19.1多边形 教案 共2课时教学设计 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

第十九章 四边形 19.1 多边形 第2课时 一、教学目标 1.掌握多边形的外角和概念，并认识正多边形，了解四边形不具有稳定性. 2.探索并掌握多边形的外角和定理. 3.经历猜想、探索、推理、归纳等过程，让学生体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法. 4.通过动手操作、交流讨论激发学生的学习热情，体验从猜想到证明的成就感，并从中体会数学学习是一个充满探索的过程. 二、教学重难点 重点：多边形的内角和、认识正多边形及四边形的稳定性. 难点：多边形的外角和定理. 三、教学过程设计 环节一：创设情境 问题1：什么是多边形的内角和定理? 预设：n边形的内角和等于(n2)180°(n为不小于3的整数). 问题2：什么是多边形的外角? 预设：在顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角. 设计意图：唤醒多边形内角和旧知，明确外角概念，为推导外角和铺垫，以旧带新，构建多边形角度知识体系. 环节二：探究新知 思考：什么是多边形的外角和？ 预设：在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，把它们的和叫作多边形的外角和.如图，∠1、∠2、∠3和∠4的和就是多边形ABCD的外角和. 　探究：前面研究了多边形的内角和，多边形外角和又有怎样的规律？ 1.如图，四边形ABCD的每一个外角都与同它相邻的内角互补.你能利用四边形ABCD的内角和来求四边形ABCD的外角和吗? 观看课件动画展示，很容易想到：四边形的每一个外角和它相邻的内角互补；四个内角与四个外角的和是180°×4.又知道四边形的内角和：360°，所以四边形的外角和：180°×4 – 360°=360°. 得出结论：四边形的外角和等于360°. 2.如图，按照同样的方法，五边形的外角和呢? 观看课件动画展示，很容易想到：五边形的每一个外角和它相邻的内角互补；五个内角与五个外角的和是180°×5.又知道五边形的内角和：540°，所以五边形的外角和：180°×5 – 540°=360°. 得出结论：五边形的外角和等于360°. (还可以通过其它的方法探究得出此结论，让学生自由发挥.) 3.类比上面的过程，n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于多少呢？ 同样我们能够得到：n边形的每一个外角和它相邻的内角互补；n个内角与四个外角的和是180°×n.又知道n边形的内角和：(n–2)×180°，所以n边形的外角和：180°×n–(n–2)×180°=360°. 得出结论：n 边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数). 设计意图：让学生类比四边形的外角和推导过程，推导得出结论：多边形的外角和等于360°.培养学生独立分析问题与解决问题的能力. 想一想：正方形的边、角有什么特点？ 接着给出反例：长方形和平行四边形. 长方形：各个内角都相等，但是各条边不都相等. 平行四边形：各条边都相等，但是各个角不都相等. 追问1：结合前边的分析，你能给出多边形的定义吗？ 预设：多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形. 追问2：下图中各个正多边形分别读作什么？(正多边形的命名) 正多边形的特点：各条边都相等、各个角都相等. 设计意图：让学生类比正方形学习正多边形，并通过举反例加深印象，提高分析问题和解决问题的能力. 议一议：三角形具有稳定性，但四边形则具有不稳定性（即各边的长确定后，图形形状不能确定），在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用，例如中活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以它可以拉开，也可以收拢.你能举出应用四边形的不稳定性的其他例子吗？ 设计意图：通过议一议，得到四边形不具有稳定性，在实际生活中的应用，增强学生学习的积极性. 环节三：应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1：求正六边形每个内角的度数. 分析：先求正六边形的内角和，再根据正六边形各个内角相等求每个角. 解：正六边形的内角和为(6–2)×180°= 720°. 而且正六边形的6个内角的度数都相等， 所以每个内角的度数为：720°÷6 = 120°. 例2 已知正多边形的每个内角是其外角的2倍，则这个多边形是正几边形. 分析：先求正多边形的内角和，再根据正多边形每个内角与外角关系求解. 解：设正多边形为正n边形，则其的内角和为(n–2)×180°, 所以每个内角为，每个外角为. 所以，解得n=6. 故这个多边形是正六边形. 设计意图：巩固学生对多边形的外角和定理的认识和理解. 环节四：课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.已知正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是____边形. 2.已知一个多边形的内角和比它的外角和大540°，求这个多边形的边数. 3.正多边形的每个内角可能是：(1)75°；(2)90°；(3)120°吗？说明理由. 答案： 1.八 2.解：因为多边形的外角和为360°， 所以多边形的内角和为：540°+360°=900°， 所以(n–2)×180°=900°，解得n=7. 故这个多边形的边数是7. 3.解：(1)因为多边形的内角和(n–2)×180°， 所以(n–2)×180°=75°×n， 解得n= 因为n是整数，所以正多边形的每个内角不可能是75°. (2)因为多边形的内角和(n–2)×180°， 所以(n–2)×180°=90°×n， 解得n=4 满足n是整数，所以正多边形的每个内角可能是90°. (3)因为多边形的内角和(n–2)×180°， 所以(n–2)×180°=120°×n， 解得n=6 满足n是整数，所以正多边形的每个内角可能是120°. 设计意图：学生通过练习，巩固本节课所学内容，熟练掌握利用内角和与外角和公式，同时进一步提高学生分析问题和解决问题的能力. 环节五：总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 四边形 19.1 多边形 第1课时 一、教学目标 1.了解多边形及有关概念（边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形）. 2.掌握多边形的内角和，感受探究多边形的内角和的过程. 3.通过对多边形的学习，体会数学知识之间的联系，提高分析和解决问题的能力. 4.通过从具体情境中识别出多边形，感受数学与生活的联系. 二、教学重难点 重点：多边形及其相关概念. 难点：多边形的内角和. 三、教学过程设计 环节一：创设情境 思考：你能从图中找出一些由线段围成的图形吗？ 　　 观察这些图形有什么共同特点？ 预设：都是由一些线段首尾顺次相接组成的. 设计意图：通过观察图片，让学生从具体情境中抽象出图形，丰富学生对几何图形的感性认识. 环节二：探究新知 　思考1：能否类比三角形的定义给它们下定义？ 教师引导学生回忆三角形的概念，并让学生类比三角形的概念说出多边形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 多边形的概念 在平面内，由若干条不在同一条直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形. 教师强调“在同一平面内”，并举出实例加深印象. 设计意图：通过类比三角形的定义给出多边形的定义，感悟类比方法的重要性.并通过让学生举例加深对多边形概念的理解. 思考：在三角形中我们研究了内角、外角，类似地，你能结合下图指出它的内角和外角吗？ 教师给出多边形的内角和外角的概念 多边形中相邻两边组成的角叫作多边形的内角.简称多边形的角. 在顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角. 设计意图：参考三角形的内角、外角画出五边形的内、外角，从熟悉的图形入手，让学生感知数学知识之间的联系，并熟悉内、外角的概念. 　思考：三角形由三条线段首尾顺次相接组成，所以叫做三角形，那么我们能否按照组成多边形的线段的条数将多边形进行分类呢？ 教师引导学生根据多边形的边数对多边形进行分类，并说出上面多边形的名称 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形(n为不小于3的正整数). 设计意图：类比三角形对多边形进行分类，让学会感知类比方法的价值. 思考：你能说出下面两个多边形的不同点吗？ 　　 教师引导学生找出两个图形的不同点，引出凸多边形的概念 一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形. 设计意图：通过观察图形找出不同点，让学生深刻理解凸多边形的概念. 探究：我们知道，三角形的内角和为180°，下面来探讨多边形的内角和. 1.四边形的内角和是多少？ (1)连接对角线，将四边形分割成两个三角形. 引导学生分析解决问题的思路—将四边形分割成两个三角形. 得出结论：四边形的内角和都等于360°. 概念：连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线. 如图，AC是四边形ABCD的一条对角线. (2)在四边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD. 同样得出结论：四边形的内角和都等于360°. 设计意图：通过连接对角线将四边形分割成两个三角形求出四边形内角和，渗透将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想. 2.类比上面的过程，你能探索出五边形的内角和吗？ 提示：可以将这个五边形划分成几个三角形. 得出结论：五边形的内角和等于540°. (还可以通过其它的方法探究得出此结论，让学生自由发挥.) 设计意图：将研究方法进行迁移，明确边数、从一个顶点出发的对角线条数、分割的三角形数、五边形内角和之间的关系，为后面的研究奠定基础. 3.类比上面的过程，你还能继续探索 n 边形的内角和吗？ 提示：类比上面的方法(从一个顶点出发画对角线)，完成下列表格： 根据动画展示，填写表格. 观察表格，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？ 得出结论：n边形的内角和等于(n2)180°(n为不小于3的整数). 设计意图：进一步研究n边形的内角和，引导学生找出边数与内角和之间的关系，进而得出结论：n边形的内角和等于(n－2)×180°. 想一想：你能给出这个定理的证明吗？ 证明n边形的内角和等于(n-2)×180°(n为不小于3的整数) 环节三：应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1：如图，四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为11：10：5：10.求四边形ABCD四个内角的度数. 分析：根据四边形的内角和是360°，即可列方程求解. 解：设∠B=∠D=(10x)°， 则∠A=(11x)°，∠C=(5x)° 由题意，得 11x+10x+5x+10x=360，解得x=10. 故∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为110°，100°，50°，100°. 设计意图：巩固学生对多边形的内角和定理的认识和理解. 环节四：课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.如图所示的图形中，属于多边形的有_______.(填序号) 2.若一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形的边数是_____. 3.(1)过四边形的一个顶点有______条对角线，四边形共有______条对角线； (2)过五边形的一个顶点有______条对角线，五边形共有________条对角线； (3)过n边形的一个顶点有_______条对角线，n边形共有_________条对角线. 4.已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，这个多边形是______边形. 5.已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形是_____边形. 6.一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是( ) A.60° B.90 C.180° D.360° 答案： 1.①②⑤ 2.九 3.（1）1,2；（2）2,5；（3）(n-3)， 4.八 5.六 6. C 设计意图：学生通过练习，巩固本节课所学内容，熟练掌握利用内角和与外角和公式，同时进一步提高学生分析问题和解决问题的能力. 环节五：总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 学科网（北京）股份有限公司 $