7.1.1两条直线相交 同步讲义2025-2026学年人教版数学七年级下册

本讲义聚焦“两条直线相交”核心知识点，系统梳理邻补角（有公共边、另一边互为反向延长线且互补）和对顶角（有公共顶点、两边互为反向延长线且相等）的定义与性质，为相交线后续学习搭建基础支架。 资料通过梯度化题型设计（从定义辨析到综合计算），结合生活实例（如剪刀抽象模型）培养数学眼光，通过探究n条直线相交的对顶角对数发展推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

7.1.1 两条直线相交 一 巩固知识要点 知识点 定义概念 注意点 邻补角 有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角。邻补角互补。 互补、公共边 对顶角 有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角。 公共顶点 对顶角的性质 对顶角相等。 对顶角 二 梳理题型思路 一、题型一 对顶角的定义 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 3．下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有_____对． 5．（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 二、题型二 对顶角的计算 6．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线相交于点O，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线 相交于点O，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 10．如图，直线相交于点O，把分成两部分．若，且，求的度数． 三、题型三 邻补角的定义 11．下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 13．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 14．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是______，的邻补角是______． 15．阅读材料： 我们学过补角，现给出邻补角的定义如下： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图： 直线与相交，与互为邻补角，． 解决问题： 如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角； (3)如果，求，． 四、题型四 邻补角的计算 16．如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（    ） A． B． C． D． 17．如图，已知点在直线上，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 19． 如图，点O是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 20．如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 五、题型五 余角补角关系 21．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 22．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 23．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B． C． D． 24．一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 25．如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 六、题型六 角度的综合计算 26．如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． (1)若，求的度数； (2)判断是否平分，并说明理由． 27．如图所示，，，射线平分． (1)当时，求的大小； (2)若射线是射线的反向延长线，当时，求的大小． 28．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，直角三角板可绕顶点O转动． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)将直角三角板绕点转动后，使其一边在的内部，如图2所示，若恰好平分，求此时的度数． 29．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 30．已知O为直线上的一点，为直角，平分． (1)如图①，若，则__________； (2)如图①，若，求的度数（用含n的代数式表示）； (3)如图②，若，平分，且，求n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1.1 两条直线相交 一 巩固知识要点 知识点 定义概念 注意点 邻补角 有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角。邻补角互补。 互补、公共边 对顶角 有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角。 公共顶点 对顶角的性质 对顶角相等。 对顶角 二 梳理题型思路 一、题型一 对顶角的定义 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 2．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角， 3．下列工具中，有对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项A． 故选：A． 4．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有_____对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 5．（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 【答案】（1）①2  ②6  ③12  ④（2）（3）归纳结论：n条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【分析】（1）根据对顶角定义，认真观察图①②③，求出答案即可，根据①②③对顶角的个数进行探究即可； （2）依据规律可以推测出若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； （3）根据（1）（2）得到的结论，进行归纳即可． 【详解】解：（1）①图①中对顶角是与，与，共有对对顶角． ②图②中对顶角是与，与，与，与，与，与，共有对对顶角． ③图③中有条直线相交于点，共有对对顶角． ④根据以上总结，2条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）． 以此类推，条直线相交于一点，可形成的对顶角对数为 ． 故答案为：①；②；③；④． （2）若条直线两两相交于不同的点，则有（个）交点，有对对顶角； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，有对对顶角； ……； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，共有对对顶角． 故答案为：． （3）归纳结论：条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键． 二、题型二 对顶角的计算 6．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，利用邻补角互补求角度等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用对顶角相等，结合，求得，再利用邻补角求解即可． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， 又， ∴， 即， 又， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，直线相交于点O，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对顶角相等得出，再结合已知条件得出，最后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：由对顶角得出， ∵， ∴， ∴． 8．如图，直线 相交于点O，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的和差，对顶角相等， 先求出，再根据对顶角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 9．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 10．如图，直线相交于点O，把分成两部分．若，且，求的度数． 【答案】148° 【分析】本题考查了角的和差，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据对顶角相等得出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴． 三、题型三 邻补角的定义 11．下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为． 【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意； B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意； C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意； D、与 的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，解题关键是抓住邻补角的两个核心特征：“相邻”（有公共边）和“互补”（和为 ，且另一边互为反向延长线）． 12．如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【答案】C 【分析】根据邻补角的概念判断即可．本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角． 【详解】解：依题意，与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：C． 13．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 14．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是______，的邻补角是______． 【答案】 / 或 【分析】本题主要考查邻补角及对顶角的定义，熟练掌握邻补角及对顶角的定义是解题的关键；因此此题可根据邻补角及对顶角的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：的对顶角是， ∵， ∴的邻补角是或； 故答案为：，或． 15．阅读材料： 我们学过补角，现给出邻补角的定义如下： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图： 直线与相交，与互为邻补角，． 解决问题： 如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角； (3)如果，求，． 【答案】(1)的邻补角是，；的邻补角是，； (2)的对顶角是；的对顶角是； (3)， 【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角的定义，邻补角互补，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据邻补角的定义进行作答即可； （2）根据对顶角的定义进行作答即可； （3）结合邻补角互补的性质，对顶角相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，的邻补角是，； 的邻补角是，； （2）解：的对顶角是；的对顶角是； （3）解：∵， ∴（对顶角相等）， ∴（邻补角定义）， 四、题型四 邻补角的计算 16．如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用邻补角互补求角度，几何图形中角度计算问题． 根据邻补角互补，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 17．如图，已知点在直线上，，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平角定理先求，结合角平分线定理可得，结合进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 18．如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义． 根据题意可得，再根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】， ，即， ， ， 为直线， ， ，即与互补，故A正确，不符合题意； ， 与互余，故B正确，不符合题意； ，， ， 则与互补，故C正确，不符合题意； ， 与互补， 又与不一定相等， 与互补说法错误，故D错误，符合题意． 故选：D． 19． 如图，点O是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的和差关系即可求解； （2）根据角平分线的性质以及角度的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．如图，已知直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直接解答即可； （2）根据平角的定义可求，根据对顶角的定义可求，根据角的和差关系可求的度数． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：，且， ， ， ， ． 五、题型五 余角补角关系 21．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，三角板中角的计算余角的性质，熟练掌握三角板中角的特点，是解答本题的关键．根据题意计算、结合图形比较，即可得到答案． 【详解】解：①图形中，根据同角的余角相等可得，故①符合题意； ②图形中，，和不一定相等，故②不符合题意； ③图形中，，故③符合题意； ④图形中，，，，故④不符合题意； 综上，正确的有①③． 故选：B． 22．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的知识．根据“同角的余角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴（同角的余角相等）． 故选：A 23．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，根据三角尺摆放位置分析求出与的度数，再判断相等． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A不符合题意， B、∵， ∴，故B不符合题意， C、∵，， ∴，故C不符合题意， D、∵，， ∴， ∴，故D符合题意． 故选：D． 24．一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的定义，同角的余角相等，三角板中角度的特点，度数之和为90度的两个角互余，据此根据同角的余角相等，平角的定义和三角板中角度的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、根据同角的余角相等可得，但不一定有，故不能确定与两角互余，不符合题意； B、根据三角板中角度的特点可得，则，故与两角不互余，不符合题意； C、根据平角的定义和三角板中角度的特点可得，故可以确定与两角互余，符合题意； D、根据平角的定义可得，故与两角不互余，不符合题意； 故选：C． 25．如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【详解】解：∵，是斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴图中与(除外)相等的角的个数是2． 六、题型六 角度的综合计算 26．如图，直线、相交于点，将一个直角三角板的直角顶点放置在点处，且平分． (1)若，求的度数； (2)判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差计算，对顶角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 对于（1），先由对顶角相等和角平分线定义求出，进而求解即可； 对于（2），根据题意证明出，即可得到平分． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴； （2）解：是，理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 27．如图所示，，，射线平分． (1)当时，求的大小； (2)若射线是射线的反向延长线，当时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，理解图示，掌握角度和差的计算方法，互余、互补的概念及计算是解题的关键． （1）根据题意可得，由角平分线的定义得到，由即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义得到，列式计算得，根据互补的关系有，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 则， ∴， ∴． 28．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，直角三角板可绕顶点O转动． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)将直角三角板绕点转动后，使其一边在的内部，如图2所示，若恰好平分，求此时的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据邻补角与角的和差计算即可； （2）根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， 恰好平分， ， ． 29．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 30．已知O为直线上的一点，为直角，平分． (1)如图①，若，则__________； (2)如图①，若，求的度数（用含n的代数式表示）； (3)如图②，若，平分，且，求n的值． 【答案】(1)23 (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线有关计算．熟练掌握角平分线定义，余角补角有关计算角的和差倍分计算，是解题的关键． （1）求出，根据角平分线定义得，根据为直角，，即得； （2）求出，根据角平分线定义得，根据为直角，，即得； （3）设，则，．根据角平分线定义现，得，解得，即得． 【详解】（1）解：∵，∴． ∵平分，∴． ∵为直角，∴． 故答案为：23． （2）解：∵，∴． ∵平分，∴． ∵为直角，∴． （3）解：设，则，． ∵平分，平分，， ∴，解得， ∴，所以． 故n的值是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $