专题6 提升点14 不等式的证明-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学（教用课件）

提升点14　不等式的证明 1 　　　(2025·长沙二模节选)已知函数f(x)＝x2ln x. (1)求函数f(x)的极值； 技法一　转化法证明不等式 返回首页 二轮专题复习 (2)证明：对任意的x∈(0，＋∞)，有f(x)≥x－1. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 【解题技法】　转换法证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)转换为新的函数f(x)； (3)利用导数研究函数f(x)的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，让最值与0比较大小，得到所证不等式． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)证明：f(x)≤ax＋b. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 技法二　放缩法证明不等式 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 　　　已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； 技法三　双函数构造法证明不等式 返回首页 二轮专题复习 (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 【解题技法】　(1)在证明不等式时，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． (2)对于一些不等式可转化为f(x)≥g(x)的形式，证明f(x)min≥g(x)max即可，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不一定是同一个x的值．在转化中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准． 返回首页 二轮专题复习 　 　　已知函数f(x)＝2xex＋ax(a∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x. (1)求实数a； 解：f′(x)＝2(x＋1)ex＋a， 所以f′(0)＝2＋a＝1，解得a＝－1. 返回首页 二轮专题复习 (2)证明：f(x)＞ln x＋1. 返回首页 二轮专题复习 【解】　易知x∈(0，＋∞)， 因为f′(x)＝2x ln x＋x＝x(2ln x＋1)， 令f′(x)＝x(2ln x＋1)＝0，则x＝， 所以当x∈(0，)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 所以f(x)的极小值为f()＝－，无极大值． $