2026江苏卷15题 -第15题突破（含第43～46练）-【奇点物理】2026高考物理考前60天逐题突破•天天练（江苏卷）

第46练 电学计算4：电磁感应综合 （三年考频：0次 预测指数：★★ ） 本卷共4小题，每小题16分，共64分。解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。 1．（25-26高三上·江苏南京·月考）如图，足够长平行光滑导轨的间距为d、与水平面夹角为，质量为m、电阻为R的导体棒ab水平跨在导轨上，两个电阻，，其它电阻不计。匀强磁场垂直导轨平面向上，磁感应强度为B。将ab棒由静止释放，重力加速度为g。求： (1)ab棒速度的最大值； (2)ab棒发生位移x的过程中，流过的电量。 1．(1)；(2) 【解析】（1）感应电动势，电路总电阻，感应电流，导体棒受到的安培力，导体棒匀速运动时速度最大，由平衡条件得，解得； （2）由法拉第电磁感应定律得，平均感应电流，通过回路的电荷量，流过的电量。 2．（25-26高三上·江苏苏州·月考）如图甲所示，MN、PQ是间距且足够长的平行导轨，，导轨的电阻均不计，导轨平面与水平面间的夹角，NQ间连接一个的电阻。有一磁感应强度的匀强磁场垂直于导轨平面向上。将一根质量、阻值为r的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度。已知在此过程中通过金属棒横截面的电荷量，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行。求： (1)金属棒与导轨间的动摩擦因数； (2)金属棒的阻值r； (3)cd离NQ的距离x。 2．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题图乙知，当时，由牛顿第二定律得，解得； （2）由题图乙可知，金属棒速度稳定时，此时金属棒两端的感应电动势，根据物体的平衡有，解得； （3）此过程中通过金属棒横截面的电荷量，根据电流定义式有，解得。 3．（25-26高三上·江苏苏州·月考）如图所示，两个足够长的平行光滑细金属导轨固定在倾角的光滑绝缘斜面上，导轨间距，且电阻不计，导轨间有宽度为、磁感应强度的大小为、方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，一长度为的绝缘轻杆将导体棒和正方形细金属线框连接，线框的边长为d，线框的总电阻为，导体棒和线框总质量为，导体棒与导轨始终接触良好，并在导体棒中通以恒定电流（由外接恒流电源产生，图中未画出），导体棒处于磁场内且恰好位于下边界处，将装置由静止释放，线框穿过磁场后再次返回磁场时恰好匀速穿过磁场，导体棒在运动过程中始终与导轨垂直，不计线框及导体棒中电流所产生磁场的影响，重力加速度。求： (1)线框返回磁场时匀速运动的速度； (2)全过程中，线框产生的焦耳热Q； (3)上滑过程中，线框在磁场中运动的时间t。 3．(1)1m/s；(2)0.75J；(3)0.2s 【解析】（1）设线框返回磁场时的速度为，由题意可知，，解得； （2）由动能定理可知，解得，由全程能量守恒得，解得； （3）设线框向上穿过磁场的时间为，由动量定理得，，解得。 4．（2026·江苏·二模）如图所示，半径r=0.5m的水平金属圆盘绕过中心O的竖直轴以的角速度逆时针匀速转动。圆盘边缘通过电刷与导轨的A1点相连，中心O与单刀双掷开关S的接线柱1相连。水平固定平行导轨A1A2段和B1B2段为粗糙导轨，A2A3段和B2B3段为光滑导轨，且A1A2段与A2A3段在A2处绝缘，B1B2段与B2B3段在B2处绝缘。垂直导轨放置的金属棒PQ与粗糙段导轨之间的动摩擦因数为μ=0.5。在导轨的左端连接自感系数为L=0.1H的线圈。圆盘和水平导轨均处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小均为B=1.0T。已知金属棒PQ质量m=0.1kg，导轨的宽度d=1.0m，电阻R=5.0Ω，电容器的电容C=0.06F。不计金属棒PQ、导轨和自感线圈的电阻，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求电容器所带的电荷量；并判断哪个极板带正电？（选“M极板”或“N极板”） (2)将开关从1打到2，金属棒PQ由静止开始运动，从开始到最大速度经历的时间t=0.4s，求金属棒的最大速度； (3)若金属棒经过A2B2时的速度为v0=2.0m/s，此时立即加一外力，使金属棒做匀速运动，求金属棒匀速运动x0=1.0m过程中线圈储存的能量。 4．(1)，M极板带正电；(2)；(3) 【解析】（1）设金属圆盘转动产生的电动势为E，则有，解得，设电容器所带的电荷量为，则有，解得，根据右手定则可知，M极板带正电； （2）设金属棒的最大速度为，最大速度时电流为，电容器电压为，则，解得，根据，设在达到最大速度过程中通过金属棒的电量为，则，在达到最大速度过程中，由动量定理得，解得； （3）由于回路电阻为零，金属棒产生的电动势等于自感电动势，则有，可得，设金属棒匀速运动时的电流为，则有，则，则金属棒匀速运动过程中线圈储存的能量为。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第45练 电学计算3：带电粒子在复合场中的运动 （三年考频：3次 预测指数：★★★★ ） 本卷共8小题，每小题16分，共128分。解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。 1．（25-26·江苏南京·期末）如图所示的空间坐标系中，在处有一平行yOz平面的边长为L的正方形收集板abcd，其中心O′在x轴上，在O处有一粒子发射源，可在yOz平面向各个方向发射速率均为的电子。空间存在着沿x轴负方向的匀强电场，可使所有电子打在收集板上。已知电子的比荷为k，不计电子重力及电子之间的相互作用力。 (1)求该电场电场强度的最小值E； (2)求电子到达收集板的最小速率v； (3)在满足（1）的条件下，若增加一沿x轴负方向的匀强磁场，使得所有电子都汇聚在O′，求磁感应强度B。 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图甲所示，真空中建立一个平面直角坐标系。紧靠轴左侧有一对水平放置的平行金属板，板间距离为，中轴线沿轴，板间所加交变电压随时间的变化图像如图乙所示，时刻上极板电势高。轴右侧存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，在轴右侧一定距离处有一个荧光屏。现有大量质量为、电荷量为的粒子以初速度沿轴正方向持续不断地射入两板间，所有粒子均可以从板间射出并进入轴右侧范围足够大的复合场，两板间的粒子穿过两板的时间等于交变电压的周期。当，电场强度与磁感应强度的大小关系为，为已知量，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求： (1)时刻进入两板间的粒子从板间射出时沿轴方向速度的大小； (2)若能让粒子垂直打到荧光屏上，荧光屏距离轴的最小距离； (3)若荧光屏处在第（2）问的位置，粒子打到荧光屏上轴的坐标范围。 3．（25-26高三上·江苏苏州·期末）如图为我国首台紧凑型加速器质谱仪模型。离子源产生的负离子在串列加速器中先加速，经中部剥离器转为正离子后继续加速，最终通过加有匀强磁场的圆弧形磁分析系统来鉴别同量异位素，两侧加速管对称且加速电压相等，剥离前后离子动能的变化忽略不计。 (1)为使离子在加速器中加速，判断A、B两极板的电势高低； (2)电荷量为e，初动能为的负离子，经剥离器左侧电压U加速后，被剥离为电荷量为e的正离子，求其进入磁分析系统时的动能； (3)若质量相同的离子X、Y，电荷量之比为a：1，垂直M面进入磁分析系统的速度大小之比为b：1，已知磁场垂直纸面，离子X运动半径为且垂直N面射出，求两离子在N面上的射出点间距。 4．（2025·江苏泰州·模拟预测）某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，I区长度，内有沿y轴正向的匀强电场，II区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与I区电场强度等大，现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度沿z轴正向进入I区，经过两个区域分界面上的B点进入II区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点（如图中所示），已知离子质量为m、电荷量为q，不计离子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)II区中磁感应强度的大小； (3)II区L的最小长度。 5．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图是霍尔推进器某局部区域的等效原理图，在Oxy平面内存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带电微粒，从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，带电微粒沿x轴做匀速直线运动；入射速度小于v0时，带电微粒的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。重力加速度为g，不计带电微粒间相互作用。求： (1)磁感应强度的大小B； (2)若带电微粒入射速度为，则运动到纵坐标时，带电微粒的速度大小v1； (3)若带电微粒入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，则能到达纵坐标位置的微粒数N占总微粒数N0的百分比。 6．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图所示，在xOy平面内存在区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，其速度方向与y轴夹角θ的最大值为60°，且各个方向速度大小随θ变化的关系为，式中v0为未知定值，且的离子恰好通过坐标为（L，L）的P点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求关系式中v0的值； (2)求离子到达界面之前在磁场中运动的最短时间与最长时间； (3)为回收离子，在界面右侧加一宽度为且平行于+x轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域，求电场强度的最小值E。 7．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，有一带正电粒子从O点飘入加速电场，经过电场加速，沿直线通过速度选择器后，垂直磁场Ⅱ左边界入射到磁场中。已知粒子的比荷，加速电场电压。速度选择器水平极板长，间距，板间电压。磁场Ⅱ的左边界与速度选择器右侧重合，其左右边界距离，磁感应强度。粒子重力忽略不计，取。 (1)求磁场Ⅰ的磁感应强度的大小； (2)求粒子在磁场Ⅱ中运动时间； (3)仅撤去磁场Ⅰ，求粒子在磁场Ⅱ中运动的时间及入射点与出射点的距离。 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限内存在沿x轴负方向的匀强电场，第Ⅲ象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，下边界是以为圆心、半径为2R的圆弧，上边界是以为圆心、半径为R的半圆弧，磁感应强度大小为。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从y轴上的M点沿x轴负方向正对圆心发射，沿半径的圆弧运动并恰能通过圆心，进入电场后从 y轴上的点进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。 (1)求粒子射入第Ⅱ象限时的速度大小 (2)求匀强电场的场强E及粒子在第Ⅱ、Ⅲ象限中运动的总时间 (3)若第Ⅰ象限中有方向垂直纸面向里的磁场图中未画出，磁场的磁感应强度大小为正的常量，y为纵坐标，即在x方向均匀分布，在y方向随y均匀增大，求粒子在第Ⅰ象限中运动至第一次离x轴最远时的轨迹与x轴围成的面积S。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)；(2)；(3) 【详解】（1）以从O点沿z轴正方向射出的电子为例，电子到达收集板bc边的中点时，对应电场强度为最小值，电子的加速度，由类平抛运动的规律得，，又有比荷，解得； （2）根据题意，由动能定理可得，解得； （3）增加一个沿x轴负方向的磁场后，仍以沿z轴正方向射入的电子为例，运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得，周期，从侧面abcd观察，当粒子经历整数个周期T时，重新回到x轴，则应满足，联立可得。 2．(1)；(2)；(3) 【详解】（1）粒子在平行板中运动过程，由动量定理得，代入已知量解得； （2）方法一：由第（1）问可知，粒子从平行板间射出时速度相同，粒子在轴右侧区域运动过程中：由牛顿第二定律得，设粒子在复合场中运动周期为，则，沿方向由动量定理得，全程累积得，联立解得； 方法二：粒子从平行板间射出时同时参与了沿轴正向的初速度为的匀速直线运动，和顺时针旋转的速度为的匀速圆周运动，四分之一周期后速度第一次垂直于屏，四分之一周期内匀速运动位移， 四分之一周期内圆周运动水平位移，最小距离； （3）时刻进入的粒子，在平行板中方向的位移为，时刻进入的粒子：运动时的速度为为，，，，粒子在复合场中运动过程中，，所有粒子均向上平移，故，，则荧光屏上坐标范围为，粒子打到荧光屏上轴的坐标范围。 3．(1)B板电势高于A板电势；(2)；(3) 【详解】（1）根据题意可知，剥离器之前的加速器加速负离子，剥离器之后的加速器加速正离子，则板带正电，即B板电势高于A板电势。 （2）根据题意，由动能定理有，解得； （3）根据题意可知，离子进入磁分析系统，洛伦兹力提供向心力有，解得，则有，运动轨迹如图所示 由几何关系有，解得。 4．(1)；(2)；(3) 【详解】（1）离子在Ⅰ区做类平抛运动，根据类平抛规律有，，根据牛顿第二定律有，解得电场强度的大小为； （2）离子在Ⅰ区运动过程，由动能定理可得，解得离子到达B点时速度的大小为，离子在Ⅱ区类，做复杂的旋进运动。将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如下图所示 设临界圆轨迹半径为r，根据几何知识有，解得离子的轨迹半径为，离子沿y轴正方向的速度为，则根据洛伦兹力提供向心力有，解得Ⅱ区中磁感应强度大小为； （3）离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为，离子在z轴的正方向做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式可得，联立解得Ⅱ区的长度为（，，），当时，II区的最小长度为。 5．(1)；(2)；(3) 【详解】（1）入射速度为v0时，带电微粒沿x轴做匀速直线运动，说明重力和洛伦兹力平衡，可得 解得磁感应强度的大小； （2）带电微粒入射速度为，运动到纵坐标，设此时微粒的速度大小为，洛伦兹力不做功，只有重力做功，根据动能定理，解得； （3）设初速度为的粒子刚好能到达纵坐标位置，根据动能定理，根据微粒子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，可得，联立解得，微粒入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，故能到达纵坐标位置的微粒数N占总微粒数N0的百分比为。 6．(1)；(2)，；(3) 【详解】（1）当时，粒子的速度为，根据题意，以v0速度沿+y方向从O点入射的离子恰好通过坐标为（L，L）的P点。其轨道半径为，根据牛顿第二定律得，解得； （2）根据牛顿第二定律得，根据题意得，解得，则所有离子运动轨迹圆心均在的界面上，并且所有离子均垂直打在界面上。沿与+y方向成60°角从O点向左上方入射的离子，到达界面之前，在磁场中运动时间最长，离子运动的周期为，解得，沿与+y方向成60°角从O点向右上方入射的离子，到达界面之前，在磁场中运动的时间最短，解得； （3）当速度最大的离子不能穿越电场区域时，所有离子都不能穿越电场区域，最大速度为，设离子在叠加场中运动Δt时间，速度的竖直分量为vy，由动量定理可得，离子到达界面时的水平速度为0，设离子到达界面时的竖直速度为。对两边求和得，解得，在叠加场中根据动能定理得，解得。 7．(1)；(2)(3)， 【详解】（1）粒子加速，根据动能定理有，解得，速度选择器内，粒子受力平衡，则有解得； （2）粒子在磁场Ⅱ中，根据洛伦兹力提供向心力有，解得，粒子运动的周期为，粒子能从磁场右边界射出，轨迹对应的圆心角，解得，粒子运动时间与周期的关系为解得； （3）撤去磁场后，粒子做类平抛运动，则有，根据牛顿第二定律有，竖直方向末速度，合速度大小，速度与水平方向夹角，解得，粒子在磁场中运动的半径为，粒子从磁场左边界射出时入射点与出射点的距离，粒子在磁场Ⅱ中运动的时间。 8．(1)；(2)，；(3) 【详解】（1）粒子在第Ⅲ象限的磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有，解得； （2）正对圆心射入的粒子，沿半径的圆弧运动并恰能通过圆心，粒子在磁场中运动的轨迹的圆心恰好为原点O，运动轨迹如图所示， 设速度偏转角为，由几何关系有，解得，从O2点进入电场，沿y轴方向，则有，解得，沿x轴方向，则有，，解得，粒子在第Ⅲ象限的磁场中运动的时间，粒子在第Ⅲ象限无磁场区域运动的时间，运动的总时间，解得； （3）粒子到达P点时沿y轴方向分速度，粒子在第Ⅰ象限中运动至第一次沿y轴方向的分速度为0的过程中，沿 y轴由动量定理则有，其中，可得，又因为，可得，即，解得。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15题突破 第43练 电学计算1：带电粒子在电场中的运动 （三年考频：2次 预测指数：★★★ ） 本卷共6小题，每小题16分，共96分。解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。 1．（25-26高三上·江苏苏州·月考）如图所示，质量为的带电微粒以的速度从水平金属板A、B左端中间水平射入，已知板长，板间距离。当时（上极板带正电），带电微粒恰好沿直线穿过板间。 重力加速度大小为g取且忽略空气阻力，求： (1)带电微粒的电荷量为多少； (2)若电压增大到某一电压值时，带电微粒恰好从上板边缘飞出，此过程中带电微粒的加速度大小。 1．(1)；(2) 【解析】（1）粒子在电场中受电场力和重力作用而处于平衡状态，则有，又，联立代入数据，求得； （2）粒子在板间做类平抛运动，恰好从极板右边缘飞出时有，，代入数据解得。 2．（25-26高三上·江苏常州·期中）如图，水平边界M下方足够大的空间内存在水平向左的匀强电场，场强大小未知。两个质量相等的带正电小球、电荷量之比为，在M上方等高处同时以大小为的初速度水平反向抛出，两球进入电场时速度方向与边界M成角，球在电场中做直线运动。不计空气阻力和电荷间的作用力，不考虑两球碰撞，重力加速度为。求： (1)小球进入电场时的速度大小； (2)球在电场中运动轨迹的最右位置与其电场入射点间的水平距离； (3)、两球相距最远时球与边界M间的距离。 2．(1)2v0；(2)；(3) 【解析】（1）小球在进入电场前做斜抛运动，将进入电场时的速度分解，竖直方向速度不变，水平方向速度为，解得小球进入电场时的速度大小； （2）A球在电场中做直线运动，说明合力方向与速度方向共线。A球受重力和电场力，设A球电荷量为q，质量为m，则， B球电荷量为3q，则电场力，B球在电场中，水平方向的初速度为v0，水平方向做匀减速运动，加速度为，当水平速度为0时，到达最右位置，根据速度-位移公式，有； （3）两球在竖直分运动相同，水平速度相同时相距最远，则有，即，对A球，根据牛顿第二定律，有，解得，联立解得解得，球与边界M间的距离，其中，解得。 3．（25-26高三上·江苏·模拟）如图所示，在同一水平线上的、两点间距为，两点分别固定有完全相同的负点电荷，电荷量为为连线中点。点正下方有两点和，整个空间存在竖直向上的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为。已知静电力常量为，重力加速度为。 (1)若在处放置一个电荷量为的带电小球，小球恰好静止，求该小球的质量； (2)若在处放置一电荷量为、质量为的带电小球，给小球一垂直于纸面的速度，小球恰好可绕点在垂直于纸面的平面内做匀速圆周运动，求小球做匀速圆周运动的速度大小。 3．(1)；(2) 【解析】（1）点的点电荷在点产生的电场强度为，两点的点电荷在点产生的合电场强度，可得，对处的小球，由平衡条件知，解得； （2）在处的小球，有，小球做匀速圆周运动的向心力来自两负电荷对球的合力，两在点产生的合电场强度，可得，由，解得。 4．（25-26高三上·江苏无锡·期末）如图1所示，电子枪在P处每秒钟逸出1×1015个初速为0的电子，经U1=180V的电压加速后射入偏转电场的左侧中点。偏转电场的极板长度l=4.0cm，板间宽度为d=2.0cm，偏转电压U2=180sin100πt(V)，见图2，图1中MN为足够大的荧光屏。已知电子质量，带电量，不计电子重力。求： (1)射出加速电场时电子束电流I； (2)电子通过偏转电场所需的运动时间t； (3)1s内能击中荧光屏的电子占所有电子的比例。 4．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设t0时间内射出加速电场的电子总电荷量为q，则电流，，联立解得； （2）设电子经加速电场加速后获得速度大小为v0，由动能定理得，解得，电子在偏转电场中，水平方向上做匀速直线运动，所以射出偏转电场的时间为； （3）设电子恰好从偏转电场边缘射出时，偏转电压为Um，竖直方向，水平方向，由牛顿第二定律，，联立以上解得，对应的时刻为，当偏转电压时电子能射出偏转电场击中荧光屏，一个周期内满足条件的时间为，所以能够射到荧光屏的电子占所有电子的比例。 5．（2026·江苏·二模）如图所示（左侧为立体图，右侧为平面图），两块直径为4d的圆形平行金属板水平正对放置，板间距为d，两极板间存在竖直向上、大小可调的匀强电场，忽略边缘效应。在电容器的几何中心O点处有一粒子源，可向空间各方向均匀发射速度大小均为、质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电微粒，已知重力加速度为g，微粒打在极板上被吸收且不影响电场分布。 (1)若要求沿水平方向发射的微粒均能被极板收集，求电场强度大小E的取值范围； (2)若电场强度大小为，求所有方向发射的微粒在上极板形成的落点区域面积。 5．(1)或；(2) 【解析】（1）水平方向发射的微粒做类平抛运动，对恰好打在极板边缘的微粒，初速度方向有，垂直极板方向有，若微粒重力大于电场力，微粒打在下极板，解得，微粒被收集的电场强度范围为，若微粒重力小于电场力，微粒打在上极板，解得，微粒被收集的电场强度范围为，综上，沿水平方向发射的微粒均能被极板收集，电场强度的取值范围为或； （2）设速度方向与竖直方向的夹角为时，微粒恰好能打在上极板，受力分析得，竖直方向，竖直速度恰好减为0，有，水平方向，解得，， 速度方向与竖直夹角在范围内的微粒打在上极板，面积为。 6．（2026·江苏·一模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，图中只画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，已知交流电源周期为T、电压绝对值为，且对应奇数号圆筒为高电势。整个装置放在高真空容器中。圆筒的两底面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存在匀强电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。时刻，有一电量为、质量为的正离子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好在时刻进入二、三圆筒之间的电场再次加速，且之后每经过正好进入下一缝隙电场。 (1)第个圆筒的长度？ (2)实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过很多次加速，设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻圆筒间距均为，在不改变交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？ 6．(1)；(2) 【解析】（1）根据动能定理，又，联立可得； （2）匀强电场电场强度为，结合牛顿第二定律，根据运动学公式，，结合动能的定义，联立可得。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第44练 电学计算2：带电粒子在磁场中的运动 （三年考频：1次 预测指数：★★★ ） 本卷共5小题，每小题16分，共80分。解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。 1．（25-26高三上·江苏·期末）如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上点以速度v垂直于x轴射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴射出第一象限。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B； (2)带电粒子穿过第一象限所用的时间t。 1．(1)；(2) 【解析】（1）由几何关系可知，粒子在磁场中运动的半径为，根据，可得； （2）粒子运动的周期，由题意可知，粒子在磁场中运动的时间为，解得。 2．（25-26高三上·江苏无锡·期末）如图所示，在磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，两个带电量分别为+q、q的带电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知a、b的质量均为m，不计重力及粒子间的相互作用力，磁场区域足够大。求： (1)a第一次运动到最高点的时间t； (2)a运动到最高点时，a、b间的距离H。 2．(1)；(2) 【解析】（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示 设a运动到最高点时转过的圆心角为β，做圆周运动半径为R，由几何关系可得，a运动到最高点的时间，洛伦兹力提供圆周运动向心力，，代入解得； （2）a运动到最高点时，b恰好运动至最低点，由几何关系可得，由，得，代入解得。 3．（2025·江苏常州·模拟预测）如图所示，在xOy平面的x轴上方区域范围内存在着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为。在空间坐标（x＝0，）处有一粒子源，在某一时刻向平面内各个方向均匀发射N个（N足够大）质量为m、电荷量为，速度为的带电粒子（不计粒子重力及粒子间的相互作用，题中N、a、m、q、均为已知量）。求： (1)粒子在磁场中运动的半径R和周期T； (2)x轴上能接收到粒子的区域长度L； (3)能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例。 3．(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）由洛伦兹力提供向心力可得，解得轨迹半径，根据周期，联立解得； （2）粒子打x轴上的范围如图所示，x轴右侧长度为，x轴左侧，F与x轴相切，由几何关系知 联立可得； （3）粒子恰好跟x轴负半轴相切，半径与y轴夹角，满足，解得，粒子恰好跟x轴正半轴相切，半径与y轴夹角，满足，则 则能到达x轴粒子所占粒子总数的比例。 4．（25-26高三上·江苏南通·月考）半圆形区域圆心为O、半径为R，MN是直径，。半圆形区域内（含边界）磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外。Q点有一粒子源，能向纸面内各个方向均匀发射速度大小均为（q为粒子带电量、m为粒子质量）的带正电的粒子。不计粒子重力和粒子之间的相互作用，求： (1)粒子在磁场区域运动的半径； (2)粒子在磁场区域运动且打在MN板上的最短与最长时间； (3)发射的粒子打在MN上的百分比。 4．(1)R；(2)，；(3)25% 【解析】（1）在磁场中粒子做圆周运动，有，代入数据可得； （2）粒子在磁场中运动的周期为，粒子带正电，做顺时针方向圆周运动，在MN边界出射时，从O点出射时，做圆周运动的弦长最短，所用时间也是最短的，此时由于，所以圆心角大小为60°，最短时间为，从M点或N点出射时，弦长最长，由于，所以圆心角大小为90°，粒子运动的最长时间为； （3）从Q点发出的各种方向的粒子，在磁场中旋转的半径与磁场自身半径大小相同。当粒子能打在N点时，根据几何关系可知，入射粒子的方向应沿着QO方向，当粒子能打在M点时，入射粒子刚好向上与OM方向平行，粒子打在MN上时其射出的角度范围为90°，所以百分比为。 5．（2025·江苏徐州·一模）如图所示，质谱仪由一个加速电场和环形区域的偏转磁场构成，磁场区域由两圆心都在O点，半径分别为和的半圆盒和围成，匀强磁场垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。质量为m、带电荷量为的粒子不断从粒子源S飘入加速电场，其初速度为0，经电场加速后沿的中垂线从极板上的小孔P射入磁场后打到荧光屏上。已知加速电压为（未知）时，粒子刚好打在荧光屏的中点处。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，且打到半圆盒上的粒子均被吸收。 (1)求加速电压的大小。 (2)为使粒子能够打到荧光屏上，求加速电压的取值范围。 (3)若调节加速电场的方向与粒子发射速度和角度，使粒子恰好打在中点处，求粒子在磁场中运动的最短时间所对应圆心角的正弦值。 5．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）带电粒子垂直于射入，恰好垂直打在中点处的运动轨迹如图甲所示，设其运动轨迹半径为，则由几何关系知 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有，当粒子在电场中时，由动能定理得，联立解得； （2）当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为的半圆盒在点相切时，运动轨迹如图乙所示，此时粒子在磁场中运动的半径有最大值，设为，则 设粒子在磁场中运动的最大速度为，粒子在电场中，根据动能定理有，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有，联立解得，当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为的半圆盒在点相切时运动轨迹如图丙所示，粒子在磁场中运动的半径有最小值，设为，则 设粒子在磁场中运动的最小速度为，粒子在电场中，根据动能定理有，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有，联立解得，故加速电压的取值范围为； （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，可知速度大小与入射角度不影响粒子在磁场中运动的周期。设中点为Q，粒子从P点运动到Q点，轨迹对应圆心角越小，所用时间就越短。当粒子运动轨迹与半圆盒相切时，对应圆心角最小，设轨迹半径为，轨迹圆心为，如图丁所示 则由几何关系有，解得，则，则，所以粒子在磁场中运动的最短时间所对应圆心角的正弦值为。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15题突破 第43练 电学计算1：带电粒子在电场中的运动 （三年考频：2次 预测指数：★★★ ） 本卷共6小题，每小题16分，共96分。解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。 1．（25-26高三上·江苏苏州·月考）如图所示，质量为的带电微粒以的速度从水平金属板A、B左端中间水平射入，已知板长，板间距离。当时（上极板带正电），带电微粒恰好沿直线穿过板间。 重力加速度大小为g取且忽略空气阻力，求： (1)带电微粒的电荷量为多少； (2)若电压增大到某一电压值时，带电微粒恰好从上板边缘飞出，此过程中带电微粒的加速度大小。 2．（25-26高三上·江苏常州·期中）如图，水平边界M下方足够大的空间内存在水平向左的匀强电场，场强大小未知。两个质量相等的带正电小球、电荷量之比为，在M上方等高处同时以大小为的初速度水平反向抛出，两球进入电场时速度方向与边界M成角，球在电场中做直线运动。不计空气阻力和电荷间的作用力，不考虑两球碰撞，重力加速度为。求： (1)小球进入电场时的速度大小； (2)球在电场中运动轨迹的最右位置与其电场入射点间的水平距离； (3)、两球相距最远时球与边界M间的距离。 3．（25-26高三上·江苏·模拟）如图所示，在同一水平线上的、两点间距为，两点分别固定有完全相同的负点电荷，电荷量为为连线中点。点正下方有两点和，整个空间存在竖直向上的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为。已知静电力常量为，重力加速度为。 (1)若在处放置一个电荷量为的带电小球，小球恰好静止，求该小球的质量； (2)若在处放置一电荷量为、质量为的带电小球，给小球一垂直于纸面的速度，小球恰好可绕点在垂直于纸面的平面内做匀速圆周运动，求小球做匀速圆周运动的速度大小。 4．（25-26高三上·江苏无锡·期末）如图1所示，电子枪在P处每秒钟逸出1×1015个初速为0的电子，经U1=180V的电压加速后射入偏转电场的左侧中点。偏转电场的极板长度l=4.0cm，板间宽度为d=2.0cm，偏转电压U2=180sin100πt(V)，见图2，图1中MN为足够大的荧光屏。已知电子质量，带电量，不计电子重力。求： (1)射出加速电场时电子束电流I； (2)电子通过偏转电场所需的运动时间t； (3)1s内能击中荧光屏的电子占所有电子的比例。 5．（2026·江苏·二模）如图所示（左侧为立体图，右侧为平面图），两块直径为4d的圆形平行金属板水平正对放置，板间距为d，两极板间存在竖直向上、大小可调的匀强电场，忽略边缘效应。在电容器的几何中心O点处有一粒子源，可向空间各方向均匀发射速度大小均为、质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电微粒，已知重力加速度为g，微粒打在极板上被吸收且不影响电场分布。 (1)若要求沿水平方向发射的微粒均能被极板收集，求电场强度大小E的取值范围； (2)若电场强度大小为，求所有方向发射的微粒在上极板形成的落点区域面积。 6．（2026·江苏·一模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，图中只画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，已知交流电源周期为T、电压绝对值为，且对应奇数号圆筒为高电势。整个装置放在高真空容器中。圆筒的两底面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存在匀强电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。时刻，有一电量为、质量为的正离子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好在时刻进入二、三圆筒之间的电场再次加速，且之后每经过正好进入下一缝隙电场。 (1)第个圆筒的长度？ (2)实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过很多次加速，设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻圆筒间距均为，在不改变交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)；(2) 【解析】（1）粒子在电场中受电场力和重力作用而处于平衡状态，则有，又，联立代入数据，求得； （2）粒子在板间做类平抛运动，恰好从极板右边缘飞出时有，，代入数据解得。 2．(1)2v0；(2)；(3) 【解析】（1）小球在进入电场前做斜抛运动，将进入电场时的速度分解，竖直方向速度不变，水平方向速度为，解得小球进入电场时的速度大小； （2）A球在电场中做直线运动，说明合力方向与速度方向共线。A球受重力和电场力，设A球电荷量为q，质量为m，则， B球电荷量为3q，则电场力，B球在电场中，水平方向的初速度为v0，水平方向做匀减速运动，加速度为，当水平速度为0时，到达最右位置，根据速度-位移公式，有； （3）两球在竖直分运动相同，水平速度相同时相距最远，则有，即，对A球，根据牛顿第二定律，有，解得，联立解得解得，球与边界M间的距离，其中，解得。 3．(1)；(2) 【解析】（1）点的点电荷在点产生的电场强度为，两点的点电荷在点产生的合电场强度，可得，对处的小球，由平衡条件知，解得； （2）在处的小球，有，小球做匀速圆周运动的向心力来自两负电荷对球的合力，两在点产生的合电场强度，可得，由，解得。 4．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）设t0时间内射出加速电场的电子总电荷量为q，则电流，，联立解得； （2）设电子经加速电场加速后获得速度大小为v0，由动能定理得，解得，电子在偏转电场中，水平方向上做匀速直线运动，所以射出偏转电场的时间为； （3）设电子恰好从偏转电场边缘射出时，偏转电压为Um，竖直方向，水平方向，由牛顿第二定律，，联立以上解得，对应的时刻为，当偏转电压时电子能射出偏转电场击中荧光屏，一个周期内满足条件的时间为，所以能够射到荧光屏的电子占所有电子的比例。 5．(1)或；(2) 【解析】（1）水平方向发射的微粒做类平抛运动，对恰好打在极板边缘的微粒，初速度方向有，垂直极板方向有，若微粒重力大于电场力，微粒打在下极板，解得，微粒被收集的电场强度范围为，若微粒重力小于电场力，微粒打在上极板，解得，微粒被收集的电场强度范围为，综上，沿水平方向发射的微粒均能被极板收集，电场强度的取值范围为或； （2）设速度方向与竖直方向的夹角为时，微粒恰好能打在上极板，受力分析得，竖直方向，竖直速度恰好减为0，有，水平方向，解得，， 速度方向与竖直夹角在范围内的微粒打在上极板，面积为。 6．(1)；(2) 【解析】（1）根据动能定理，又，联立可得； （2）匀强电场电场强度为，结合牛顿第二定律，根据运动学公式，，结合动能的定义，联立可得。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第45练 电学计算3：带电粒子在复合场中的运动 （三年考频：3次 预测指数：★★★★ ） 本卷共8小题，每小题16分，共128分。解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。 1．（25-26·江苏南京·期末）如图所示的空间坐标系中，在处有一平行yOz平面的边长为L的正方形收集板abcd，其中心O′在x轴上，在O处有一粒子发射源，可在yOz平面向各个方向发射速率均为的电子。空间存在着沿x轴负方向的匀强电场，可使所有电子打在收集板上。已知电子的比荷为k，不计电子重力及电子之间的相互作用力。 (1)求该电场电场强度的最小值E； (2)求电子到达收集板的最小速率v； (3)在满足（1）的条件下，若增加一沿x轴负方向的匀强磁场，使得所有电子都汇聚在O′，求磁感应强度B。 1．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）以从O点沿z轴正方向射出的电子为例，电子到达收集板bc边的中点时，对应电场强度为最小值，电子的加速度，由类平抛运动的规律得，，又有比荷，解得； （2）根据题意，由动能定理可得，解得； （3）增加一个沿x轴负方向的磁场后，仍以沿z轴正方向射入的电子为例，运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力可得，周期，从侧面abcd观察，当粒子经历整数个周期T时，重新回到x轴，则应满足，联立可得。 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图甲所示，真空中建立一个平面直角坐标系。紧靠轴左侧有一对水平放置的平行金属板，板间距离为，中轴线沿轴，板间所加交变电压随时间的变化图像如图乙所示，时刻上极板电势高。轴右侧存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，在轴右侧一定距离处有一个荧光屏。现有大量质量为、电荷量为的粒子以初速度沿轴正方向持续不断地射入两板间，所有粒子均可以从板间射出并进入轴右侧范围足够大的复合场，两板间的粒子穿过两板的时间等于交变电压的周期。当，电场强度与磁感应强度的大小关系为，为已知量，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求： (1)时刻进入两板间的粒子从板间射出时沿轴方向速度的大小； (2)若能让粒子垂直打到荧光屏上，荧光屏距离轴的最小距离； (3)若荧光屏处在第（2）问的位置，粒子打到荧光屏上轴的坐标范围。 2．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）粒子在平行板中运动过程，由动量定理得，代入已知量解得； （2）方法一：由第（1）问可知，粒子从平行板间射出时速度相同，粒子在轴右侧区域运动过程中：由牛顿第二定律得，设粒子在复合场中运动周期为，则，沿方向由动量定理得，全程累积得，联立解得； 方法二：粒子从平行板间射出时同时参与了沿轴正向的初速度为的匀速直线运动，和顺时针旋转的速度为的匀速圆周运动，四分之一周期后速度第一次垂直于屏，四分之一周期内匀速运动位移， 四分之一周期内圆周运动水平位移，最小距离； （3）时刻进入的粒子，在平行板中方向的位移为，时刻进入的粒子：运动时的速度为为，，，，粒子在复合场中运动过程中，，所有粒子均向上平移，故，，则荧光屏上坐标范围为，粒子打到荧光屏上轴的坐标范围。 3．（25-26高三上·江苏苏州·期末）如图为我国首台紧凑型加速器质谱仪模型。离子源产生的负离子在串列加速器中先加速，经中部剥离器转为正离子后继续加速，最终通过加有匀强磁场的圆弧形磁分析系统来鉴别同量异位素，两侧加速管对称且加速电压相等，剥离前后离子动能的变化忽略不计。 (1)为使离子在加速器中加速，判断A、B两极板的电势高低； (2)电荷量为e，初动能为的负离子，经剥离器左侧电压U加速后，被剥离为电荷量为e的正离子，求其进入磁分析系统时的动能； (3)若质量相同的离子X、Y，电荷量之比为a：1，垂直M面进入磁分析系统的速度大小之比为b：1，已知磁场垂直纸面，离子X运动半径为且垂直N面射出，求两离子在N面上的射出点间距。 3．(1)B板电势高于A板电势；(2)；(3) 【解析】（1）根据题意可知，剥离器之前的加速器加速负离子，剥离器之后的加速器加速正离子，则板带正电，即B板电势高于A板电势。 （2）根据题意，由动能定理有，解得； （3）根据题意可知，离子进入磁分析系统，洛伦兹力提供向心力有，解得，则有，运动轨迹如图所示 由几何关系有，解得。 4．（2025·江苏泰州·模拟预测）某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，I区长度，内有沿y轴正向的匀强电场，II区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与I区电场强度等大，现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度沿z轴正向进入I区，经过两个区域分界面上的B点进入II区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点（如图中所示），已知离子质量为m、电荷量为q，不计离子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)II区中磁感应强度的大小； (3)II区L的最小长度。 4．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）离子在Ⅰ区做类平抛运动，根据类平抛规律有，，根据牛顿第二定律有，解得电场强度的大小为； （2）离子在Ⅰ区运动过程，由动能定理可得，解得离子到达B点时速度的大小为，离子在Ⅱ区类，做复杂的旋进运动。将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如下图所示 设临界圆轨迹半径为r，根据几何知识有，解得离子的轨迹半径为，离子沿y轴正方向的速度为，则根据洛伦兹力提供向心力有，解得Ⅱ区中磁感应强度大小为； （3）离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为，离子在z轴的正方向做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式可得，联立解得Ⅱ区的长度为（，，），当时，II区的最小长度为。 5．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图是霍尔推进器某局部区域的等效原理图，在Oxy平面内存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带电微粒，从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，带电微粒沿x轴做匀速直线运动；入射速度小于v0时，带电微粒的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。重力加速度为g，不计带电微粒间相互作用。求： (1)磁感应强度的大小B； (2)若带电微粒入射速度为，则运动到纵坐标时，带电微粒的速度大小v1； (3)若带电微粒入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，则能到达纵坐标位置的微粒数N占总微粒数N0的百分比。 5．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）入射速度为v0时，带电微粒沿x轴做匀速直线运动，说明重力和洛伦兹力平衡，可得 解得磁感应强度的大小； （2）带电微粒入射速度为，运动到纵坐标，设此时微粒的速度大小为，洛伦兹力不做功，只有重力做功，根据动能定理，解得； （3）设初速度为的粒子刚好能到达纵坐标位置，根据动能定理，根据微粒子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，可得，联立解得，微粒入射速度在0<v<v0范围内均匀分布，故能到达纵坐标位置的微粒数N占总微粒数N0的百分比为。 6．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图所示，在xOy平面内存在区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子，其速度方向与y轴夹角θ的最大值为60°，且各个方向速度大小随θ变化的关系为，式中v0为未知定值，且的离子恰好通过坐标为（L，L）的P点。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 (1)求关系式中v0的值； (2)求离子到达界面之前在磁场中运动的最短时间与最长时间； (3)为回收离子，在界面右侧加一宽度为且平行于+x轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域，求电场强度的最小值E。 6．(1)；(2)，；(3) 【解析】（1）当时，粒子的速度为，根据题意，以v0速度沿+y方向从O点入射的离子恰好通过坐标为（L，L）的P点。其轨道半径为，根据牛顿第二定律得，解得； （2）根据牛顿第二定律得，根据题意得，解得，则所有离子运动轨迹圆心均在的界面上，并且所有离子均垂直打在界面上。沿与+y方向成60°角从O点向左上方入射的离子，到达界面之前，在磁场中运动时间最长，离子运动的周期为，解得，沿与+y方向成60°角从O点向右上方入射的离子，到达界面之前，在磁场中运动的时间最短，解得； （3）当速度最大的离子不能穿越电场区域时，所有离子都不能穿越电场区域，最大速度为，设离子在叠加场中运动Δt时间，速度的竖直分量为vy，由动量定理可得，离子到达界面时的水平速度为0，设离子到达界面时的竖直速度为。对两边求和得，解得，在叠加场中根据动能定理得，解得。 7．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，有一带正电粒子从O点飘入加速电场，经过电场加速，沿直线通过速度选择器后，垂直磁场Ⅱ左边界入射到磁场中。已知粒子的比荷，加速电场电压。速度选择器水平极板长，间距，板间电压。磁场Ⅱ的左边界与速度选择器右侧重合，其左右边界距离，磁感应强度。粒子重力忽略不计，取。 (1)求磁场Ⅰ的磁感应强度的大小； (2)求粒子在磁场Ⅱ中运动时间； (3)仅撤去磁场Ⅰ，求粒子在磁场Ⅱ中运动的时间及入射点与出射点的距离。 7．(1)；(2)(3)， 【解析】（1）粒子加速，根据动能定理有，解得，速度选择器内，粒子受力平衡，则有解得； （2）粒子在磁场Ⅱ中，根据洛伦兹力提供向心力有，解得，粒子运动的周期为，粒子能从磁场右边界射出，轨迹对应的圆心角，解得，粒子运动时间与周期的关系为解得； （3）撤去磁场后，粒子做类平抛运动，则有，根据牛顿第二定律有，竖直方向末速度，合速度大小，速度与水平方向夹角，解得，粒子在磁场中运动的半径为，粒子从磁场左边界射出时入射点与出射点的距离，粒子在磁场Ⅱ中运动的时间。 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限内存在沿x轴负方向的匀强电场，第Ⅲ象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，下边界是以为圆心、半径为2R的圆弧，上边界是以为圆心、半径为R的半圆弧，磁感应强度大小为。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子，从y轴上的M点沿x轴负方向正对圆心发射，沿半径的圆弧运动并恰能通过圆心，进入电场后从 y轴上的点进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。 (1)求粒子射入第Ⅱ象限时的速度大小 (2)求匀强电场的场强E及粒子在第Ⅱ、Ⅲ象限中运动的总时间 (3)若第Ⅰ象限中有方向垂直纸面向里的磁场图中未画出，磁场的磁感应强度大小为正的常量，y为纵坐标，即在x方向均匀分布，在y方向随y均匀增大，求粒子在第Ⅰ象限中运动至第一次离x轴最远时的轨迹与x轴围成的面积S。 8．(1)；(2)，；(3) 【解析】（1）粒子在第Ⅲ象限的磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有，解得； （2）正对圆心射入的粒子，沿半径的圆弧运动并恰能通过圆心，粒子在磁场中运动的轨迹的圆心恰好为原点O，运动轨迹如图所示， 设速度偏转角为，由几何关系有，解得，从O2点进入电场，沿y轴方向，则有，解得，沿x轴方向，则有，，解得，粒子在第Ⅲ象限的磁场中运动的时间，粒子在第Ⅲ象限无磁场区域运动的时间，运动的总时间，解得； （3）粒子到达P点时沿y轴方向分速度，粒子在第Ⅰ象限中运动至第一次沿y轴方向的分速度为0的过程中，沿 y轴由动量定理则有，其中，可得，又因为，可得，即，解得。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第46练 电学计算4：电磁感应综合 （三年考频：0次 预测指数：★★ ） 本卷共4小题，每小题16分，共64分。解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。 1．（25-26高三上·江苏南京·月考）如图，足够长平行光滑导轨的间距为d、与水平面夹角为，质量为m、电阻为R的导体棒ab水平跨在导轨上，两个电阻，，其它电阻不计。匀强磁场垂直导轨平面向上，磁感应强度为B。将ab棒由静止释放，重力加速度为g。求： (1)ab棒速度的最大值； (2)ab棒发生位移x的过程中，流过的电量。 2．（25-26高三上·江苏苏州·月考）如图甲所示，MN、PQ是间距且足够长的平行导轨，，导轨的电阻均不计，导轨平面与水平面间的夹角，NQ间连接一个的电阻。有一磁感应强度的匀强磁场垂直于导轨平面向上。将一根质量、阻值为r的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度。已知在此过程中通过金属棒横截面的电荷量，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行。求： (1)金属棒与导轨间的动摩擦因数； (2)金属棒的阻值r； (3)cd离NQ的距离x。 3．（25-26高三上·江苏苏州·月考）如图所示，两个足够长的平行光滑细金属导轨固定在倾角的光滑绝缘斜面上，导轨间距，且电阻不计，导轨间有宽度为、磁感应强度的大小为、方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，一长度为的绝缘轻杆将导体棒和正方形细金属线框连接，线框的边长为d，线框的总电阻为，导体棒和线框总质量为，导体棒与导轨始终接触良好，并在导体棒中通以恒定电流（由外接恒流电源产生，图中未画出），导体棒处于磁场内且恰好位于下边界处，将装置由静止释放，线框穿过磁场后再次返回磁场时恰好匀速穿过磁场，导体棒在运动过程中始终与导轨垂直，不计线框及导体棒中电流所产生磁场的影响，重力加速度。求： (1)线框返回磁场时匀速运动的速度； (2)全过程中，线框产生的焦耳热Q； (3)上滑过程中，线框在磁场中运动的时间t。 4．（2026·江苏·二模）如图所示，半径r=0.5m的水平金属圆盘绕过中心O的竖直轴以的角速度逆时针匀速转动。圆盘边缘通过电刷与导轨的A1点相连，中心O与单刀双掷开关S的接线柱1相连。水平固定平行导轨A1A2段和B1B2段为粗糙导轨，A2A3段和B2B3段为光滑导轨，且A1A2段与A2A3段在A2处绝缘，B1B2段与B2B3段在B2处绝缘。垂直导轨放置的金属棒PQ与粗糙段导轨之间的动摩擦因数为μ=0.5。在导轨的左端连接自感系数为L=0.1H的线圈。圆盘和水平导轨均处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小均为B=1.0T。已知金属棒PQ质量m=0.1kg，导轨的宽度d=1.0m，电阻R=5.0Ω，电容器的电容C=0.06F。不计金属棒PQ、导轨和自感线圈的电阻，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求电容器所带的电荷量；并判断哪个极板带正电？（选“M极板”或“N极板”） (2)将开关从1打到2，金属棒PQ由静止开始运动，从开始到最大速度经历的时间t=0.4s，求金属棒的最大速度； (3)若金属棒经过A2B2时的速度为v0=2.0m/s，此时立即加一外力，使金属棒做匀速运动，求金属棒匀速运动x0=1.0m过程中线圈储存的能量。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)；(2) 【详解】（1）感应电动势，电路总电阻，感应电流，导体棒受到的安培力，导体棒匀速运动时速度最大，由平衡条件得，解得； （2）由法拉第电磁感应定律得，平均感应电流，通过回路的电荷量，流过的电量。 2．(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由题图乙知，当时，由牛顿第二定律得，解得； （2）由题图乙可知，金属棒速度稳定时，此时金属棒两端的感应电动势，根据物体的平衡有，解得； （3）此过程中通过金属棒横截面的电荷量，根据电流定义式有，解得。 3．(1)1m/s；(2)0.75J；(3)0.2s 【详解】（1）设线框返回磁场时的速度为，由题意可知，，解得； （2）由动能定理可知，解得，由全程能量守恒得，解得； （3）设线框向上穿过磁场的时间为，由动量定理得，，解得。 4．(1)，M极板带正电；(2)；(3) 【详解】（1）设金属圆盘转动产生的电动势为E，则有，解得，设电容器所带的电荷量为，则有，解得，根据右手定则可知，M极板带正电； （2）设金属棒的最大速度为，最大速度时电流为，电容器电压为，则，解得，根据，设在达到最大速度过程中通过金属棒的电量为，则，在达到最大速度过程中，由动量定理得，解得； （3）由于回路电阻为零，金属棒产生的电动势等于自感电动势，则有，可得，设金属棒匀速运动时的电流为，则有，则，则金属棒匀速运动过程中线圈储存的能量为。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第44练 电学计算2：带电粒子在磁场中的运动 （三年考频：1次 预测指数：★★★ ） 本卷共5小题，每小题16分，共80分。解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。 1．（25-26高三上·江苏·期末）如图所示，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上点以速度v垂直于x轴射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴射出第一象限。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B； (2)带电粒子穿过第一象限所用的时间t。 2．（25-26高三上·江苏无锡·期末）如图所示，在磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，两个带电量分别为+q、q的带电粒子a、b同时从O点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知a、b的质量均为m，不计重力及粒子间的相互作用力，磁场区域足够大。求： (1)a第一次运动到最高点的时间t； (2)a运动到最高点时，a、b间的距离H。 3．（2025·江苏常州·模拟预测）如图所示，在xOy平面的x轴上方区域范围内存在着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为。在空间坐标（x＝0，）处有一粒子源，在某一时刻向平面内各个方向均匀发射N个（N足够大）质量为m、电荷量为，速度为的带电粒子（不计粒子重力及粒子间的相互作用，题中N、a、m、q、均为已知量）。求： (1)粒子在磁场中运动的半径R和周期T； (2)x轴上能接收到粒子的区域长度L； (3)能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例。 4．（25-26高三上·江苏南通·月考）半圆形区域圆心为O、半径为R，MN是直径，。半圆形区域内（含边界）磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外。Q点有一粒子源，能向纸面内各个方向均匀发射速度大小均为（q为粒子带电量、m为粒子质量）的带正电的粒子。不计粒子重力和粒子之间的相互作用，求： (1)粒子在磁场区域运动的半径； (2)粒子在磁场区域运动且打在MN板上的最短与最长时间； (3)发射的粒子打在MN上的百分比。 5．（2025·江苏徐州·一模）如图所示，质谱仪由一个加速电场和环形区域的偏转磁场构成，磁场区域由两圆心都在O点，半径分别为和的半圆盒和围成，匀强磁场垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。质量为m、带电荷量为的粒子不断从粒子源S飘入加速电场，其初速度为0，经电场加速后沿的中垂线从极板上的小孔P射入磁场后打到荧光屏上。已知加速电压为（未知）时，粒子刚好打在荧光屏的中点处。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，且打到半圆盒上的粒子均被吸收。 (1)求加速电压的大小。 (2)为使粒子能够打到荧光屏上，求加速电压的取值范围。 (3)若调节加速电场的方向与粒子发射速度和角度，使粒子恰好打在中点处，求粒子在磁场中运动的最短时间所对应圆心角的正弦值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)；(2) 【解析】（1）由几何关系可知，粒子在磁场中运动的半径为，根据，可得； （2）粒子运动的周期，由题意可知，粒子在磁场中运动的时间为，解得。 2．(1)；(2) 【解析】（1）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示 设a运动到最高点时转过的圆心角为β，做圆周运动半径为R，由几何关系可得，a运动到最高点的时间，洛伦兹力提供圆周运动向心力，，代入解得； （2）a运动到最高点时，b恰好运动至最低点，由几何关系可得，由，得，代入解得。 3．(1)，；(2)；(3) 【解析】（1）由洛伦兹力提供向心力可得，解得轨迹半径，根据周期，联立解得； （2）粒子打x轴上的范围如图所示，x轴右侧长度为，x轴左侧，F与x轴相切，由几何关系知 联立可得； （3）粒子恰好跟x轴负半轴相切，半径与y轴夹角，满足，解得，粒子恰好跟x轴正半轴相切，半径与y轴夹角，满足，则 则能到达x轴粒子所占粒子总数的比例。 4．(1)R；(2)，；(3)25% 【解析】（1）在磁场中粒子做圆周运动，有，代入数据可得； （2）粒子在磁场中运动的周期为，粒子带正电，做顺时针方向圆周运动，在MN边界出射时，从O点出射时，做圆周运动的弦长最短，所用时间也是最短的，此时由于，所以圆心角大小为60°，最短时间为，从M点或N点出射时，弦长最长，由于，所以圆心角大小为90°，粒子运动的最长时间为； （3）从Q点发出的各种方向的粒子，在磁场中旋转的半径与磁场自身半径大小相同。当粒子能打在N点时，根据几何关系可知，入射粒子的方向应沿着QO方向，当粒子能打在M点时，入射粒子刚好向上与OM方向平行，粒子打在MN上时其射出的角度范围为90°，所以百分比为。5．(1)；(2)；(3) 【解析】（1）带电粒子垂直于射入，恰好垂直打在中点处的运动轨迹如图甲所示，设其运动轨迹半径为，则由几何关系知 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有，当粒子在电场中时，由动能定理得，联立解得； （2）当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为的半圆盒在点相切时，运动轨迹如图乙所示，此时粒子在磁场中运动的半径有最大值，设为，则 设粒子在磁场中运动的最大速度为，粒子在电场中，根据动能定理有，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有，联立解得，当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为的半圆盒在点相切时运动轨迹如图丙所示，粒子在磁场中运动的半径有最小值，设为，则 设粒子在磁场中运动的最小速度为，粒子在电场中，根据动能定理有，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有，联立解得，故加速电压的取值范围为； （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期，可知速度大小与入射角度不影响粒子在磁场中运动的周期。设中点为Q，粒子从P点运动到Q点，轨迹对应圆心角越小，所用时间就越短。当粒子运动轨迹与半圆盒相切时，对应圆心角最小，设轨迹半径为，轨迹圆心为，如图丁所示 则由几何关系有，解得，则，则，所以粒子在磁场中运动的最短时间所对应圆心角的正弦值为。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $