第10讲：二项式定理【8个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第10讲：二项式定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求二项式的展开式】 【练方法】 知识梳理 二项式定理公式： 通项公式：第项为 基本性质： 展开式共有项 各项系数和为（令） 奇数项系数和=偶数项系数和= 解题方法 1.直接展开：按公式展开，逐项计算和 2.分项展开：若二项式包含常数和变量（如），分别计算每一项的系数和变量幂次 3.化简整理：合并同类项，写出标准展开式 名师点睛 展开式的第项对应通项公式中的，不要混淆“第k项”和“通项” 计算时注意，，首尾项系数为1 （25-26高二下·全国·课后作业）求的二项展开式．经典例题1例题 （24-25高二下·天津河东·期中）根据二项式定理完成下列各题：经典例题2例题 (1)求的展开式； (2)化简 （24-25高二·全国·课堂例题）求的展开式；小试牛刀1 （23-24高二下·山西大同·月考）（1）求的展开式；小试牛刀2 （2）化简：． （23-24高二下·江苏·课前预习）（1）求的展开式.小试牛刀3 （2）化简：. 【题型2：求二项展开式的特定项】 【练方法】 知识梳理 特定项类型：含的项、常数项、含根号的项、系数最大的项等 核心工具：通项公式 解题方法 1.写出通项公式 2.根据特定项要求（如含、常数项），列方程确定的值 常数项：变量指数为0 含项：变量指数等于 3.将代回通项公式，求得特定项 名师点睛 求特定项的本质是“解方程求”，根据变量指数列方程 遇到“常数项”，一定是变量指数抵消的项（指数和为0） 计算时必须为非负整数且，否则无解 （25-26高三上·天津南开·期末）的二项展开式中，常数项为______．经典例题1例题 （2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ）经典例题2例题 A．44 B．32 C．28 D．52 （24-25高二上·甘肃白银·月考）已知二项式．小试牛刀1 (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． （25-26高二下·全国·课堂例题）在的展开式中，的幂指数是整数的项共有（   ）小试牛刀2 A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 【多选题】（24-25高三上·云南大理·开学考试）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（   ）小试牛刀3 A．6 B．11 C．15 D．20 【题型3：求二项展开式的第k项】 【练方法】 知识梳理 核心区别：与“特定项”不同，直接指定位置（如第5项） 通项公式对应：第项对应，即 解题方法 1.识别项数，计算（即通项公式中的） 2.代入通项公式 3.化简计算，写出第项及其系数 名师点睛 口诀：“第k项，用k-1；通项是k+1” 必须区分“第k项”和“通项公式”，不要多减或多加1 二项式系数（）与项的系数（含字母常数）要分开计算 （2026·北京密云·一模）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________.经典例题1例题 （2026·四川·模拟预测）二项式的展开式的第2项的系数为_________.经典例题2例题 （25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中第7项为________．小试牛刀1 （25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第4项为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：由二项展开式的项求参数】 【练方法】 知识梳理 场景：已知展开式中的某一项（如含的系数为10），求参数或 核心工具：通项公式+方程思想 解题方法 1.写出通项公式 2.根据已知条件（系数、指数、项）列方程 已知某系数：令对应项的系数等于已知值 已知某指数：令变量指数等于目标值，求出再回代 3.解方程求解参数 名师点睛 必须同时满足指数关系和系数关系，两个条件缺一不可 涉及参数的计算要注意定义域（为正整数，） （2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则______．经典例题1例题 （23-24高三下·陕西·月考）在的展开式中，的系数为84，则_____________．经典例题2例题 （2024·山东·二模）已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______．小试牛刀1 （2023高二下·北京房山·期中）根据下列条件进行计算：小试牛刀2 (1)若，求n的值； (2)已知，求的值． （24-25高二下·广西钦州·期末）已知的展开式中第5项为常数项.小试牛刀3 (1)求的值； (2)求展开式中所有的无理项. 【题型5：求三项展开式】 【练方法】 知识梳理 模型：或 核心思路：转化为二项式问题，利用“分组法”或“通项组合” 解题方法 方法1：分组转化（二项式） 1.将三项看作“二项”： 2.先用二项式展开，得到 3.再对展开，合并所有项 方法2：通项组合 1.通项为：（其中） 2.根据目标指数确定的值，代入计算 名师点睛 最推荐分组法，将三项强制转化为二项，降低难度 展开式项数较多，需仔细计算组合数，避免漏项或重项 高考中常考查“求含的系数”，分组法是最快路径 （25-26高二·江苏·假期作业）求多项式的展开式．经典例题1例题 （24-25高二上·辽宁沈阳·月考）的展开式中，共有多少项？（ ）经典例题2例题 A．45 B．36 C．28 D．21 （25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的常数项是（   ）小试牛刀1 A．352 B． C．1120 D． （河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）多项式的展开式中，常数项为_____．小试牛刀2 （24-25高二下·重庆渝中·月考）的展开式中的常数项为（   ）小试牛刀3 A．70 B． C．252 D． 【题型6：求多项展开式的系数】 【练方法】 知识梳理 场景：或等多项乘积展开 核心工具：分步乘法计数原理+二项式通项 解题方法 1.分别对每个因式展开，得到各自的通项 2.相乘后，同类项系数相加 3.针对目标项，对应两个因式中指数和等于目标指数的项相乘，累加系数 名师点睛 核心思想是“配对相乘”，找指数匹配的项 注意符号问题：如展开后系数有正负，计算时要带符号 此类题常结合“系数和”问题，考查分类讨论 （23-24高二下·安徽芜湖·期末）在的展开式中，含的项的系数是（    ）经典例题1例题 A．120 B．240 C．274 D．282 （23-24高二下·河北沧州·月考）在的展开式中，x的系数为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 在的展开式中，的系数为（    ）小试牛刀1 A． B．21 C． D．15 求的展开式中含的项．小试牛刀2 用二项式定理展开下列各式：小试牛刀3 (1)； (2)． 【题型7：两个项的乘积的展开式系数问题】 【练方法】 知识梳理 模型：求含的系数 核心：分别展开两个二项式，再交叉相乘合并 解题方法 1.写出第一个二项式的通项： 2.写出第二个二项式的通项： 3.令指数和，列出所有满足条件的组合 4.分别计算每一组的系数，相加得到最终系数 名师点睛 必须列出所有满足指数和的组合，不要遗漏 系数是“乘积之和”，注意每一项的系数符号和常数 两个二项式的次数可能不同，要严格对应次数公式 （23-24高二下·湖南湘潭·期末）在的展开式中常数项等于_______.经典例题1例题 （25-26高三下·广东江门·开学考试）若的展开式中的系数为121，则_____．经典例题2例题 （2026·湖南岳阳·一模）的展开式中的系数为__________.小试牛刀1 （25-26高三上·河南信阳·期末）在的展开式中，的系数为____.小试牛刀2 （25-26高三上·河北沧州·月考）的展开式中的系数为_____．小试牛刀3 【题型8：二项展开式的逆用】 【练方法】 知识梳理 场景：将形如的式子还原为 核心：逆向应用二项式定理，进行因式分解或求和 解题方法 1.观察式子结构：对照二项式展开式的项数、系数、指数规律 2.识别和： 首项为，末项为 中间项系数为 3.直接还原为 4.若为求和形式，令或，利用赋值法求和 名师点睛 口诀：“首项找a，末项找b，中间看系数，指数和为n” 逆用的关键是识别标准二项式结构 常见应用：复数乘方、组合数求和、近似计算等 （2026·重庆永川·模拟预测）设是正整数，表达式化简的结果是______经典例题1例题 （25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是___________.经典例题2例题 （2025高二·全国·专题练习）化简下列式子：小试牛刀1 (1)； (2)． （24-25高二下·湖南永州·期末）化简：_________.小试牛刀2 （24-25高二下·陕西西安·期末）已知数列满足；小试牛刀3 (1)求数列的通项公式. (2)若数列，求数列的前项和. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 2．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）在的展开式中，常数项为（    ） A．-4 B．-6 C．6 D．12 3．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）的展开式中，项的系数为（    ） A．1 B．－5 C．6 D． 4．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 二、填空题 5．（25-26高一上·上海·期中）的二项展开式中的系数是________． 6．（25-26高三上·河南郑州·期中）在的展开式中按的升幂排列的第3项是___________． 7．（25-26高三上·天津·期中）已知二项式，其展开式中项的系数为________. 8．（24-25高三上·上海宝山·月考）已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项，则 _____. 9．（25-26高三上·天津·月考）的展开式中的系数是__________.（用数字作答） 10．（24-25高二下·广东佛山·期中）的展开式中的系数为__________（用数字作答）. 11．（24-25高二下·山东青岛·期中）的展开式中的系数为______.（数字作答） 12．（24-25高二下·天津河东·期中）在 的展开式的中间一项是_______________. 三、解答题 13．（24-25高二下·福建泉州·期中）已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于． (1)求的值； (2)若展开式中的系数为，求实数的值． 14．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在的二项展开式中 (1)求第5项的系数； (2)求常数项． 15．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）（1）求的展开式中的常数项； （2）用二项式定理证明可以被100整除. 16．（2024高三·全国·专题练习）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【第10讲：二项式定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求二项式的展开式】 【练方法】 知识梳理 二项式定理公式： 通项公式：第项为 基本性质： 展开式共有项 各项系数和为（令） 奇数项系数和=偶数项系数和= 解题方法 1.直接展开：按公式展开，逐项计算和 2.分项展开：若二项式包含常数和变量（如），分别计算每一项的系数和变量幂次 3.化简整理：合并同类项，写出标准展开式 名师点睛 展开式的第项对应通项公式中的，不要混淆“第k项”和“通项” 计算时注意，，首尾项系数为1 （25-26高二下·全国·课后作业）求的二项展开式．经典例题1例题 【答案】 【分析】法一：直接利用二项式定理展开并化简；法二：先化简再利用二项式定理展开． 【详解】法一： ， 法二： ， ， ． （24-25高二下·天津河东·期中）根据二项式定理完成下列各题：经典例题2例题 (1)求的展开式； (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项展开式直接运算即可； （2）根据二项展开式分别求的展开式，即可得结果. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为 ， 因为 ， 所以 . （24-25高二·全国·课堂例题）求的展开式；小试牛刀1 【答案】 【分析】法一、法二，由二项式定理即可求解； 【详解】方法一： ． 方法二： ． （23-24高二下·山西大同·月考）（1）求的展开式；小试牛刀2 （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二项式展开公式直接展开即可得解； （2）逆用二项式定理进行合并即可得解． 【详解】（1）． （2）原式 ． （23-24高二下·江苏·课前预习）（1）求的展开式.小试牛刀3 （2）化简：. 【答案】（1）；（2）. 【分析】利用二项式定理化简求值. 【详解】（1）法一: . 法二: （2） . 【题型2：求二项展开式的特定项】 【练方法】 知识梳理 特定项类型：含的项、常数项、含根号的项、系数最大的项等 核心工具：通项公式 解题方法 1.写出通项公式 2.根据特定项要求（如含、常数项），列方程确定的值 常数项：变量指数为0 含项：变量指数等于 3.将代回通项公式，求得特定项 名师点睛 求特定项的本质是“解方程求”，根据变量指数列方程 遇到“常数项”，一定是变量指数抵消的项（指数和为0） 计算时必须为非负整数且，否则无解 （25-26高三上·天津南开·期末）的二项展开式中，常数项为______．经典例题1例题 【答案】240 【分析】根据二项式定理可得展开式的通项公式，令，可求得常数项. 【详解】的二项展开式的通项为： ，， 令，得，所以展开式中的常数项为. 故答案为：. （2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ）经典例题2例题 A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【分析】先将利用二项式定理展开，然后根据等式确定和的值即可得到答案. 【详解】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． （24-25高二上·甘肃白银·月考）已知二项式．小试牛刀1 (1)写出当时的展开式； (2)写出当时所有的有理项． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据二项式定理展开即可； （2）写出通项，依次列出有理项即可. 【详解】（1） （2）因为当时，二项式的通项为， 所以当时，；当时，；当时，． 所以当时，所有的有理项为，， （25-26高二下·全国·课堂例题）在的展开式中，的幂指数是整数的项共有（   ）小试牛刀2 A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 【答案】C 【分析】写出展开式的通项表达式，然后令的幂指数是整数求解即可 【详解】的展开式的通项为， 故当时，的幂指数是整数，共5项． 故选：C 【多选题】（24-25高三上·云南大理·开学考试）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（   ）小试牛刀3 A．6 B．11 C．15 D．20 【答案】ABD 【分析】根据二项式展开式的通项公式结合题意求得正确答案. 【详解】由题意得展开式的通项， 展开式的通项， 要使的展开式中存在含的项， 则或，即或，其中， 所以的值可能是，不可能的是. 故选：ABD. 【题型3：求二项展开式的第k项】 【练方法】 知识梳理 核心区别：与“特定项”不同，直接指定位置（如第5项） 通项公式对应：第项对应，即 解题方法 1.识别项数，计算（即通项公式中的） 2.代入通项公式 3.化简计算，写出第项及其系数 名师点睛 口诀：“第k项，用k-1；通项是k+1” 必须区分“第k项”和“通项公式”，不要多减或多加1 二项式系数（）与项的系数（含字母常数）要分开计算 （2026·北京密云·一模）的二项展开式中，第1项是__________；常数项是__________.经典例题1例题 【答案】 24 【详解】的二项展开式的第1 项是， 常数项为. （2026·四川·模拟预测）二项式的展开式的第2项的系数为_________.经典例题2例题 【答案】 【详解】展开式第2项为. 所以展开式的第2项的系数为. （25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中第7项为________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用二项式定理可得出展开式的第7项. 【详解】． 故答案为：. （25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第4项为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】的展开式中的第4项为. 故选：A. （2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出通项，进而计算第四项即可； 【详解】二项式的通项为， 则． 故选：A. 【题型4：由二项展开式的项求参数】 【练方法】 知识梳理 场景：已知展开式中的某一项（如含的系数为10），求参数或 核心工具：通项公式+方程思想 解题方法 1.写出通项公式 2.根据已知条件（系数、指数、项）列方程 已知某系数：令对应项的系数等于已知值 已知某指数：令变量指数等于目标值，求出再回代 3.解方程求解参数 名师点睛 必须同时满足指数关系和系数关系，两个条件缺一不可 涉及参数的计算要注意定义域（为正整数，） （2025·安徽黄山·一模）若二项式展开式中的常数项为160，则______．经典例题1例题 【答案】2 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. （23-24高三下·陕西·月考）在的展开式中，的系数为84，则_____________．经典例题2例题 【答案】7 【分析】先求出通项公式，再结合已知条件建立等量关系求解即可. 【详解】由题意知二项式展开式通项公式为， 又因为的系数为84，所以， 所以. 故答案为：7. （2024·山东·二模）已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______．小试牛刀1 【答案】10 【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得. 【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可得． 故答案为：10. （2023高二下·北京房山·期中）根据下列条件进行计算：小试牛刀2 (1)若，求n的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据组合公式即可求解；（2）根据二项式的展开式对应相等即可求解. 【详解】（1）， 所以， 即， 所以， 所以或(舍去) 所以. （2）因为， . 所以. 所以，， 所以 （24-25高二下·广西钦州·期末）已知的展开式中第5项为常数项.小试牛刀3 (1)求的值； (2)求展开式中所有的无理项. 【答案】(1)； (2)时，无理项为；时，无理项为；时，无理项为. 【分析】（1）根据二项式定理写出通项，展开式中的常数项，即的指数为零时，即可求解； （2）根据二项式定理写出通项，展开式中所有的无理项，即的指数不为整数时，根据通项逐项求解即可. 【详解】（1）根据二项式定理，的展开式的通项为， 化简得， 因为展开式中第5项为常数项，即，的指数为零， 所以，解得； （2）由（1）得，当时的展开式的通项为， 要求展开式中的无理项，即的指数不为整数时， 即不为整数，则取奇数时满足条件， 对应的无理项为：时，； 时，； 时，. 【题型5：求三项展开式】 【练方法】 知识梳理 模型：或 核心思路：转化为二项式问题，利用“分组法”或“通项组合” 解题方法 方法1：分组转化（二项式） 1.将三项看作“二项”： 2.先用二项式展开，得到 3.再对展开，合并所有项 方法2：通项组合 1.通项为：（其中） 2.根据目标指数确定的值，代入计算 名师点睛 最推荐分组法，将三项强制转化为二项，降低难度 展开式项数较多，需仔细计算组合数，避免漏项或重项 高考中常考查“求含的系数”，分组法是最快路径 （25-26高二·江苏·假期作业）求多项式的展开式．经典例题1例题 【答案】 【分析】先将多项式等价转化成二项式，再利用二项式定理可得展开式. 【详解】 ， ． （24-25高二上·辽宁沈阳·月考）的展开式中，共有多少项？（ ）经典例题2例题 A．45 B．36 C．28 D．21 【答案】A 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项只含有1个字母时，有3项， 当展开式的项只含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， ∴的展开式共有45项. 故选:A． （25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的常数项是（   ）小试牛刀1 A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【分析】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. （河南周口市天立高级中学等学校2025-2026学年高三下学期开学数学试题）多项式的展开式中，常数项为_____．小试牛刀2 【答案】76 【分析】将原式转化为二项式形式，再利用二项式定理展开，判断指数的可能取值，分别代入计算求和即可. 【详解】的通项为，. 的通项为，. 令，则，所以必须是3的倍数，故可能的取值为. 当时，，对应项的系数为1； 当时，，对应项的系数为； 当时，，对应项的系数为； 所以常数项为：. （24-25高二下·重庆渝中·月考）的展开式中的常数项为（   ）小试牛刀3 A．70 B． C．252 D． 【答案】D 【分析】先通分化简，再利用二项式定理求出中含的项即可. 【详解】， 因为中含的项为， 所以的展开式中的常数项为. 故选：D． 【题型6：求多项展开式的系数】 【练方法】 知识梳理 场景：或等多项乘积展开 核心工具：分步乘法计数原理+二项式通项 解题方法 1.分别对每个因式展开，得到各自的通项 2.相乘后，同类项系数相加 3.针对目标项，对应两个因式中指数和等于目标指数的项相乘，累加系数 名师点睛 核心思想是“配对相乘”，找指数匹配的项 注意符号问题：如展开后系数有正负，计算时要带符号 此类题常结合“系数和”问题，考查分类讨论 （23-24高二下·安徽芜湖·期末）在的展开式中，含的项的系数是（    ）经典例题1例题 A．120 B．240 C．274 D．282 【答案】C 【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，即可写出含的项. 【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个， 所以含的项为， 所以含的项的系数是. 故选：. （23-24高二下·河北沧州·月考）在的展开式中，x的系数为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用两个计数原理列式求解即得. 【详解】的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x， 另外3个因式中选择常数项相乘积的和，则的展开式中，含x的项为： ， 所以x的系数为． 故选：A 在的展开式中，的系数为（    ）小试牛刀1 A． B．21 C． D．15 【答案】A 【分析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，从而得到答案. 【详解】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：. 故选：A. 求的展开式中含的项．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据二项展开式的形式，以及组合数的性质，即可求解. 【详解】由， 可得展开式中含的项为： . 用二项式定理展开下列各式：小试牛刀3 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）直接利用二项式定理求解； （2）先化简原式为，再利用二项式定理求解. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型7：两个项的乘积的展开式系数问题】 【练方法】 知识梳理 模型：求含的系数 核心：分别展开两个二项式，再交叉相乘合并 解题方法 1.写出第一个二项式的通项： 2.写出第二个二项式的通项： 3.令指数和，列出所有满足条件的组合 4.分别计算每一组的系数，相加得到最终系数 名师点睛 必须列出所有满足指数和的组合，不要遗漏 系数是“乘积之和”，注意每一项的系数符号和常数 两个二项式的次数可能不同，要严格对应次数公式 （23-24高二下·湖南湘潭·期末）在的展开式中常数项等于_______.经典例题1例题 【答案】16 【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案. 【详解】因为展开式的通项为，， 的展开式中常数项由两项构成， 即与， 所以的展开式中常数项为. 故答案为：16. （25-26高三下·广东江门·开学考试）若的展开式中的系数为121，则_____．经典例题2例题 【答案】3 【详解】由， 而的展开式的通项为，， 因为的展开式中的系数为121， 所以，解得. （2026·湖南岳阳·一模）的展开式中的系数为__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据二项式的展开式计算求解系数. 【详解】的展开式中的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. （25-26高三上·河南信阳·期末）在的展开式中，的系数为____.小试牛刀2 【答案】 【分析】分析出含的项和的项即可得到答案. 【详解】依题意可知，展开式中含的项为，含的项为， 因此的展开式中含的项为， 所以的系数为． 故答案为：. （25-26高三上·河北沧州·月考）的展开式中的系数为_____．小试牛刀3 【答案】8 【分析】根据二项展开式，结合多项式的乘法求解. 【详解】的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为8． 故答案为：8 【题型8：二项展开式的逆用】 【练方法】 知识梳理 场景：将形如的式子还原为 核心：逆向应用二项式定理，进行因式分解或求和 解题方法 1.观察式子结构：对照二项式展开式的项数、系数、指数规律 2.识别和： 首项为，末项为 中间项系数为 3.直接还原为 4.若为求和形式，令或，利用赋值法求和 名师点睛 口诀：“首项找a，末项找b，中间看系数，指数和为n” 逆用的关键是识别标准二项式结构 常见应用：复数乘方、组合数求和、近似计算等 （2026·重庆永川·模拟预测）设是正整数，表达式化简的结果是______经典例题1例题 【答案】 【分析】根据二项式定理化简. 【详解】 故答案为：. （25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是___________.经典例题2例题 【答案】7 【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数. 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. （2025高二·全国·专题练习）化简下列式子：小试牛刀1 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】通过逆用二项式定理得到，要注意,作为整体考虑. 【详解】（1） . （2） . （24-25高二下·湖南永州·期末）化简：_________.小试牛刀2 【答案】 【分析】将根据二项式定理进行展开，然后计算即可. 【详解】， 则， 所以. 故答案为：. （24-25高二下·陕西西安·期末）已知数列满足；小试牛刀3 (1)求数列的通项公式. (2)若数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意由二项式定理可得. （2）利用错位相减求和法即可求解. 【详解】（1）， 所以， 所以数列的通项公式为； （2）因为 ， 所以， 两式相减得， ， . 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】A 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式中的通项为， 取，可得的系数为. 故选：A． 2．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）在的展开式中，常数项为（    ） A．-4 B．-6 C．6 D．12 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，求的系数，即可求得常数项. 【详解】由题设，二项式展开式的通项为. 令，则.所以常数项为. 故选：C. 3．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）的展开式中，项的系数为（    ） A．1 B．－5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先利用二项式定理求出的展开式中含的项和含的项即可. 【详解】由的展开式可得，含的项为， 含的项为， 则的展开式中，含的项为， 故的展开式中，项的系数为. 故选：B 4．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】B 【分析】利用整体思想将三项视为二项，连续用两次通项公式即可求解. 【详解】因为， 所以通项公式， 因为要求的系数，所以令， 此时， 又的通项公式， 令，解得， 则的展开式中的系数为， 因此，的展开式中的系数为. 故选：B. 二、填空题 5．（25-26高一上·上海·期中）的二项展开式中的系数是________． 【答案】 【分析】根据展开式通项公式可写出含的系数. 【详解】因为， 令，解得， ， 所以的系数为， 故答案为： 6．（25-26高三上·河南郑州·期中）在的展开式中按的升幂排列的第3项是___________． 【答案】 【分析】将问题转化为求项，再利用二项展开的通项公式，即可求解. 【详解】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，由题知，所求的项为项， 又的二项展开式的通项公式为， 的二项展开式的通项公式为， 故所求为， 故答案为：. 7．（25-26高三上·天津·期中）已知二项式，其展开式中项的系数为________. 【答案】 【分析】根据二项展开式通项公式直接求解即可. 【详解】二项式展开式通项为， 令，解得：，， 展开式中项的系数为. 故答案为：. 8．（24-25高三上·上海宝山·月考）已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项，则 _____. 【答案】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合展开式中的第 4 项为常数项，进而求得的值. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 可得展开式的第4项为， 因为二项展开式的第4项为常数项，所以，解得. 故答案为：. 9．（25-26高三上·天津·月考）的展开式中的系数是__________.（用数字作答） 【答案】240 【分析】先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中的指数为，进而解出的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，则展开式中的系数为. 故答案为：240. 10．（24-25高二下·广东佛山·期中）的展开式中的系数为__________（用数字作答）. 【答案】 【分析】求出展开式通项公式，即可确定展开式中的系数. 【详解】的展开式的通项公式， 令， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 11．（24-25高二下·山东青岛·期中）的展开式中的系数为______.（数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式定理求出含的项，即可得其系数. 【详解】由的展开式通项为，， 当时，，当时，， 所以含的项为. 故的系数为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·天津河东·期中）在 的展开式的中间一项是_______________. 【答案】20 【分析】由二项展开式的性质结合通项计算可得. 【详解】由二项式展开式的性质可得展开式一共有7项，所以中间一项为第4项， 所以在 的展开式的中间一项是. 故答案为：20. 三、解答题 13．（24-25高二下·福建泉州·期中）已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于． (1)求的值； (2)若展开式中的系数为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，解方程即可； （2）写出二项式展开式的通项，找到的系数即可求得. 【详解】（1）由题设，，即，整理得， 解得或， 因，故. （2）由（1）知：二项式展开式通项为， 令，得，则， 又展开式中的系数为，则，得． 14．（24-25高二下·上海徐汇·期中）在的二项展开式中 (1)求第5项的系数； (2)求常数项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得展开式的通项为，进而求得展开式的第5项的系数； （2）由（1）展开式的通项，令，即可求得常数项. 【详解】（1）由二项式展开式的通项为：， 所以展开式的第5项的系数为. （2）由（1）展开式的通项为， 令，可得常数项为. 15．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）（1）求的展开式中的常数项； （2）用二项式定理证明可以被100整除. 【答案】（1）84；（2）证明见解析 【分析】（1）根据二项式展开式通项公式是常数项得出，即可求解； （2）转化为，再根据二项式展开式计算求解. 【详解】（1）展开式的通项为：，， 令得， 所以展开式中的常数项为； （2）∵ ， ∴能被100整除． 16．（2024高三·全国·专题练习）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 【答案】(1)； (2)常数项为60，为第5项. 【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解． 【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， ∴，即，由，解得； （2）展开式的通项为 ， 令，解得， ∴， ∴常数项为60，为第5项. 1 学科网（北京）股份有限公司 $