7.5 正态分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.5正态分布 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 （1）连续型随机变量：随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为___，我们称这类随机变量为连续型随机变量. （2）正态分布：函数f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数. 我们称f（x）为_________，称它的图象为正态密度曲线，简称________，如图所示. 若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从__________. 记为X～_______. 特别地，当_____________时，称随机变量X服从标准正态分布. 若X～N（μ，σ2），则如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积. （3）正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线________对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值________； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近_______. ④在参数一定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.            图1 ⑤当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定. 当σ较小时，峰值高，曲线______，表示随机变量X的分布比较______；当σ较大时，峰值低，曲线______，表示随机变量X的分布比较______，如图2所示.            图2 ⑥曲线与轴之间所夹区域的面积等于1． （4）正态分布的均值、方差：若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2. （5）正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 ①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0. 682 7； ②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0. 954 5； ③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0. 997 3. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. （6）正态分布计算常用结论 ①P（X<a）＝1－P（X≥a）. ②P（X<μ－a）＝P（X≥μ＋a）. ③P（X<μ－b）＝ （b>0）. （7）微思考 正态曲线f（x）＝，x∈R，中的参数μ，σ有何意义？ （8）微思考如果，那么与之间存在怎样的数量关系？ 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   2．已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 3．已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 6．为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 7．袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（   ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则，，.] A．6827 B．8161 C．9545 D．9759 8．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机变量，且，（），则（    ） A． B． C． D．（） 10．已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 11．已知随机变量，则（    ） A． B．越大，随机变量的方差越大 C．随机变量的分布越集中，的值越小 D．的取值在内是小概率事件 三、填空题 12．已知随机变量X服从正态分布，若，则______ 13．已知随机变量，，则______. 14．某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天. 四、解答题 15．根据正态密度函数的表达式f（x）＝，x∈R，，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 16．设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 17．若一个正态密度函数f（x）＝，x∈R，是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 18．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 19．毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.5正态分布 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 （1）连续型随机变量：随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为___，我们称这类随机变量为连续型随机变量. 【答案】 0 （2）正态分布：函数f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数. 我们称f（x）为_________，称它的图象为正态密度曲线，简称________，如图所示. 若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从__________. 记为X～_______. 特别地，当_____________时，称随机变量X服从标准正态分布. 若X～N（μ，σ2），则如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积. 【答案】 正态密度函数 正态曲线 正态分布 N（μ，σ2） μ＝0， σ＝1 （3）正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线________对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值________； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近_______. ④在参数一定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.            图1 ⑤当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定. 当σ较小时，峰值高，曲线______，表示随机变量X的分布比较______；当σ较大时，峰值低，曲线______，表示随机变量X的分布比较______，如图2所示.            图2 ⑥曲线与轴之间所夹区域的面积等于1． 【答案】 x＝μ x轴 “瘦高” 集中 “矮胖” 分散 （4）正态分布的均值、方差：若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2. （5）正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 ①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0. 682 7； ②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0. 954 5； ③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0. 997 3. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. （6）正态分布计算常用结论 ①P（X<a）＝1－P（X≥a）. ②P（X<μ－a）＝P（X≥μ＋a）. ③P（X<μ－b）＝ （b>0）. （7）微思考 正态曲线f（x）＝，x∈R，中的参数μ，σ有何意义？ 【答案】μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ；σ>0表示标准差，D(X)＝σ2.一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R. （8）微思考如果，那么与之间存在怎样的数量关系？ 【答案】如果，则正态曲线关于直线对称，且正态曲线与轴所围成的面积为，故 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 2．已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布曲线的特点，利用函数曲线的对称性，即可求出答案。 【详解】由随机变量，所以函数曲线关于直线对称， 又，且，所以. 故选：B 3．已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、正态曲线的性质 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，又，， 所以，解得. 故选：C. 4．已知两个随机变量，满足，且，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】方差的性质、标准正态分布的应用 【分析】结合正态分布的方差，以及方差的性质求解即可 【详解】由题，，则，又，， 故选：D 5．设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边，即. 的密度曲线较为分散， 的密度曲线较为集中，即，故AB错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确； 故选：D 6．为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】因为 ，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 7．袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（   ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则，，.] A．6827 B．8161 C．9545 D．9759 【答案】C 【知识点】3δ原则、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据题意得到误差的随机变量满足的条件，结合附加数值计算. 【详解】因为误差的样本均值为，样本方差为，所以， 又规定误差的绝对值不超过为合格，即合格时误差随机变量满足， 即，根据附加信息， 估计误差满足的概率约为， 所以估计合格的袋数约为. 故选：C. 8．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】结合正态分布曲线的对称性，得到，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布曲线关于对称， 因为，所以， 又因为，所以， 所以. 二、多选题 9．已知随机变量，且，（），则（    ） A． B． C． D．（） 【答案】BC 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态分布曲线的对称性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，则，则，即，故B正确； 对于C，因为，而， 故，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以，故D错误. 故选：BC. 10．已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】首先根据条件确定和，再根据的概率数据，判断选项. 【详解】因为正态曲线在上单调递增，在上单调递减，所以正态曲线关于直线对称，所以； 因为，结合，可知； 因为， 且，，， 所以，所以； 因为， 所以． 故选：ACD 11．已知随机变量，则（    ） A． B．越大，随机变量的方差越大 C．随机变量的分布越集中，的值越小 D．的取值在内是小概率事件 【答案】ACD 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质 【分析】应用正态分布性质及对称性判断各个选项即可． 【详解】对于A，因为随机变量，所以， 所以，故A正确； 对于B，，而非方差，故B错误； 对于C，随机变量的分布越集中，说明数据的波动越小，方差越小， 而，则的值越小，故C正确； 对于D，根据原则，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．已知随机变量X服从正态分布，若，则______ 【答案】2 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【详解】由，则， 结合正态分布的对称性知， 所以，则 13．已知随机变量，，则______. 【答案】/ 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【详解】由题意得. 14．某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天. 【答案】60 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据满足：，由求解. 【详解】因为营业额不低于4000元的天数为90， 所以， 所以， 所以该公司每天营业额在的天数约为， 故答案为：60 四、解答题 15．根据正态密度函数的表达式f（x）＝，x∈R，，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【知识点】正态密度函数 【分析】将所给的函数表达式与正态密度函数的表达式对照即可求得. 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 16．设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】（1）利用正态分布的对称性，可得解； （2）根据正态分布对称性，可得，可得解 【详解】（1）由题意，随机变量，且 由正态分布的对称性可知， 故c的值为2. （2）由于，因此，， 故 17．若一个正态密度函数f（x）＝，x∈R，是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【答案】 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】可根据正态密度函数的性质，结合偶函数的特点以及函数最大值来确定正态密度函数解析式中的参数. 【详解】由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于轴对称，即，又该函数的最大值是， 所以，解得． 故所求正态密度函数的解析式为. 18．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解； （2）由，利用正态分布的对称性，求得的值，进而估计出成绩在内的学生的人数. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例, 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为. （2）解：由， 则 , 因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人， 所以成绩在内的学生人数大约为人. 19．毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、二项分布的均值、指定区间的概率 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质，代入计算，即可得到结果： （2）根据题意，由正态分布的概率公式可得，再由二项分布的期望公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得． （2）由题意得 ， 则，， ，， 即随机变量Y的期望约为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $