16.5实践与探索 学案 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

分课时学案 课题 16.5实践与探索 单元 16 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1. 能从实际问题中抽象出一次函数模型，理解函数图象交点的实际意义，掌握利用函数图象解决实际问题的方法； 2. 能通过观察函数图象，找出方程的解和不等式的解集，理解函数与方程、不等式之间的内在联系，体会数形结合思想； 3. 能根据实际数据描点、拟合直线，求出近似的一次函数关系式，体会数学建模的过程和近似思想。 重点 从实际问题中建立一次函数模型，利用函数图象分析和解决问题。 难点 理解函数图象交点与方程组解的关系，以及根据实际数据拟合近似函数关系式。 教学过程 导入新课 回顾旧知：一次函数的一般形式为，在实际生活中，哪些问题可以用一次函数来描述？ 新知讲解 问题1 某单位准备印制一批证书。当地有甲、乙两个印刷厂，它们的印制质量都很好。甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不制版费，直接按印刷数量收费，当印刷证书超过2千本时单价有优惠。甲、乙两厂的收费y（千元）关于印制的证书数量x（千本）的函数图象如图16.5.1所示。 （1）根据图象回答： ①甲厂的制版费及印刷费单价各是多少？ ②印制证书多少本时，两厂实际收费相同？ ③当印制证书8千本时，选择哪个印刷厂比较划算？ （2）如果甲厂想把8千本证书印制的订单争取到手，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少？ 【思考】 （1）“收费相同”在图象上怎样反映出来？ （2）如何在图象上看出收费的多少？ 例 利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解。 问题2 画出函数的图象，根据图象，说明： 1.x取什么值时，函数值y等于0？ 2.x取什么值时，函数值y大于0？ 思考 由问题2，想一想：一元一次方程的解、不等式的解集与函数的图象有什么关系？ 问题3 为了研究某合金材料的体积随温度变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下： 能否据此寻求V与t之间的函数关系式？ 巩固训练 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，一次函数 (a，b为常数，) 的图象分别与轴，轴交于点 ，，则关于的不等式 的解集为 　 　. 2. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是　 　． 3. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为　 　． 4. 已知一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，则方程组的解是　 　． 选做题： 5. 已知关于x的函数y＝(3m﹣1)x＋m＋3． （1）若这个函数的图象平行于直线y＝2x﹣3，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 6. 我市某店购进A，B两种雨伞，已知购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，A种雨伞的单价比B种雨伞的单价高15元． （1）A，B两种雨伞的单价分别是多少元？ （2）商店决定再次购进A，B两种雨伞共50把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售，如果此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，那么应购买多少把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最少？最少费用是多少元？ 【综合拓展类作业】 7. 在平面直角坐标系中，设函数（m是实数），，已知函数与的图象都经过点和点． （1）求函数，的解析式与点的坐标． （2）当时，请直接写出自变量x的取值范围． （3）已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求的取值范围． 作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1. 已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积为　 　． 2. 已知直线与的交点为，则方程组的解是　 　． 3. 直线 与直线 的交点坐标为（　　） A．(5， 10) B．(， ) C．(4， 8) D．(， ) 4. 已知反比例函数 的图象与一次函数y=2x+1的图象交于点A（2m，y1），B（-m，y2），则则下列各式的值最大的是 （　　） A． B． C．D． 5. 已知反比例函数与一次函数y＝m（x﹣1）+2的图象均过点A（x1，y1），且y1＞0． （1）当x1＝1时， ①求反比例函数和一次函数表达式． ②若点B（2，n）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，恰好落在的图象上，求n的值． （2）已知点P（2m+3，y2）在反比例函数的图象上，都有y2≤2≤y1，求m的取值范围． 6. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 （1）根据函数图象可知，当 时，x的取值范围是 　； （2）求反比例函数和一次函数的解析式. 【综合拓展类作业】 7. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2． （1）求证：； （2）求点B的横坐标； （3）当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围． 答案： 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，一次函数 (a，b为常数，) 的图象分别与轴，轴交于点 ，，则关于的不等式 的解集为 　 　. 解：∵一次函数 的图象分别与轴，轴交于点 ，， ∴当时，，故答案为： 2. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是　 　． 解：根据函数图象可知函数与轴交于，且随增大而减小， ∴当，有，∴不等式的解集是。 3. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为　 　． 解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1，∴P（1，2）， 从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方， 即当x≥1时，x+1≥mx+n，故答案为：x≥1． 4. 已知一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是，则方程组的解是　 　． 解：∵一次函数与（k是常数）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 选做题： 5. 已知关于x的函数y＝(3m﹣1)x＋m＋3． （1）若这个函数的图象平行于直线y＝2x﹣3，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． （1）解：由题意得：3m﹣1＝2 解得：m＝1∴m的值为1 （2）解：由题意得：3m﹣1<0，且m＋3>0 解得：，∴m的取值范围是 6. 我市某店购进A，B两种雨伞，已知购买A种雨伞30把，B种雨伞40把，共花费2900元，A种雨伞的单价比B种雨伞的单价高15元． （1）A，B两种雨伞的单价分别是多少元？ （2）商店决定再次购进A，B两种雨伞共50把，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：A种雨伞按单价的八折出售，B种雨伞每把降价5元出售，如果此次购买A种雨伞的数量不低于B种雨伞数量的，那么应购买多少把A种雨伞，使此次购买雨伞的总费用最少？最少费用是多少元？ （1）解：设B种雨伞的单价为x元，则A种雨伞的单价为（x+15）元． 30（x+15）+40x=2900，解得x=35，∴A种：35+15=50（元） 答：A、B两种雨伞的单价分别是50元、35元． （2）解：设购买m把A种雨伞，总费用为W元， 则解得， ∴最小整数解为m=13，． ∵10﹥0，∴W随m的增大而增大．∴当m=13时，W取得最小值，最小值为10×13+1500=1630． 答：应购买13把A种雨伞，购买雨伞的总费用最小，最小费用为1630元． 【综合拓展类作业】 7. 在平面直角坐标系中，设函数（m是实数），，已知函数与的图象都经过点和点． （1）求函数，的解析式与点的坐标． （2）当时，请直接写出自变量x的取值范围． （3）已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求的取值范围． （1）解：函数经过点，， 解得：，，点在反比例函数图象上，， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为． 联立方程组，解得，，； （2）解：由两个函数的性质及交点坐标可知： 当时，自变量的取值范围为或； （3）解：点和点在函数的图象上， ，，， ，，， ，，． 的取值范围为． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积为　 　． 解：将点代入和中 得：，， ，，两函数表达式分别为，， 如图，画出一次函数图象， 则直线与与轴的交点分别为，， ∴，∴． 2. 已知直线与的交点为，则方程组的解是　 　． 解：直线与的交点为，即，满足两个解析式， 则是方程组的解．方程组可化为。 3. 直线 与直线 的交点坐标为（　　） A．(5， 10) B．(， ) C．(4， 8) D．(， ) 解：由题意可得：，解得：， ∴ 直线 与直线 的交点坐标为 (， ) 4. 已知反比例函数 的图象与一次函数y=2x+1的图象交于点A（2m，y1），B（-m，y2），则则下列各式的值最大的是 （　　） A． B． C．D． 解：将A(2m，y1)，B(-m，y2)代入y=2x+1，则y1=4m+1，y2=-2m+1. ∵A(2m，4m+1)，B(-m，-2m+1)在反比例函数y=(k>0)的图象上， ∴2m(4m+1)=-m(-2m+1)，解得m1=0(不合题意，舍去)，m2=-， ∴y1=-1，y2=2，∴y1-y2=-1-2=-3，y1+y2=-1+2=1，y1·y2=(-1)×2=-2，=-， ∴y1+y2的值最大. 5. 已知反比例函数与一次函数y＝m（x﹣1）+2的图象均过点A（x1，y1），且y1＞0． （1）当x1＝1时， ①求反比例函数和一次函数表达式． ②若点B（2，n）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，恰好落在的图象上，求n的值． （2）已知点P（2m+3，y2）在反比例函数的图象上，都有y2≤2≤y1，求m的取值范围． （1）解：把x＝1代入y＝m（x﹣1）+2得，y＝2，∴A（1，2）， ①∵反比例函数过点A（1，2），∴2m＝1×2， ∴m＝1，∴反比例函数的表达式为y，一次函数表达式为y＝x+1． ②点B（2，n）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点（﹣1，n+2）， ∵恰好落在的图象上，∴n+2，解得n＝-4 （2）解：当y＝2时，2，解得x＝m， 当m＞0时，反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵反比例函数与一次函数y＝m（x﹣1）+2的图象均过点A（x1，y1），且y1＞0，∴点A（x1，y1）在第一象限， ∵点P（2m+3，y2）在反比例函数的图象上，且2m+3＞0， ∴点P（2m+3，y2）在第一象限，∵都有y2≤2≤y1， ∴2m+3≥m，∴m≥﹣3，∴m＞0； 当m＜0时，反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵反比例函数与一次函数y＝m（x﹣1）+2的图象均过点A（x1，y1），且y1＞0， ∴点A（x1，y1）在第二象限，∵点P（2m+3，y2）在反比例函数的图象上，都有y2≤2≤y1， ∴2m+3≤m或2m+3＞0，∴m≤﹣3或m， ∴m≤﹣3或m＜0，综上，m的取值范围是m＞0或m≤﹣3或m＜0 6. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 （1）根据函数图象可知，当 时，x的取值范围是 　； （2）求反比例函数和一次函数的解析式. （1）0<x≤3或x≤-2 （2）解：∵点 和 在反比例函数 的图象上. 解得m=12， ∴A(3，4)， B(-2，-6)，∴反比例函数为 将点A和点B的坐标代入 得 解得 ，∴一次函数为 。 【综合拓展类作业】 7. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2． （1）求证：； （2）求点B的横坐标； （3）当时，对于实数m，当时，；当时，，直接写出m的取值范围． （1）证明：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2， ∴，∵， ∴，∴ （2）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为 （3）解：∵点A的横坐标为2，点B的横坐标为， ∴当时，对于实数m，当时，； 当时，，m的取值范围是或， （2） 解得：或 （3） 学科网（北京）股份有限公司 $