6.2.4 向量的数量积课件 (第二课时)-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 第二课时 学习目标 1.掌握向量投影的概念，能推导投影向量的表达式，明确数量积与投影的内在联系。 2.熟练掌握投影向量的相关计算。 3.熟练掌握数量积的性质，能运用定义和性质进行数量积计算、向量夹角求解、投影向量求解及向量模的运算。 预学导读 阅读课本18-19页，思考并完成以下问题 1. 什么是投影？什么是投影向量？ 2.能否画出投影向量？ 3.如何计算投影向量？ 4. 思考：在的投影和在的投影一样吗？ 情景导入 的几何意义是一个向量在另一个向量上的投影 投影是一个数量。 情景导入 投 影 投影是一个数量。 新知探究1——投影向量 设，是两个非零向量，，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 转化为共起点 就是向量在向量上的投影向量. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 小试牛刀 做出 深度思考 如何用向量 的长度： 的方向：与向量 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 深度思考 如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？ 显然，与共线，于是. ①当为锐角(如图1)时，与方向相同，， 所以 图1 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 深度思考 当为钝角(如图3)时，与方向相反， 图2 M1 图3 当为直角(如图2)时，，所以 所以 ， 即 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 深度思考 当时，所以 当时，所以 综上可知，对于任意的，都有 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 知识小结 在上的投影： 的长度： 的方向：与向量 为与 相同方向的单位向量,则 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 12 典例讲解 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 典例讲解 向量在方向上的投影向量 向量在方向上的投影向量 注意： 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 新知探究2——向量数量积的性质 (1) ______________； (2) 若与同向，____________； 若与反向，______________； ______________； (3) ________(填 注：常记为. 0 ≤ 证明向量 垂直的依据 设是非零向量，方向相同的单位向量， 可以用来求向量的模，实现实数运算往向量运算的转化 可用来求两个向量的夹角，夹角的取值与两个向量有关 2 (5) (4) 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 合作探究 从上面的探究我们看到，两个非零向量相互平行或垂直时，在上的投影具有特殊性．这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？ a与b方向相同 a与b方向相反 a·b=|a||b| a⊥b a·b=-|a||b| a·b = 0 如果a·b = 0，不能得出a=0或b=0. 若a，b 为非零向量，则 a⊥b a·b = 0 如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 典例讲解——练习(第20页) 当堂检测 1.判断正误. 1.两个向量的数量积是一个向量. ( ) 2.向量在向量上的投影向量一定与共线. ( ) 3.若则与的夹角为钝角. ( ) 4.若则对任一非零向量都有. ( ) × × × √ 当堂检测 解：由已知得向量在向量上的投影向量的模为 2.已知，，与的夹角为45°，则向量在向量上的投影向量的模为（ ）. A. B.3 C.4 D.5 A 当堂检测 3.已知正三角形的边长为，求： (1)(2)(3) 解：(1)∵与的夹角为60°， ∴ (2)∵与的夹角为120°， ∴ (3)∵与的夹角为60°， ∴ 方法技巧： 利用定义法求平面向量的数量积，关键是找到两向量的模以及夹角，直接利用公式求解. 当堂检测 4.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ＝120°，求a在b上的投影向量. 课堂小结 向量a与b的夹角 物理模型 数量积的概念 共起点 数量积的性质 投影向量 应用 本节课你学到了哪些知识？ 【详解】 $