7.1.2 复数的几何意义同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.2 复数的几何意义 一、单选题 1. 已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知复数 满足 ，则 ( ) A. 有最小值2 B. 有最大值2 C. 有最小值 D. 有最大值 3. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 ( ) A. B. C. D. 4. 已知复数 ，则满足 的所有不相等的复数 之和的虚部为( ) A. 1 B. i C. 2 D. 2i 5. 在复平面内， 是原点. 向量 对应的复数为 ，其中 为虚数单位，若点 关于虚轴的对称点为 ，则向量 对应的复数的共轭复数为( ) A. B. C. D. 6. 已知复数 满足 ，则 ( ) A. 2 B. C. 1 D. 7. 欧拉公式 ( 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为 “数学中的天桥” . 根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 集合 ，下列命题中不正确的是( ) A. B. C. 若 ，则 在复平面上所对应的点一定不在第四象限 D. 若 ，则 不一定是纯虚数 二、多选题 9. 若复数 ( 为虚数单位)，则下列结论正确的有( ) A. B. 的虚部为 -2i C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 10. 已知复数 ，下列选项正确的是( ) A. 若 ，则 B. 若 ，则 或 C. 若 ，则 的最小值为2 D. 11. 已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是( ). A. 复数 的虚部为 B. C. D. 复数 满足 ，则 的最大值为 三、填空题 12. 复数5 + 与3-4i分别表示向量 与 ，则表示向量 的复数为_____. 13. 已知复平面内复数 对应的点在射线 上，且 ，则 _____. 14. 设 ，记 为不大于 的最大整数， 为不小于 的最小整数. 设集合 ， ，则 在复平面内对应的点的图形面积是_____ 四、解答题 15. 已知复数 的共轭复数的模为5，且 ，求 . 16. 已知复数 (1)若 为纯虚数，求实数 的值； (2)若 在复平面内的对应点位于第四象限，求实数 的取值范围及 的最小值. 17. 已知复数 (1)若 ，求角 ； (2)复数 对应的向量分别是 ，其中 为坐标原点，求 的取值范围； (3)复数 对应的向量分别是 、 ，存在 使等式 成立，求实数 的取值范围. 7.1.2 复数的几何意义 标准答案 一、单选题 1. 答案：C 解析：先化简复数，，故。 复平面内复数对应点为，因此对应点，位于第三象限。 2. 答案：C 解析：设，由得： ，平方后化简得。 ，当时，取最小值，无最大值。 3. 答案：D 解析：复平面内点对应复数。 共轭复数的定义：实部不变，虚部取相反数，故。 4. 答案：C 解析：，则，平方得。 又，故，即。 当时，； 当时，。 所有不相等的复数和为，虚部为2（注意：虚部是实数，不含）。 5. 答案：D 解析：向量对应复数，对应点。 点关于虚轴的对称点，对应复数，其共轭复数为（实部不变，虚部取反）。 6. 答案：B 解析：设，代入： ， 由复数相等的条件得。 由得，分两种情况： 若，则，无实数解； 若，即，代入得，解得。 故。 7. 答案：B 解析：由欧拉公式，得。 因为弧度，故，，对应点在第二象限。 8. 答案：A 解析：对于A，当时，，A正确； 对于B，若，则，此方程无解，所以B正确； 对于C，（），则，直线过一、二、三象限，一定不过第四象限，故C正确； 对于D，当时，，满足，但不是纯虚数，D正确。 故选：A。 二、多选题 9. 答案：AC 解析：，逐一分析： A：，正确； B：复数的虚部是实数，的虚部为，不是，错误； C：，故，正确； D：对应点，在第四象限，错误。 10. 答案：BD 解析：逐一分析： A：反例：，，，但，，不相等，错误； B：设，，则，得，解得或，即或，正确； C：表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，表示圆上点到的距离，最小值为，错误； D：复数模的性质：，正确。 11. 答案：BD 解析：逐一分析： A：的虚部为，不是，错误； B：，正确； C：反例：，，，不相等，错误； D：设复数 、 在复平面内对应的点分别为 、。 因为 ，即 （ 为坐标原点），所以点 在标准单位圆 上。 可得 所以 的最大值为 ，故选项D正确 三、填空题 12. 答案： 解析：向量与复数的对应关系：， 对应复数为。 13. 答案： 解析：复数对应点在射线上，故且。 又，则，解得，因，故，， 因此。 14. 答案： 解析：先明确取整定义：为不大于的最大整数，为不小于的最小整数。 集合：，即（；）； 集合：； 故：，对应复平面内以原点为圆心，2和3为半径的圆环。 面积。 四、解答题 15. 解： 已知：，，且。 由共轭复数的模的性质：，故，即。 由得，代入得： 。 当时，，，； 当时，，，。 16. 解： （1）纯虚数的条件：实部为0，虚部不为0，即， 解得（此时虚部，符合条件）。 （2）第四象限点的条件：实部>0，虚部<0，即， 解得。 求的最小值： ， 令（二次函数，开口向上，对称轴）， 对称轴，故， 因此。 17. 解： （1）复数相等的条件：实部、虚部分别相等，即， 解得， 因，故。 （2）向量数量积的坐标运算： ， 化简（辅助角公式）：。 因，故， 则， 因此。 （3）由，展开数量积： ， 整理得：。 ① 计算各量： ； ； ； 由(2)知，记，则。 ② 代入整理方程： ， 若，则方程为，，符合条件； 若，则，由得： 。 分两部分解不等式： 右侧：，恒成立； 左侧：， 两边除以2得，因式分解：， 解得或。 综上，的取值范围为或。 学科网（北京）股份有限公司 $