2026年中考数学一轮复习学案 16 锐角三角函数

中考数学一轮复习学案 16 锐角三角函数 ​​ ​​ ■考点一　锐角三角函数► 1）锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 2）正弦、余弦、正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 3）特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角. 4）锐角三角函数的性质 当0°＜∠A＜90°时，sin A随∠A的增大而增大 ；cos A随∠A的增大而减小 ；tan A随∠A的增大而增大 。 ■考点二　解直角三角形► 1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2）在解直角三角形的过程中，常用关系： 在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1． ■考点三　解直角三角形的应用► 1）解直角三角形的相关的名词、术语： （1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角。 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角。 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角。 （2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角． （3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 2）解直角三角形实际应用的一般步骤： （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 3）测量物体的高度（距离）的常见模型： （1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形） 解题方法：（已知条件：，求高m）这两种模型中都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。 （2）测量底部可以到达的物体高度 解题方法：1）已知测量仪高m，水平距离n，角α，求高h；2）已知水平距离n，角α，角β，求高h=h1+h2；这两种模型可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。 （3）测量底部不可到达的物体的高度 注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定。 ■易错提示► 1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”，如 tan A、sin a、cos A；若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时，不能省略角的符号“∠”，如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1。 2. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的，而且由锐角三角函数的定义可知，其本质特征是两条线段长的比。因此,锐角三角函数只有数值，没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关。 3. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形。 一、单选题 1．如图，B为∠A一边上的任意一点，BC⊥AC于点C，那么tanA＝（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中， ，， ，下列三角函数表示正确的是(　　) A． B． C． D． 4．的值等于（　　） A．1 B． C． D． 5．如图，在中，，则的长为（　　） A．4.5 B．5 C． D． 6．若∠A是锐角，且cosA=tan30°，则(　　) A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90° 7．如图，在中，，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行到．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（　　）． A． B． C． D． 9．在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 10．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 12．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为，则M，N之间的距离为（　　）(参考数据：结果保留整数). A．188m B．269m C．286m D．312m 二、填空题 13．计算　 　 14．如图，正方形ABCD边长为3，点E在边AB上，以E为旋转中心，将EC逆时针旋转90°得到EF，AD与FE交于P点．若，则PF的值为　 　． 15．如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则　 　． 16．实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小远和小光同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管 试管倾斜角α为10°， 经测得： DE=21.7cm， MN=8cm， ∠ABM=145°. 实验时， 当导气管紧贴水槽MN，延长BM交 CN的延长线于点 F，且MN⊥CF （点C，D，N，F在同一条直线上)，线段 DN的长度为 　 　cm.（结果精确到0.1，参考数据： 17．在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为　 　． 18．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则　 　． 三、计算题 19．计算：． 四、解答题 20．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 21．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求的长； （2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数） 22．阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； （2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】∵BC⊥AC ， ∴， ∴在中，， 故答案为：D. 【分析】利用：在中，，即可求解. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】本题先利用勾股定理列式求出，然后列出，最后将、AB=8代入计算并化简即可。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：在中， ，， ， ∴ ∴ 故答案为：D． 【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用正弦（sin）的定义（对边与斜边的比值）、余弦（cos）的定义（邻边与斜边的比值）和正切（tan）的定义（对边与邻边的比值）及计算方法分析求解即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：， 故选：A 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：， ， ， ， ． 故选：C． 【分析】 先利用余弦的概念求出BC，再利用勾股定理即可求得． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：， ， 由锐角的余弦随角的增大而减小，得 cos60°<cosα=tan30°<cos45°， 故答案为：C. 【分析】先确定tan30°的值，然后将其与cosα进行比较，再根据锐角的余弦值随角度增大而减小的性质，确定α的范围. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：在中，， ∴， ∴，，，； 故答案为：C． 【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，进而根据三角函数的定义，逐项进行计算，即可得出答案。 8．【答案】A 9．【答案】D 【解析】【解答】∵，都是锐角，且，， ∴，， ∴， ∴的形状是直角三角形． 故选D． 【分析】 根据特殊角的三角函数值可判断，，从而可求出，即证明的形状是直角三角形． 10．【答案】A 【解析】【解答】如图，过C作CD⊥AB于D，则CD=3，BD=4 ∴BC= ∴sinB= 故答案为：A 【分析】过C作CD⊥AB于D，构造直角三角形，先结合勾股定理求出BC，再用CD：BC计算出sinB的值。 11．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：A. 【分析】根据题意先求出，再计算求解即可。 12．【答案】C 【解析】【解答】由题意可得∠N=43°，∠M=35°，AO=135m，BO=AO-AB=95m，在Rt△AON中，，∴. 在Rt△BOM中， ∴MN=MO+NO=135.7+150≈286(m). 故答案为：C. 【分析】根据题意得两个直角 通过解这两个直角三角形求得OB、ON的长度，进而即可求出答案. 13．【答案】 14．【答案】 【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=3，∠B=∠A=90°． 在Rt△BCE中，， ∵BC=3， ∴BE=1， ∴AE=AB-BE=2． 在Rt△BCE中，， ∴. ∵∠AEP=∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°， ∴∠AEP=∠BCE， ∴． ∵AE=2， ∴． 在Rt△AEP中，， ∴． 故答案为：． 【分析】观察图形可知：PF=EF-PE，故而可分别求出EF和PE的长。先根据求出BE，然后根据勾股定理求得CE，也就是EF的长度，再根据∠AEP=∠BCE，在Rt△AEP中，求出EP，进而得出PF的长即可。 15．【答案】 【解析】【解答】解：过点A作AH⊥CB于点H，如图所示： ∵△ABC为等边三角形，且边长为6， ∴CB=CA=AB=6，∠CAB=60°， ∴∠HAB=30°， ∴∠HAD+∠DAB=30°， ∵， ∴∠CAE+∠DAB=30°， ∴∠CAE=∠DAH， ∴ ∵BH=3， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【分析】过点A作AH⊥CB于点H，先根据等边三角形的性质即可得到CB=CA=AB=6，∠CAB=60°，进而根据题意即可得到∠HAB=30°，从而证明∠CAE=∠DAH，再运用解直角三角形的知识求出DH即可求解。 16．【答案】21.8 【解析】【解答】解：过点B作BP⊥DE于点P，BH⊥DN于点H ∵∠EBP=α=10°， ∴ ∵DE=21.7cm ∴PD=DE-EP=20cm ∴BH=PD=20cm 过点M作MQ⊥BH于点Q ∵MN=8cm ∴QH=8cm ∴BQ=BH-QH=12cm ∵∠ABM=45° ∴QBM=∠ABM-10°-90°=45° ∴∠QMB=90°-∠QBM-45°=∠QBM ∴QM=BQ=12cm ∴DN=DH+HN=BP+QM=21.8cm 故答案为：21.8 【分析】过点B作BP⊥DE于点P，BH⊥DN于点H，解直角三角形可得BP，EP，根据边之间的关系可得BH=PD=20cm，过点M作MQ⊥BH于点Q，根据边之间的关系可得BQ，再根据角之间的关系可得∠QMB=∠QBM，则QM=BQ=12cm，再根据边之间的关系即可求出答案. 17．【答案】 18．【答案】 【解析】【解答】解：如图，在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【分析】 如图先作，由锐角三角函数的概念结合勾股定理可得，则可利用求出，再把变为，然后再套用公式计算即可． 19．【答案】 20．【答案】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余解答即可； （2）延长交于点，即可得到，在中根据正弦的定义求得长，根据线段的和差求出OM长与比较解答即可． 21．【答案】（1）解：在中，， ∴． 即的长为． （2）解：设， 在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 【解析】【分析】（1）根据函数30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解； （2）设，进而根据题意解直角三角形得到，过点作，垂足为，根据题意，再根据矩形的判定与性质得到，，进而得到，从而结合题意解直角三角形即可求解。 22．【答案】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又， 即， ， ． ​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）作BC边上的高AD，分别解和，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高AE，解利用三角函数分别求出AE，再应用（1）的结论求出BC，最后利用面积公式计算即可． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $