27.2相似三角形同步训练 2025-2026学年人教版九年级数学 下册

2026年人教版九年级下册数学同步训练：27.2相似三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，每个小正方形的边长均为，则下列图形中的三角形与相似的是(    ) A. B. C. D. 2.我国古代数学九章算术中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸尺寸，问井深几何？其意思如图所示，则井深的长为(    ) A. 尺B. 尺寸 C. 尺寸D. 尺寸 3.如图，在中，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在菱形中，点在上，与对角线交于点若，，则为(    ) A. B. C. D. 5.如图，，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，∽，若，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 8.如图，等边是的内接三角形，点，分别为，边上的中点，延长交于点，若，则(    ) A. B. C. D. 9.如图，中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为设，，则关于的函数图象大致是(    ) A. B. C. D. 10.如图，矩形纸片，：：，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，要使烛焰的像是烛焰的倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛          的地方． 12.如图，已知，若，则          ． 13.如图，在中，、分别为、上的点，若，，则          ． 14.如图，直线，交于点，若，，则的值为          ． 15.如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的中点交于点，连接若的面积是，则的值是          ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 问题探究． 定义： 将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”例如圆的直径就是圆的“等积线段”． 解决问题： 在中，，． 如图，若，垂足为点，则是的一条等积线段，且_________； 在图和图中，分别画出一条等积线段，并直接写出它们的长度．要求：图、图和图中的等积线段的长度各不相等 17.本小题分 阅读材料，回答下列问题．     欧多克索斯约公元前年出生于小亚细亚的尼多斯，今土耳其西南部，约公元前年卒于尼多斯，精通数学、天文学、地理学．他认为所谓黄金分割，指的是把长为的线段分为两部分，使其中较长一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，其比值是现在，我们也把顶角为的等腰三角形叫黄金三角形． 如图，在中，，，的平分线交腰于点请你根据上述材料利用所学知识，证明点为腰的黄金分割点； 如图，在中，，为斜边上的高，，若点是的黄金分割点，求的长． 18.本小题分 阅读与思考 请阅读下列科普材料，并完成相应的任务． 图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线或曲线，并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量比如想知道摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为千欧和千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图我们只要把角的两边刻着和的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性． 任务： 请根据以上材料简要说明图算法的优越性； 请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性： 用公式计算：当，时，的值为多少； 如图，在中，，是的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段的长． 19.本小题分 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． 如图，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点，求证：四边形是邻余四边形； 如图，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上； 如图，在的条件下，取的中点，连接并延长交于点，延长交于点，若为的中点，，，求邻余线的长． 20.本小题分 如图，在中，于点，连接，在上截取，使，连接． 直接判断与的位置关系 如图，延长，交于点，过点作交于点，试判断与之间的数量关系，并证明； 在的条件下，若，，求的长． 21.本小题分 定义：在中，，，分别是边，，上的动点，若∽，则称是的“子三角形”． 如图，是等边三角形，，，分别是边，，上的动点，且求证：是的“子三角形”． 如图，是的“子三角形”，且，若，求和的长． 22.本小题分 已知，在中，，，，点、分别在边、上，且均不与顶点重合，如图所示，设， 当点与点重合时如图所示，求线段的长； 在图中当点不与点重合时，求关于的函数解析式； 我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图，设点在边上，，如果四边形是等邻角四边形，求线段的长． 23.本小题分 我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形， 写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：          ， 如图，在梯形中，，，垂足为求证：，即四边形是等平方和四边形． 如果将图中的绕点按逆时针方向旋转度后得到图，那么四边形能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由． 24.本小题分 请阅读下列材料，完成相应的任务：     有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？     我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图，在直线上任取两点、，分别过点、作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点、位于直线的同侧，连接、，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，， ， 又， ∽依据，依据． 同理可得：，， ，，即：． 任务： 上述证明过程中的“依据”和“依据”分别是指： 依据：          ； 依据：          ； 如图，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图中个单位长度代表千欧画出表示该电路图中总阻值的线段长； 受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图，作，使，，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据两边对应成比例且夹角相等两三角形相似判定即可． 【解答】 解：因为  中有一个角是，选项中，有角的三角形只有，且满足两边成比例夹角相等， 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是得到∽根据题意可知∽，根据相似三角形的对应边成比例可求，进一步得到井深． 【解答】 解：， ∽， ：：， 即：：， 解得， 尺尺寸． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：， ， ， ． 故选C． 4.【答案】  【解析】解：四边形是菱形，，， ，， ， ∽， ． 故选：． 由菱形的性质得，，则∽，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由证明∽是解题的关键． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键． 直接利用相似三角形的性质，得出   ，进而得出答案． 【解答】 解：因为 ∽，所以    ，即   ，解得． 所以的长是． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了圆内接三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，交于点，延长交于点，连接，，根据等边是的内接三角形，可得，，，从而得到，，进而得到，，再证得∽，可得，，，再由勾股定理，求出的长，即可． 【解答】 解：如图，连接，交于点，延长交于点，连接，， 等边是的内接三角形， 平分，平分，，， ，，， ，， ， ，， 点，分别为，边上的中点， ， ∽， ，， ，， ， ， ． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：由题意得，， 当点与点重合时，，此时， 当时，∽， ， ， ， ，此抛物线开口方向向上； 当时，∽， ， ， ， ，此抛物线开口方向向下； 故符合题意的图象是选项 故选： 分段函数，当时，是的二次函数，开口方向向上；当时，是的二次函数，开口方向向下，据此判断即可． 本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：过点作于点，设与交于点，如图所示： 由折叠与对应易知：， ， ， ，即， 又， ∽， ， 故选：． 过点作于点，设与交于点，利用两角对应相等求证∽，即可求出的值． 本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，本题通过翻折变换推出进而利用角进行转化求出∽是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：设蜡烛距小孔，则小孔距成像板， 由题意可知：， ∽， ，解得：． 即蜡烛与成像板之间的小孔相距． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质解题的关键是利用平行线的性质，结合相似三角形的性质即可得出答案． 【解答】 解：， ，， ∽， ， 故答案为． 13.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出相似三角形是解题关键．直接利用相似三角形的判定方法得出∽，再利用相似三角形的周长比等于相似比进而得出答案． 【解答】 解：， ∽， 故答案为：． 14.【答案】   【解析】【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而． 【详解】，，， ， ， ， ， ； 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：连接，过作，交轴于， ，反比例函数的图象经过的中点， ，， ， ∽， 反比例函数的图象经过的中点， ， ， ， ， ． 故答案为． 本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质． 作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数的几何意义得到，根据的中点，利用∽得到和面积比为：，代入可得结论． 16.【答案】解：； 符合题意的图形如图和图所示： 如图，当是的一条等积线段时， 在中，，，是的一条等积线段， 点为的中点， ， ； 如图，当是的一条等积线段时，此时， 则的面积等于面积的一半， 在中，，， 的面积为：， 的面积是， 设， 则，得， ．  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形、新定义、勾股定理，解题的关键是明确题目中等积线段的定义，利用数形结合的思想决问题． 根据等积线段的定义，可知点为线段的中点，然后根据题目中的条件可以求得的长度；  根据题意可以分别画出相应的图形，然后根据相应的图形分别求出相应的等积线段． 【解答】 解：在中， ，，是的一条等积线段， 点为线段的中点，， ； 见答案． 17.【答案】【小题】 证明：在中，，， ． 为的平分线， ， ， ． ， ∽， ，即， 点为腰的黄金分割点； 【小题】 解：点是的黄金分割点， ， 又，， ． ，是斜边上的高， ， ， ， ∽， ， ． ，．   【解析】 见答案  见答案 18.【答案】解：图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；答案不唯一． 当，时， ， ． 过点作，交的延长线于点，如图， 是的角平分线， ． ， ，． ． ． 为等边三角形． ． ， ∽． ． ． ． 综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．  【解析】根据材料中的描述从简单、直观方面简要说明即可； 将已知条件代入公式计算出的值即可； 过点作，交的延长线于点，利用是的角平分线，可得出为等边三角形，进而得出；由得到∽，利用比例式可求线段． 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，实数的混合运算．本题是阅读型题目，正确理解题干中的定义是解题的关键． 19.【答案】证明：，是的角平分线， ，， ， 在四边形中，与互余， 四边形是邻余四边形． 如图所示答案不唯一，四边形为所求． ，是的角平分线，， ，， ， ，点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ．   【解析】本题为四边形综合题，涉及到等腰三角形的“三线合一”性质、三角形相似以及新定义问题，理解新定义是解题的关键． 根据，是的角平分线，推出，即，则与互余，即可求解； 如图所示答案不唯一，四边形为所求； 先证明∽，列出比例式求解即可． 20.【答案】【小题】 解：． 理由如下：设与交于． ， ． ，， ， ． ， ，即， ． 【小题】 解：． 证明：过点作交于点． ， ，，． ， ， ． ， ， 为等腰直角三角形， ， ． ， ． ，， 又， ， ， ， ， ． ， ． 【小题】 解：，为等腰直角三角形， ． ， ． ， ． ， ． 设， ． ， ， ， ， 解得，，经检验符合题意． ．   【解析】  证明，由全等三角形的性质得出，再根据余角的性质得到，即可判断．   过点作交于点，证得为等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论．   设，则，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 21.【答案】【小题】 是等边三角形，，． ，易得≌≌． 是等边三角形．． ∽是的“子三角形” 【小题】 过点作于点，则． ，，． 是的“子三角形”，∽． 易得，，． ，． ，． ，≌． 易知是等腰直角三角形，，易得． ，，． ，∽   【解析】 见答案  见答案 22.【答案】【小题】 解：过点作于， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小题】 过点作于， ， ， ∽， ， ， ，， ，， ∽， ， ， ， ， ， ； 【小题】 当时，如图， ， ， ，，， ， ， 当时， ，， ， ， ， ， ， ； 当时，即点与点重合， 由得， ， ； 综上所述，如果四边形是等邻角四边形，线段的长为或或    【解析】  过点作于，利用勾股定理求出，利用面积法可得，利用等角对等边得，根据勾股定理求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解；   过点作于，证明∽，∽，根据相似三角形的性质求出、，，即可求解；   分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等邻角四边形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，理解等邻角四边形的定义，要注意数形结合以及分类思想的应用． 23.【答案】【小题】 菱形或正方形  【小题】 证明：， ；；； 即四边形是等平方和四边形． 【小题】 解：四边形是等平方和四边形． 证明：原梯形记为， 依题意旋转后得四边形，连接、交于点， ， ∽， ， ，， ， ， ， 又， ∽； 又， ， 由的结论得： 即四边形是等平方和四边形．   【解析】  据题中定义，只要邻边相等的平行四边形即符合要求，则菱形或正方形都符合要求．   根据和勾股定理易证得即四边形是等平方和四边形．   作出原梯形，连接、交于，首先证明∽，再证明∽，可得，以下同的证法即得到即四边形是等平方和四边形． 本题考查学生对一个新的定义的理解，涉及到相似三角形的判定及性质、勾股定理的、菱形、正方形的性质等知识点，是一道考查学生综合能力的好题． 24.【答案】【小题】 两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形的对应边成比例 【小题】 如解图，线段即为该电路图中表示总阻值的线段长； 【小题】 小明的方法是正确的，理由如下： ， ． 又， ． 又， ∽， ， 即， 又，， ，， ， 小明的方法是正确的．   【解析】 略  见答案  见答案 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $