2026年中考数学一轮复习学案 19 圆的有关概念及性质

中考数学一轮复习学案 19 圆的有关概念及性质 ​​ ​​ ■考点一　圆的有关概念► 1．与圆有关的概念 1）圆：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。 3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，符号：；小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧。 4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。 6）弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。 7）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。 ■考点二　圆的相关性质及推理► 1）圆的对称性 （1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。 （2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。 2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。 3）推论 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。 总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。 4）弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 解题技巧：运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。 5）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°。 6）圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。 性质：（1）圆内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。 ■易错提示► 1.求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。 2.圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的内心到三角形三条边的距离相等 2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．已知的半径为，则中弦的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 4．一条公路弯道处是一段圆弧弧AB，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是弧AB的中点，OC与AB相交于点D．已知AB=120m，CD=20m，那么这段弯道的半径为（　　） A．200m B．200m C．100m D．100m 5．如图，BC，AC为半径为1的⊙O的弦，D为BC上一动点，M，N分别为AD，BD的中点，则sin∠ACB的值可表示为(　　). A．DN B．DM C．MN D．CD 6．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 7．高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为4，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，点A，B，C，D都在上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在由边长为1 的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C，D，则 cos∠ADC 的值为(　　) A． B． C． D． 12．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（　　） ① ；②△ABE与△DCE的周长比 ；③∠ADE＝∠ABC；④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE. A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 13．如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为　 　． 14．如图，P 是反比例函数 图象上一点，⊙P 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A(4，0)，B(0，3)，则k 的值为　 　. 15．如图，在中，弦半径，则的度数为　 　． 16．如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 　 　． 17．如图，AB是半圆O的直径，弦，，弦CD与直径AB之间的距离为3，则　 　. 18．如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为　 　． 三、解答题 19．⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离. 20．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE． （1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数； （2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长． 21．如图，的直径AB垂直弦CD于点是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点，连结BC. （1）求证：； （2）若，求BC的长. 22．如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若的度数为，求的度数． 23．已知中，，且，M为线段的中点，作，点P在线段上，点Q在线段上，以为直径的始终过点M，且交线段于点E． （1）求线段的长度； （2）求的值；（提示：连接） （3）当是等腰三角形时，求出线段的长． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧， ∴长度相等的弧不一定是等弧，故A不符合题意； ∵平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ∴平分弦的直径垂直于弦这一说法是错误的，故B不符合题意； ∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴相等的圆心角所对的弦相等这一说法是错误的，故C不符合题意； ∵三角形的内心是与三角形的三边都相切的圆的圆心 ∴三角形的内心到三角形三条边的距离相等，故D符合题意， 故选：D． 【分析】等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，由此可判断A不符合题意；由平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，可知"平分弦的直径垂直于弦"这一说法是错误的，可判断B不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可知"相等的圆心角所对的弦相等"这一说法是错误的，可判断C不符合题意；三角形的内心是与三角形的三边都相切的圆的圆心，所以三角形的内心到三角形三条边的距离相等，可判断D符合题意，于是得到问题的答案. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：连接OB， ∵点B是的中点， ∴∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴∠D＝∠AOB＝30°， 故答案为：A． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解： 的半径为 的直径为12 中弦的长度 小于等于12 故答案为：D. 【分析】根据圆中最长的弦为直径进行求解。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：连接OA，如图所示： ∵C是的中点，OC与AB相交于点D， ∴AB⊥OC， ∴AD=AB=×120=60m， ∴△AOD是直角三角形， 设OA=r，则OD=OC﹣CD=r﹣20， 在Rt△AOD中， OA2=AD2+OD2，即r2=602+(r﹣20)2， 解得r=100m． 故选：C． 【分析】连接OA，根据垂径定理可得AD=AB=60m，设OA=r，则OD=OC﹣CD=r﹣20，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接AB，连接AO并延长交圆于点E，连接BE， ∴AE为直径，∠ABE=90°，∠AEB=∠ACB， 故答案为：C. 【分析】连接AB，连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则AE为直径，∠AEB=∠ACB，求得sin∠ACB，即得出sin∠AEB，从而得出答案. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：， ， ，， ， ． 故选：C． 【分析】根据垂径定理可得到，由勾股定理求出AC长解答即可． 7．【答案】A 【解析】【解答】解：设此圆的半径为，则，， ∵， ∴米， 在中， ∴， 即， 解得米， 故答案为：A． 【分析】设此圆的半径为，即，，然后根据垂径定理得到长，再利用勾股定理解题即可． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ， ∵， ， 故答案为：B. 【分析】先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理即可求出的度数. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，如图所示，连接交于点， ∴点四边共圆，即在上，为直径， ∴， 根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得，点在上， ∵正方形的边长为，即， ∴， 如图所示，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∵点在上， ∴， 当点三点共线时，的值最大， ∴， 故答案为：D． 【分析】根据题意，连接交于点，可得四点共圆，根据圆周角定理“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可得点在圆上，连接，当点三点共线时，的值最大，由正方形的性质和勾股定理可将AC用含AD的代数式表示出来，根据三角形中位线定理可得OP=AD，然后根据线段的和差PE=OP+OE即可求解． 10．【答案】D 【解析】【解答】解：， ， ， ． 故选：D． 【分析】根据垂径定理可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：连结AC，BC. ∵ AB 为直径，∴ ∠ACB =90°.又∵AC， ∴ ∠ADC = ∠ABC.在Rt△ABC 中， ，∴ cos∠ADC=cos∠ABC= 故答案为：B . 【分析】由格点构造直角三角形，由圆周角定理以及直角三角形的边角关系可得答案. 12．【答案】C 【解析】【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC， ∴△AEB∽△DEC， ∴ ，故①正确； ②∵△AEB∽△DEC， ∴△ABE与△DCE的周长比 ，故②正确； ③∵∠BAC＝∠BDC， ∴A，B，C，D共圆， ∴∠ADE＝∠ACB， 如果∠ADE＝∠ABC， 则∠ABC＝∠ACB， 但这两个角不一定相等，故③错误； ④假设S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE. ∴ ， ∵△ABE和△ADE共高， ∴ ＝ ， ∵△BCE和△DCE共高， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，故④正确. ∴结论中正确的是①②④， 故答案为：C. 【分析】图形中隐含对顶角相等，利用有两组分别相等的两三角形相似，可证得△AEB∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例，可对①作出判断；利用相似三角形的周长比等于对应边之比，可对②作出判断；利用∠BAC＝∠BDC，可知点A，B，C，D共圆，利用圆周角定理可知∠ADE＝∠ACB，若∠ADE＝∠ABC，可得到∠ABC＝∠ACB，这两个角不一定相等，可对③作出判断；利用△ABE和△ADE共高，△BCE和△DCE共高，可证得 ＝ ， ＝ ，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数. 13．【答案】5 【解析】【解答】解：设圆的半径为r，连接OC， 根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1， ， 解得r=5． 故答案为5． 【分析】设圆的半径为r，连接OC，根据垂径定理得到CE=3，OE=r-1，再根据勾股定理即可求解。 14．【答案】3 【解析】【解答】解：作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∵点A(4，0)，B(0，3)， ∴OA=4，OB=3， ， ， . 【分析】作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，利用垂径定理可得，，利用反比例函数|k|的几何意义即可求解. 15．【答案】100° 【解析】【解答】解：∵， ∴∠OCA=∠BOC=40°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=40°， ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°， 故答案为：100°． 【分析】根据直线平行性质可得∠OCA=∠BOC=40°，再根据等边对等角可得∠OAC=∠OCA=40°，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 16．【答案】1 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案. 17．【答案】10 【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD， ∴DE=AE=CD=4， ∵CD∥AB，弦CD与直径AB之间的距离为3，OE⊥CD， ∴OE=3，∠OED=90°， ∴， ∴AB=2OD=10. 故答案为：10. 【分析】过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，由垂径定理得DE=AE=CD=4，由平行线间的距离处处相等得OE=3，从而利用勾股定理算出OD=5，即可求出直径AB的长. 18．【答案】 【解析】【解答】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 如图，过点，点，点作，连接，， 点在上运动， ， ，，， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ，， ， ， 在中，， 当点在上时，有最小值， 的最小值， 故答案为：． 【分析】根据等边三角形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，过点，点，点作，连接，，则点在上运动，根据等边对等角可得，，，再根据四边形内角和可得，则，再根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据三角形三边关系可得当点在上时，有最小值，再根据边之间的关系即可求出答案. 19．【答案】解：作OE⊥AB交CD于F，连结OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∵AB=12，CD=16，⊙O半径为10， ∴AE=6，OF=8，OA=OC=10， 在Rt△AOE中， ∴OE=， 在Rt△COF中， ∴， 如图1所示：当AB、CD在圆心O两侧时， ∴AB与CD之间的距离为：EF=OE+OF=8+6=14， 如图2所示：当AB、CD在圆心O同侧时， ∴AB与CD之间的距离为：EF=OE-OF=8+6=2， 综上：AB与CD之间的距离为14或2. 【解析】【分析】作OE⊥AB交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质可得OF⊥CD，由垂径定理得AE=6，OF=8，根据勾股定理分别求得OE，OF长，再分情况讨论：①如图1所示：当AB、CD在圆心O两侧时，②如图2所示：当AB、CD在圆心O同侧时，分别求得AB与CD之间的距离. 20．【答案】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵OD⊥AB， ∴＝， ∴∠AOD＝∠BOD＝60°； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2， ∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝×8＝4， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径长为5． 【解析】【分析】（1）先利用圆周角的性质可求出∠BOD＝60°，再利用＝，求出∠AOD＝∠BOD＝60°即可； （2）设⊙O的半径为r，则OC＝r−2，利用勾股定理可得（r−2）2＋42＝r2，再求出r的值即可. 21．【答案】（1）证明：是的中点， ， ， 在和中， ， （ASA）， （2）解：如图，连接OC， 设，则， ， ， 在中，，即， 解得：（负值舍去）， ， 【解析】【分析】（1）由题意，用角边角可证△GCE≌△BCE，然后根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可求解； （2）连接OC，设GE=BE=x，在Rt△COE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后在Rt△CBE中，用勾股定理计算即可求解. 22．【答案】（1）证明：如图，连接， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，，； （2）根据为的直径可得的度数为，根据的度数为可得的度数为，，根据等腰三角形的性质可得，根据可得。 23．【答案】（1）解：为中点， 在中，即：， ； （2）解：连接， 是斜边上的中点， ， ∴， ， ， 是的直径， ， ， ， ； ； （3）解： 由（1）知． ， 当是等腰三角形时，有为等腰三角形， 当时，， 当时，，而，所以这种情况不存在； 当时，， 而 由（1）知，可得； 或． 【解析】【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．（1）先根据中点的性质求出的长，再利用锐角三角函数余弦的定义可列出方程，解方程可求出的长； （2）先连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，再根据圆周角定理可推出，，进而可推出，利用余弦的定义可求出，利用勾股定理可求出，利用正切的定义可求出的值； （3）先利用角的运算可推出，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：为等腰三角形，分三种情况：当时；当时；当时，利用角的运算和线段的运算可求出答案． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $