2026年中考数学一轮复习 第12讲 几何图形初步【2大考点14大题型】

第12讲 几何图形初步（练习） 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·中考真题）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川德阳·中考真题）下列图形中可以作为正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川宜宾·中考真题）下列立体图形是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·四川内江·中考真题）如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（   ） A．安 B．全 C．校 D．园 11．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·四川南充·中考真题）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3) 点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 14．（2025·西藏山南·一模）已知，在中，，点D、E分别在边上，且．将绕点D顺时针旋转，当点C落在线段上的点F处时，恰好是的平分线，此时线段的长是_________． 15．（2025·重庆渝中·模拟预测）如图，，平分且，则的度数为 _______ ． 16．（2025·广西·模拟预测）在下列时刻中，时针与分针互相垂直的是（  ） A．2时20分 B．6时15分 C．12时15分 D．3时整 17．（25-26七年级上·全国·假期作业）下列图形中，是正方体表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在四边形中，，，M，N分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是 _______． 19．（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长 20．（2025·安徽·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的是（　　） ①，②，③，④的周长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 几何图形初步（练习） 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选C． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出. 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【详解】解：在上取点，使， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当在上时，取最小值，为. 故答案为. 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 4．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·河南·中考真题）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 6．（2025·四川德阳·中考真题）下列图形中可以作为正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键， 利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可． 【详解】解：A．可以作为一个正方体的展开图，故本选项符合题意； B．有 “田” 字格结构，不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意； C．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意； D．不可以作为一个正方体的展开图，故本选项不符合题意． 故选：A． 7．（2025·四川宜宾·中考真题）下列立体图形是圆柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的识别，熟悉掌握图形的识别是解题的关键． 根据立体图形的特点逐一识别即可． 【详解】解：A：此图为球，故不正确； B：此图为圆锥，故不正确； C：此图为圆台，故不正确； D：此图为圆柱，故正确； 故选：D． 8．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体形成的基本原理解答即可． 本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥， 故选：A． 9．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角，即可求解． 【详解】解：已知，则的余角为， 故选：B． 10．（2025·四川内江·中考真题）如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（   ） A．安 B．全 C．校 D．园 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“共”字相对的面上的字是“全”． 故选：B． 11．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键； 根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是： ， 故选：B． 12．（2025·四川南充·中考真题）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 13．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 14．（2025·西藏山南·一模）已知，在中，，点D、E分别在边上，且．将绕点D顺时针旋转，当点C落在线段上的点F处时，恰好是的平分线，此时线段的长是_________． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、一元二次方程的应用．设，则，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，再根据平行线的判定与性质、角平分线的定义可得，等腰三角形的判定可得，然后根据旋转的性质可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，设，则，， ，， ， ， ， ， 又平分， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， ， 故答案为：6． 15．（2025·重庆渝中·模拟预测）如图，，平分且，则的度数为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，涉及角平分线的性质，正确识图准确计算是解题的关键．先利用角平分线的定义得到，然后计算，即可求得． 【详解】解：∵平分且， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2025·广西·模拟预测）在下列时刻中，时针与分针互相垂直的是（  ） A．2时20分 B．6时15分 C．12时15分 D．3时整 【答案】D 【分析】本题重点考查的是钟面角问题，明确某一时刻，分针与时针所成角的计算方法是解题的关键；钟表上时针每分钟移动，分针每分钟移动．垂直时，时针与分针的角度差为．通过计算各时刻时针与分针的角度差，可判断是否垂直． 【详解】解：∵ 时针速度：，分针速度：． 对于A． 2时20分： 时针角度 ， 分针角度， 角度差 ，不垂直． 对于B． 6时15分： 时针角度 ， 分针角度 ， 角度差 ，不垂直． 对于C． 12时15分： 时针角度 ， 分针角度 ， 角度差 ，不垂直． 对于D． 3时整： 时针角度， 分针角度 ， 角度差 ，垂直． 故选：D． 17．（25-26七年级上·全国·假期作业）下列图形中，是正方体表面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的表面展开图的认识，根据选项提供的展开图，运用空间想象能力进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，观察A选项、B选项、D选项，它们经过折叠后，下边没有面， ∴不可以围成正方体， 观察C选项，能折成正方体． 故选：C． 18．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在四边形中，，，M，N分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是 _______． 【答案】/68度 【分析】利用轴对称的性质，将的周长转化为线段的长度，根据轴对称的性质得到角的关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接， 由对称性知：， ， 当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ， ， ， ， ， ， ， 此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查对称和最短路径问题，核心是两次轴对称，把三角形周长转化为两点间距离． 19．（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（2025·安徽·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的是（　　） ①，②，③，④的周长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意可证，可判断①②③，由的周长，则当最小时的周长最小，根据垂线最短，可得时，最小，即最小，即可求此时周长最小值． 【详解】解：，， ，为等边三角形， ， 将绕点旋转到位置， ，，， ， ，，， ， 故①正确，③错误； ，， ， 故②正确， 的周长 ， 当最小时，的周长最小． ，， 是等边三角形， ， 当时，长度最小，即长度最小， ，，， ， ，， ， 的周长最小值为， 故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题和全等三角形的判定和性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 几何图形初步（举一反三复习讲义） 【2大考点14大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 1 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 2 （四）命题趋势（2026 年预测） 2 （五）复习建议 2 考点一 线段与角 2 【题型1 直线、射线和线段】 4 【题型2 点与线的位置关系】 5 【题型3 线段的和与差】 6 【题型4 线段的中点】 7 【题型5 最短路径问题】 8 【题型6 角的运算】 9 【题型7 角平分线】 11 【题型8 余角和补角】 12 考点二 相交线与平行线 13 【题型9 相交线及其所成的角】 14 【题型10 垂线的性质和计算】 15 【题型11 邻补角相关的识别和计算】 17 【题型12 平行线及其判定】 18 【题型13 平行线的性质】 19 【题型14 平行线的性质的应用】 20 特色专项练 21 【新考向：新考法】 21 【新考向：新情境】 22 【新考向：跨学科】 23 中考真题练 24 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 几何图形初步是中考数学几何模块的基础，衔接后续三角形、四边形等核心内容，近 4 年坚持 “素养立意”，侧重基础识记与简单应用，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，几何图形初步分值 3～6 分，占总分 4%～6%，以选择、填空题为主，属基础必拿分模块。 （二）考查题型 基础题型（80%）：选择、填空，考查图形识别、点线面关系、角的计算与性质； 中档题型（15%）：选择、填空，考查余补角、对顶角、角平分线、垂线应用； 创新题型（5%）：结合生活图形、简单折叠，考查图形直观分析能力。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心：角的计算（余角、补角、对顶角）、角平分线与垂线性质； 必考：图形识别（线段、射线、直线区别）、角度换算； 高频：折叠问题中的角度计算、点到直线的距离。 （四）命题趋势（2026年预测） 整体难度偏低，侧重基础识记与简单计算，无偏怪题； 结合生活实际图形命题增多，强化图形直观感知； 重点考查角的关系、折叠中的角度变化，贴合基础复习易错点。 （五）复习建议 牢记核心概念（点线面、角、角平分线、垂线）及性质； 强化角度计算，规避余补角混淆、折叠后角度判断错误； 结合简单生活图形，培养图形分析与直观感知能力。 考点一 线段与角 1、直线、射线、线段 (1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。 (2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。 (3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 (4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。 (5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量； 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量； 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。 2、角 (1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。 (2)角的度量 1°=60′， 1′=60″ (3)角的分类 ①锐角(0°< α < 90°) ②直角(α = 90°) ③钝角(90°< α < 180°) ④平角(α =180°) ⑤周角(α =360°) (4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 (5)角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 (6)余角与补角 余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。 性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。 【题型1 直线、射线和线段】 【例1】 （25-26七年级上·全国·课后作业）在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 【变式1-1】 （2025·江西·模拟预测）下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】 （2024·河北石家庄·二模）关于图中的点和线，下列说法错误的是（  ） A．点C在直线上 B．点C在线段上 C．点B在射线上 D．点B在线段上 【变式1-3】 （2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型2 点与线的位置关系】 【例2】 （2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2-1】 （25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法错误的是（    ） A．点A，C可以确定直线 B．点A在射线的延长线上 C．点O是直线外一点 D．若线段，则点是线段的中点 【变式2-2】 （25-26七年级上·广东河源·期末）观察图形，下列有四种说法：①经过两点，可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有三个交点；④．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】 （2026·广西柳州·一模）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【题型3 线段的和与差】 【例3】 （25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，B、E、C、F在一条直线上，若，则_____ ． 【变式3-1】 （25-26七年级上·福建龙岩·月考）【问题解决】 （1）如图1，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． ①直接写出线段_________， _________； ②求线段的长． 【类比探究】 （2）如图2，已知，、均为内的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①直接写出_________，_________； ②求的度数． 【变式3-2】 （25-26八年级上·广东湛江·期末）如图：，那么的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】 （25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【题型4 线段的中点】 【例4】 （25-26九年级下·江苏南京·月考）如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，则__________． 【变式4-1】 （25-26七年级上·福建泉州·期末）已知线段的长度是20，是线段上的一点，是线段的中点，是线段的中点，则____________． 【变式4-2】 （25-26七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【变式4-3】 （25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 最短路径问题】 【例5】 （2025·湖北武汉·三模）如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为___________． 【变式5-1】 （24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 【变式5-2】 （2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为____________； （2）小明骑行的最短距离为_________________． 【变式5-3】 （2024·安徽·模拟预测）如图，在中，，，，M为的中点，D在边上，，P，Q分别为，边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 角的运算】 【例6】 （2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】 （2026·河南周口·一模）如图，一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】 （2026·安徽安庆·模拟预测）一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】 （25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，在两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【题型7 角平分线】 【例7】 （2026·陕西西安·一模）如图，已知直线，相交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】 （2026·河南·一模）如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】 （2026·湖南·模拟预测）如图，，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】 （25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型8 余角和补角】 【例8】 （2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式8-1】 （2024·甘肃陇南·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式8-2】 （2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【变式8-3】 （2026·广西钦州·模拟预测）若一个角是，则这个角的补角是（    ） A． B． C． D． 考点二 相交线与平行线 1、邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 对顶角相等。 2、垂线 (1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 3、同位角、内错角、同旁内角 如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。 4、平行线 (1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。 (2)平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (3)平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (4)平行线的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 【题型9 相交线及其所成的角】 【例9】 （2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，点在上，连接，作，且，连接．求证：． 【变式9-1】 （2026·河北邢台·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】 （2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】 （2026·陕西西安·一模）如图，在中，点D是边延长线上一点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型10 垂线的性质和计算】 【例10】 （2026·陕西西安·二模）如图，，直线与相交于点，与相交于点，射线，垂足为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】 （2026·重庆·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，可能得到一个矩形 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．平分弦的直径一定垂直于弦 【变式10-2】 （25-26九年级上·山东济南·期末）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得． (1)如图2，___________度； (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 【变式10-3】 （2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【题型11 邻补角相关的识别和计算】 【例11】 （2026·陕西西安·一模）如图，线段绕其中点逆时针旋转得到线段（点、的对应点分别为点、），平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】 （25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，已知三点在同一直线上，若平分，则___________°． 【变式11-2】 （2026·陕西西安·一模）如图，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】 （2025·四川南充·一模）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转，得到，若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型12 平行线及其判定】 【例12】 （2024·甘肃陇南·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 【变式12-1】 （2026·陕西宝鸡·一模）如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 【变式12-2】 （25-26八年级上·辽宁大连·期末）已知直线及直线外一点C，如图是小明利用尺规作图作出的痕迹，他判定两直线平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 【变式12-3】 （2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线被直线所截，则下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型13 平行线的性质】 【例13】 （2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】 （2026·陕西安康·一模）如图，，点在上，与交于点，且为的中点．求证：． 【变式13-2】 （2026·陕西咸阳·一模）如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】 （2026·广东广州·一模）如图，直线，直线c与a，b分别相交于点，．若，则__________． 【题型14 平行线的性质的应用】 【例14】 （2026·陕西·模拟预测）小晨将一副三角板和按如图所示的位置放置，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】 （20-21七年级下·吉林松原·期中）用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则______度． 【变式14-2】 （2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 【变式14-3】 （25-26八年级上·山东青岛·期末）单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则__________． 特色专项练 【新考向：新考法】 1．（2025·四川达州·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．两点之间线段最短 B．平行四边形是轴对称图形 C．若有意义，则x的取值范围是全体实数 D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块． 【新考向：新情境】 1．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（    ）    A．体积为 B．母线长为1 C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为 【新考向：跨学科】 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（    ）      A． B． C．当与相切时， D．当时， 中考真题练 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则_______． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．下面是一个正方体的表面展开图，与“钒”字相对面上的字是（   ） A．中 B．国 C．之 D．都 6．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是________． 8．（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏宿迁·中考真题）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 14．（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则_________． 16．（2025·江苏常州·中考真题）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·吉林长春·中考真题）下面几何体中为圆锥的是（　　） A． B． C． D． 18．（2025·吉林·中考真题）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（    ） A．我 B．中 C．国 D．梦 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 几何图形初步（举一反三复习讲义） 【2大考点14大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 2 （一）考查分值 2 （二）考查题型 2 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 2 （四）命题趋势（2026 年预测） 2 （五）复习建议 2 考点一 线段与角 3 【题型1 直线、射线和线段】 4 【题型2 点与线的位置关系】 7 【题型3 线段的和与差】 9 【题型4 线段的中点】 12 【题型5 最短路径问题】 16 【题型6 角的运算】 20 【题型7 角平分线】 22 【题型8 余角和补角】 25 考点二 相交线与平行线 29 【题型9 相交线及其所成的角】 30 【题型10 垂线的性质和计算】 33 【题型11 邻补角相关的识别和计算】 38 【题型12 平行线及其判定】 40 【题型13 平行线的性质】 44 【题型14 平行线的性质的应用】 46 特色专项练 49 【新考向：新考法】 49 【新考向：新情境】 50 【新考向：跨学科】 53 中考真题练 55 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 几何图形初步是中考数学几何模块的基础，衔接后续三角形、四边形等核心内容，近 4 年坚持 “素养立意”，侧重基础识记与简单应用，核心考情如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，几何图形初步分值 3～6 分，占总分 4%～6%，以选择、填空题为主，属基础必拿分模块。 （二）考查题型 基础题型（80%）：选择、填空，考查图形识别、点线面关系、角的计算与性质； 中档题型（15%）：选择、填空，考查余补角、对顶角、角平分线、垂线应用； 创新题型（5%）：结合生活图形、简单折叠，考查图形直观分析能力。 （三）高频考点（2023-2026 年重点） 核心：角的计算（余角、补角、对顶角）、角平分线与垂线性质； 必考：图形识别（线段、射线、直线区别）、角度换算； 高频：折叠问题中的角度计算、点到直线的距离。 （四）命题趋势（2026 年预测） 整体难度偏低，侧重基础识记与简单计算，无偏怪题； 结合生活实际图形命题增多，强化图形直观感知； 重点考查角的关系、折叠中的角度变化，贴合基础复习易错点。 （五）复习建议 牢记核心概念（点线面、角、角平分线、垂线）及性质； 强化角度计算，规避余补角混淆、折叠后角度判断错误； 结合简单生活图形，培养图形分析与直观感知能力。 考点一 线段与角 1、直线、射线、线段 (1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。 (2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。 (3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 (4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。 (5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量； 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量； 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。 2、角 (1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。 (2)角的度量 1°=60′， 1′=60″ (3)角的分类 ①锐角(0°< α < 90°) ②直角(α = 90°) ③钝角(90°< α < 180°) ④平角(α =180°) ⑤周角(α =360°) (4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 (5)角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 (6)余角与补角 余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。 性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。 【题型1 直线、射线和线段】 【例1】 （25-26七年级上·全国·课后作业）在图中有A，B，C，D四个点，请按下列语句画图并填空： (1)画射线． (2)画线段和，它们相交于O． (3)画直线，连接和． (4)此时，图中共有线段________条，射线________条，直线________条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)10，6，1 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的画法和数量，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． （1）根据射线的定义画图即可； （2）根据线段的定义画图即可； （3）根据直线的定义画图即可； （4）根据直线，射线，线段的定义求数量即可． 【详解】（1）解：射线如图， （2）解：线段和如图， （3）解：直线，连接和如图， （4）解：从图中可以知道图中有10条线段，有6条射线，有1条直线， 故答案为：10，6，1． 【变式1-1】 （2025·江西·模拟预测）下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段，根据题意可知别以为端点、个单位长度的线段有条，据此解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，分别以为端点、个单位长度的线段有条， ∴可行性方案有个， 故选：． 【变式1-2】 （2024·河北石家庄·二模）关于图中的点和线，下列说法错误的是（  ） A．点C在直线上 B．点C在线段上 C．点B在射线上 D．点B在线段上 【答案】D 【分析】此题主要考查了点与直线，线段的相关概念，准确识图，熟练掌握点与直线，线段的相关概念是解决问题的关键． 【详解】解：根据图形可知：点C在直线上正确，故选项A正确，不符合题意； 点C在线段上，故选项B正确，不符合题意； 点B在射线上， 故选项C正确，不符合题意； 点B不在线段上，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】 （2024·河北·模拟预测）如图，下列给出的直线，射线，线段能相交的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查线段、直线、射线的概念和性质，直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度；射线：射线只能向一方无限延伸，无法度量长度；线段：线段不能向任何一方无限延伸，能度量长度． 【详解】A、线段不能向两边延伸， ∴与不会相交，故本选项错误； B、射线向右上方方向延伸， ∴与不会相交，故本选项错误； C、射线向左下方方向延伸， ∴与会相交，故本选项正确； D、射线向右上方方向延伸，射线向左下方方向延伸， ∴与不会相交，故本选项错误； 故选：C． 【题型2 点与线的位置关系】 【例2】 （2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 【变式2-1】 （25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，下列说法错误的是（    ） A．点A，C可以确定直线 B．点A在射线的延长线上 C．点O是直线外一点 D．若线段，则点是线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两点确定一条直线，射线，直线的定义，线段中点的定义等知识点． 根据直线的性质、定义，射线的定义以及线段中点的定义分别判断即可． 【详解】解：A、点A，C可以确定直线，正确，不符合题意； B、点A在射线的延长线上，正确，不符合题意； C、点O是直线外一点，正确，不符合题意； D、若线段，且点在线段上时，则点是线段的中点，原说法错误，符合题意， 故选：D． 【变式2-2】 （25-26七年级上·广东河源·期末）观察图形，下列有四种说法：①经过两点，可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有三个交点；④．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查基本的几何图形：经过两点能且只能作一条直线；一条射线可以用射线的端点和射线上除端点以外的任意一点表示；三条直线两两相交，交点的个数可能为一个、两个或三个；两点之间，线段最短． 【详解】①经过两点能且只能作一条直线，说法错误； ②一条射线可以用射线的端点和射线上除端点以外的任意一点表示，说法正确； ③三条直线两两相交，交点的个数可能为一个、两个或三个，说法错误； ④两点之间，线段最短，说法正确． 综上所述，正确的说法为②④，正确的个数为个． 故选：B 【变式2-3】 （2026·广西柳州·一模）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】A 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是两点确定一条直线． 【题型3 线段的和与差】 【例3】 （25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，B、E、C、F在一条直线上，若，则_____ ． 【答案】4 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【变式3-1】 （25-26七年级上·福建龙岩·月考）【问题解决】 （1）如图1，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． ①直接写出线段_________， _________； ②求线段的长． 【类比探究】 （2）如图2，已知，、均为内的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①直接写出_________，_________； ②求的度数． 【答案】（1）①5；4；②；（2）①24；30；② 【分析】（1）利用线段的和差以及线段中点计算即可； （2）利用角平分线的定义以及角度的和差计算即可 【详解】解：（1）①∵，， ∴，， ∴，． ②∵，，， ∴，． ∵点M是线段的中点， ∴， ∴． ∵点N是线段中点， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴，． ②∵，，， ∴， ． ∵射线平分， ∴， ∴； ∵射线平分， ∴， ∴． 【变式3-2】 （25-26八年级上·广东湛江·期末）如图：，那么的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 【变式3-3】 （25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图所示，B在线段上，且，D是线段的中点，E是的三等分点且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有________． 【答案】①④ 【分析】本题考查了与中点相关的计算，线段的和差，线段n等分点的有关计算，熟练掌握与中点相关的计算是关键．设，可逐步求得，，，，即可逐步判断各个结论的正误． 【详解】解：设， ， ， 是的三等分点且， ，， ， ， 故①正确； 是线段的中点， ， ， 故②错误； 同时，，， ， 故③错误； ，， ， 故④正确； 正确结论的有①④． 故答案为：①④． 【题型4 线段的中点】 【例4】 （25-26九年级下·江苏南京·月考）如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，则__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，推出，从而证明，得到，代入数值计算即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式4-1】 （25-26七年级上·福建泉州·期末）已知线段的长度是20，是线段上的一点，是线段的中点，是线段的中点，则____________． 【答案】20 【分析】根据线段中点的定义，结合线段的和差关系，将所求式子转化为已知长度的线段，即可计算出结果. 【详解】解：是线段的中点， ，即. ∵，， ∴. ∴； 又， ， ∴. 【变式4-2】 （25-26七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示动点对应的数； （2）点和相距5个单位分两种情况：在左侧、在右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解； （3）先根据列方程求出的值，再利用中点公式求点表示的数，注意分在左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴、两点间的距离为； ∵点从点出发，以每秒个单位长度向右运动秒，点从点出发，以每秒5个单位长度向右运动秒， ∴点表示的数是；点表示的数是． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 则， 解得； ②当点在点右侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 即， 解得； 综上，运动时间的值为7或9． （3）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数是， ∴， 由得，分两种情况： ①当点在点左侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； ②当点在点右侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或． 【变式4-3】 （25-26七年级上·湖南株洲·期末）如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线段的和差倍分进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 最短路径问题】 【例5】 （2025·湖北武汉·三模）如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过A作，且，连接，，设与交点为， 先证明得到，则，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合，再证明得到 即可求解． 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 【变式5-1】 （24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 【变式5-2】 （2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为____________； （2）小明骑行的最短距离为_________________． 【答案】 【分析】本题涉及到距离的计算． （1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】解：（1）根据图示计算的路线距离为； 故答案为：       （2）找出所有可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故答案为：. 【变式5-3】 （2024·安徽·模拟预测）如图，在中，，，，M为的中点，D在边上，，P，Q分别为，边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，两点之间线段最短，勾股定理． 作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小，由直角三角形的两个锐角互余，可得，从而可得，根据勾股定理计算，即可得的最小值． 【详解】解：如图（1），作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小， 如图（2），此时． ∵，， ∴， ∴, 易知， ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 【题型6 角的运算】 【例6】 （2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用对顶角的性质确定的度数，再根据角平分线的定义，得出与的数量关系，进而计算出的度数． 【详解】解：直线与相交于点， ． 平分， ． ， 【变式6-1】 （2026·河南周口·一模）如图，一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图得 ， ． 【变式6-2】 （2026·安徽安庆·模拟预测）一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】∵，， ∴， 又∵， ∴． 【变式6-3】 （25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，在两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质，方位角．根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图 由题意得，， ∴，即， ∴， 故选：C． 【题型7 角平分线】 【例7】 （2026·陕西西安·一模）如图，已知直线，相交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平分，得，由邻补角互补得，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式7-1】 （2026·河南·一模）如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，理解对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据邻补角的定义得出，根据角平分线的定义得出，根据对顶角得出，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式7-2】 （2026·湖南·模拟预测）如图，，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义．先利用邻补角的性质求得，利用角平分线的定义求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-3】 （25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行的性质，角平分线的定义等． 由平行线的性质得，，由角平分线定义得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， 故选：B． 【题型8 余角和补角】 【例8】 （2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【详解】解：∵，是斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴图中与(除外)相等的角的个数是2． 【变式8-1】 （2024·甘肃陇南·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （2）延长交于点，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，， ， ， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即． （2）解：延长交于点，如图所示： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 在与中，， ， ， 即． 【变式8-2】 （2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为，的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，得，，又，所以，则，，得出，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由四边形是菱形，得，又，所以，即， 解得，在中，，再证明，所以，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长为，的长为． 【变式8-3】 （2026·广西钦州·模拟预测）若一个角是，则这个角的补角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查补角的定义，角的大小计算，注意分与度之间的进率为60，掌握补角的定义是解决本题的关键． 根据补角的定义，两个角之和为，则用减去已知角即可求解． 【详解】解：∵补角之和为， ∴补角． ∵， ∴ ． ∴这个角的补角是． 故选A． 考点二 相交线与平行线 1、邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 对顶角相等。 2、垂线 (1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 3、同位角、内错角、同旁内角 如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。 4、平行线 (1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。 (2)平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (3)平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (4)平行线的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 【题型9 相交线及其所成的角】 【例9】 （2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，点在上，连接，作，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】先通过已知的垂直关系和等腰直角三角形的角度，证明，再利用全等三角形对应角相等，结合等腰直角三角形底角的度数，推导出，从而证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】 （2026·河北邢台·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-2】 （2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，三角形外角的性质． 根据三角形外角性质和对顶角性质得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴． 故选：C. 【变式9-3】 （2026·陕西西安·一模）如图，在中，点D是边延长线上一点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质、对顶角的定义和三角形的内角和定理知识点，根据对顶角得到，利用平行线的性质得到，再利用三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：C． 【题型10 垂线的性质和计算】 【例10】 （2026·陕西西安·二模）如图，，直线与相交于点，与相交于点，射线，垂足为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得出，利用邻补角性质得出，再利用平角性质得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式10-1】 （2026·重庆·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，可能得到一个矩形 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．平分弦的直径一定垂直于弦 【答案】C 【分析】本题为概念辨析题，考查圆的性质、圆锥展开图、垂线定理等初中数学基础知识点，需要逐一判断各选项是否符合定义． 【详解】∵选项A中，相等圆心角所对弧相等的前提是同圆或等圆，选项未说明该前提，∴A错误． ∵选项B中，圆锥侧面沿母线展开后得到的是扇形，不可能是矩形，∴B错误． ∵选项C中，根据初中平面几何中垂线的基本定理，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴C正确． ∵选项D中，若被平分的弦本身是直径，那么平分该弦的直径不一定垂直于弦，定理要求被平分的弦不是直径，∴D错误． 故选：C． 【变式10-2】 （25-26九年级上·山东济南·期末）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得． (1)如图2，___________度； (2)如图2，求点到靠背的距离；（精确到） (3)如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度． 【答案】(1)； (2)点到靠背的距离约为； (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义以及将实际问题转化为直角三角形模型的方法是解题的关键． （1）根据垂直于地面，平行于地面，可知平行于，再利用平行线的性质求出的度数． （2）过点作于点，在中，利用正弦函数的定义求出的长度，即为点到靠背的距离． （3）过点作于点，先求出的度数，再利用正切函数的定义求出的长度，最后结合杯托凹陷深度计算水杯的最大高度． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得，，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：延长交于点， ∵，， ∴， ，， ， 答：点到靠背的距离约为； （3）解：过点作，则， ， ， ， ， 水杯的高为：， 乘客水杯的最大高度为． 【变式10-3】 （2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质、勾股定理的逆定理、在同一平面内，经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直等，熟练掌握各个性质是解题的关键． 先连接，根据条件得出直径，半径，再根据勾股定理的逆定理求出为直角三角形，最后根据在同一平面内，经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直得出点、点重合，再求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦交于点，，， ∴, ∴， ∴． ∵，，， 得：， ∴为直角三角形，． ∵，， ∴点、点重合， ∴． 故选：D． 【题型11 邻补角相关的识别和计算】 【例11】 （2026·陕西西安·一模）如图，线段绕其中点逆时针旋转得到线段（点、的对应点分别为点、），平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平角的性质．先求得，利用角平分线的定义求得，再利用平角的性质即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 【变式11-1】 （25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，已知三点在同一直线上，若平分，则___________°． 【答案】60 【分析】此题考查了邻补角定义，角平分线的定义，求几何图形中角的度数，正确理解邻补角定义是解题的关键． 根据邻补角定义，角平分线定义进行推理论证即可． 【详解】解：∵三点在同一直线上， ， ， ， 平分， ， 故答案为：60． 【变式11-2】 （2026·陕西西安·一模）如图，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角的性质，平行线的性质，由角平分线的定义得，即得，再根据平行线的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式11-3】 （2025·四川南充·一模）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转，得到，若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与旋转的性质，解题的关键是利用旋转的性质得到对应角相等，结合平角定义求出相关角的度数． 先由等腰的性质求出的度数；再根据旋转的性质得，结合平角定义求出的度数；最后计算与的差得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴． 由旋转的性质，得． ∵点在BC的延长线上， ∴． ∴． 故选：B． 【题型12 平行线及其判定】 【例12】 （2024·甘肃陇南·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，得到，然后代入求值即可； （2）先证明，然后判定，得到，求得，作，垂足为点，在中，通过求得，最后通过求得答案． 【详解】（1）解： 在和中，， ， ， ， ∴， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 如图1，作，垂足为点， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，解直角三角形的相关计算，平行线分线段成比例，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式12-1】 （2026·陕西宝鸡·一模）如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形面积，掌握菱形的性质是解题关键．连接，根据菱形的性质，推出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形都是菱形， ，，，， ，， ， ， ， ， 和同底等高， ， 菱形的面积为，的面积为， ， ， 故答案为：． 【变式12-2】 （25-26八年级上·辽宁大连·期末）已知直线及直线外一点C，如图是小明利用尺规作图作出的痕迹，他判定两直线平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，尺规作图—作与已知角相等的角，由作图方法可知，，则由同位角相等，两直线平行可得，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故选：A． 【变式12-3】 （2026·浙江·模拟预测）如图，已知直线被直线所截，则下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行线的判定，逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据图形可知， A、和是邻补角，相等不能得到两直线平行，故选项A错误，不符合题目要求； B、和是内错角，内错角相等，两直线平行，选项B正确，符合题目要求； C、和是同旁内角，相等不能得到两直线平行，故选项C错误，不符合题目要求； D、，，，而和是同旁内角，相等不能得到两直线平行，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：B． 【题型13 平行线的性质】 【例13】 （2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据外角的性质计算出，再根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 【变式13-1】 （2026·陕西安康·一模）如图，，点在上，与交于点，且为的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先利用平行线的性质得出，再通过判定和全等，最后根据全等三角形对应边相等得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【变式13-2】 （2026·陕西咸阳·一模）如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式13-3】 （2026·广东广州·一模）如图，直线，直线c与a，b分别相交于点，．若，则__________． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴． 【题型14 平行线的性质的应用】 【例14】 （2026·陕西·模拟预测）小晨将一副三角板和按如图所示的位置放置，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再对求差即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 【变式14-1】 （20-21七年级下·吉林松原·期中）用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质；关键是利用数形结合的思想解题；根据对顶角的性质和平行线的性质，可以求得的度数，从而可以得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式14-2】 （2026·浙江温州·一模）如图，两条直线分别经过正六边形的顶点，且．当时，则___________． 【答案】/度 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ，， ， ， 【变式14-3】 （25-26八年级上·山东青岛·期末）单车骑行在年轻人中广泛流行，某品牌自行车如图所示，其中，．平分，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用． 根据和的度数分别求出的度数，结合，求出，再由角平分线定理得到，结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 特色专项练 【新考向：新考法】 1．（2025·四川达州·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．两点之间线段最短 B．平行四边形是轴对称图形 C．若有意义，则x的取值范围是全体实数 D．三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短、平行四边形的中心对称性、二次根式有意义的条件和三角形的中位线等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键； 根据两点之间线段最短、平行四边形的中心对称性、二次根式有意义的条件和三角形的中位线定理等知识逐项判断即可得解. 【详解】解：A. 两点之间线段最短，故本选项说法正确； B. 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项说法错误； C. 若有意义，则x的取值范围是，故本选项说法错误； D. 三角形的中位线将三角形分成两部分，其中小三角形和四边形的面积比为，故本选项说法错误； 故选：A. 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块． 【答案】 12 144 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 【新考向：新情境】 1．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（    ）    A．体积为 B．母线长为1 C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为 【答案】BC 【分析】本题主要考查圆柱的体香，母线长，侧面积以及侧面展开图的周长，运用相关知识求解各选项再判断即可 【详解】解：A.∵圆柱的底面半径为，高为1， ∴圆柱的体积为，故选项A不符合题意； B.∵圆柱的高为1， ∴圆柱的母线长为1，故选项B正确，符合题意； C. ∴圆柱的底面半径为，高为1， ∴圆柱的底面周长为， ∴侧面积为，故选项C正确，符合题意； D.∵圆柱的底面周长为，高为1， ∴圆柱的侧面展开图的周长为，故选项D错误，不符合题意 综上，正确的结论为B，C， 故选：BC 【新考向：跨学科】 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，则下列结论正确的是（    ）      A． B． C．当与相切时， D．当时， 【答案】AC 【分析】如图，由题意可得：，，，，从而可判断A，B，如图，当与相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案． 【详解】解：如图，由题意可得：   ，，，， ∴，故A符合题意； ，故B不符合题意； 如图，当与相切时， ∴，    ∴， ∴，故C符合题意； 当时，如图，    ∴， ∴，， ∴，故D不符合题意； 故选AC 【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 中考真题练 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键． 由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可． 【详解】解：点在直线上，， ， ， ， ． 故选B． 3．（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆柱，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是球体，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 故选：C． 4．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）攀枝花市被誉为“中国钒钛之都”．下面是一个正方体的表面展开图，与“钒”字相对面上的字是（   ） A．中 B．国 C．之 D．都 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的展开图，根据正方体的表面展开图找相对面的方法：Z字两端是对面即可解答． 【详解】解：与“钒”字相对面上的字是：之， 故选：C． 6．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体，面动成体，根据题意作出图形，即可进行判断． 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥， 故选：A． 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查方向角有关的计算，根据方向角的定义，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故答案为：． 8．（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，轴对称图形以及中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形定义，以及无盖正方体的展开图的特征逐项判定即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； 故选：C． 9．（2025·海南·中考真题）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 10．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角板的应用，平行线的性质，根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：如答图， 由题意，得， ， ， ， ， ． 故选：B． 11．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图上的图案的相对位置，理解把展开图折叠后，各个面上图案的相对位置，是解题的关键．由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，进一步分析各选项即可得到答案． 【详解】解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B 12．（2025·江苏宿迁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 13．（2025·江苏宿迁·中考真题）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【答案】D 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，根据常见几何体的三视图可得出答案，掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：根据主视图和左视图是长方形可知，该几何体是柱体，俯视图判断几何体的底面形状是正方形，说明几何体是长方体， 故选：． 14．（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表表盘的特征，即被分成个大格，每个大格对应角度固定，再看上午时整时针和分针的位置，计算间隔大格数，进而求出夹角．本题主要考查钟面角的计算，熟练掌握钟表表盘大格对应的角度（每大格 ）以及特定时刻时针和分针的位置关系是解题的关键． 【详解】解：每一个大格对应的角度是 ．上午时整，时针指向，分针指向，它们之间间隔个大格． 所以时针和分针构成的角的度数为 ． 故选：． 15．（2025·江苏常州·中考真题）如图，，，，则_________． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用，，得出，结合，再利用平角的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2025·江苏常州·中考真题）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直棱柱的展开图，解题关键是掌握常见的立体图形的展开图． 根据三棱柱，想像出侧面展开图，再作出选择． 【详解】解：三棱柱的侧面展开图是三个矩形拼成的矩形， 故选：D． 17．（2025·吉林长春·中考真题）下面几何体中为圆锥的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提． 根据圆锥的底面是圆，侧面是曲面进行判断即可． 【详解】解：A、该几何体为正方体，不符合题意； B、该几何体为球，不符合题意； C、该几何体为圆锥，符合题意； D、该几何体为是三棱锥，不符合题意． 故选：C． 18．（2025·吉林·中考真题）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（    ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】C 【分析】本题考查了正方体表面展开图，根据特点作答即可． 【详解】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意； C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意； D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意； 故选：C． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $