第五章 基本平面图形（必备知识+6大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

第五章 基本平面图形 知识点一 线段、射线、直线 1.概念：线段是直线上两点之间的部分，有 端点；射线是将线段向 形成的，只有 端点；直线是将线段向 形成的， 端点。 2.表示方法：都可以用 表示，线段、直线也可以用 表示。表示射线时，必须将表示端点的字母写在前面。 3.直线的性质： 。 4. 线段的性质： ，两点之间线段的长度叫两点间的距离。 5.线段的中点：把一条线段平均分成两条 的点，叫做这个线段的中点。线段中点到线段两个端点的距离相等，对于任意一条线段，它都有且只有一个中点。 知识点二 角 1.定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；也可以看作一条射线绕着它的端点 而形成的图形。 2.表示法：可以用 表示，顶点字母写在中间；也可用 表示（当以该字母为顶点的角只有一个时）；还可以用 或 表示。 3.度量单位：度、分、秒，1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 4.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成 两个角的射线叫做角平分线。 知识点三 多边形及正多边形 1.定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的 。各边 、各角也 的多边形叫做正多边形。 2.相关概念：多边形有顶点、边、内角、外角和对角线等概念。n边形一个顶点的对角线数为n-3，n边形的对角线总数为，n边形的外角和为360°。 知识点四 圆及扇形 1.圆的定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点 ，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做 ，线段叫做 。 2.扇形：圆上任意两点间的部分叫做 ，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做 ，顶点在圆心的角叫做 。 易错一、线段、射线、直线概念易错问题 1.概念混淆：易将直线、射线、线段的延伸性与端点数量混淆。如认为“射线可反向延长”（实际射线仅能向非端点方向延长），或误判“直线有长度”（直线无限长）。 2.表示错误：射线表示时端点字母未放前（如射线AB与射线BA不同）；直线、线段用小写字母表示时，误将射线也用小写字母表示（射线不可用小写字母单独表示）。 例题1．（24-25七年级上·吉林·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 易错二、分类讨论求线段多解易错问题 1.情况遗漏：在求线段长度（如已知AB、BC长度，求AC）时，易忽略点的位置多样性，只考虑点在中间或一侧的一种情况，导致漏解。 2.逻辑混乱：分类讨论时未明确分类标准（如按点的左右位置、在线段上或延长线上），易出现重复或矛盾的推导，影响结果准确性。 例题2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点是线段的中点，点分线段的长度为．已知厘米，则的长为 厘米． 题型三、分类讨论求角多解易错问题 1.漏情况：求角的度数（如已知∠AOB，作射线OC求∠BOC）时，易忽略OC位置，只考虑在角内部或外部一种情况，未全面分析射线与已知角的位置关系，导致少解。 2.错判断：分类时未明确标准（如按射线在角内/外），或误将不同位置归为同一类，比如把OC在∠AOB邻补角区域当作内部情况，逻辑混乱致结果错误。 例题3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）过的顶点画射线．若，则的度数是 ． 题型四、分类讨论求角中旋转多解易错问题 1.漏旋转方向：求旋转后角的度数时，易忽略旋转有顺时针、逆时针两个方向，只按单一方向计算，比如射线绕端点转30°，漏算反向旋转的情况，导致少解。 2.错定旋转范围：未明确旋转角是否超过平角、周角，误将超过的情况排除，比如旋转180°以上时，仍按小于180°计算，或未结合图形边界判断，导致结果偏差。 例题4．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图①，为直线上一点，过点作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上，将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 题型五、线段上动点探究易错问题 1.漏定位置范围：未明确动点在线段上、延长线上的不同位置，直接按单一区域计算线段长度，比如点P在AB上或AB延长线，误统一按在线段上算，导致结果错误。 2.错用数量关系：未用含参数的表达式（如设AP=x）表示动点相关线段，或计算时混淆线段和差，比如误将PB写成AB+AP（实际应是AB-AP，P在线段上时），逻辑混乱致错。 例题5．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，B是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时，______cm，______cm； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若的中点为E，则的长度是否发生变化？若不变，求出的长：若变化，请说明理由． 题型六、角中旋转探究易错问题 1.漏旋转阶段：未考虑旋转角跨越特殊角（如平角、周角）的阶段差异，比如射线旋转超过180°后，角的构成从“和”变“差”，仍按初始阶段计算，导致角度结果错误。 2.错关联动态角：未用含时间/旋转角的参数表示动态角（如设旋转角为α），或混淆旋转前后角的和差关系，比如误将旋转后的角直接等同于初始角加减旋转角，忽略位置变化的影响。 例题6．（24-25七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 2．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，为线段的中点，，点在线段上，且是线段的三等分点，则的长是 （    ） A．2 B．2或1 C．4 D．2或4 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 4．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 5．（25-26七年级上·全国·期末）已知，平分，，则的大小是 ． 6．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 8．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 三、解答题 9．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 10．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，．    (1)如图1，______； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则______； 当时，则______； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 基本平面图形 知识点一 线段、射线、直线 1.概念：线段是直线上两点之间的部分，有两个端点；射线是将线段向一个方向无限延长形成的，只有一个端点；直线是将线段向两个方向无限延长形成的，没有端点。 2.表示方法：都可以用两个大写字母表示，线段、直线也可以用一个小写字母表示。表示射线时，必须将表示端点的字母写在前面。 3.直线的性质：两点确定一条直线。 4. 线段的性质：两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫两点间的距离。 5.线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点，叫做这个线段的中点。线段中点到线段两个端点的距离相等，对于任意一条线段，它都有且只有一个中点。 知识点二 角 1.定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；也可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2.表示法：可以用三个大写字母表示，顶点字母写在中间；也可用一个大写字母表示（当以该字母为顶点的角只有一个时）；还可以用小写希腊字母或数字表示。 3.度量单位：度、分、秒，1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 4.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角平分线。 知识点三 多边形及正多边形 1.定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.相关概念：多边形有顶点、边、内角、外角和对角线等概念。n边形一个顶点的对角线数为n-3，n边形的对角线总数为，n边形的外角和为360°。 知识点四 圆及扇形 1.圆的定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 2.扇形：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 易错一、线段、射线、直线概念易错问题 1.概念混淆：易将直线、射线、线段的延伸性与端点数量混淆。如认为“射线可反向延长”（实际射线仅能向非端点方向延长），或误判“直线有长度”（直线无限长）。 2.表示错误：射线表示时端点字母未放前（如射线AB与射线BA不同）；直线、线段用小写字母表示时，误将射线也用小写字母表示（射线不可用小写字母单独表示）。 例题1．（24-25七年级上·吉林·期末）下列说法正确的是（   ） A．直线与直线不是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．延长线段和延长线段的含义一样 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质．根据直线、射线、线段的定义和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，原说法错误，本选项不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，端点不同，原说法错误，本选项不符合题意； C、延长线段和延长线段的含义不一样，原说法错误，本选项不符合题意； D、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，说法正确，本选项符合题意； 故选：D． 易错二、分类讨论求线段多解易错问题 1.情况遗漏：在求线段长度（如已知AB、BC长度，求AC）时，易忽略点的位置多样性，只考虑点在中间或一侧的一种情况，导致漏解。 2.逻辑混乱：分类讨论时未明确分类标准（如按点的左右位置、在线段上或延长线上），易出现重复或矛盾的推导，影响结果准确性。 例题2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知点是线段的中点，点分线段的长度为．已知厘米，则的长为 厘米． 【答案】35或21 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的比和线段中点的性质，解题关键是熟练掌握中点的性质和根据是线段中点和点D分线段的比例关系，分情况分类讨论． 先根据点是线段的中点以及点分线段的长度比，求出与的关系，进而求出的长度，最后根据与的关系求出答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点分线段的长度为． 如图：当时， ∴此时占的，即， ∴， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米） 当时， 如图所示； 此时占的，即． ∴， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米） 故答案为35或21． 题型三、分类讨论求角多解易错问题 1.漏情况：求角的度数（如已知∠AOB，作射线OC求∠BOC）时，易忽略OC位置，只考虑在角内部或外部一种情况，未全面分析射线与已知角的位置关系，导致少解。 2.错判断：分类时未明确标准（如按射线在角内/外），或误将不同位置归为同一类，比如把OC在∠AOB邻补角区域当作内部情况，逻辑混乱致结果错误。 例题3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）过的顶点画射线．若，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论．分射线在的内部和外部两种情况进行讨论，结合角度之间关系求解即可． 【详解】解：如图， 当射线在的内部时，设，则，， ∵， ∴， 解得：， 如图， 当射线在的外部时，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 题型四、分类讨论求角中旋转多解易错问题 1.漏旋转方向：求旋转后角的度数时，易忽略旋转有顺时针、逆时针两个方向，只按单一方向计算，比如射线绕端点转30°，漏算反向旋转的情况，导致少解。 2.错定旋转范围：未明确旋转角是否超过平角、周角，误将超过的情况排除，比如旋转180°以上时，仍按小于180°计算，或未结合图形边界判断，导致结果偏差。 例题4．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图①，为直线上一点，过点作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上，将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了涉及角平分线的几何图形中角度计算问题，过点作直线平分，根据，以及平分，求得，当与重合时，所在直线恰好平分，当与重合时，所在直线恰好平分，分开列式计算即可． 【详解】解：过点作直线平分，如图： ∵， ， ∵平分， ∴， ∴， 当与重合时，所在直线恰好平分， 则（秒）； 当与重合时，所在直线恰好平分， 则（秒）； 故答案为：或 ． 题型五、线段上动点探究易错问题 1.漏定位置范围：未明确动点在线段上、延长线上的不同位置，直接按单一区域计算线段长度，比如点P在AB上或AB延长线，误统一按在线段上算，导致结果错误。 2.错用数量关系：未用含参数的表达式（如设AP=x）表示动点相关线段，或计算时混淆线段和差，比如误将PB写成AB+AP（实际应是AB-AP，P在线段上时），逻辑混乱致错。 例题5．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，B是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时，______cm，______cm； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若的中点为E，则的长度是否发生变化？若不变，求出的长：若变化，请说明理由． 【答案】(1)6；2 (2)；； (3)不变；． 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，准确分析计算是解题的关键． （1）根据即可得出结论；先求出的长，再根据C是线段的中点即可得到的长； （2）分类讨论即可； （3）直接根据中点定义即可得到结论； 【详解】（1）解：当时，， 此时，， ∵C是线段的中点， 则； 故答案为：6；2； （2）解：①∵B是线段上一动点，沿A→D→A以每秒的速度往返运动， ∴当时，， ∴； ②当时，， ∴； （3）解：不变； 因为的中点为E，C是的中点， 所以，， 所以，． 题型六、角中旋转探究易错问题 1.漏旋转阶段：未考虑旋转角跨越特殊角（如平角、周角）的阶段差异，比如射线旋转超过180°后，角的构成从“和”变“差”，仍按初始阶段计算，导致角度结果错误。 2.错关联动态角：未用含时间/旋转角的参数表示动态角（如设旋转角为α），或混淆旋转前后角的和差关系，比如误将旋转后的角直接等同于初始角加减旋转角，忽略位置变化的影响。 例题6．（24-25七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)正确，； 【分析】本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是正确识图，准确进行计算； （1）利用平角减去相邻的角即可； （2）求出的度数，再通过计算说明即可； （3）分别表示出，再求它们的和即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵, ∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，， ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（   ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间；（） ②点在线段的反向延长线上；（） ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（） ④直线相交于点．（ ） A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选：A． 2．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，为线段的中点，，点在线段上，且是线段的三等分点，则的长是 （    ） A．2 B．2或1 C．4 D．2或4 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点和三等分点的计算，解决问题的关键是运用分类思想． 分两种情况进行讨论：当或当，即可得到答案． 【详解】解：∵为线段的中点， ∴ ∵点是线段的三等分点 ∴①点靠近点时；； ②点靠近点时；. 故选：D. 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差关系．分两种情况考虑：①射线在内；②射线在内，再根据角的和差求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ①当射线在内时，如图， ； ②当射线在内时，如图， ； ∴度数是或． 故选：B． 4．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 二、填空题 5．（25-26七年级上·全国·期末）已知，平分，，则的大小是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查角的平分线和角的运算，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．需要分两种情况讨论：射线位于内部；射线位于内部分别进行求解． 【详解】解：∵，平分， ∴． ①如图所示，射线位于内部， ∴； ②如图所示，射线位于内部时， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 6．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故答案为：8或10． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，线段中点的有关计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：是和的中点， ， 是和的中点， ， 是和的中点， ， ， 发现规律：， 当时，， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线，角的和差，理解角平分线的定义是正确解答的关键．分三种情况进行解答，即当，和时，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系，表示，代入到中进行计算即可求解． 【详解】解：设旋转时间为秒， 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：（舍去）． 综上可得，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 【答案】(1)， (2)①当点在线段上时，，；当点在线段上时，，；②的值为或 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． （1）由线段，点C在线段上，且，可得答案； （2）①分当点在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得的值． 【详解】（1）解：解：∵线段，点C在线段上，且， ∴，； （2）解：①当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； 当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； ②当点在线段上时，则， ∴， 解得：， 当点在线段上时， 则， ∴， 解得：， 综上：的值为或． 10．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线上，两个直角三角板分别在直线的两侧，且，，．    (1)如图1，______； (2)如图2，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图2，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则______； 当时，则______； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)135 (2)是的平分线；理由见解析 (3)125；25；；理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算，角平分线的定义，三角板中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握各个角度之间的关系． （1）根据三角板中各个角度的大小，结合图形进行解答即可； （2）先根据角平分线定义求出，得出，求出，即可证明结论； （3）根据已知角度，结合图形，分别求出、即可；根据，，得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：135； （2）解：是的平分线；理由如下： 落在的平分线上， ， ， ； ， 即是的平分线． （3）解：当时，， ∴； 故答案为：125； 当时，， ∴； 故答案为：； ；理由如下： ， 又， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $