6.2.3 组合（培优教学课件）数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦“组合”核心知识点，通过回顾排列定义及公式，对比“选2名同学参加活动（无序）”与“安排2名同学分时段活动（有序）”的问题，构建排列与组合的知识支架，帮助学生理解组合的无序性本质。 其亮点在于以实例辨析排列与组合，通过共享自行车选3辆、集合子集个数等问题，培养数学抽象与逻辑推理素养。采用列举法、树状图等直观方法，结合课堂达标练习，提升学生数学运算能力，为教师提供丰富教学案例与清晰知识脉络，助力高效教学。

6.2 排列与组合 6.2.3 组合 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册·高二 章节导读 两个计数原理 排列与组合 二项式定理 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 两个计数原理的综合运用 二项式定理 二项式系数的性质 排列 排列数 组合 组合数 两个计数原理的简单运用 学 习 目 标 1 2 3 通过实例，理解组合的概念，提升数学抽象、逻辑推理的核心素养 正确认识组合与排列的区别与联系 能应用组合知识解决简单的实际问题，提升数学运算的核心素养. 知识回顾 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 1.排列的定义： 3. 全排列数: 2. 排列数公式： 新知探究 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 这两个问题有什么联系与区别？ 问题2 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动, 其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（6.2.1问题1） 甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序． 因此，不同的选法为：甲乙，甲丙，乙丙，共3种. 联系：从3个不同的元素中取出2个元素 （1）问题1选出来的两个人即可，不要考虑顺序 （2）问题2不光要选出来两个人，还要考虑顺序 区别： 新知探究 追问2 如果将该问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样概括? “从3个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少个不同的组？” 这里的每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题. 组合定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 新知探究 思考 比较排列的概念与组合的概念，它们区别与联系是什么？ 联系：都要“从n个不同元素中任取m个元素” 区别：对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”， 而组合“与顺序无关”. 组合具有无序性 排列具有有序性 例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列. 由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图所示. 组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙 排列 新知探究 思考 校门口停放着9辆共享自行车．下面的问题是排列问题，还是组合问题? (1)从中选3辆，有多少种不同的方法? (2)从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法? 第(1)题组合问题 第(2)题排列问题 判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法： 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 新知探究 辨析 尝试判断下列问题哪些是组合问题哪些是排列问题？ (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？ (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种 分法? (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少 种不同的方法? 组合问题 排列问题 组合问题 组合问题 组合问题 排列问题 组合问题 典例分析 例5 平面内有A、B、C、D共4个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条? 分析:(1)确定一条有向线段,不仅要确定两个端点,还要考虑它们的顺序,是排列问题; (2)确定一条线段,只需确定两个端点,而不需考虑它们的顺序,是组合问题． 解: (1)一条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个 点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，即有向线段的条数为 这12条有向线段分别为 AB, AC, AD, BC, BD, CD. (2)由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条： 典例分析 思考 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？ 能，具体对应关系如下： 结合上图可知：12(排列数)÷2=6 (组合的个数) 结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半. 巩固练习 课本P22 (1)(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)； 1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方； (2) 列出所有冠、亚军的可能情况. (2)所有冠亚军的可能情况有： 冠军 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁 亚军 乙 甲 丙 甲 丁 甲 丙 乙 丁 乙 丁 丙 巩固练习 课本P22 解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4个. 2. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形. 3. 现有1, 3, 7, 13这4个数. (1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? (2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差? 解：(1) 不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20，共6个. (2) 不相等的差为－2, －6, －12, 2, －4, －10, 6, 4, 12, 10，共10个. 组合的概念 题型一 题型探究 【例1】(1) (多选题) 下列四个问题中，属于组合问题的是( ) ACD A. 若集合,,,，则集合 的含有3个元素的子集有多少个 B. 某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票 C. 从7本不同的书中取出5本给某位同学，有多少种取法 D. 把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法 [解析] 对于A,因为集合中的元素有无序性的特征，所以它是组合问题. 对于B,因为车票与起点、终点有关，例如“甲 乙”与“乙 甲”的车票不同， 所以它是排列问题. 对于C,因为从7本不同的书中取出5本给某位同学，取出的5本书并不考虑书的顺序， 所以它是组合问题. 对于D,因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序， 所以它是组合问题.故选 . 组合的概念 题型一 题型探究 【例1】(1) 下列四个问题中，属于组合问题的是( ) D A. 从13位司机中任意选出2位开不同的车去往甲地，有多少种不同的安排方法 B. 老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌，有多少种安排方法 C. 三个人完成5项不同的工作，每人完成1项，有多少种分工方法 D. 在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星，有多少种选法 [解析] A，B，C与顺序有关，是排列问题，而D与顺序无关，是组合问题.故选D. 组合的概念 题型一 题型探究 解题感悟 根据排列与组合的定义判断并区分排列与组合问题，先确定完成 的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问 题，与顺序无关的是组合问题. 简单的组合问题 题型二 题型探究 【例2】 某志愿者服务团队由3名男同学和2名女同学组成，若从中随机选出3人参 加社区志愿者活动，则恰有2名男同学被选中的方法有多少种？ [解析] 记3名男同学分别为，，，2名女同学分别为， . 解法一（列举法）所选的3人中恰有2名男同学的情况有， ， ，，， ，共6种. 解法二（树状图法） 所选的3人中恰有2名男同学的所有情况如下： 由树状图可知，恰有2名男同学被选中的方法有6种. 简单的组合问题 题型二 题型探究 【例2】 某志愿者服务团队由3名男同学和2名女同学组成，若从中随机选出3人参 加社区志愿者活动，则恰有2名男同学被选中的方法有多少种？ 解法三（列表法） 所选的3人中恰有2名男同学的所有情况如下表： 女同学 男同学 由表可知，恰有2名男同学被选中的方法有6种. 简单的组合问题 题型二 题型探究 【例3】 某班要从5名同学中选出3名参加校运会的3 000米长跑比赛，则不同的选择 方法有( ) B A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 16种 [解析] 设这5名同学分别为A，B，C，D， ，则所有可能的组合如下： 所以所有组合为，，，，，，， ，， ，共10种，故选B. 简单的组合问题 题型二 题型探究 提分笔记 对于简单的组合问题，可采用列举、列表或画树状图的方法，写出所有的结果. 课堂达标 1.下列问题中属于组合问题的是( ) C A. 从4名志愿者中选出2人分别担任导游和翻译 B. 从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个数字，组成一个三位数 C. 从全班同学中选出3名同学参加运动会开幕式 D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 [解析] A，B，D项均为排列问题，只有C项是组合问题. 课堂达标 2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛（所有参赛队伍均能相遇一次），则所有 比赛的场数为( ) B A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 [解析] 由题意可知，所有比赛的双方如下： 甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6场比赛，故选B. 课堂达标 3.下列问题中是组合问题的有______.（填序号） ①10个人相互各写一封信，共写了多少封信？ ②10个人相互拥抱一次，共拥抱了多少次？ ③从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？ ④从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ ②③ 课堂达标 4.从4个不同元素中任取2个元素的所有组合有___个. 6 [解析] 解法一（列举法） 设4个不同元素为1,2,3,4，从中任取2个元素， 所有组合有，，，，， ，共6个. 解法二（树状图法） 设4个不同元素为1,2,3,4，从中任取2个元素，所有组合如下： 由树状图可知，所有组合有6个. 课堂小结 1.组合的定义 2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法： 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination). 感谢聆听! $