浙江省金丽衢十二校2026届高三二模数学试题

保密★考试结束前 金丽衢十二校2025学年高三第二次联考 数学试题 本卷分选择题和非选择题两部分。考试时间为120分钟，试卷总分为150分。请考生将 所有试题的答策涂、写在答题纸上。 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x=2k+1,k∈N,B={x|x=4m+1,m∈N,则（▲） A.ACB B.42B C.A=B D.A∩B=O 2+i 2.复数z= 的虚部为（▲) 1-i 3 3 A.- B. c.-3i D. 2 2 21 3.向量a=(1,x,b=(x,2),若a∥b,则x2=(▲) A.0 B.√2 C.2 D.4 4. 已知A,B分别为椭圆C的上顶点和右顶点，F为C的右焦点，若△ABF的一个内角为 120°，则椭圆C的离心率为（▲) A C. 3 3 2 2 2 D. 4 5.已知A,B,C,D为空间中的四个不重合的点，则“点A,B,C,D不共面”是“直线AB和 CD不相交”的（▲)条件 A.充分非必要B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要 6.已知函数fx)=2W3 sinxcosx+2cos2x向右平移p(p>0)个单位后是偶函数，则p的 最小值为（▲） A. 6 B. D. 2π 4 π-3 C. 3 7.掷一枚均匀的骰子2次，记出现的点数分别为a,b,令X=min{a,b},则X的数学期望 E(X)=(▲) 28 B. D. 91 9 18 3 8.已知[x]表示不超过x的最大整数（例如[1.2]=-2），数列{an}满足a1=1, A.[a2]=2 P B.a10< C.对任意n,an+14n+an1-2a,=1恒成立 D.存在neN,an>an+l 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知幂函数f(x)=(m2-2m-2km为增函数，则下列说法正确的是（▲) A.m=3 B.函数y=f(x)sinx为增函数 C.函数y=(x)-3x极大值为2 D.若0<x<2,则(cosx))<f6os2x) 3 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3 c.cos,a=4,则下列说法 正确的是（▲) A.tan =2tan C B.b2=3(a2-c2） C.a>2c D.△ABC的面积最大值为6 11.有30个人，他们的身高各不相同，从矮到高依次记为h,h2,…,h0·现在让他们排成m 行n列的矩形队列(m,n∈N),把每一列最矮的人选出，并把其中最高的人的身高设为 α：把每一行最高的人选出，并把其中最矮的人的身高设为b,则下列说法正确的是 (▲) A.当m=1时，b=h0 B.当n>1时，a≥hn C.任何一种列队方式，都有a≤b D.当m,n>1时，无论如何列队，a与b都不可能相等 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f(x)=V3cosx+sinx的最小正周期为▲ 13.已知 + 展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ·(结果用数字表示) 14.在平面直角坐标系xoy中，圆C:(x-1)2+(y-a)2=a(a>0)与x轴交于点F,若圆 上恰有一点P满足到直线1：x=-1的距离等于|PF引，则圆C的半径是▲一 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分)随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下： 超市 A B C D E F G 广告支出（x) 1 2 3 5 8 10 13 销售额(y) 20 30 40 40 50 50 50 (1)计算广告支出与销售额之间的相关系数（结果保留两位小数）： (2)根据以上数据建立销售额关于广告支出的经验回归方程，参考公式与数据如下： 2x-372,2-l1200,名%=190.= 立-版 会-2- 一元线性回归方程)=x+a中，6=回 √960≈31. 2-2 16.(本题满分15分)已知数列{a,}满足4a1-aa1+2an=9neN),a,=2. (1)证明：数列 是等差数列： 4n-3 (2) 设6，=职， 2n 求数列bn}的前n项和Sn 17.(本题满分15分)已知焦点在x轴上的双曲线E过两点P(2,1,22,-1),M为E上的 动点，直线PM,QM与渐近线：y=x分别相交于点A,B. (1)求曲线E的方程. (2)证明：AB为定值，并求出该定值. 18.(本题满分17分) 已知函数fx)=-x2+ax+b(a,b∈R),g(x)=nx. (1)当a=b=1时，求函数y=f(x)-g(x)的零点个数： (2)若f(x)g(x)的图像有一个交点为P，且两者在点P处的切线互相垂直， (i)证明：对所有符合题意的实数a,b,都有f(-1)≤-2： ()设0为坐标原点，记0P的最小值为d,证明：d2< 4e 19.(本题满分17分) 如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆 内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=2√2， C是PA的中点， (1)证明：AB⊥平面POB: (2)当三棱锥O-PC的体积最大时，求OB的长； (3)是否存在一个点2，满足点2到点C,H,O,A,B的距离均相等？若存在，求出二面角 2-CH一B的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由. 金丽衢十二校2025学年高三第二次联芳 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 1 8 B A A D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AC ABD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2π 13.70 144v3 9 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解： (1)元=1+2+3+5+8+10+1 =6,= 20+30+40+40+50+50+50 ≥40， 7 7 …4分 ∑y,2- 270 27 代入数据得r= ≈0.87 …8分 V120.√80031 (计算结果为0.86也给分：代入数据结果算错给1分) 克xy-同 (2)6= 代入数据得6=270_9 =2.25, …11分 22-版2 1204 a=-b=40-2.25×6=26.5, …13分 所以销售额关于广告支出的经验回归方程为)=2.25x+26.5 数学参考答案第1页（共6页）】 16.解： （1)由题意得a,≠4（否则不满足题设条件），故a1=2。二9 …3分 0n-4 因此 1 1 1 1=3-02=-1, a1-3a,-32a。=9-3a,-3a,-3 an-4 故数列 是等差数列. …6分 an-3 (作差思想给1分) (2)由(1)得 -3 =-n故=3-1 …8分 6=3m- 2, …9分 2.5 S=2+2+ 3n-1 2" 是++ 25 3n-1 2+1 1 2 1) 3n-1_53n+5 2” 2"+1 2+1, …14分 2 所以S。=5-3n+5 …15分 2” 17.解： 1)设E的方程为￥-y a36京-1， …l分 由渐近线是y=x知a=b, …3分 故E的方程为x2-y2=a2,将点P2,1)坐标代入解得a2=3,…5分 故E的方程为x2-y2=3 (2)设点M(xy),点A(,t,B(s,S),由题意得 6-=-1=1+L,为+=s+1=1+ 3 x0-21-211-2’0-29-21+g-2 …7分 解得1-2=5二24=2-2 y%-x0+1’y0-+1 数学参考答案第2页（共6页） 9-2=3-25=2%+ ……9分 y0-x+3 y%-x0+3 S-1= 20-xX。-2 …11分 %-0}+3+40y。-x) 将E的方程x2-y2=3代入分母消去y。2,整理后得s-t=-1,…13分 所以AB=V1+k2s-=V2为定值. …15分 18.解： (1)令hx)=)-g)=-x2+x+1-1nx,h(x)=-2x+1-1<0恒成立， 因此h(x)是减函数， …3分 而h)=1>0,h(e)=-e2+e<0,故由零点存在定理得h(x)在区间（么，e)上存在一个零 点，即为hx)的唯一零点，因此h(x)恰有一个零点.…5分 (2)(i)设点P(xo,%),则yo=-x2+ax+b=lnx, …6分 又由两切线互相垂直得(2x。+a小】=-1， …7分 解得a=x>0,b=lna=lnxo, …8分 即点P(a,na 由此f(1)=-l-a+lna,记为函数m(a), m@=-1+日122，黄nm0=-2即儿≤-2. ………11分 a (i)由(i)得Pa,lna),因此|oP2=a2+(na},令Fx)=x2+(mx2, F(x)=2x+2nx2+mx) …12分 令G(x)=x2+lnx,知Gx)为增函数， G0)=1>0, 因此6布在车零点天（后小 ……14分 当x∈(0，x)时F(x)<0,F(x)单调递减：当xex,+oo)时F'(x)>0, Fx)单调递增 所以d2=F(x)<F …17分 e4 4e 4e 数学参考答案第3页（共6页） 19.解： (1)由题意得PO⊥平面AOB,故PO⊥AB,又AB⊥OB,OB∩PO=O, OB,POC平面POB,故AB⊥平面POB.…3分 (2)由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形，PA=2√2，故PO=OA=2. 解法一： 1.PHVp-o8 1.PH Vo-ma-2 PB Vo-wncam …5分 设∠OPB=a,则在Rt△POB中， PH2cosa cos2a, …6分 PB 2 cosa S=0BAB=2ana)小4-4ama=2ana-an2a，7分 因此Vo-HPc= 号P明n4o-cos2a}2-2tama-tm2a-号snai-2sin2a, 1 2 2 PB 2 3 、3 ………8分 由重要不等式可得上式V5.2sin2a+1-2sin2a。V2 ,…10分 3 2 6 当且仅当α=不时等号成立，此时OB= 2W5 …11分 6 3 即当三棱锥0-HPC的体积最大时，OB的长为23 解法二： 由(1)得AB⊥平面POB,故AB⊥OH,又OH⊥PB,PB∩AB=B, PB,ABC平面PAB,故OH⊥平面PAB.…5分 故OH⊥PC. 又OC⊥PC,OC∩OH=O,OC,OHc平面OCH,故PC⊥平面OCH.…7分 又OH⊥CH. 因此0H2+CH2=OC2=2. …9分 所=a写PcCH:0H-怎cH0Hs点CH40_巨 2 6 6 2 6 ………………10分 当且仅当CH=OH=1时等号成立，此时可在RtAPOB中算得OB= 2W .…11分 3 数学参考答案第4页（共6页) (3)解法一： 以O为坐标原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系. A2,0,0P0,0,2,C1,0,1), 设∠A0B=0,则B2cos20,2cos0sin0,0), e …12分 故点H坐标为(2元cos20,21sin0cos0,2-2) 设Q(x,y,z),由O0=A0=B0=C2=H0代入坐标解得Q1,0,0). 丽-(acos0-2cos0s加a2A0c=a0l 设平面CH的法向量为n=(x,y,),得 a0-+2w9加8+日-0，最4-2ma6 z1=0 n=(21cos0sin0,1-21cos20,0, 设平面CHB法向量为n2=(x2,y2,乙2)，得 nPA=x2-22=0 n4B=2(cos20-1k2+2cosesin0.y2=0 取x2=1得2=(，tan0,1) …14分 由于二面角Q-CH-B是锐角，因此二面角Q-CH-B的余弦值为 几1·n tan20 c0S0= …15分 -n2 (2+tan20422cos20-4元cos20+1' 将c0s20= -1am20=21-1代入整理得 1-λ 22-1 2-1 1■ cos0=-4+8元-3-2元-122-3V3-2元 数学参考答案第5页（共6页） 解法二： 在四棱锥O-ABHC中，由(2)得PC⊥CH,AB⊥BH,故A,B,C,H四点共圆， 圆心在AH中点，记为M…l3分 取线段OA的中点N,连结NM,得NM∥OH,由(2)得OH⊥平面PAB, 故NM⊥平面PAB. 因此由MA=MC=MB=MH得NC=NB=NH=NA=NO. 故N即为题中所求点Q, …14分 作MD⊥HC,垂足为D,连结QD,由QM⊥HC,QM∩MD=M可知 HC⊥平面QMD,故HC⊥QD,故∠QDM即二面角Q-CH-B的平面角， 不妨记作0. …15分 在RA2MD中，tan0=O,其中MD=4C- MD 2 …17分 即二面角Q-CH-B的余弦值的取值范围为 数学参考答案第6页（共6页）】