精品解析：新疆喀什地区伽师县第二中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

新疆喀什地区伽师县第二中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题 （满分：100分 时间：60分钟） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 已知函数是奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 31 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】因为，函数是奇函数， 所以. 故选：A 2. 函数的定义域是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的性质列不等式，即可求函数的定义域. 【详解】由题设，知：，即. 故选：B. 3. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的定义计算，先计算，再计算． 【详解】由已知， ， 故选：C． 4. 已知角的终边与单位圆的交点的坐标为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，，由三角函数的定义求解即可. 【详解】设角的终边与单位圆的交点的坐标为， 若，则，， 所以. 故选：B. 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出解析式，即得到的解析式，再利用换元法求出的解析式即可. 【详解】因为，所以 又因为，所以， 令，则， ， 所以. 故选：B. 6. 已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ） A. 先把横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 B. 先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 C. 先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 D. 先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数的图象变换对各选项进行检验． 【详解】A. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，A错； B. 先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，B错； C. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，C正确； D. 先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，D错误； 故选：C． 7. 17世纪初，约翰·纳皮尔发明了对数，大大简化了运算．根据科学记数法，任何一个正实数都可以表示成的形式，若两边取常用对数，则有．给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（　　） 真数 5 6 7 8 9 0.69897 0.77815 0.84510 0.90309 0.95424 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】通过对数的运算性质和查表得到的近似值，由数的小数部分通过查表得知最高位a的范围，从而得解． 【详解】依题意，设，则， 因为， 所以， 由表格可知，，，而，故， 所以的最高位的数值为9． 故选：D. 8. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断A，其余选项可用特殊值验证. 【详解】因为，，由不等式的可加性可得，故A正确； 当，，，时，，，，故B错误； 当，，，时，，，，故C错误； 当，，，时，，，，故D错误. 故选：A 9. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出常数和，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可得， 乙的常数正确，由韦达定理可得， 所以原不等式为，解得， 所以解集为，故A正确. 故选：A. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为偶函数，则 A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意结合平移变换得，又函数为偶函数得，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可. 【详解】解：由题意得的图象向左平移个单位长度后得到函数 若函数为偶函数，则 因为，所以，所以 对于A，最小正周期，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，令得， 所以函数在上单调递增，正确； 故选：D. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法: （1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间； （2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间. 11. 已知，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，根据函数的单调性求得这两个函数的最小值，列出不等式可解得答案. 【详解】由题意，，使得，则需满足， 在上单调递增，故， 在上单调递减，故， 故，即， 故选：A 12. 已知函数的零点为，函数的最小值为，且，则函数的零点个数是（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，函数零点个数，等价于方程或的根的个数，等价于函数的图象与直线，的交点个数，结合图像即可得解. 【详解】如图所示， . 因为函数的零点为， 所以， 因为， 所以或， 因为函数的最小值为，且，画出直线，， 则直线与的图像可能有一个交点或无交点，此时有一个实数根或无实数根，即函数有1个或0个零点， 而直线与的图像必有两个交点，此时有2个实数根，即函数有2个零点， 综上可知：函数的零点有2或3个． 故选：A. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 对数式与指数式的转化：，则____________．（．） 【答案】x 【解析】 【分析】略 【详解】指对互化 故答案为：. 14. 函数的最小正周期为________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，得出结论. 【详解】的最小正周期为 故答案为： 15. 将函数（其中）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则的最小值是________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】求出平移后的解析式，代入已知点即可求出. 【详解】函数向右平移个单位得到函数， 因为过点，所以， 即， 所以，所以ω的最小值为. 故答案为：. 16. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】为使函数在R上单调递增，则函数分别在，上递增，且满足在函数值的大小比较即可求解； 【详解】由函数在上单调递增， 可得：，解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 17. 已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将 整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决. 【详解】由题意得，即或， 的图象如图所示， 关于的方程有5个不同的实数根， 则或，解得， 故答案为： 18. 截止至2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年底数据相比，人口年平均增长率约为，若按此增长率，30年后我国人口总数约为__________亿；若希望30年后我国人口超过20亿，那么人口年平均增长率应不低于__________%．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】 ①. 16.4 ②. 1.2 【解析】 【分析】建立指数函数模型，结合指数对数运算求解即可. 【详解】解:因为2020年底，我国总人口数约为14亿，且年平均增长率约为0.53%， 所以30年后我国人口总数约为． 设人口年平均增长率为，由题意，得，即， 两边取对数，得，即， 所以，解得， 所以人口年平均增长率应不低于1.2%． 故答案为：16.4；1.2. 三、解答题（20、21、22、24题每题8分，19、23题每题7分总分46分） 19. 已知集合，． （1）当时，求出； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出,再求出得解； （2）对集合分两种情况讨论，解不等式即得解. 【小问1详解】 （1）当时， ,所以=或， 所以= 或. 【小问2详解】 （2）由. ①当为空集时，成立. ②当不是空集时，，， 综上①②，. 20. （1）已知，求； （2）已知，且，求． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）将弦化切，再代入计算可得； （2）首先将两边平方，即可得到，最后根据计算可得； 详解】解：（1）； （2）由，所以，即，所以， 因为，所以， 所以． 21. 求值： （1） （2） 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）直接应用指数运算及运算性质； （2）直接应用对数运算及运算性质； 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 . 22. 某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的收益. （1）求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； （2）建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 【答案】（1） （2）70个，640万元 【解析】 【分析】（1）利润=销售额-另投入成本-固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. 【小问1详解】 根据题意得 当时，， 当时，， 所以 【小问2详解】 当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为450， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为640， 所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元. 23. 设. （1）求证：； （2）证明：为奇函数； （3）试判断在上的单调性，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）增函数，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式直接证明即可； （2）根据题意结合奇函数定义分析证明； （3）根据题意结合单调性的定义分析证明. 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 由题意可知：的定义域，关于原点对称， 且， 所以为奇函数． 【小问3详解】 在上为增函数，证明如下： ，，且， 则 因为，则，，， 可得，即， 故在上为增函数． 24. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域； （3）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数恒等变换和函数图象的应用求出函数关系式； （2）由，从而得到的取值范围，进而得到的取值范围，即可得解； （3）由，结合（1）求得，再结合求得，写出后利用两角差的正弦公式展开计算即可得解. 【小问1详解】 函数， 由于为正三角形，所以三角形的高为，所以． 所以函数的最小正周期为，所以， 从而得到． 【小问2详解】 ，，， 函数值域为. 【小问3详解】 若，则，整理得， 由于，所以，所以， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆喀什地区伽师县第二中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题 （满分：100分 时间：60分钟） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 已知函数是奇函数，当时，，则的值为（ ） A. B. 7 C. D. 31 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 4. 已知角的终边与单位圆的交点的坐标为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ） A. 先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 B. 先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 C. 先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度 D. 先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度 7. 17世纪初，约翰·纳皮尔发明了对数，大大简化了运算．根据科学记数法，任何一个正实数都可以表示成的形式，若两边取常用对数，则有．给出部分常用对数值（如下表），则可以估计的最高位的数值为（　　） 真数 5 6 7 8 9 0.69897 0.77815 0.84510 090309 0.95424 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为．若甲、乙两人除写错常数外，其余求解过程都正确，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为偶函数，则 A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递增 11. 已知，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的零点为，函数的最小值为，且，则函数的零点个数是（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 对数式与指数式的转化：，则____________．（．） 14. 函数最小正周期为________ 15. 将函数（其中）图象向右平移个单位，所得图象经过点，则的最小值是________． 16. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_______． 17. 已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________. 18. 截止至2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年底数据相比，人口年平均增长率约为，若按此增长率，30年后我国人口总数约为__________亿；若希望30年后我国人口超过20亿，那么人口年平均增长率应不低于__________%．（精确到0.1，参考数据：，，） 三、解答题（20、21、22、24题每题8分，19、23题每题7分总分46分） 19. 已知集合，． （1）当时，求出； （2）若，求实数的取值范围． 20. （1）已知，求； （2）已知，且，求． 21. 求值： （1） （2） 22. 某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的收益. （1）求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； （2）建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润 23. 设. （1）求证：； （2）证明：奇函数； （3）试判断在上的单调性，并说明理由. 24. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域； （3）若，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $