精品解析：四川内江市高中2026届高三第二次模拟考试数学试题

内江市高中2026届第二次模拟考试题 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试题卷上． 3．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上． 4．考试结束后，监考人员将答题卡收回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知过点的直线与圆交于两点，若，且点在圆上，则直线的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知函数在处取得最小值，在处取得最大值，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件，相互独立，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，且，则 8. 在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若 平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 球面经过，，，四点的球的半径最小值为 9. 已知的面积为，角的对边分别是，，，则（ ） A. B. C. D. 边的中线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 10. 已知函数，．若不等式恒成立，则a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知双曲线 经过点，其渐近线方程为 ． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 12. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为． （1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； （2）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． 附，． α 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 13. 如图，在三棱锥 中，平面ABC，平面平面，，．D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近P点）． （1）请用，，表示； （2）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值； （3）设F为AB的中点，过EF的平面与射线AC、AP分别交于点G、H，当三棱锥的体积最小时，求平面FGH与平面PBC所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江市高中2026届第二次模拟考试题 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试题卷上． 3．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上． 4．考试结束后，监考人员将答题卡收回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出向量，再根据向量垂直的坐标关系列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 因为，所以，即，解得 ， 所以 . 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以. 3. 已知，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为在 上单调递增，所以在 上单调递增， 因为，所以是奇函数， 则等价于， 则，得， 故关于的不等式的解集为. 4. 已知过点的直线与圆交于两点，若，且点在圆上，则直线的斜率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过联立直线与圆的方程得到一元二次方程，结合韦达定理及，利用点在圆上的条件建立等式，即得直线斜率. 【详解】由已知斜率存在，设直线的斜率为，因为过点 ，故方程可设：， 联立方程组，消去得：， 设 ，由韦达定理得：， 由，得. 因为在圆上，故，又因为， 代入上式得：，化简：，解得：. 5. 已知函数在处取得最小值，在处取得最大值，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数在处取得最小值，在处取得最大值， 则， 将上述两个等式作差得， 所以 将代入可得， 令，则 ，则，故的可能取值为， BCD选项均不符合题意. 6. 定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析导数的符号变化，利用函数单调性与导数的关系逐项判断即可. 【详解】因为定义在的函数满足，其中常数、、均为正数， 所以，令可得， 结合四个选项可知，对任意的， ， 当时，，此时函数单调递增， 当时， ，此时函数单调递减， 对于A选项，如下图所示： 由图可知，当时，，即函数在上单调递增， 当时， ，即函数在上单调递增， 即是函数的极大值点，事实上，不是函数的极大值点，A选项不符合要求； 对于B选项，如下图所示： 设直线与函数图象交点的横坐标为， 由图可知，当时，，，即函数在上单调递增， 当时，， ，即函数在上单调递减， 事实上，函数在上单调递增，矛盾，B选项不符合要求； 对于C选项，由图可知，对任意的，，则， 即函数在上单调递增， 由可知，当在上单调递增，在上单调递减， 由图可知，函数在上单调递增，且函数的增长速度先越来越快，后越来越慢， 则其导函数先递增再递减，矛盾，C选项不符合要求； 对于D选项，由图可知，对任意的，，则， 所以函数在上单调递增，且的增长速度越来越慢， 由可知，当在上单调递增时，在上单调递减，D选项符合要求. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件，相互独立，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，若事件，相互独立， 则， 而的值不确定，故A错误； 对于B，若事件，相互独立，则，故B正确； 对于C，由，则，即，故C正确； 对于D，由，则，而， 则， 所以，故D错误. 8. 在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若 平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 球面经过，，，四点的球的半径最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又 平面，平面，所以 平面. 又是中点，所以，又 平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又 平面，则 平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面 平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为 平面，点是棱的中点， 则，所以C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为， 则，设，球心，半径为， 由，得到，解得，， 所以，又 ，且，所以当时，取到最小值，最小值为，故D正确. 9. 已知的面积为，角的对边分别是，，，则（ ） A. B. C. D. 边的中线长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用条件化简判断A；根据正弦定理及三角恒等变换判断B；根据正弦定理求判断C；根据余弦定理求出中线长判断D. 【详解】因为， 所以，即， 所以，由 可知，即为钝角， 又，所以， 又为锐角，所以，故A正确； 因为，由正弦定理可得， 所以， 由和差化积公式可得， 即，即， 由 可得，所以或（舍去）， 即，故B正确； 由AB可知，，所以，故. 因为，所以. 由正弦定理，，即， 解得，所以，故C错误； 由可知， ， 设边的中线长为，则， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 10. 已知函数，．若不等式恒成立，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可转化为恒成立，构造函数，利用导数求最小值即可得解. 【详解】由可得， 因为，所以恒成立. 令，则， 令，可得 ， 当时，，则，故，而， 所以，即在上单调递减； 当时， ，则， 当时，，而，所以， 当时，，所以，， 即在上单调递增，所以当 时，， 所以，即a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知双曲线 经过点，其渐近线方程为 ． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】（1） （2）假设是线段 的中点，设 ， 则由两式相减，可得 ， 因为是线段 的中点， ， 代入上式，可得 ，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为 ，即 . 联立，消元得 ， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【解析】 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【小问1详解】 双曲线 经过点 ，得 ， 由渐近线方程为 ，得， 解得，， 双曲线的方程为 . 【小问2详解】 略 12. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为． （1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； （2）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． 附，． α 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 （2）能，理由：经计算 （3）的分布列为： X 0 1 2 P 的期望值 . 【解析】 【分析】（1）根据抽到喜爱打篮球的学生的概率求出喜爱打篮球的人数，从而可求出不喜爱打篮球的人数，然后结合列联表中的数据可将列联表补充完整； （2）根据列联表中的数据，结合公式求出，然后根据临界值分析判断即可； （3）根据题意可知喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与均值. 【小问1详解】 在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为， 则喜爱打篮球的有人，则不喜爱打篮球的有人， 所以列联表补充如下： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 【小问2详解】 零假设为：喜爱打篮球与性别无关， 计算得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问3详解】 喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2. 所以，，， 故的分布列为： X 0 1 2 P 所以的期望值. 13. 如图，在三棱锥 中， 平面ABC，平面平面 ，，．D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近P点）． （1）请用，，表示； （2）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值； （3）设F为AB的中点，过EF的平面与射线AC、AP分别交于点G、H，当三棱锥的体积最小时，求平面FGH与平面PBC所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，结合空间向量的线性运算求解即可； （2）过点作 ，垂足为，连接，由平面平面 可得 平面 ，则为直线AE与平面PBC所成角，进而求解即可； （3）建立空间直角坐标系，设，根据四点共面求出，进而得到，再利用等体积法求得三棱锥的体积最小时，进而利用空间向量求解平面FGH与平面PBC所成角的余弦值即可. 【小问1详解】 由题意，连接， 则 . 【小问2详解】 过点作 ，垂足为，连接， 因为平面平面 ，平面 平面， 平面 ， 所以 平面 ，则为直线AE与平面PBC所成角. 因为 平面ABC，平面ABC，所以 ，， 又，则，即， 又 平面 ，平面 ，则，， 因为平面 ， 所以平面 ，因为 平面 ，则 ， 又，，则，即为等腰直角三角形， 由（1）知，， 则 ， 所以， 则直线AE与平面PBC所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知， ，， ， 以为原点，以 所在直线为轴，以与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， 由于四点共面，则存在实数使得， 即，解得， 而，即， 当且仅当，即时等号成立， 而到平面 的距离为， 又， 则三棱锥的体积最小时， 此时， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而， 设平面 的一个法向量为， 则，取，得， 设平面FGH与平面PBC所成角为 ， 则， 所以平面FGH与平面PBC所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $