专题05 三角形的有关概念、内角和 讲义-2025-2026学年 沪教版（五四制 )七年级数学下册

专题05 三角形的有关概念、内角和（阶段复习，十大题型） 题型1：概念综合辨析、填空 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边的关系，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，通过验证较短两边之和是否大于最长边来判断能否组成三角形即可． 【详解】解：A：∵ ，不满足三角形三边关系， ∴不能组成三角形． B：∵ ，不满足三角形三边关系， ∴不能组成三角形． C：∵ ，不满足三角形三边关系， ∴不能组成三角形． D：∵ ，满足三角形三边关系， ∴能组成三角形． 故选：D． 2．下列能表示 的边 上的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：A． 不是任何边上的高，故不符合题意； B． 是 边上的高，故符合题意； C． 是 边上的高，故不符合题意； D． 不是任何边上的高，故不符合题意； 故选：B． 3．三角形的角平分线、中线和高都是 (    ) A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高定义判断即可． 【详解】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义是解题关键． 4．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的 和 ），这样做的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 5．有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案． 【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形． 故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 6．下列说法中，正确的是（    ） A．三角形的高都在三角形内 B．三角形的三条中线相交于三角形内一点 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度 【答案】B 【分析】根据三角形的有关性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意； B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确，符合题意； C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意； D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形高线，中线的概念，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握这些知识点是解题的关键． 题型2：概念的应用 7．如图所示：在Rt△ABC中，∠A＝90°，边AB上的高是___． 【答案】AC 【分析】根据三角形的高的定义（从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称为三角形这条边上的高）即可得． 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 ， 由三角形的高的定义可知，线段 为 中 边上的高 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的高，熟记定义是解题关键． 8．在 中， ， ，则 的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类．根据三角形内角和为 ，求出 的度数，再根据角的大小判断三角形形状． 【详解】解：在 中，三角形内角和为 ，已知 ， ， 则 ， 所以 是钝角三角形． 故选：B． 9．若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系，求出a的取值范围，再从选项中选取符合范围的值． 【详解】解：∵三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ∴ ， 即 ， ∵选项中只有6在 的范围内， 故选：C． 10．三角形的三边分别为 5， ，9，则 的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据三角形三边关系解答． 【详解】由题意得： , 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和都大于第三边． 11．已知三角形三边长分别为 ， ， ，则写出所有符合条件的整数 的值______． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查三角形的三边关系（三角形的第三边小于两边之和大于且大于两边之差）．解题的关键是根据三角形的三边关系列出关于 的一元一次不等式组，求解后即可得出符合条件的整数 的值． 【详解】解：∵三角形三边长分别为 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴整数 的值为 ， ， ． 故答案为： ， ， ． 12．如图， ，则 的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由三角形的外角的性质可知， ． 题型3：分析三角形的分类 13．一个三角形的三个内角的度数比为 ，则这个三角形是______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了按比例分配，求出三角形的最大角的度数是解题的关键． 先求出最大角的度数，然后判断三角形的形状即可． 【详解】解：∵ ∴这个三角形是锐角三角形． 故答案为：锐角． 14．若一个三角形三边的长度比为 ，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为___________，按边分，这个三角形是___________三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为 ，即可列方程求解． 【详解】解：设三角形三边的长度比为 ， 则： ， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 题型4：三角形的角平分线、高线的应用 15．如图，在 中， ， ， 是 的角平分线，则 的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．先根据三角形内角和定理求出 的度数，再利用角平分线的定义求出 的度数即可解答． 【详解】解： 在 中， ， ， ， 是 的角平分线， ， 故答案为： ． 16．如图所示，若有 ， ，则下列结论中错误的是（   ） A． 是 的平分线 B． 是 的平分线 C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义，对选项逐个判断即可．此题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 【详解】解： 是 的平分线，A选项正确，不符合题意； 是 的平分线，B选项正确，不符合题意； EMBED Equation.DSMT4 ，C选项正确，不符合题意； ∵从题干条件无法证明 ∴ 不是 的平分线，D选项错误，符合题意； 故选：D． 17．已知 中， ， 分别是边 ， 上的高， ， 交于点 ，如果设 那么用含 的代数式表示 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的定义可得∠AEC=∠ODC=90°，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠ACE，最后利用三角形外角的性质即可求出结论． 【详解】解：∵ ， 分别是边 ， 上的高， ∴∠AEC=∠ODC=90° ∵ ∴∠ACE=180°－∠AEC－∠BAC=90°－n° ∴ =∠ODC＋∠OCD=90°＋90°－n°= 故选D． 【点睛】此题考查的是三角形的高、三角形的内角和定理和三角形外角的性质，掌握三角形的高、三角形的内角和定理和三角形外角的性质是解题关键． 题型5：三角形的角平分线、中线、高线的综合应用 18．在 中， ， ， 和 分别为 的高线和角平分线，那么 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得 ，通过角平分线定义可得 ，根据 ， ，从而求得 ，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的度数是 ， 故选： ． 19．如图，在 中， ， 是角平分线， 是高， 与 相交于点 ，则 的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在 中由三角形内角和可求得 ，由角平分线的定义可求得 ，在 中再利用三角形内角和可求得 的度数． 【详解】解： 是高， ， ， 是角平分线， ， ， 在 中，由三角形内角和定理可得 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和为 是解题的关键． 20．如图，在 中， ， 分别是 的高线和角平分线，已知 ， ，则 _______ 度． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和定理，角平分线定义等知识点，能求出 和∠EAC的度数是解此题的关键．根据三角形内角和定理求出 ，根据角平分线定义求出 ，即可求出答案． 【详解】解：∵ 是高， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 平分 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：14． 21．如图，在 中， 是高， 是中线，若 ， ，则 的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出 ，根据 是中线即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ∵ 是中线， ∴ 故选：B 题型6：三角形中线有关的周长问题 22．如图， 是 的中线， ， ，若 的周长是 ，则 的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线的概念得到 ，再根据三角形的周长公式计算即可，正确理解三角形的中线的概念是解题的关键． 【详解】解：∵ 是 的中线， ∴ ， ∵ 的周长是 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的周长是 ， 故答案为： ． 23．如图，在 中， 是 边上的中点， ， 与 的周长之差为2，则 的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出 ，再根据线段的和差即可得出 ，从而得出答案． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 是 边上的中点， ， EMBED Equation.DSMT4 与 的周长之差为2， ， 即 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 故选C． 题型7：三角形中线有关的面积问题 24．如图， 、 是 的中线，连接 ， 的面积是10，则 的面积是______． 【答案】2.5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据 是 边上的中线，得到 ，根据 是 边上的中线， 解答即可． 【详解】解：∵ 、 是 的中线，连接 ， 的面积是10， ∴ ， ∴ ， 故答案为：2.5． 25．如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是_____． 【答案】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案． 【详解】解：∵点E为AD的中点，△BDE的面积为3， ∴△ABD的面积为3×2＝6， ∵点D为BC的中点， ∴△ABC的面积为6×2＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查三角形面积问题，掌握三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 26．如图，把 的三边 、 和 分别向外延长一倍，将得到的点 顺次连接成 ，若 的面积是5，则 的面积是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 连接 ，由题意得， ，由三角形的中线性质即可得出 的面积． 【详解】解：如图，连接 ， 由题意得： ， ∴ ， ， ， ∴ ， 故答案为： ． 27．如图，在 中，已知 是边 上任意一点，点 在 上， ，点 在 上， ，连接 、 ．如果 的面积是 ，那么 的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形面积有关的计算，由 得出 ， ，求出 ，再由 计算即可得． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 题型8：网格问题 28．如图，将 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为 ），点 ， ， 恰好在网格图中的格点上，则 的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了借助网格求三角形的面积，把 放在 的矩形中，用矩形的面积减去三个小直角三角形的面积即为 的面积． 【详解】解：如下图所示，把 放在 的矩形中， 则 . 故答案为： ． 29．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是1，则四边形 的面积是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查的是利用网格求面积，解题的关键是熟练掌握割补法求不规则图形的面积． 利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可． 【详解】解：四边形 的面积 ， 故选：B． 30．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 的面积与 的面积的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】分别求出 的面积和 的面积，即可求解． 【详解】解： ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 题型9：三角形的内角和定理、外角的性质的应用 31．如图，在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE BC，那么∠AED的大小是（    ） A．40° B．60° C．80° D．120° 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和求出∠C，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝80°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°， 又∵DE BC， ∴∠AED＝∠C＝40°． 故选：A． 【点睛】此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知三角形的内角和与平行线的性质． 32．如图，若 ， 与 互余，则 的度数 ______． 【答案】 /126度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．在 中， ， ，再将两式相加求解即可． 【详解】解：连接 ， 由题意得： ∵在 中， ， ， ∴ ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 33．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， ， ，则 ______°． 【答案】20 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质．如图，由平行线的性质可求得 ，结合三角形外角的性质可求得 ． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 故答案为：20． 34．如图，直线则 ________度． 【答案】44 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质．根据两直线平行，内错角相等可得 的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故答案为：44 题型10：解答题 35．a、b、c为三角形的三边，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大小第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识；根据三角形三边关系确定 的符号，由绝对值的性质及整式加减法则即可化简． 【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴ ， 即 ， ∴ ． 36．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 【详解】如图 为中线， 为角平分线， 为高 37．如图，在 中，点D是边 的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出 的边 上的高 ； (2)过点D画 ，直线 交边 于点F； (3)点A到直线 的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 和 【分析】本题主要考查了画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作 交 延长线于点E，则 即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到 ，在由三角形面积公式得到 ． 【详解】（1）解：如图，过点C作 交 延长线于点E，则 即为所求： （2）解：如图，直线 即为所求： （3）解：∵ ， ∴点A到直线 的距离是线段 的长度， 故答案为： ； （4）解：∵点D是边 的中点， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴图形中面积相等的两个三角形是： 和 ， 故答案为： 和 ． 38．如图，在 中， 于点D， 是 的角平分线，交 于点E， ，求 的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，先由垂线的定义得到 ，再由三角形内角和定理得到 ，则由角平分的定义可得 ，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 39．如图，已知点 为 的边 的延长线上的一点， 于点 ，交 于点 ， ， ，求 的度数． 解：∵ （已知）， ∴ （     ）， ∵ （     ）， 又 （已知）， ∴ _________ ， ∵ _________（     ）， 又 （已知）， ∴ _________ ． 【答案】垂直的意义，三角形的内角和为 ， ， ，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和， 【分析】根据三角形的外角与内角的关系，三角形的外角和定理，即可． 【详解】解：∵ （已知）， ∴ （垂直的意义）， ∵ （三角形的内角和为 ）， 又 （已知）， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∵ EMBED Equation.DSMT4 （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和）， 又 （已知）， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为：垂直的意义，三角形的内角和为 ， ， ，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和， ． 【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角和． 40．如图，在 中， 分别为 的中线和高， 为 的角平分线． (1)若 ，求 的大小． (2)若 的面积为40， ，求 的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出 ，再利用角平分线定义得到 ，然后根据高的定义和互余两角的性质求出 的度数； （2）先根据三角形中线定义得到 ，然后利用三角形面积公式求 的长． 【详解】（1）解： ， ， 平分 ， ， 为高， ， ； （2）解： 为中线， ， ， ． 41．如图， 是 的角平分线， ，P为线段 上一点， 交 的延长线于点E．    (1) ， ，求 的度数； (2)试猜想 与 、 之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) ； (2) ，证明见解析． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出 ，根据角平分线的定义得出 ，根据三角形内角和定理得出 ，进而根据三角形内角和定理即可求解； （2）设 ， ，则根据角平分线的定义得出 ，进而根据（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 平分 ， ， ， 又∵ ， ； （2）解： ． 设 ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， °， ．   ． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 42．图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画直角三角形 ，使其面积为3． (2)在图②中，画锐角三角形 ，使其面积为 ． (3)在图③中，画钝角三角形 ，使其面积为 ．这样的点E有几个位置 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)4； 【分析】本题考查了利用求三角形的面积，三角形的面积等于 乘底长乘高，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用三角形的面积等于 乘底长乘高，且结合 ，即可作答． （2）注意锐角三角形这个条件，且结合 以及三角形的面积为面积为 ，即可作答． （3）根据把 看作底 ，根据面积是 ，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： ∴ ， 上图满足 是直角三角形，使其面积为3； （2）解：如图所示： 则 EMBED Equation.DSMT4 ， 上的高为3， ∴ ∴锐角三角形 ，使其面积为 ； （3）解：如图所示： 底是 ，根据面积是 ∴ 上的高为 ，满足条件有 ∴这样的点E有 个位置． 43． 中， 是 的角平分线， 是 的高． (1)如图1，若 ，请说明 的度数； (2)如图2（ ），试说明 的数量关系． 【答案】(1) (2) ，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得 ，由角平分线的定义可得 的度数，利用三角形的高线可求 得度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解 的数量关系． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∵ 是 的高， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∵ 是 的高， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的定义，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题． 44．【概念认识】 如图①，在 中，若 ，则 叫做 的“三分线”其中， 是“邻 三分线”， “邻 三分线”． 【问题解决】 （1）如图①， ， 是 的“三分线”，则 ______ ； （2）如图②，在 中， 分别是 邻 “三分线”和 邻 “三分线”，且 ，求 的度数； （3）如图③，在 中， 分别是 邻 “三分线”和 邻 “三分线”，且 ，求 的度数（用含x的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据三分线的定义和角的和差关系进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可． 【详解】（1） ， 是 的“三分线”， ， ． （2） ． ． 分别是 邻 三分线和 邻 三分线， ， ， ． ； （3） ． ． 分别是 邻 三分线和 邻 三分线， ， ， ． ． 45．已知点A在射线 上， ． (1)如图1，若 ，求证： ； (2)如图2，若 ，垂足为B，请探究 与 的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作 交射线 于点F，当 时，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) ，见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据 ，可得 ，再根据 ，即可得到 ，即可得证； （2） ．根据平行线的性质，得出 ， 再结合 进行角的等量代换，即可得到 与 的数量关系； （3）设 ，则 ，根据 ，即可得到 ，再根据 ，即可得到 ，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到 的度数． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ （2）解： 理由如下：如图： 过点 作 交 于一点F ∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ； （3）解：设 ， 则 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴在 中， ， ∴ 的度数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形的有关概念、内角和（阶段复习，十大题型） 题型1：概念综合辨析、填空 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 3．三角形的角平分线、中线和高都是 (    ) A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对 4．如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 5．有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 6．下列说法中，正确的是（    ） A．三角形的高都在三角形内 B．三角形的三条中线相交于三角形内一点 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度 题型2：概念的应用 7．如图所示：在Rt△ABC中，∠A＝90°，边AB上的高是___． 8．在中，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 9．若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．2 10．三角形的三边分别为 5， ，9，则的取值范围为________. 11．已知三角形三边长分别为，，，则写出所有符合条件的整数的值______． 12．如图，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 题型3：分析三角形的分类 13．一个三角形的三个内角的度数比为，则这个三角形是______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）． 14．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为___________，按边分，这个三角形是___________三角形． 题型4：三角形的角平分线、高线的应用 15．如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是___________． 16．如图所示，若有，，则下列结论中错误的是（   ） A．是的平分线 B．是的平分线 C． D． 17．已知中，，分别是边 ，上的高，， 交于点，如果设那么用含 的代数式表示的度数是（ ） A． B． C． D． 题型5：三角形的角平分线、中线、高线的综合应用 18．在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 19．如图，在中，，是角平分线，是高，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则_______ 度． 21．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6：三角形中线有关的周长问题 22．如图，是的中线，，，若的周长是，则的周长是______． 23．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型7：三角形中线有关的面积问题 24．如图，、是的中线，连接，的面积是10，则的面积是______． 25．如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是_____． 26．如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是____________． 27．如图，在中，已知是边上任意一点，点在上，，点在上，，连接、．如果的面积是，那么的面积是（　　）    A． B． C． D． 题型8：网格问题 28．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，，恰好在网格图中的格点上，则的面积是________． 29．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都是1，则四边形的面积是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 30．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 题型9：三角形的内角和定理、外角的性质的应用 31．如图，在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DEBC，那么∠AED的大小是（    ） A．40° B．60° C．80° D．120° 32．如图，若，与互余，则的度数______． 33．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则______°． 34．如图，直线则________度． 题型10：解答题 35．a、b、c为三角形的三边，化简： 36．分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 37．如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 38．如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，求的度数． 39．如图，已知点为的边的延长线上的一点，于点，交于点，，，求的度数． 解：∵（已知）， ∴（     ）， ∵（     ）， 又（已知）， ∴_________， ∵_________（     ）， 又（已知）， ∴_________． 40．如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小． (2)若的面积为40，，求的长． 41．如图，是的角平分线，，P为线段上一点，交的延长线于点E．    (1)，，求的度数； (2)试猜想与、之间的数量关系，并证明你的结论． 42．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画直角三角形，使其面积为3． (2)在图②中，画锐角三角形，使其面积为． (3)在图③中，画钝角三角形，使其面积为．这样的点E有几个位置 ． 43．中，是的角平分线，是的高． (1)如图1，若，请说明的度数； (2)如图2（），试说明的数量关系． 44．【概念认识】 如图①，在中，若，则叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，，是的“三分线”，则______； （2）如图②，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数； （3）如图③，在中，分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数（用含x的式子表示）． 45．已知点A在射线上，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，垂足为B，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作交射线于点F，当时，求的度数． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $