去部分对质点的引力为 剩余部分对质点的引力 故选D。 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，两者之间的万有引力大小为。现从球体中挖去一个半径为的小球体，如图所示，剩余球体部分对质点的万有引力大小为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由公式和，解得挖去的小体质量 由题意及万有引力公式，可知 挖去的小球体与质点间的万有引力大小 则剩余球体部分对质点的万有引力大小 可知 故选C。 3．（24-25高一下·北京·期中）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】质量均匀的球壳对壳内万有引力的合力为零，故作如下图所示下等效。 由可知，密度一样，球的质量和半径的三次方成正比。设距离为b，距离为a，大球（红色虚线）对Q点物体的引力为 小球（绿色虚线）对Q点的引力为 故Q点物体受力为 由 联立得 故选D。 题型五：万有引力的综合问题 【例5】．（24-25高一下·山东·阶段练习）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，已知球体的体积，引力常量为G。 (1)求m对M的万有引力大小； (2)现从M中挖去半径为的球体（两球心和质点在同一直线上，且两球表面相切），如图所示，求： ①剩余部分的质量； ②剩余部分对m的万有引力大小。 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由万有引力定律可知球体与质点之间的万有引力 解得 （2）①完整球体的质量 挖去的小球质量 故剩余部分的质量 ②被挖掉的小球与质点之间的万有引力 由题意可知 解得 故剩余部分对质点的万有引力 解得 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个质量均匀分布的球体，半径为，在其内部挖去一个半径为的球形空穴，其表面与球面相切，如图所示。已知挖去小球的质量为，在球心和空穴中心连线上，距球心处有一质量为的质点。已知万有引力常量为，球的体积与半径关系为，求： (1)被挖去的小球对的万有引力为多大？ (2)剩余部分对的万有引力为多大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据万有引力定律，被挖去的小球对的万有引力为 （2）根据 可知挖去之前球的质量为8m，对质点的引力为 剩余部分对的万有引力为多大 2．（22-23高一下·四川成都·期末）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，求： （1）m对M的万有引力大小； （2）现从M中挖去半径为的球体，（两球心和质点在同一直线上，且两球表面相切）如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小。    【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由万有引力定律球体与质点之间的万有引力 （2）完整球体的质量 挖去的小球质量 被挖掉的小球与质点之间的万有引力 故剩下部分对质点的万有引力 3．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，有一质量为M、半径为R、球心为O、密度均匀的球体，距球体表面R处有一质量为的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为（未知），从球O中挖去一半径为的球体后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：。求： (1)质点Q在距球心2R的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小； (2)如图所示，若质点Q在空腔中任意一位置P时，它所受球壳A的万有引力大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设球的密度为，则挖去的小球质量为，质点Q受到球壳A的引力为，解得 （2）大球对P点的引力为，小球对P点的引力为 故P点受力为，由三角形法则可知 解得 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·单元测试）关于万有引力定律，下列说法正确的是（　　） A．卡文迪什提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值 B．万有引力定律只适用于天体之间 C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的 【答案】C 【详解】A．万有引力定律是由牛顿提出的，卡文迪什通过扭秤实验测定了引力常量G的数值，故A错误； B．万有引力定律适用于任何两个有质量的物体之间（公式：），不限于天体，例如地球与地面物体之间也存在万有引力，故B错误； C．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，故C正确； D．万有引力大小，近日点地球与太阳距离较小，引力较大；远日点距离较大，引力较小，因此引力大小不同，故D错误。 故选C。 2．（24-25高一下·天津滨海新·期中）下列说法符合事实的是（　　） A．关于开普勒第三定律公式 式中的k值，对所有行星和卫星都相等 B．开普勒通过对第谷的观测数据的分析中发现了万有引力定律 C．牛顿发现了万有引力定律并测出了引力常量G D．卡文迪什通过扭秤实验第一次精确测出了引力常量的数值 【答案】D 【详解】A．开普勒第三定律公式中的k值与中心天体的质量有关；对于同一中心天体（如太阳系的行星），k值相同；但不同中心天体（如其他恒星的卫星）的k值不同，故A错误； B．开普勒通过对第谷的观测数据的分析提出了开普勒三大定律，而万有引力定律是牛顿发现的，故B错误； CD．牛顿发现了万有引力定律，但引力常量G的测量由卡文迪什通过扭秤实验完成，故C错误，D正确。 故选D。 3．（25-26高三上·江苏南通·期中）如图所示是卡文迪什测量引力常量所用的扭秤装置，已知反射光线在刻度尺上移动的距离与小球m、间的引力大小成正比。现将小球的质量增加为原来的两倍，m、间的距离减小为原来的一半，则反射光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的（     ） A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．倍 【答案】A 【详解】设两小球之间的距离为，则有 现将小球的质量增加为原来的两倍，m、间的距离减小为原来的一半，则有 因此反射光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的8倍。 故选A。 4．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）中国科学家在万有引力常量G测量方面的最新进展是由中科院院士罗俊团队取得的。他们使用了两种独立的测量方法：扭秤周期法（TOS）和扭秤角加速度反馈法（AAF），得到了两个结果：和，相对精度大约为11.6ppm。这项成果被发表在《自然》杂志上，被认为是“精确测量领域卓越工艺的典范”，下列选项中不是万有引力常量G的单位的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】ABC．根据万有引力定律公式 解得 由于力的单位为牛顿（N），即 质量 的单位为千克（kg） 距离的单位为米（m） 可得的单位为 进一步将牛顿替换为基本单位，则有G的单位为，故AB正确，不符题意，C错误，符合题意； D．由于，故，结合上述分析可知，G的单位可以表示为，因此也可以表示为，故D正确，不符题意。 故选C。 5．（24-25高一下·江西抚州·期末）下列关于万有引力定律说法正确的是（　　） A．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什测得了引力常量 B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 C．根据表达式可知，当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 D．根据表达式得，由此可知引力常量与、、、有关 【答案】A 【详解】A．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什通过扭秤实验测定了引力常量，故A正确； B．万有引力是两物体间的相互作用力，大小相等、方向相反，作用在不同物体上，属于作用力与反作用力，而非平衡力（平衡力需作用在同一物体），故B错误； C．万有引力公式仅适用于质点或均匀球体间的计算。当趋近于零时，物体无法视为质点，公式不适用，故C错误； D．引力常量是普适常数，与、、、无关，公式变形仅用于计算，不改变的性质，故D错误。 故选A。 6．（24-25高一下·广西贵港·月考）有一质量为2m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m1的质点。现从2m的大球体中挖去半径为的小球体，如图所示，则剩余部分对质点m1的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用“割补法”可知，剩余部分对m1的万有引力为， 联立可得，故选C。 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，是一个半径为，质量为M的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为R的球，并在空心球内某点P放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常量G，则球剩余部分对该质点的万有引力（　　） A．方向由P点指向 B．方向由指向 C．大小为 D．大小为 【答案】B 【详解】AB．设球的密度为，则实心大球质量可表示为，由题意可知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，实心大球对P点的引力等于以为半径的实心小球对质点P的引力。以为半径的实心小球的质量为 所以为半径的实心小球对P点的引力为 同理，以为半径的实心小球的质量为 则以为半径的实心小球对P点的引力为 受力情况如下图，由几何关系可知 故平行于，故A错误B正确； CD．由上述分析可知，解得，故CD错误。 故选B。 二、多选题 8．（25-26高二上·辽宁·开学考试）“月—地检验”表明地面上物体受到地球的引力与月球受到地球的引力遵从同样的规律，它们属于同一性质的力，把地球看作均质球体，地球表面上物体都随地球自转，下列说法正确的是（　　） A．物体在赤道受到的地球引力等于重力 B．物体在北极受到的地球引力等于重力 C．物体在南极受到的地球引力等于重力 D．同一物体在南纬30°和北纬30°受到的重力大小相等 【答案】BCD 【详解】A．把地球看作均质球体，则物体在地球表面任何位置受到地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个提供物体随地球自转的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小，故A错误； BC．在两极，向心力为0，物体受到的地球引力等于重力，选项BC正确； D．同一物体在南纬30°和北纬30°的向心加速度大小相等且均指向地轴，因此同一物体在南纬30°和北纬30°受到的重力大小相等，故D正确。 故选BCD。 9．（24-25高一下·浙江宁波·期末）自古以来，天体运动一直吸引着人类孜孜不倦地探索。关于天体运动研究的内容及物理学史，以下描述正确的是（　　） A．根据万有引力定律表达式，当两物体距离趋近于0时，其引力无穷大 B．开普勒利用第谷观测的行星运动数据，通过数学方法建立了开普勒三定律，被誉为“天空立法者” C．牛顿通过“月地检验”，发现了月球受到的引力与地面上的重力是不同性质的力 D．卡文迪许设计扭秤实验装置，借助实验放大法，比较准确地测出了引力常量，被称为“第一个称出地球质量的人” 【答案】BD 【详解】A．当两物体距离趋近于0时，万有引力公式不再适用，其引力不是无穷大，故A错误； B．开普勒通过对第谷的天文观测数据的分析，通过数学方法建立了开普勒三定律，被誉为“天空立法者”，故B正确； C．牛顿通过“月地检验”，发现了月球受到的引力与地面上的重力是相同性质的力，故C错误； D．卡文迪许设计扭秤实验装置，借助实验放大法，比较准确地测出了引力常量，被称为“第一个称出地球质量的人”，故D正确。 故选BD。 10．（24-25高一下·广西贵港·阶段练习）人类对天体运动的认识，经历了漫长的发展过程，直到1687年牛顿在其出版的《自然哲学的数学原理》中正式提出万有引力定律，根据该定律，要使两质点间的万有引力减小到原来的，下列说法正确的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍 B．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的 C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍 D．使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍 【答案】AC 【详解】A．根据可知，使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故A正确； B．根据可知，使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的，则两质点间的万有引力不变，故B错误； C．根据可知，使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故C正确； D．根据可知，使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故D错误。 故选AC。 11．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一个质量均匀分布的球体，半径为，在其内部挖去一个半径为的球形空穴，其表面与球面相切，如下图所示。已知挖去小球的质量为，在球心和空穴中心连线上，距球心处有一质量为的质点，若被挖去的小球挖去前对的万有引力为，剩余部分对的万有引力为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】被挖部分对质点的引力为 由其内部挖去一个半径为的球形空穴，挖去小球的质量为m，可知球体密度为 设挖去之前的球的质量为M，则 故挖去前的球体对质点的引力为 挖去后剩余部分的引力为 所以 故选BD。 12．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承，被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置，分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为 C．地球从秋分到春分的运行时间小于公转周期的 D．地球在冬至和夏至时，所受太阳的万有引力之比为 【答案】BC 【详解】A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，相同时间内，扫过相同的面积，所以冬至时运行速度最大，故A错误； B．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积 同理，行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积 根据开普勒第二定律，可得，故B正确； C．地球从秋分到春分，经过近日点，运行速度快，所以地球从秋分到春分的运行时间小于公转周期的，故C正确； D．根据万有引力表达式有 可得地球在冬至和夏至时，所受太阳的万有引力之比为 故D错误。 故选BC。 13．（2025·四川·模拟预测）如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（　　） A．卫星运动周期是 B．卫星运动周期是 C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍 D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍 【答案】AC 【详解】AB．从图乙可知，卫星从近地点到远地点再回到近地点，万有引力完成一个周期性变化，这个过程所用时间为，而卫星运动的周期是完成一次完整的椭圆轨道运动的时间，所以卫星运动周期为，故A正确，B错误； CD．根据万有引力定律 设地球与近地点间的距离为，与远地点再间的距离为 则在点 在点 将两式相比可得 即 所以地球与点间距离是地球与点间距离的倍，故C正确，D错误。 故选 AC。 14．（24-25高一下·河北保定·期末）如图所示，有一半径为R的均匀球体，球心为，质量为，在其内挖去一个半径为的小球，形成球形腔的球心为，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为，图中O₁、O₂、O₃共线，下列说法正确的是（　　） A．剩余部分对小球O₃的引力大小为 B．剩余部分对小球O₃的引力大小为 C．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 D．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则新球体对小球O₃的引力大小为 【答案】AC 【详解】AB．设挖去部分小球的质量为，则由 得 解得 假设将球形空腔填满恢复均匀球形，大球对小球O₃的引力大小为，则 填补的小球对小球O₃的引力大小为 所以剩余部分对小球O₃的引力大小为，故A正确，B错误； CD．若在O₂空腔内均匀填充密度为原来3倍的物质，则填充部分的质量为 所以新填补的小球对小球O₃的引力大小为 则新球体对小球O₃的引力大小为，故C正确，D错误。 故选AC。 三、实验题 15．（2024高二·山西·学业考试）卡文迪什利用如图所示的扭称实验装置测量了引力常量： （1）如图所示，横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离为L，两球间的万有引力大小为F，则可以表示出引力常量________。    （2）为了测量石英丝极微的扭转角，该实验装置中采取“微小量放大”思想的措施是________。 A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架横梁的长度 【答案】 BC/ CB 【详解】（1）[1] 根据万有引力公式可得 得引力常量 （2）[2] A．当增大石英丝的直径时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故A错误； BC．为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采用使“微小量放大”。利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变的，或当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故BC正确； D．当减小T型架横梁的长度时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故D错误； 故选BC。 16．（24-25高一下·河北唐山·月考）1798年，卡文迪什在《伦敦皇家学会哲学学报》论文中发表了“扭秤”的思想，如图1所示。    阅读完整个实验内容完成下列问题 (1)（单选）卡文迪什扭秤实验中测量时采用的主要研究方法是_____。 A．控制变量法 B．累积法 C．转换研究对象法 D．放大法 (2)（多选）关于卡文迪什扭秤实验下列说法正确的是_____。 A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，万有引力定律不适用 B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰 C．卡文迪什利用扭秤测定了引力常量的数值，被称为第一个测量地球质量的人 D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，重力对该实验的测量有影响 (3)卡文迪什扭秤的某种现代简化模型如图2所示，两个质量为的小球固定在一根总长度为的轻杆两端，用一根石英悬丝将轻杆水平的悬挂起来，距离小球处放置两个质量为的大球。根据万有引力定律，固定小球的轻杆会受到一个力矩而转动，从而使石英悬丝扭转，最终引力力矩与悬丝的弹性恢复力矩大小相等时装置静止不动。已知引力力矩大小可以表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离，弹性恢复力矩可以表示为常数乘以悬丝旋转角。激光水平入射到固定于悬丝上的平面镜上，弧形标尺到平面镜的距离为。从静止释放轻杆到最终平衡的过程中，弧形标尺上反射光点移动的距离为，则引力常量的表达式为_____。（用题干中已知的物理量表示） 【答案】(1)D (2)BC (3) 【详解】（1）卡文迪什扭秤实验中测量时采用的主要研究方法是放大法。 故选D。 （2）A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，但是可认为球的质量都集中在球心位置，万有引力定律仍适用，故A错误； B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰，故B正确； C．卡文迪什利用扭秤测定了引力常量的数值，被称为第一个测量地球质量的人，故C正确； D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，但是重力在竖直方向，对水平方向的引力无影响，所以重力对该实验的测量无影响，故D错误。 故选BC。 （3）平面镜转过的角度为 平衡时满足 由万有引力定律可得 联立解得 四、解答题 17．（24-25高一下·辽宁·期中）海王星是太阳系八大行星之一，也是已知太阳系中离太阳最远的行星。已知海王星、地球均绕太阳做匀速圆周运动，海王星的轨道半径是地球的轨道半径的30倍，海王星的质量是地球的质量的17.1倍，若地球所受太阳的万有引力大小为F，地球的公转周期为T。取。求： (1)海王星所受太阳的万有引力大小； (2)海王星的公转周期。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设地球的质量为m1，轨道半径为r1，海王星的质量为m2，轨道半径为r2，太阳的质量为M，引力常量为G，则地球所受太阳的万有引力大小     海王星所受太阳的万有引力大小     结合题意有 解得 （2）设海王星的公转周期为T2，根据开普勒第三定律有     解得 18．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）如图所示，一个质量为M、密度均匀的球体半径为r，在距球心2r处有一质量为m的质点。若以球心O为中心挖去一个半径为的球体，万有引力常量为G；求剩下部分对质点的万有引力的大小。 【答案】 【详解】剩下部分对质点的万有引力F剩应等于完整球体对质点的引力减去被挖去的小球体对质点的引力，根据万有引力定律 解得 被挖去的小球体的质量为 而大球体的质量为 联立解得剩下部分对质点的万有引力为 19．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到O'的距离为x，求： (1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值； (2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小； (3)列车在运动中的最大速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设地球的质量为，则在地面附近时 设P点到地心的距离为r 则有 其中 代入可得 （2）设，则 结合上述分析可知，P点的重力加速度为 列车运动到P点加速度满足 解得 （3）列车在A点受到地球的引力为 列车在A点受到合力为 由几何关系可得 列车在隧道内距的距离时，AB方向的合力为 可知随均匀变化，列车从A到做加速度减小的加速运动，则列车在点有最大速度，则有 其中 解得 20．（22-23高一下·陕西西安·期末）开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，发表了开普勒三大定律。在研究行星绕太阳运动的规律时，将行星轨道简化为一半径为的圆轨道。 （1）如图所示，设行星与太阳的连线在一段非常非常小的时间内，扫过的扇形面积为。求行星绕太阳运动的线速度的大小，并结合开普勒第二定律证明行星做匀速圆周运动；（提示：） （2）请结合开普勒第三定律、牛顿运动定律，证明太阳对行星的引力与行星轨道半径的平方成反比。 【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）根据扇形面积公式可得时间内行星扫过的扇形面积满足 解得 根据开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，即为常量，则行星绕太阳运动的线速度的大小也为常量，所以行星做匀速圆周运动。 （2）设行星质量为m，根据题意可知行星的圆周运动由太阳对行星的引力F提供向心力，则根据牛顿第二定律有 根据开普勒第三定律可得 即 联立以上两式可得 其中为常量，则太阳对行星的引力F与行星轨道半径r的平方成反比。 2 学科网（北京）股份有限公司 $