6.3.1 平面向量基本定理（第一课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理 第一课时 学习目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 温故知新 1.向量加法三角形法则 A C B 特点:首尾相接 2.向量加法平行四边形法则 O A B 特点:共起点 3.向量减法的三角形法则 特点:共起点 特点:共起点，指向被减 温故知新 共线向量基本定理： // 存在唯一一个实数 使得 由此可知，所有与非零向量共线的向量，都能用表示. 新知导入 O A B C 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力. 力的分解是向量分解的物理模型，分解过程逆用了平行四边形法则. 力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型 新知导入 我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力𝑭分解为多组大小、方向不同的分力. 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ 新知探究——平面向量基本定理 设, 是同一平面内两个不共线的向量, 是这一平面内与, 都不共线的向量. 将按, 的方向分解, 你有什么发现？ 图(1) 图(2) O B A C N M 由与共线, 与共线可得, 存在实数λ1, λ2, 使得=λ1, =λ2, 所以 λ1+ λ2 . 与, 都不共线的向量 都可以表示成λ1+ λ2的形式. 新知探究——平面向量基本定理 问题1：当是与或共线的非零向量时，也可以表示成λ1+ λ2的形式吗？ 可以， 此时λ2=0或λ1=0 问题2：当是零向量时，可以表示成λ1+ λ2的形式吗？为什么？ 可以，若，则， 此时λ1=λ2=0 综上所述：平面内任一向量 都可以按 的方向分解,表示成 的形式， 而且这种表示形式是唯一的. （为什么是唯一的？） 新知探究——平面向量基本定理 问题3：平面内任一都可以表示成λ1+ λ2的形式，这种表示形式为什么唯一？ 若=μ1+μ2，则λ1+λ2=μ1+μ2． 得（λ1－μ1）+（λ2－μ2）=0． 则λ1－μ1，λ2－μ2全为0， 即λ1=μ1，λ2=μ2． 假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0， 不妨假设λ1－μ1≠0， 则 由此可得，共线， 与已知，不共线矛盾． 结论：有且只有一对实数λ1，λ2，使 λ1+ λ2成立. 新知探究——平面向量基本定理 一般地，对给定不共线的向量，任意一个都可以表示成λ1+ λ2的形式． 问题4：如果共线可以吗？ 如果共线，此时λ1+ λ2与共线， 当与它们不共线时，则无法表示. 结论：只有不共线，才可以用来表示平面内的任意向量. 新知探究——平面向量基本定理 平面向量基本定理: 如果 ， 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内 的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使 若 ， 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注意: (1) 基底不唯一, 只要是不共线的两个向量, 都可以作为基底； (2) 零向量不可以作为基底； (3) 同一平面内的任一向量都可以由同一个基底唯一表示； (4) 基底给定时，分解形式唯一 (5) 小试牛刀 (1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．(　　) (2)基底中的向量可以是零向量．(　　) (3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也 是唯一确定的．(　　) (4)已知是平面内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得λ+ μ ＝0，则λ＝μ＝0.(　　) √ ⅹ √ √ 小试牛刀 平面向量相等的充要条件 如果e1，e2不共线,且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2,那么 【练习】已知e1，e2不共线，且a= e1+ 2e2，b=ke1-e2，若a//b ,则实数 k的值为： . 小试牛刀 若是平面内一组基底，则下列能作为平面向量的基底的是（ ） A.， B.， C.， D.， 典例讲解 例1： O A B P 图6.3-4 解： 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 典例讲解 向量三点共线定理: 巩固练习: 在 中， 为 上的一点，且 ,求实数 的值. 设O为平面内任意一点，则P,A,B三点共线的充要条件是： 存在实数 且 ，使得 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 典例讲解 例2 如图所示，CD是△ABC的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形. 证明： 向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 小试牛刀 如图，在平行四边形中，是的中点，． (1)用表示； (2)若，证明：． 【分析】核心是向量的线性运算和数量积判定垂直. （1）因为四边形为平行四边形，是的中点， 所以 ． 小试牛刀 如图，在平行四边形中，是的中点，． (2)若，证明：． （2）证明：由（1）可知 因为，所以 则，即 从而 当堂检测 当堂检测 当堂检测 ③ 当堂检测 当堂检测 C B A D E F 2. 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O， 点E, F分别是OA, OC的中点，G是CD的三等分点 (1) 用 表示 ；(2) 能由(1)得出DE, BF的关系吗? C B A D E F O G 3. 如图, 在△ABC中， , 点E, F分别是AC, BC的中点. 设 (1)用 表示 . (2)如果∠A=60°，AB=2AC，CD，EF有什么关系? 用向量方法证明你的结论. C B A D E F 课堂小结 平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使 . 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 如图,在 中, , ,则 （    ） A． B． C． D．1 【详解】由题意， ， ；故选：A. 2．如图在矩形ABCD中，若eq \o(BC,\s\up15(→))＝5e1，eq \o(DC,\s\up15(→))＝3e2，则eq \o(OC,\s\up15(→))＝(　　) A．eq \f(1,2)(5e1＋3e2) B．eq \f(1,2)(5e1－3e2) C．eq \f(1,2)(3e2－5e1) D．eq \f(1,2)(5e2－3e1) 【解析】　eq \o(OC,\s\up15(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up15(→))＋eq \o(AB,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up15(→))＋eq \o(DC,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2)(5e1＋3e2)． 　C 4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq \o(CD,\s\up15(→))＝eq \f(4,3) eq \o(CA,\s\up15(→))＋λeq \o(CB,\s\up15(→))，则λ＝(　　) A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2,3) 【解析】　∵A，B，D三点共线， ∴存在实数t，使eq \o(AD,\s\up15(→))＝teq \o(AB,\s\up15(→))，则eq \o(CD,\s\up15(→))－eq \o(CA,\s\up15(→))＝t(eq \o(CB,\s\up15(→))－eq \o(CA,\s\up15(→)))，即eq \o(CD,\s\up15(→))＝eq \o(CA,\s\up15(→))＋t(eq \o(CB,\s\up15(→))－eq \o(CA,\s\up15(→)))＝(1－t)eq \o(CA,\s\up15(→))＋teq \o(CB,\s\up15(→))，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－t＝\f(4,3)，,t＝λ，))即λ＝－eq \f(1,3). 5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 【解】　∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb， 则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2) ＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2. 又∵e1，e2不共线， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，)) ∴c＝a－2b. $