微专题 第七章 平行线中的“拐点”问题-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版）

微专题 平行线中的“拐点”问题 内容导航 类型一 一个“拐点”在平行线内部 1 类型二 多个“拐点”在平行线内部 3 类型三 “拐点”在平行线外部 6 题型1 过一个拐点作平行线求角度 7 题型2 过多个拐点作平行线求角度 10 题型3 过拐点作平行线的证明题 12 题型4 与拐点相关的探究题 17 题型5 与拐点相关的动态问题 23 综合练习 30 类型一 一个“拐点”在平行线内部 模型解读 模型名称 “猪蹄”模型 “铅笔头”模型 图例 结论 已知：AB∥CD，结论：∠O=∠B+∠D 已知AB∥CD,结论∠B+∠O+∠C=360° 模型证明 方法①过拐点作平行线 过点O作EF∥AB. ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∠B=∠1,∠D=∠2 ∠1+∠2=∠B+∠D, 即∠BOD=∠B+∠D 方法②作延长线 延长BO交CD于点G. ∵AB∥CD, ∴∠B=∠BGD. ∵∠BOD=∠D+∠BGD, ∴∠BOD=∠B+∠D 也可以延长DO,证明同方法② 方法①过拐点作平行线 过点O作EF∥AB. ∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD, ∴∠B+∠BOE=180°， ∠C+∠EOC=180° ∴∠B+∠BOE+∠C+∠EOC =360° ∴∠B+∠BOC+∠C=360° 方法②作延长线 延长AB,CO相交于点E. ∵AB∥CD, ∴∠E+∠C=180° ∵∠ABO+∠EBO=180° ∴∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=360° ∵∠E+∠EBO=∠BOC， ∴∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=∠ABO+∠BOC+∠C=360° 也可以延长 BO,DC,证明同方法② 注意：“铅笔头”模型与“猪蹄”模型之间可以互相转化，在做题时可以根据条件灵活构造模型如图，左半部分为“铅笔头”模型，右半部分为“猪蹄”模型。 【基础练习1】如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【基础练习2】如图，直线，，为直角，则_________．    【答案】 【分析】过点作，根据平行线的性质，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    则， ∴，， ∴， 故答案为：． 类型二 多个“拐点”在平行线内部 模型解读 模型名称 图例 结论 证明说明 “猪蹄”模型（拓展型） 2个拐点 个拐点 已知AB∥CD,，0₂是平行 线间的内凹拐点,结论： ∠+∠=∠B+∠D+180° 多拐点时，同样可过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化.（与类型一的证明类似） “铅笔头”模型（拓展型） 图示 多拐点“铅笔头”模型解题思路:有多少个拐点就添加多少条平行线:每组平行线间的夹角和为180° 拐点 0 1 2 3 4 角度 180° 360° 540° 720° “锯齿” 模型 基础 模型 已知AB∥EF,则∠B+∠D=∠C+∠E 多拐点时，同样可过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化 拓展 模型 拆分出1个“猪蹄”模型 拆分出1个“猪蹄”模型 左角之和等于右角之和 【基础练习1】机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】过作，过作， ，，，， ，， ， ， ，即， ． 故选：A． 【基础练习2】图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则_______． 【答案】80°/80度 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，过点A作，过点B作交于点H，根据平行线的判定和性质，求出的度数，利用角平分线的性质，即可得解. 【详解】解： 过点A作，过点B作交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵的延长线恰好是的角平分线， ∴； 故答案为：. 类型三 “拐点”在平行线外部 模型解读 模型名称 图例 结论 证明说明 “鹰嘴”模型 已知AB∥CD，则∠C+∠E=∠A 过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化 已知AB∥CD，则∠A+∠E=∠C 鹰嘴加小角等于大角 【基础练习1】如图，已知，则下列式子中，它的值等于的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，过的顶点作得出，进而根据平行线的性质可得，移项，即可求解． 【详解】解：如图，过的顶点作 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【基础练习2】如图，工程队铺设一公路，他们从点处铺设到点处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向，拐到点，再拐到点，然后沿着与平行的方向继续铺设．若，，则的度数是___________． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，构造是解题的关键． 根据题意，过点作，则，由此可得，由此，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，则， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型1 过一个拐点作平行线求角度 【典例】转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【变式练习1】如图，直线m∥n．若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的大小为_____度． 【答案】70 【分析】作BD∥m，由平行线的性质可得∠ABD=∠1=40°，∠CBD=∠2=30°，即可求得∠3的度数． 【详解】解：如图，作BD∥m， ∵m∥n． ∴BD∥m∥n． ∴∠ABD=∠1=40°，∠CBD=∠2=30°， ∴∠3=∠ABC=∠ABD+∠CBD=70°． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 【变式练习2】如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定．作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 题型2 过多个拐点作平行线求角度 【典例】如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、几何图形中的角度计算等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过点A作，过点B作，由平行线的性质可得；再说明可得，最后根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【变式练习1】如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，合理做出辅助线是解题的关键． 过点作，过点作，利用平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式练习2】如图，，设，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，分别过点、作的平行线，，设，则，根据平行线的性质与判定分别求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，分别过点、作的平行线，， 设， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 题型3 过拐点作平行线的证明题 【典例】已知，点E为平面内一点． (1)求证：． (2)若于点E，，过点E作，垂足为F，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）作平行线，根据平行线的性质即可求解； （2）作平行线，根据垂直以及平行线的性质即可求解． 本题考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点作, ∴, ∵, ∴, ∴， ∴． （2）证明：过点作, ∵,, ∴, ∵, ∴， ∴， ∵, ∴, ∴， ∵, ∴， ∴． 【变式练习1】[问题情境] 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线 ，点分别为直线上的点，点是平面内任意一点，连接． [探索发现] （1）当时，求证：； [拓展探究] （2）如图2点分别是直线上的点，且 ，直线，交于点，“智胜小组”探究 与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见详解 （2），理由见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）如图所示，过点作，可得，由平行线的性质得到，根据，即可求解； （2）设，则，根据平行线的性质，角的和差关系得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式练习2】如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 题型4 与拐点相关的探究题 【典例】综合与探究 【提出问题】（1）如图1，已知，线段分别与交于点A，G，B，，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点D在上，，，平分，，求的度数． 【拓展探究】（3）如图3，，，试探究和有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质的综合应用，角平分线的定义，邻补角的定义． （1）由，得到，根据，依据内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）利用，得到，由邻补角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，由，得到，即可求出的度数； （3）过点E作，根据，得到，，进而推出，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）． 理由：如图，过点E作．    ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式练习1】请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【答案】(1)，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点P作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等． （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：如图③， 延长交于点，延长交于点， ， ． ，， 即，， ， 即， ． 故答案为：． 【变式练习2】已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础问题】如图1，试说明： ； 【类比探究】如图2，当点 G在线段 EF的延长线上时，探究 ，，三者之间的数量关系． 【应用拓展】如图3，平分，交于点 H，且，，直接写出 的度数． 【答案】基础问题：见详解；类比探究：，理由见详解；应用拓展： 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； 基础问题：过点G作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解； 类比探究：过点G作直线，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解； 应用拓展：过点G作，过点H作，由平行线的性质得，，由平行线的判定方法得，，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助线是解题的关键． 【详解】基础问题： 解：如图过点G作， 又， ， ， ， ， ． 类比探究：， 理由如下： 如图，过点G作直线， ， ，， ， ， ； 应用拓展： 解：如图，过点G作，过点H作， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， 平分， ， ，， ， ， ． 题型5 与拐点相关的动态问题 【典例】如图1，已知直线，点是直线上两点，点在点左侧，点是直线上一点，连接，平分交于点． (1)若，则___________； (2)如图2，点是线段上一点，连接平分交于点．作交于点，点在线段上，且满足，当时，求证：； (3)如图3，若，点是射线上一点，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，当射线转至与射线重合时立即以相同速度绕点顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当射线回到出发时的位置时，射线，同时停止转动，则在转动过程中，当射线所在直线与射线所在直线互相垂直时，请直接写出所有符合条件的的值，并写出求解的值的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值是秒或秒或秒，见解析 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用． （1）根据得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的值； （2）设，则，根据得到，根据角平分线的定义得到，即，根据得到，即，根据角平分线的定义得到，即，即可证明； （3）分三种情况分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：； （2）证明：设， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）解：当射线转至与射线重合，则（秒），当 时，（秒）， ，如图， ， ； 当时，如图， ， ； 当时，如图， ， ； 综上：的值是秒或秒或秒． 【变式练习1】如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． (1)过点作，根据平行线的性质可知求出结果； (2)根据旋转的速度和时间可知，根据平行线的性质可得，根据同位角相等，两直线平行可知； (3)当时，要分射线绕点旋转小于和大于两种情况求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，， ； （2）， 理由如下， 射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）如图所示，当射线绕点旋转小于时， ，，，， ，， ， ， 又， ， ， 解得：， 如图所示，当射线绕点旋转大于时， ，，，， ，， ，， ∴， 又， ， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 【变式练习2】如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分． (1)求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． (3)将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)的值为10或20或25 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据角平分线及邻补角计算即可； （2）过点G作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （3）根据题意，分三种情况分析：当时，当时，当时，然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵平分， ∴， ∴； （2）过点G作，如图所示： 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，当时，延长交于点H，延长交于点O，交于点G， ∵， ∴， 由（1）得，； ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，延长交于点G， ∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 综上可得：的值为10或20或25． 综合练习 一、单选题 1．如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查两直线平行的判定与性质，直线平行的传递性，作合适的辅助线是解题的关键． 过作，由平行的性质可得，进而得到，即，再由平行的传递性可得． 【详解】解：过作， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ． 故选：C． 2．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 3．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】过C作CQAB，得出ABDECQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项． 【详解】解：过C作CQAB， ∵ABDE， ∴ABDECQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°-30°=80°， ∴∠E=180°-80°=100°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 4．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 【详解】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 5．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论． 【详解】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB, ∵CGAB,DHAB, ∴CGDHAB, ∵ABEF, ∴ABEFCGDH, ∵CGAB, ∴∠BCG=α, ∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α, ∵CGDH, ∴∠CDH=∠GCD=β-α, ∵HDEF, ∴∠HDE=γ, ∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°, ∴γ+β-α=90°, ∴β=α+90°-γ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质． 6．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 二、填空题 7．如图，已知，则，，______． 【答案】/20度 【分析】过点P作 ，则，可得，根据，可求． 【详解】解：如图，过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是做出辅助线，熟练运用平行线的性质． 8．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键； 过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的夹角为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，，已知，，则_________． 【答案】45 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：过点作，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 10．如图，已知，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，AB//CD，则______ 【答案】40° 【分析】首先过点作，由，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意两直线平行，内错角相等定理的应用与辅助线的作法． 12．将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件：，；；；；．能判断直线的有______（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意； 故答案为：． 三、解答题 13．已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【答案】见解析 【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论． 【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD， ∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角． 14．如图，，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用平行线的判定及性质即可得解； （2）由（1）得，将代入即可得解． 本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：过点作，如图，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， 解得． 15．如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理； （1）过点P作，则，从而有，根据即可求证； （2）过点P作，则，，由即可得之间的关系． 【详解】（1）证明：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴；    （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴．   + 16．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 17．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 【答案】110；（1），理由见解析；（2）或，理由见解析 【分析】小明的思路是：过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （1）过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）画出图形（分两种情况：①点P在的延长线上，②点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：小明的思路：如图2，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：110； （1），理由如下： 如图5，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）当P在延长线时，； 理由：如图6，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴； 当P在之间时，． 理由：如图7，过P作交于E， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 18．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算； （2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】（1）作，，如图，且 ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 19．（1）如图1，，，，则 ； （2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由详见解析；（3）当点在射线上时，；当点在上时，． 【分析】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可； （2）过点作交于点，然后根据平行线的性质求解即可； （3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可； 【详解】（1）如图1，过作 ， ， ， 又， ， 则 （2） 理由是： 如图2，过点作交于点 ， ， （3）当点在射线上时，设CD与AP交于点P，如图所示， ∵， ∴， 又∵在△CHP中，， ∴， 即：． 当点在上时，如图所示， 作PE∥AB， ∴∠APE=∠BAP=∠α， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠CPE=∠PCD=∠β， ∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α． 答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α． 即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 平行线中的“拐点”问题 内容导航 类型一 一个“拐点”在平行线内部 1 类型二 多个“拐点”在平行线内部 1 类型三 “拐点”在平行线外部 3 题型1 过一个拐点作平行线求角度 4 题型2 过多个拐点作平行线求角度 5 题型3 过拐点作平行线的证明题 5 题型4 与拐点相关的探究题 6 题型5 与拐点相关的动态题 8 综合练习 9 类型一 一个“拐点”在平行线内部 模型解读 模型名称 “猪蹄”模型 “铅笔头”模型 图例 结论 已知：AB∥CD，结论：∠O=∠B+∠D 已知AB∥CD,结论∠B+∠O+∠C=360° 模型证明 方法①过拐点作平行线 过点O作EF∥AB. ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∠B=∠1,∠D=∠2 ∠1+∠2=∠B+∠D, 即∠BOD=∠B+∠D 方法②作延长线 延长BO交CD于点G. ∵AB∥CD, ∴∠B=∠BGD. ∵∠BOD=∠D+∠BGD, ∴∠BOD=∠B+∠D 也可以延长DO,证明同方法② 方法①过拐点作平行线 过点O作EF∥AB. ∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD, ∴∠B+∠BOE=180°， ∠C+∠EOC=180° ∴∠B+∠BOE+∠C+∠EOC =360° ∴∠B+∠BOC+∠C=360° 方法②作延长线 延长AB,CO相交于点E. ∵AB∥CD, ∴∠E+∠C=180° ∵∠ABO+∠EBO=180° ∴∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=360° ∵∠E+∠EBO=∠BOC， ∴∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=∠ABO+∠BOC+∠C=360° 也可以延长 BO,DC,证明同方法② 注意：“铅笔头”模型与“猪蹄”模型之间可以互相转化，在做题时可以根据条件灵活构造模型如图，左半部分为“铅笔头”模型，右半部分为“猪蹄”模型。 【基础练习1】如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【基础练习2】如图，直线，，为直角，则_________．    类型二 多个“拐点”在平行线内部 模型解读 模型名称 图例 结论 证明说明 “猪蹄”模型（拓展型） 2个拐点 个拐点 已知AB∥CD,，0₂是平行 线间的内凹拐点,结论： ∠+∠=∠B+∠D+180° 多拐点时，同样可过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化.（与类型一的证明类似） “铅笔头”模型（拓展型） 图示 多拐点“铅笔头”模型解题思路:有多少个拐点就添加多少条平行线:每组平行线间的夹角和为180° 拐点 0 1 2 3 4 角度 180° 360° 540° 720° “锯齿” 模型 基础 模型 已知AB∥EF,则∠B+∠D=∠C+∠E 多拐点时，同样可过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化 拓展 模型 拆分出1个“猪蹄”模型 拆分出1个“猪蹄”模型 左角之和等于右角之和 【基础练习1】机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【基础练习2】图1是一盏可调节台灯，图2为示意图．固定底座于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且CD的延长线恰好是的角平分线，则_______． 类型三 “拐点”在平行线外部 模型解读 模型名称 图例 结论 证明说明 “鹰嘴”模型 已知AB∥CD，则∠C+∠E=∠A 过拐点作平行线，根据平行线的性质进行角度转化 已知AB∥CD，则∠A+∠E=∠C 鹰嘴加小角等于大角 【基础练习1】如图，已知，则下列式子中，它的值等于的是(   ) A． B． C． D． 【基础练习2】如图，工程队铺设一公路，他们从点处铺设到点处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向，拐到点，再拐到点，然后沿着与平行的方向继续铺设．若，，则的度数是___________． 题型1 过一个拐点作平行线求角度 【典例】转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式练习1】如图，直线m∥n．若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的大小为_____度． 【变式练习2】如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型2 过多个拐点作平行线求角度 【典例】如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图是某建筑工程施工云梯的工作示意图，其中．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】如图，，设，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型3 过拐点作平行线的证明题 【典例】已知，点E为平面内一点． (1)求证：． (2)若于点E，，过点E作，垂足为F，求证：． 【变式练习1】[问题情境] 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线 ，点分别为直线上的点，点是平面内任意一点，连接． [探索发现] （1）当时，求证：； [拓展探究] （2）如图2点分别是直线上的点，且 ，直线，交于点，“智胜小组”探究 与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由． 【变式练习2】如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 题型4 与拐点相关的探究题 【典例】综合与探究 【提出问题】（1）如图1，已知，线段分别与交于点A，G，B，，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点D在上，，，平分，，求的度数． 【拓展探究】（3）如图3，，，试探究和有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由．    【变式练习1】请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【变式练习2】已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础问题】如图1，试说明： ； 【类比探究】如图2，当点 G在线段 EF的延长线上时，探究 ，，三者之间的数量关系． 【应用拓展】如图3，平分，交于点 H，且，，直接写出 的度数． 题型5 与拐点相关的动态题 【典例】如图1，已知直线，点是直线上两点，点在点左侧，点是直线上一点，连接，平分交于点． (1)若，则___________； (2)如图2，点是线段上一点，连接平分交于点．作交于点，点在线段上，且满足，当时，求证：； (3)如图3，若，点是射线上一点，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，当射线转至与射线重合时立即以相同速度绕点顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当射线回到出发时的位置时，射线，同时停止转动，则在转动过程中，当射线所在直线与射线所在直线互相垂直时，请直接写出所有符合条件的的值，并写出求解的值的其中一种情况的过程． 【变式练习1】如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 【变式练习2】如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分． (1)求的度数． (2)试判断与的位置关系，并说明理由． (3)将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值． 综合练习 一、单选题 1．如图所示，已知，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 2．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 4．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，已知，则，，______． 8．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为______． 9．如图，，已知，，则_________． 10．如图，已知，，，则_____． 11．如图，AB//CD，则______ 12．将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件：，；；；；．能判断直线的有______（填序号）． 三、解答题 13．已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 14．如图，，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 15．如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 16．【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 17．问题情境：如图1，，，，求的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数； 小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数； 小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°； 问题迁移： （1）如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、间的数量关系． 18．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 19．（1）如图1，，，，则 ； （2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $