7.4.2超几何分布 同步练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.2超几何分布 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 【知识点1】超几何分布的有关概念 （1）一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的____________的次品数，则X的分布列为 ___________，． 其中，M_______N，n______N，．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．可以记作． 【答案】 件产品中 （2）怎样理解r是M与n中的较小者？ 【答案】在超几何分布中，确定的可能取值的关键是确定它的最小值和最大值，具体如下： 在超几何分布中，随机变量的最大值未必是次品件数，当抽取的产品的件数不大于总体中次品的件数（即）时，；当抽取的产品的件数大于总体中次品的件数（即）时，．故的最大值是与中的较小者． 【知识点2】超几何分布的均值 若随机变量服从超几何分布，则______ =______（是件产品的次品率）. 【答案】 【知识点3】微思考 二项分布适用于放回抽样，超几何分布适用于什么抽样？深度思考一下这两种发布的关系. 【答案】二项分布适用于放回抽样，超几何分布适用于不放回抽样,当远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似. 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，若用随机变量表示任选4个球中红球的个数，则服从超几何分布，其参数为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】根据超几何分布的定义求解即可. 【详解】在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品， 抽检件时所得次品数，则， ， 此时称随机变量服从超几何分布. 根据超几何分布的定义可知，，，. 故选：A 2．已知离散型随机变量，若X的取值集合为，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】根据超几何分布中各参数的含义即可得出答案． 【详解】由超几何分布的含义可知，为总体数量，为指定类别数量，为抽样数量， 故，． 故选：A 3．若服从参数为的超几何分布，则事件中含有的基本事件个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】根据超几何分布的定义，分析即可得答案. 【详解】事件表示从含件次品的件产品中，任取件产品， 其中恰有件次品，则必有件正品， 因此事件中含有个基本事件． 故选：B 4．在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据题意，可推得服从超几何分布，利用超几何分布概率公式计算即可判断. 【详解】依题意，随机变量服从超几何分布， 则，， 当时，， 故C正确. 故选：C. 5．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 6．盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（   ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题、求超几何分布的概率 【分析】应用超几何分布的概率公式计算各个选项即可. 【详解】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.抽取4个玩具，计算各选项概率如下： 选项A（恰有1个坏的）：； 选项B（4个全是好的）：； 选项C（恰有2个坏的）：； 选项D（至多2个坏的）：； 综上，只有选项B的概率为， 故选：B. 7．袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率 【分析】求出X的可能取值和对应的概率，利用期望公式求出，进而求出. 【详解】X的可能取值为0,1,2,3， ，，， ， 则， 所以． 故选：C 8．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 二、多选题 9．（多选）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 【答案】CD 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】利用超几何分布的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】超几何分布：假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回）， 用表示抽取的件产品中的次品数，则服从超几何分布. 对于选项A和B，试验均为独立重复试验，随机变量服从二项分布，不服从超几何分布，所以A和B错误， 对于选项C和D，符合超几何分布的特征，样本进行了分类， 随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，所以C和D正确， 故选：CD． 10．袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 【答案】ABD 【知识点】超几何分布的分布列 【分析】对于A，根据超几何分布的定义即可求解；对于B，求出和即可求解；对于C，根据即可求解；对于D，根据即可求解. 【详解】对于A，超几何分布的定义为从含个成功元素中无放回抽取个，成功次数服从超几何分布，符合定义，故A正确； 对于B，， ，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 11．从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 【答案】ACD 【知识点】超几何分布的均值、求超几何分布的概率、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】对于A，由题意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，对于BC，利用超几何分布的概率公式求解，对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求出其期望. 【详解】对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，则抽出1件次品，2件合格品， 所以共有种不同的抽法，所以A正确， 对于B，由题意可知抽出的产品中至多有1件是次品的概率为，所以B错误， 对于C，由题意得抽出的产品中至少有件是次品的概率为，所以C正确， 对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 【答案】/0.75 【知识点】超几何分布的均值、求超几何分布的概率 【分析】由随机变量服从超几何分布，从而可得随机变量的期望值. 【详解】因为为取得白球的次数，所以的可能的值为,且随机变量服从超几何分布. ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 P 所以. 故答案为：. 13．3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 【答案】 【知识点】方差的性质、求超几何分布的概率、超几何分布的均值、超几何分布的方差 【分析】先根据超几何分布的求概率公式求出不同取值情况下的概率值，利用求期望和求方差公式求出的期望和方差，再利用求方差性质求得的方差即可. 【详解】由题意，满足超几何分布，且的取值为0，1，2， 则，，， ， ， 所以. 故答案为： 14．一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___． 【答案】4 【知识点】组合数的计算、求超几何分布的概率 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解． 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故答案为：4. 四、解答题 15．某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、超几何分布的分布列 【分析】（1）至少有一个是文创类项目，可以是一个或者两个文创项目，利用互斥事件加法公式和古典概型公式求解； （2）按照步骤结合超几何分布的性质计算. 【详解】（1）记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件， （2）由题意，的可能取值为. 所以的分布列为 0 1 2 16．袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、超几何分布的分布列、超几何分布的均值 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 17．一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求超几何分布的概率 【分析】（1）求出的可能取值及对应的概率，列出分布列得解； （2）根据条件概率的公式计算. 【详解】（1）的可能取值为， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 （2）记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件“恰好有2件次品”， ， 故已知抽到的4件中至少有1件次品，恰好有2件次品的概率为. 18．为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试，现随机抽取了该校20名学生的测试成绩，得到如图所示的茎叶图： (1)若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率； (2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、求超几何分布的概率 【分析】（1）通过分析“优秀成绩”人数服从超几何分布，按超几何分布得出； （2）通过分析抽到“优秀成绩”学生的人数服从二项分成，按二项分布计算. 【详解】（1）通过阅读茎叶图，得知“优秀成绩”为4人，设“优秀成绩”人数为，服从超几何分布,,,，，. 设“至多一人成绩优秀”为事件，则． （2）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率． 表示抽到“优秀成绩”学生的人数， ,,. ，， ， 可取0，1，2，3，故的分布列为 0 1 2 3 故． 19．某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图： (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3)分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求超几何分布的概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1求出参数即可. （2）根据独立重复试验确定质量超过的袋数X的所有可能取值和对应的概率，进而得到其分布列. （3）根据超几何分布求出的分布列即可. 【详解】（1）由题意可得：， 解得. （2）根据样本估计总体的思想，取一袋食盐， 该食盐的质量超过的概率为. 从流水线上任取2袋食盐互不影响，该问题可以看成2次独立重复试验， 质量超过的袋数X的所有可能取值为， 且服从二项分布， . ， ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 0.49 0.42 0.09 （3）质量超过的食盐数量为袋， 随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布. ，， ， 随机变量的分布列为: 0 1 2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.2超几何分布 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 【知识点1】超几何分布的有关概念 （1）一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的____________的次品数，则X的分布列为 ___________，． 其中，M_______N，n______N，．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．可以记作． （2）怎样理解r是M与n中的较小者？ 【知识点2】超几何分布的均值 若随机变量服从超几何分布，则______ =______（是件产品的次品率）. 【知识点3】微思考 二项分布适用于放回抽样，超几何分布适用于什么抽样？深度思考一下这两种发布的关系. 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，若用随机变量表示任选4个球中红球的个数，则服从超几何分布，其参数为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知离散型随机变量，若X的取值集合为，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 3．若服从参数为的超几何分布，则事件中含有的基本事件个数为（   ） A． B． C． D． 4．在16辆公共自行车中有6辆损坏，现从中任意选10辆，用表示这10辆公共自行车中损坏的辆数，下列概率中等于的是（   ） A． B． C． D． 5．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 6．盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（   ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 7．袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 8．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．（多选）下列随机事件中的随机变量X的分布列服从超几何分布的是（    ） A．抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 B．有一批种子的发芽率为，任取颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为 C．盒子中有红球个，黄球个，蓝球个，任取个球，把不是红色的球的个数记为 D．某班级有男生人，女生人，选派名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为 10．袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球.现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从超几何分布 B． C． D．记这4个球中白球的个数为，则 11．从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 三、填空题 12．从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 13．3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为，则的方差为______. 14．一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则___． 四、解答题 15．某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 16．袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 17．一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 18．为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试，现随机抽取了该校20名学生的测试成绩，得到如图所示的茎叶图： (1)若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率； (2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求的分布列及数学期望． 19．某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图： (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $