第14题 三角函数图像性质分类训练-2026届高考数学三轮冲刺

2026年新高考第14题分类训练 三角函数图像性质 考点 3年考题 考情分析 三角函数图像性质 2025年新高考Ⅰ卷第4题 2024年新高考Ⅰ卷第7题 2024年新高考Ⅱ卷第9题 2023年新高考Ⅰ卷第15题 2023年新高考Ⅱ卷第16题 三角函数会以单选题、多选题、填空题、解答题 4 类题型进行考查，其中与图形结合的题型分布于填空难度多为中档或较难，纵观近 3 年的新高考试题，该类题型重点考查三角函数的图象特征分析、图象与几何图形的综合应用、三角函数模型的实际几何建模等内容。可以预测 2026 年新高考命题方向将继续以三角函数图象与几何条件的结合、几何模型下的三角函数解析式构建、图象交点与几何图形性质的关联考查等问题展开命题。 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第4题）一若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即. 故选：B 2．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【解析】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 3.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第9题）对于函数和，下列正确的有（    ） A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 【答案】 BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【解析】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 4.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数图像性质可得，故， 故答案为：. 5.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【解析】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 (k∈Z)上是递增函数， (k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z) 上是递增函数　　　　 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) 对称中心是(k∈Z) 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ φ 3.三角函数值域或最值的3种求法 （1）形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域 （3）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 4.求三角函数单调区间的2种方法 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 5.已知单调区间求参数范围的3种方法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 6.三角函数周期的求解方法 （1）三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的最小正周期分别为2π，2π，π； （2）y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为； 7.与三角函数奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 8.三角函数的复合函数性质求法 把视为一个“整体”，例分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间 9.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 三角函数基本性质 1.（九江市2026届第一次高考模拟统一考试）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，. 由余弦曲线知在上单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故A不符合题意； 由正弦曲线知在上先单调递增再单调递减，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上先单调递增再单调递减，故C不符合题意； 当时，，由正弦曲线知在上单调递增，又是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递增，故B符合题意； 当时，，由正切曲线知在上单调递增，又是减函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知在上单调递减，故D不符合题意. 故选：B. 2.（2026届江苏省G4联考12月）先将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上的所有点向左平移个单位；所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数；再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是的图象． 故选：D 3.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 所以. (法一)当时，，A不正确； 当时，，B不正确； 当时，，C不正确； 当时，，D正确. 故选：D. （法二）令，解得，即函数图象的对称轴方程为. 当时，；当时，；当时，， 所以的图象在上只有两条对称轴，分别为和， 故选：D. 4.（湖南怀化市2026届高三下学期第一次模拟）已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__________. 【答案】或 【解析】令，可得， 因为函数的两个相邻零点间的距离为，则，解得， 若，则，可得； 若，则，可得； 综上所述：或 5.（安徽省合肥市2026届高三教学检测）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，令函数， ，即函数是奇函数， 而函数是偶函数，则函数是奇函数， 因此，解得，又， 所以当时，取得最小值. 故选：C 6.（安徽省黄山市2026届高三第一次质量检测）函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】向左平移后解析式为， 若其图象关于轴对称，则，则，又因为，则当时，取得最小值，为. 故选：C. 取值范围 1.（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三联考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】函数的图象关于直线对称，所以，，得，，因为，所以当时，取最小值，为， 故选：A. 2.（山东济宁市2026年高考第一次模拟）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】因为图象的一个对称中心为，故图象的对称中心为， 故，故，而，故. 3.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为________。 【答案】1 【解析】本题考查三角函数的图象与性质.，由正弦函数的图象与性质可知，得. 4.（江西省部分省示范高中2025-2026学年高三一轮复习摸底）函数在上的值域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，，则， 要使f(x)在上的值域是， 则. 故选：C. 5.（广东省2026年1月普通高等学校招生适应性测试）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上递增，且，故，得，即， 在上递减，且，而，，只需，得，综上，. 故选：C 6.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试）已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 故可得， 由，故可得， 令，可得， 则或或或，， 因为在上有且仅有三个解， ，解得． 故选：D. 取值范围，定义域有关m的取值范围 1.（山东潍坊市2026届2月高考模拟）若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为 . 【答案】 【解析】 ，当时，， 由题意可得，即，故实数的最大值为. 故答案为：. 2.（湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 3.（宁波市2025学年第一学期期末考试）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， 则的单调递增区间满足， 解得，而在区间上单调递增，则必有，解得，也即，又因为，所以，取最小值，所以． 故选：C． 4.（江西省2026届高中毕业班二月诊断考试）已知函数.若方程在上恰有85个解，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】函数的周期，每个周期内有2个解，在区间内包含（余）个完整周期， 在完整周期内有个解，故余下区间内有1个解， 设，则， 即在区间内有1个解， 由任意角可得在区间内有1个解， 解得或，， 因为，易得，则有： ①区间包含但不包含， 即，且，解得， ②区间包含但不包含， 即，且，解得， 综上，的取值范围为. 图像几何有关问题 1.（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟）若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】由图象得，，即，而，则， ，又，则， 解得，函数的最小正周期，由图象知， 则，所以，， 由，得，则， 解得， 即关于的不等式的解集为. 2.（福建厦门大学附属科技中学2026届高三下学期数学3月限时训练）函数（）的部分图像如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，记，则________. 【答案】8 【解析】过作轴，如图所示： 由是图象的最高点，所以， 又，所以函数的最小正周期为2， 因为之间的距离为一个周期的长度，所以， 设， 所以在直角与直角中有： ， 在中，，所以， 所以. 3.（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考）已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 【答案】 【解析】由，得，整理得， 解得，则， 不妨取函数图象相邻的三个交点为， 依题意，是等腰直角三角形，由对称性得，则， 所以. 故答案为： 4.（江西赣州市2025-2026学年高三下学期摸底）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可得，， 所以，故①， 又因为，可得， 又因为函数在附近单调递增，所以②， ①②得， 令，则，则，可得， 由图可知，函数的最小正周期满足，可得， 即，所以，即， 又因为，则，所以，则， 所以，可得， 因为，所以，则，故， 故. 5.（湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研）如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 【答案】 【解析】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. 三角函数综合 1.（2026届T8联考）图 1 是古书《天工开物》中记载的简车图. 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具. 在农业上得到广泛应用. 在图 2 中,一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转 1.5 圈,简车的轴心 距水面的高度为 . 设筒车上的某个盛水桶 (看作点)到水面的距离为 (单位: ) (若在水面下则 为负数),若以盛水桶 刚浮出水面时开始计时, 与时间 (单位:s) 之间的关系为 ,则 图 1 图 2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题得筒车半径为 ,转动一圈需要 40 s,且轴心 距水面高度为 , 又以盛水桶 刚浮出水面时开始计时, . 又 . 2.（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟）已知函数，若的图象关于直线对称，，则的值为______. 【答案】/ 【解析】函数，因为函数图象关于直线对称， 所以，即，因为，所以， 所以， 又，所以， 所以 . 3.（福建省福州市2026届高三三月质量检测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】因为，所以 ， 当时，，显然不成立； 当时，，显然成立， 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 所以，，， ， ， 因为， 所以. 所以的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新高考第14题分类训练 三角函数图像性质 考点 3年考题 考情分析 三角函数图像性质 2025年新高考Ⅰ卷第4题 2024年新高考Ⅰ卷第7题 2024年新高考Ⅱ卷第9题 2023年新高考Ⅰ卷第15题 2023年新高考Ⅱ卷第16题 三角函数会以单选题、多选题、填空题、解答题 4 类题型进行考查，其中与图形结合的题型分布于填空难度多为中档或较难，纵观近 3 年的新高考试题，该类题型重点考查三角函数的图象特征分析、图象与几何图形的综合应用、三角函数模型的实际几何建模等内容。可以预测 2026 年新高考命题方向将继续以三角函数图象与几何条件的结合、几何模型下的三角函数解析式构建、图象交点与几何图形性质的关联考查等问题展开命题。 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第4题）一若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第7题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第9题）对于函数和，下列正确的有（    ） A．与有相同零点 B．与有相同最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴 4.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第15题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 5.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 (k∈Z)上是递增函数， (k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z) 上是递增函数　　　　 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) 对称中心是(k∈Z) 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ φ 3.三角函数值域或最值的3种求法 （1）形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域 （3）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 4.求三角函数单调区间的2种方法 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； 5.已知单调区间求参数范围的3种方法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； 6.三角函数周期的求解方法 （1）三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的最小正周期分别为2π，2π，π； （2）y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为； 7.与三角函数奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 8.三角函数的复合函数性质求法 把视为一个“整体”，例分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间 9.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 三角函数基本性质 1.（九江市2026届第一次高考模拟统一考试）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2.（2026届江苏省G4联考12月）先将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上的所有点向左平移个单位；所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 3.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 4.（湖南怀化市2026届高三下学期第一次模拟）已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__________. 5.（安徽省合肥市2026届高三教学检测）已知函数为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6.（安徽省黄山市2026届高三第一次质量检测）函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 取值范围 1.（湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三联考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 2.（山东济宁市2026年高考第一次模拟）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 3.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为________。 4.（江西省部分省示范高中2025-2026学年高三一轮复习摸底）函数在上的值域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.（广东省2026年1月普通高等学校招生适应性测试）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 6.（吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期第三次摸底考试）已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 取值范围，定义域有关m的取值范围 1.（山东潍坊市2026届2月高考模拟）若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为 . 2.（湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（宁波市2025学年第一学期期末考试）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4.（江西省2026届高中毕业班二月诊断考试）已知函数.若方程在上恰有85个解，则的取值范围为 . 图像几何有关问题 1.（山东淄博市2025-2026学年高三下学期模拟）若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 2.（福建厦门大学附属科技中学2026届高三下学期数学3月限时训练）函数（）的部分图像如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，记，则________. 3.（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考）已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 4.（江西赣州市2025-2026学年高三下学期摸底）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5.（湖北武汉市2026届高中毕业生三月调研）如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 三角函数综合 1.（2026届T8联考）图 1 是古书《天工开物》中记载的简车图. 简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具. 在农业上得到广泛应用. 在图 2 中,一个半径为 的筒车按逆时针方向每分钟转 1.5 圈,简车的轴心 距水面的高度为 . 设筒车上的某个盛水桶 (看作点)到水面的距离为 (单位: ) (若在水面下则 为负数),若以盛水桶 刚浮出水面时开始计时, 与时间 (单位:s) 之间的关系为 ,则 图 1 图 2 A. B. C. D. 2.（黑龙江齐齐哈尔市2026届高三第一次模拟）已知函数，若的图象关于直线对称，，则的值为______. 3.（福建省福州市2026届高三三月质量检测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $