2026年中考数学一轮复习学案 18 特殊的平行四边形

中考数学一轮复习学案 18 特殊的平行四边形 ​ 注意：梯形有的教材版本可以不用掌握。 ​​ ■考点一　矩形的判定及性质► 1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2）矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。 【推论】在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。 3）矩形的判定：（1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形的判定思路：要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明。 4）矩形的折叠问题：（1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；（2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）；（3） 折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）；（4）选择一个直角三角形（不找以折痕为边长的直角三角形），利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。 ■考点二　菱形的判定及性质► 1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2）菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。 3）菱形的判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形。 菱形的判定思路：判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分。 4）菱形的面积：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）；菱形的周长：周长C=4a。 ■考点三　正方形的判定及性质► 1）正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。 2）正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质； （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等； （4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； （5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形对角线与边的夹角为45°； （6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。 3）正方形的判定：（1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；（2）矩形+一组邻边相等； （3）矩形+对角线互相垂直；（4）菱形+一个角是直角；（5）菱形+对角线相等. 正方形的判定思路：判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等。 4）正方形的面积：S正方形＝a2＝对角线乘积的一半；正方形的周长：C正方形=4a。 5）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： ■考点四　梯形► 1）梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。 2）梯形的分类：一般梯形、等腰梯形、直角梯形。 3）等腰梯形性质：（1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；（2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；（3）等腰梯形的两条对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。 4）等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形是等腰梯形；2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 等腰梯形的判定思路：判定一个四边形是等腰梯形,必须先判定四边形是梯形,再证明同一底边上的两个角相等或两腰相等或两条对角线相等。 5）梯形的面积公式：S=×（上底+下底）×高。 6）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）： （1）作高：使两腰在两个直角三角形中；（2）平移对角线：使两条对角线在同一个三角形中； （3）延长两腰：构造具有公共角的两个三角形.（4）等积变形：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等； （5）平移腰：过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形； （6）过上底中点平移两腰：构造两个平行四边形和一个三角形。 ■易错提示► 1.定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形，不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形。 2.定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形。 3.在利用对角线长求菱形的面积时，要特别注意不要漏掉计算公式中的。 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中， 对称轴最多的是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 5．下列命题是真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6．如图，已知正方形的边长为，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当：：时，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（　　） A． B． C． D． 8．如图， 在 中， ， 分别以 ， 为边作正方形 交 于点 ． 若 ， 则 的长为 （　　） A． B． C． D． 9．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，且AE=AB，连结BE，DE，则∠CDE的度数为（　　）。 A．20° B．22.5° C．25° D．30° 10．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（　　)。 A． B． C． D． 11．如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（　　） A． B． C． D． 12．如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接，有如下结论：；；；．上述结论中，正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 13．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为　 　． 14．如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形 BEDF 的周长是　 　. 15．已知四边形ABCD是矩形，AB=5，点E是边BC的中点，连接AE和BD相交于点F，若BF=BE，则矩形ABCD的面积为　 　 . 16．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是　 　cm． 17．如图，在菱形中，，，点E为边上一点，且，在边上存在一点F，边上存在一点G，线段平分菱形的面积，则周长的最小值为　 　． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为　 　． 19． 如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连结CE，EF，AF。若DE=DC，EF=EC，则∠BAF的度数为　 　。 20．如图，直线l1，l2，l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，D，C，且相互平行。若l1，l2的距离为2，l2，l3的距离为4，则正方形的对角线长为　 　。 三、综合题 21．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 22．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积． 23．如图， 在 中， 是 的中点， 是 的中点， 过点 作 与 的延长线相交于点 ， 连结 ． （1） 求证： 四边形 是平行四边形． （2） 将下列命题填写完整， 并使命题成立 （图中不再添加其他的点和线）． ①当 满足条件 时， 四边形 是　 　形； ② 当 满足条件　 　时，四边形 是正方形． 24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG。 （1）求证：四边形BEFG为平行四边形； （2）如图1，若BD=2AB，求证：BE⊥AO； （3）如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若BD=AB，AB=8，求四边形BEFG的面积。 25．如图1为正方形和正方形，连接． （1）正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； （2）如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，猜想与的关系，并说明理由； （3）在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴AO=BO=3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=2AO=6，BD=2OB=6， ∴，， ∵∠ABC=90°， ∴AB2+BC2=AC2， ∴， ∴矩形的面积． 故选：A． 【分析】先说明是等边三角形，再根据矩形的性质可得AC的长度，根据勾股定理可得BC的长度，最后利用矩形的面积公式即可得出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质可得对称轴最多的是正方形. 故答案为：D. 【分析】平行四边形是中心对称图形，没有对称轴，矩形、菱形只有2条对称轴，正方形有4条对称轴，故对称轴最多的是正方形. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：连结BM， ∵BM垂直平分BD， ∴BM=MD，BO=DO，∠BON=∠DOM=90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，∠A=90°. ∴∠DMO=∠BNO， ∴△BNO≌△DMO（AAS）. ∴MD=BN=2. ∴BM=DM=2，AD=AM+MD=3. 又AM=1， ∴AB= ∴BD= 故答案为：A. 【分析】先根据垂直平分线的性质说明BM=MD，再通过证明△BNO≌△DMO，得出MD的长，然后利用勾股定理求出AB，最后利用勾股定理求出BD. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【分析】根据菱形性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故答案为：B. 【分析】利用正确的命题是真命题；利用平行四边形的判定定理，可对A作出判断；利用矩形的判定定理可对B作出判断；利用菱形的判定定理可对C作出判断；利用正方形的判定定理，可对D作出判断. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：连接AP ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD=3，∠ADB=45° ∴四边形AEPF是矩形 ∴△PFD是等腰直角三角形 ∴PF=DF ∵PE：PF=1：2 ∴AF：DF=1：2 ∴AF=1，DF=2=PF ∵AB=BC， ∴△ABP≌△CBP（SAS） ∴ 故答案为：C 【分析】连接AP，根据正方形性质，矩形的判定定理可得四边形AEPF是矩形，则，可得△PFD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得PF=DF，可求出AF，DF的长，再根据勾股定理，全等三角形的判定定理可得△ABP≌△CBP，即可求出答案. 7．【答案】C 8．【答案】A 【解析】【解答】解：∵四边形ABPQ，ACFH为正方形， ∴PB=AB，AC=CF=CB+BF=4， ∠F=∠C=90°，∠PBA=90°， ∴∠FOB+∠FBO=90°，∠ABC+∠FBO=90°， ∴∠FOB=∠ABC， ∴△FOB∽△CBA， ∴， 即， ∴OF=1， 在Rt△FBO中，由勾股定理得， ， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， ， ∴， 故答案为：A. 【分析】根据正方形的性质得到△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF，利用勾股定理分别求出OB，PB进而可求. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， 故答案为：B. 【分析】根据正方形的性质得到∠DAC=45°，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ADE，然后根据角的和差解答即可. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：∵AF = BF， 即F为AB的中点， 又DE垂直平分AC，即D为AC的中点， ∴DF为三角形ABC的中位线， 又∠ADF =90°， ∴∠C=∠ADF=90°， 又BE⊥DE， DE⊥AC， ∴∠CDE=∠E=90°， ∴四边形BCDE为矩形， 在Rt△ADF中， ∠A =30°， AF=BF=BC=2， ∴ 则矩形BCDE的面积， 故答案为： A. 【分析】根据三角形的中位线定理得到DF∥CB，，然后根据平行线得到∠C=90°，根据垂直得到∠CDE=∠E=90°，即可得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AD的长，根据矩形BCED的面积公式计算即可. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，连接、、． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴当、、三点共线时，可以取得最大值，最大值． 故选：B． 【分析】取的中点，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线性质可得OE，根据勾股定理可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案. 12．【答案】C 【解析】【解答】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 作于，设，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴，故正确； 设的面积为， ∵， ∴，， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积的面积， ∴，故错误； 综上正确，共个， 故答案为：C 【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质结合题意对①②③④逐一判断，进而即可求解。 13．【答案】 14．【答案】8 【解析】【解答】解：如图，连接BD交AC 于点O， ∵四边形ABCD为正方形， 即OE=OF， ∴四边形 BEDF 为平行四边形，且 ∴四边形BEDF为菱形， 由勾股定理得 四边形 BEDF 的周长 故答案为：8. 【分析】连接BD交AC 于点O，根据正方形的性质得到四边形BEDF为菱形，然后根据勾股定理求出DE长即可解答. 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴△ADF∽△EBF ∵E为BC中点 ∴ 设BE=BF=x，则AD=DF=2x ∴BD=3x 在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB2+AD2=BD2 即52+(2x)2=(3x)2 解得： ∴矩形ABCD的面积为 故答案为： 【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，再根据相似三角形判定定理可得△ADF∽△EBF，则，设BE=BF=x，则AD=DF=2x，BD=3x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x值，再根据矩形面积即可求出答案. 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB =AD=6cm． ∵E为AB的中点， ∴AE=EB=3cm． 由折叠性质得：EF=DF． 设EF=DF=xcm，则AF=(6−x)cm． 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2+AF2=EF2， ∴32+(6−x)2=x2， ∴x=， ∴AF=6−=(cm)， 故答案为：． 【分析】根据正方形性质可得AB =AD=6cm，根据线段中点可得AE，再根据折叠性质可得EF=DF，设EF=DF=xcm，则AF=(6−x)cm，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 17．【答案】 18．【答案】 19．【答案】22.5° 【解析】【解答】解：如图，连接AE， ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠BDC =45°， ∵DE=DC =AD， ∴∠DEC =∠DCE 67.5°， ∵∠DCB=90°， ∴∠BCE=90°-∠DCE=90°-67.5°= 22.5°， ∵EF= EC， ∴∠FEC=180°-∠EFC-∠ECF=180°-22.5°-22.5°= 135°， ∵∠BEC =180°-∠DEC =180°-67.5°=112.5°， ∴∠BEF = 135°-112.5°= 22.5°，∵AD = DE， ∠ADE=45°， ∴∠BEF+∠AED=22.5°+67.5°= 90°， ∴∠AEF = 180°-90°= 90°， 在△ADE和△EDC中， ∴△ADE≌△EDC(SAS)， ∴AE=EC， ∴AE = EF， 即△AEF为等腰直角三角形， ∴∠AFE=45°， ∵EF= EC， ∴∠BFE=∠BCE=22.5°， ∴∠AFB=∠AFE+∠BFE=45°+22.5°=67.5°， ∵∠ABF=90°， ∴∠BAF =90°-∠AFB=90°-67.5°= 22.5°， 故答案为： 【分析】连接AE， 根据SAS证 得出AE=CE=EF，再证 为等腰直角三角形，得出 即可求出的度数. 20．【答案】2 【解析】【解答】解：如图，作垂足为F， 垂足为E， 连接AC， ∴ 又 故答案为： 【分析】先作 再利用AAS得到△AEB≌△BFC，即可得到BE=CF=4，然后根据勾股定理解答即可. 21．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （2）证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而根据题意得到，运用 三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可求解； （2）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据题意结合矩形的判定即可求解。 22．【答案】（1）证明：在△AOE 和△COD中， ∴ ． ∴OD＝OE． 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD 是平行四边形． （2）∵AB＝BC，AO＝CO， ∴BO为AC的垂直平分线， ． ∴平行四边形 AECD是菱形． ∵AC＝8， ． 在 Rt△COD 中，CD＝5， ， ∴ ， ， ∴四边形 AECD 的面积为24． 【解析】【分析】（1）先证明 ，再求出 OD＝OE ，最后证明求解即可； （2）先求出 BO为AC的垂直平分线， ，再求出OD=3，最后计算求解即可。 23．【答案】（1）证明： 是 的中点， ． ， ． ， ． 是 中点， ． ． 又 ， 即 ， 四边形 是平行四边形． （2）矩； 是等腰直角三角形，且 【解析】【解答】解：（2）①当 满足条件 时， 四边形 是矩形； ② 当 满足条件 是等腰直角三角形，且 时，四边形 是正方形． 故答案为：矩；AB=AC，∠BAC=90° 【分析】（1）先利用AAS证明，根据全等三角形的性质可得AF=DC，再根据线段中点的意义，得出BD=DC，这样就有AF=BD，再根据AF//BD，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论成立； （2）①通过推理，得出结论；②利用结论，找出需要的条件． 24．【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD 是▱ABCD， ∴，， ∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点， ∴，，， ∴，， ∴五边形BEFG是平行四边形； （2）证明：∵▱ABCD， ∴AC，BD互相平分， ∴， ∵， ∴， ∴点E为AO中点， ∴； （3）解：过点 E 作 于点 H， 菱形 为等边三角形 ∴四边形BEFG的面积。 【解析】【分析】(1)根据中位线定理可得EF∥AD，EF=AD，BG=BC，即可得出EF∥BG，EF=BG，即可得证； (2)先证BO=BA，再根据等腰三角形三线合一证垂直即可； (3)过点E作EH⊥BC于点H，易得BD的长度，根据边关系可得∠BAO的度数，进而可得△ABC为等边三角形，从而得解. 25．【答案】（1）解：，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【解析】【分析】（1）由正方形性质得AG=AE，AB=AD，∠GAE=∠BAD=90°，从而利用“SAS”证明△GAD≌△EAB，由全等三角形的对应边相等得到DG=BE； （2）由矩形得到∠GAE=∠BAD=90°，由角的构成及同角的余角相等得出∠GAD=∠BAE，从而用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△GAD∽△EAB，由相似三角形对应边成比例可求出DG与BE的关系； （3）GE交AD于点O，先利用勾股定理求出，由二直线平行，内错角相等得到，由等面积法求出AO，然后根据线段和差求出OD，进而再利用那个勾股定理算出OG，DG即可. （1）解：，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $