2026年中考数学一轮复习学案 15 特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）

中考数学一轮复习学案 15 特殊三角形（等腰三角形与直角三角形） ​​ ​​ ■考点一　等腰（等边）三角形的性质与判定► 1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。 2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。 （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。 3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。 5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；（2）三个内角都相等，且每个内角都是60°； （3）等边三角形（边长为a）的面积：。 6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 ■考点二　垂直平分线的性质与判定► 1）垂直平分线的定理：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。 2）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 3）垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 ■考点三　勾股定理与逆定理及其应用► 1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． 2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． ■考点四　直角三角形的性质及计算► 1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3）直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）满足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。 4）直角三角形的面积公式： （其中：c为斜边上的高，m为斜边长）。 ■易错提示► 1. 等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明确是顶角还是底角，需要分类讨论。 2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解。 一、单选题 1．如图，中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，垂直平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（　　） A．或 B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以和的速度从点A，C两点出发，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t，则下列哪个t值不能使为直角三角形（　　）． A．9 B． C． D．1 7．如图，，E为的中点，与相交于点F．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，和都是直角三角形，，，、相交于点，如果，那么的值是(　　) A． B． C． D． 9．如图，为等边内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为6，8，10，则的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．在 Rt △ABC中， ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 　 　. 11．《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是　 　尺． 12．如果一个等腰三角形顶角的外角是，那么它的底角的度数是　 　． 13．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是　 　（结果用含m的式子表示）. 14． 如图，一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸。已知，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1，7，则　 　。 15． 如图， AD 是△ABC的角平分线， 过点D作DE∥AB交AC于点E．若△ADC的周长为21，AD=7， 则△DEC的周长为　 　． 16． 已知：如图等腰中，，BD是AC边上的高，，P，P是BD上一动点，则的最小值为　 　． 三、综合题 17．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E。已知∠ABC=60°，∠C=45°。 （1）求证：AB=BD； （2）若AE=3，求△ABC的面积。 18．如图，在中，，． （1）在斜边上求作线段，使，连接； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，求的长． 19．周末小明同学与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵银杏树，垂直于地面，满树金灿灿的叶子非常好看，小明同学想测量这棵树的高度，他发现阳光下树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，斜坡与水平地面所成的锐角为，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米．（参考数据） （1）求点D到水平地面的距离； （2）求树的高度（结果精确到0.1米）． 20．（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是 三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边内有一点，连接，，，若，，，求的大小． （3）【解决问题】如图3，在等边内有一点，，，，求的边长． （4）【综合应用】如图4，点为一动点，，，，连接、、，则的最小值为______． 21．在学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作理解 小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有　 　；（填序号） （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图1，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． 求证：平分； （3）拓展应用 如图2，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形，则的大小为　 　度． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解： ∵， ∴∠ACB=∠ABC=70°， ∴， 故答案为：C 【分析】先根据等腰三角形的性质结合题意即可得到∠ACB=∠ABC=70°，进而即可求解。 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 【解析】【解答】∵，， ∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°， A．由作图可知，平分， ∴，不符合题意； B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线， ∴， ∵，∴，不符合题意； C．∵，，∴， ∵，∴，不符合题意； D．∵，， ∴，符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、直角三角形的性质判断即可。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：A．当时，点D运动了，点E动了， ∴D，E两点的位置如图所示， ， ∴，点E与点C重合， ∴点D为中点，∴， ∴为直角三角形，故该选项不符合题意； B．当时，点D运动了，点E动了， ∴D，E两点的位置如图所示， ∴，点D在上， ∴点E为中点， ∴， ∴为直角三角形，故该选项不符合题意； C．当时，点D运动了，点E动了， ∴D，E两点的位置如图所示，过点A作， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即为直角三角形，故该选项不符合题意； D．当时，点D运动了，点E动了， ∴D，E两点的位置如图所示， 不能证明为直角三角形，故该选项符合题意．故选D． 【分析】根据等边三角形性质，点的运动规律，相似三角形判定定理及性质逐项进行判断即可求出答案. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：在中，E为的中点， ∴， 在中，E为的中点，， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【分析】分别在和中，利用直角三角形斜边中线的性质得到，，从而得到为等腰三角形，再根据 求解即可． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，过点作于点， 则， ，， 是等腰直角三角形， ， 设， 则， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【分析】 如图，过点作于点，则可证是等腰直角三角形，得，，设，则，由含角的直角三角形的性质可得，再由勾股定理得，然后求出，即可解决问题． 9．【答案】A 10．【答案】5 【解析】【解答】解：如图， ∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8 ∴ ∵∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴CD=AB=×10=5. 故答案为5. 【分析】由勾股定理求出AB=10，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解. 11．【答案】8，6，10 【解析】【解答】解：设竿长为x尺，则对角线AC为x尺，门高AD为（x-2）尺，门宽CD为（x-4）尺， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2，即（x-2）2+（x-4）2=x2， 解得x1=10，x2=2（舍）， ∴x-2=8尺，x-4=6尺，∴门高、宽和对角线的长分别为：8，6，10. 故答案为：8，6，10. 【分析】设竿长为x尺，则对角线AC为x尺，门高AD为（x-2）尺，门宽CD为（x-4）尺，在Rt△ADC中，由勾股定理建立方程求解得出x的值，此题得解了. 12．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：底角的度数=， 故答案为：． 【分析】等腰三角形的两底角相等，且三角形的任意外角等于和它不相邻的两个内角之和，结合条件可知，该等腰三角形的顶角的外角等于两个底角之和，而两个底角相等，因此列式计算即可得出答案。 13．【答案】m2-1 【解析】【解答】解：∵2m为偶数， ∴设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2， 解得a=m2-1. 故答案为：m2-1. 【分析】设其股是a，则弦为a+2，然后根据勾股定理进行解答即可. 14．【答案】3 【解析】【解答】解：AB=7-1=6 ∵ D为边AB的中点， ∴CD=(cm） 故答案为：3. 【分析】首先根据刻度尺上对应的数可求得AB的长度，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得出CD=(cm）。 15．【答案】14 【解析】【解答】解：∵ AD 是△ABC的角平分线 ∴ ∵ DE∥AB ∴ ∴ ∴EA=ED ∵AD+DC+CA=21，AD=7 ∴DC+CA=14 ∵△DEC的周长 =DC+CE+ED ∴△DEC的周长 =DC+CE+EA=DC+CA=14 故答案为：14 【分析】先利用角平分线与平行线的性质证明DE=AE，再结合△ADC的周长求出DC+EC的值，最后代入△DEC的周长公式计算。 16．【答案】8 【解析】【解答】解：过点P作PE⊥AB，如图所示： ∵在等腰△ABC中，BD是AC边上的高， ∴在Rt△ABD中，AB=AC=10，CD=4，则AD=AC-DC=6，由勾股定理可得， ∴ 在Rt△PBE中，，则 ∴， 如图所示，当C、P、E三点共线，且CE⊥AB时，有最小值，为CE， ∴由等面积可知，则. 故答案为：8. 【分析】过点P作PE⊥AB，如图所示，由等腰三角形性质结合勾股定理求出BD及，在Rt△PBE中，求出，从而得到当C、P、E三点共线，且CE⊥AB时，有最小值为CE，利用三角形等面积列方程求解即可得到答案. 17．【答案】（1）证明：∵ 平分 ， ∴ . ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . （2）由题意，得 ， ， ∴ ， ∴ 的面积为 . 【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可求出∠DBC的度数，再利用三角形的外角的性质求出∠ADB的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，可推出∠BAC=∠ADB，利用等角对等边可证得结论. （2）利用垂直的定义可得∠AEB=∠AEC=90°；在Rt△ABE中，利用解直角三角形求出BE的长；在Rt△AEC中，利用解直角三角形求出EC的长，由BC=BE+CE，可得到BC的长；然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积. 18．【答案】（1）解：所作线段如图所示： （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点O为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴ 【解析】【分析】（1）以点A为圆心，BC为半径画弧，交AC于点O，连接BO即可. （2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得AC=2BC，利用作图可证得点O是AC的中点，可求出AC的长，然后利用勾股定理求出AB的长. 19．【答案】（1）解：如图，过D作于H， ∴， ∵由题意得， ∴（米）； （2）解：过H作交AB于E， ∵，， ∴， 又∵AD∥HE， ∴四边形为平行四边形 ∴米 ∵在中，，CD=4米，DH=2米， （米） （米） ∵同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米． ∴，即， 解得（米） ∴（米）． 答：树高7.7米． 【解析】【分析】（1）过D作于H，根据含角直角三角形的性质求解即可； （2）过H作交AB于E，证四边形为平行四边形，得的长，然后勾股定理求出，根据题意得，进一步求出的长，再由AB=AE+BE求解即可． （1）解：过D作于H， 在中，， ∴（米）； （2）解：过H作交AB于E， ∵，， ∴ ∴四边形为平行四边形 ∴米 在中，， （米） （米） ∴，即 解得 ∴（米）． 答：树高7.7米． 20．【答案】（1）等边； （2）如图，以为边向上作等边，连接， ， 则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，以为边向上作等边，连接， ， 则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即的边长为； （4）的最小值为 【解析】【解答】解：（1）∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴为等边三角形； 故答案为：等边 （4）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接、， ， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， 当点、、、在同一直线上时，的值最小，为， 作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 【分析】（1）根据旋转性质可得，，再根据等边三角形判定定理即可求出答案. （2）以为边向上作等边，连接，则，，根据等边三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据勾股定理逆定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案. （3）以为边向上作等边，连接，则，，根据等边三角形性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得∠PAP'，再根据含30°角的直角三角形性质可得AP'，再根据勾股定理即可求出答案. （4）将绕点顺时针旋转得到，连接、，根据想旋转性质可得，，，，根据勾股定理可得PD，再根据角之间的关系可得，当点、、、在同一直线上时，的值最小，为，作交的延长线于点，根据角之间的关系可得∠CEF，再根据含30°角的直角三角形性质可得CF，再根据边之间的关系可得BF，再根据勾股定理即可求出答案. 21．【答案】（1）② （2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示： 则， 四边形是邻等对补四边形， ， 又， ， 又由题知， ， ， 又， ， ， 平分． （3），或 【解析】【解答】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有②． （3）解：在中，， ∴， 四边形是邻等对补四边形， ，， ，． 根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得 当时，如图2.1： 结合，可得， ． 当时，如图2.2： ， ， ． 当时，如图2.3： ， ． 当时，如图2.4： 结合，可得， ． 综上可知，大小为或或． 【分析】本题考查新定义“邻等对补四边形”的理解与应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及分类讨论思想。 (1)根据邻等对补四边形的定义，逐一验证每个四边形是否满足“至少一组邻边相等”和“对角互补”两个条件，确定符合条件的四边形； (2)通过作垂线构造两个直角三角形，利用邻等对补四边形的对角互补推出相等的角，结合用AAS证明三角形全等，得到对应高相等，再用HL证明另两个直角三角形全等，推出角相等，完成角平分线的证明； (3)先根据邻等对补四边形的对角互补求出和的度数，再分、、、四种情况，结合等腰三角形和全等三角形的性质，分别计算的度数。 （1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有②． （2）证明：过点A作于E，作，交延长线于F，如图1.1所示： 则， 四边形是邻等对补四边形， ， 又， ， 又由题知， ， ， 又， ， ， 平分． （3）解：在中，， ∴， 四边形是邻等对补四边形， ，， ，． 根据邻等对补四边形至少有一组邻边相等，可得 当时，如图2.1： 结合，可得， ． 当时，如图2.2： ， ， ． 当时，如图2.3： ， ． 当时，如图2.4： 结合，可得， ． 综上可知，大小为或或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $