专题10等腰三角形（知识清单）（4大考点+13大题型+3大易错+7大方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单聚焦“等腰三角形”专题，涵盖等腰与等边三角形的性质、判定等4大核心考点，构建从基础定义到综合应用的递进式学习架构，包含13大题型、3大易错点、7大方法技巧及实战测试。 清单通过思维导图呈现知识体系，标注“三线合一”等重难点，设分类讨论等易错警示，提炼“角平分线+平行线”等7大模型，培养几何直观与推理意识。如将军饮马模型解决最短距离问题，助力学生自主梳理知识，为教师教学提供系统复习支持。

专题10等腰三角形 （4大考点+13大题型+3大易错+7大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点） 考点01等腰三角形的性质 考点02等腰三角形的判定： 考点03等边三角形的性质： 考点04等边三角形的判定： 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（13大重难题型） 题型01等腰三角形的有关定义 题型02等边对等角 题型03等腰三角形的三线合一 题型04等腰三角形与网格作图 题型05等腰三角形的判定 题型06等腰三角形综合问题 题型07等边三角形的性质 题型08等边三角形的判定 题型09等边三角形综合问题 题型10等腰三角形与函数综合问题 题型11等腰三角形与翻折、旋转问题 题型12等腰三角形与几何动点问题 题型13有关三角形新定义综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（3个易混易错点） 易错点01等腰三角形中的角度计算 易错点02等腰三角形中的分类讨论 易错点03等腰三角形中的最短距离 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（7大方法技巧） 技巧01：等腰三角形中的常用辅助线 技巧02：等腰（边）三角形与动点探究问题 技巧03：等腰三角形的基本模型：“角平分线+平行线” 技巧04：等腰三角形的基本模型：“角平分线+垂线” 技巧05：等腰三角形与二倍角模型 技巧06：将军饮马模型 技巧07：等腰三角形与等面积法 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等边对等角、三线合一 2.探索并掌握等腰三角形的判定定理，会利用等腰三角形的性质和判定进行计算与证明. 3.了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质定理. 4.探索等边三角形的判定定理，会证明一个三角形是等边三角形 考点01等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 几何语言：在 △ABC 中,因为AB=AC ,所以 ∠B=∠C 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 几何语言：①因为 AB=AC,AD⊥BC ,所以AD 平分∠BAC,且 BD=DC ②因为 AB=AC,BD=DC,所以AD⊥BC,且AD平分∠BAC ③因为 AB=AC,AD平分∠BAC，所以BD=DC ,且 AD⊥BC （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 考点02等腰三角形的判定： 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 考点03等边三角形的性质： （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 考点04等边三角形的判定： （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 题型01等腰三角形的有关定义 【典例1】已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（    ） A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8 【变式练习】 1．等腰三角形的两边长分别为5和，则此三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 2．若的三边长，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 3．已知a、b、c为的三边长，b、c满足，且a为方程的解，则的形状为 三角形． 题型02等边对等角 【典例2】如图，中，，，点是的中点，是线段的垂直平分线． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式练习】 4．如图，四边形中，，，，，则的度数是 ． 5．如图，四边形中，，，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．如图，在中，，在边上取一点，使得，在上取一点，使得，连接． (1)求证：．(2)若，，求的长． 题型03等腰三角形的三线合一 【典例3】如图，在中，，是的中点，点在上，下列四个结论： ①；②图中共有两组全等三角形；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是 ． 【变式练习】 7．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 9．如图，在中，，平分，是的垂直平分线，交于点，连接．求证：． 10．如图，在中，为边上一点，，连接并延长至点，连接，，且_____．求证：_____． (1)给出下列信息：①；②；③．请从中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，分别填入横线上，使之构成真命题，并加以证明； (2)在（1）的条件下，若，，求． 题型04等腰三角形与网格作图 【典例4】图、图、图均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图中，是面积为的等腰三角形； (2)在图中，是面积为的直角三角形； (3)在图中，是面积为的等腰直角三角形． 【变式练习】 题型05等腰三角形的判定 【典例5】如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 【变式练习】 11．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 12．线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图） （1）在图①中找出格点D，使； （2）在图②中画出非格点的点E，使． 13．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 题型06等腰三角形综合问题 【典例6】（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． 请直接写出线段、、之间的数量关系______． 【变式练习】 14．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 15．如图，在中，，平分，过点A作交于点D，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 16．如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 17．等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ． 18．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 19．已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 20．如图，和都是等腰三角形，，，且，连接，． 【初步探索】（1）如图1，若，当时，___________； 【简单应用】（2）如图2，当点在的内部时，求证：； 【深入探究】（3）如图3，，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长． 题型07等边三角形的性质 【典例7】如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式练习】 21．如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 22．如图，是等边三角形，若，则 °． 23．如图，在等边三角形中，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． 求证：． 24．如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 题型08等边三角形的判定 【典例8】如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【变式练习】 25．已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 26．如图，点、、、在上，且，．则的周长为 ． 27．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 28．如图，是等边内的任意一点，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．请判断的形状，并说明理由． 题型09等边三角形综合问题 【典例9】在中，，点为所在直线上的一个动点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接． 【初步思考】（1）如图，当点在线段上，若，，则的周长是________； （2）若： 【深入探究】如图，当点在线段上时，请判断的形状？并说明理由； 【拓展延伸】当点在的延长线上时，请判断的形状？并说明理由． 【变式练习】 29．（1）在与中，点在线段上，点在边右侧．，，，根据题意回答问题： ①如图1，当点与点重合时，求证：； ②如图2，当点线段上时，求证：； （2）如图3，在等边中，点，分别为线段，上一点，，连接交于点，连接，若，求的值． 30．小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 31．在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 题型10等腰三角形与函数综合问题 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求抛物线的表达式，写出对称轴和顶点坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式练习】 32．如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，直线交于点．      (1)求两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时， ①求的长； ②在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标； (3)如图2，若，过点，交轴于点，此时在直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为．点是轴上的一个动点，过点作直线轴交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（且不与点重合），当时，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型11等腰三角形与翻折、旋转问题 【典例11】问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． (1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明； (2)基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长； (3)拓展升华：如图4，中， ，，为的角平分线，的中垂线交延长线于F，当时，求的长． 【变式练习】 34．如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 35．【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 36．已知中，，．以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到． (1)如图，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于点，延长至，使，过点作，交于点，过点作，交于点． ①求（用含的式子表示）； ②求证：． 题型12等腰三角形与几何动点问题 【典例12】如图，在中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿方向运动，速度为每秒；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒，两点同时开始运动，设运动时间为t秒． (1)①中斜边上的高为_____； ②当Q在上时，的长为_____（用含t的代数式表示）； (2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的t的值． 【变式练习】 37．如图1，在中，，，．点在上，且．点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动到点停止．同时，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线运动到点停止．连接，设点的运动时间为秒． (1)写出的形状，并说明理由． (2)当点在线段上时，_____，_____．（用含的式子表示） (3)当直线与的一条直角边垂直时，直接写出的值． (4)如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，这两条垂线相交于点．当的一个内角等于时，直接写出的值． 38．如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)线段的长为______． (2)当时，求的值． (3)求到的距离，并直接写出线段的长为______． (4)当点到的距离是点到的距离的2倍时，直接写出的值． 题型13有关三角形新定义综合问题 【典例13】概念学习．已知，点P为其内部一点，连接，在中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点P为的等角点．    (1)判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”． ①内角分别为的三角形存在等角点；______； ②任意的三角形都存在等角点；________； (2)如图①，点P是锐角的等角点，若，探究图①中，之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： (3)如图②，在中，，若的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求三角形三个内角的度数． 【变式练习】 39．如图 1， 在长方形 中， 是 延长线上一点， 交 于点 是 上一点. 给出下列三个关系；①∠GAF=∠F；②AC=AG；③∠ACB=3∠BCE． (1)选择其中两个作为条件， 一个作为结论构成一个真命题， 并说明理由； (2)在（1）的情况下，若∠BCE=22.5°，AD=1，求点G到直线AF的距离； (3)规定：一个三角形中有两个内角满足， 则称这个三角形为 “完美三角形”．如图 2， 在 Rt△OPQ中，∠POQ=90°，OP=3，OQ=4．在线段OQ上是否存在点M，使得△PQM是“完美三角形”， 若存在，请求出OM的值；若不存在，请说明理由． 易错点01等腰三角形中的角度计算 【错因】计算时没有讨论顶角、底角 【避错关键】等腰三角形中的角分为顶角和底角，当没有确定已知角为何角时，要分两种情况进行讨论 等腰三角形中底角只能是锐角，顶角可以是锐角、直角或钝角 【典例】 1．若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其顶角的度数是 2．若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是 ． 3．如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于 度． 4．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为 ． 易错点02等腰三角形中的分类讨论 【错因】因不明确等腰三角形的顶角是钝角还是锐角而出错；对于边没有正确的分类 【避错关键】有关等腰三角形边或角的计算问题，一般要分类讨论，同时注意两点： 第一点：有关边长或周长的问题，要考虑三角形的三边关系； 第二，点：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角；等腰三角形的底角只能是锐角， 【典例】 5．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 6．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”的值为 ． 7．如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 易错点03等腰三角形中的最短距离 【错因】对最短距离理解不准确而出错 【避错关键】三角形周长最短时不一定是三条边都落在一条直线上，求线段或周长最短时要正确作出最短路径解决问题 【典例】 8．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 9．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，轴，，点C的坐标为，P为边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．12 10．如图，已知，是内部的一点，且，点，分别是射线和射线上的动点，则的周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 11．如图，点在等边的边上，，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则为 ． 技巧01：等腰三角形中的常用辅助线 《方法技巧》 对于单一的等腰三角形，是作底边上的高、底边上的中线还是顶角平分线可根据解题需要而定：对于 叠合的等腰三角形，则需巧作辅助线.下面就通过图形来说明巧作辅助线的方法： (1)如图①的情形，需作底边上的高； (2)如图②的情形，需作顶角的平分线； (3)如图③的情形，需作中线： (4)如图④的情形，需连接AD并延长，再证其是“三线”之一即可. 【典例】 1．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，试判断以为顶点的三角形的形状，并说明理由； （3）当点在线段上运动时，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 2．在△中，，点为的中点，点、分别在边、上． (1)如图1，若，，，求的值； (2)如图2，当，时，求证：； (3)如图3，连接，已知，，，若，用三条线段、、围成的三角形的面积为，求的长． 技巧02：等腰（边）三角形与动点探究问题 《方法技巧》 解决探究性问题时，首先从特殊问题入手，探究它的解题思路，然后推导出一般规律遇到动点问题， 要根据问题中给定的条件，把实际问题转化为所学的知识求解即可， 【典例】 3．如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在，边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)______，______（用含t的式子表示），______； (2)当t为何值时，为等边三角形？ (3)当t为何值时，为直角三角形？请直接写出t的值． 4．如图，是边长为的等边三角形，点、点分别是边、上的动点． (1)若点在上以的速度由点向点运动，同时点在上以的速度由点向点运动，设点运动的时间为秒． ① 试求当为何值时，为等边三角形？ ② 若为直角三角形，试求的值． (2)如图2，点为外一点，且＝，．若点、点在运动过程中始终保持，试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 技巧03：等腰三角形的基本模型：“角平分线+平行线” 《方法技巧》 1.角平分线十平行线构造等腰三角形是指在一个角的平分线上取一点，通过作角的一边的平行线与角的另一边形成的三角形是等腰三角形. 2.解题思路：当题干中出现角平分线+平行线时，通常用于构造等腰三角形，再利用等腰三角形的边角关系解决问题 3.模型类型：如图，若∠1=∠2，AC∥OB,则△OAC为等腰三角形. 【典例】 5．（1）如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 交 AC 于 F， 过点 F 作 DF∥BC， 求证：BD=DF． （2）如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这种关系． （3）如图 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明） 6．【探究思考】 （1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图①，是等边三角形，是的外角的平分线，点为射线上一点，且与相交于点．我们可以过点作的平行线，交于点，构造得到_____（填两个全等三角形），来证明； 【问题解决】 （2）如图②，在中，，在边上取一点，以为顶点，为一条边在的右侧作，点在延长线上，． ①求证：； ②如图③所示，当点在的延长线上时，若，，，直接写出的长． 技巧04：等腰三角形的基本模型：“角平分线+垂线” 《方法技巧》 1.“角平分线十垂线构造等腰三角形”模型指的是当一个角的平分线垂直于某条线段时，通常延长这条线段与角的另一条边构造等腰三角形 2.模型类型：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD,故可以延长CD 交AB于点E,则△ACE是等腰三角形. 【典例】 7．如图，在中，是角平分线，交的延长线于点．求证：． 8．如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线与点． (1)求证：． (2)连接，若，，，求三角形的面积． 技巧05：等腰三角形与二倍角模型 《方法技巧》 在初中平面几何中，经常会遇到三角形中一个内角是另一个内角二倍的问题，这类问题往往需要作相应的辅助线.因为等腰三角形顶角的外角是其任一底角的二倍，因而构建等腰三角形是破解二倍角问题的一大妙招.常见的二倍角模型有以下几种： 【典例】 9．【问题引入】 （1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】 （2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 10．在等边的两边所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且．探究：当M、N分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N边上，且时，之间的数量关系是___________；此时___________； (2)如图2，点M、N在边上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当M、N分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 技巧06：将军饮马模型 《方法技巧》 涉及知识：两点之间线段最短：轴对称：三角形三边关系等. 解题思路：找对称点，实现折转直. 方法：如图，当A',P,B三点共线的时候，PA十PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短). 【典例】 11．如图，点是内任意一点，，，点、分别是射线、上的动点，求周长的最小值． 12．如图，点在内，点M，N分别是点关于，的对称点． (1)求证：； (2)如图2，若，，E，F分别是射线，上的一点，连接，和．求周长的最小值． 技巧07：等腰三角形与等面积法 《方法技巧》 在等腰三角形中，由于对称性，经常可以把腰作为底边，也可以用底边作为底边，甚至可以用某条线段构造两个不同的小三角形，它们的面积和等于总面积，从而建立等式 【典例】 13．综合与探究 【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法． 如例图，在等腰中，是边上的高，点P是上不与点B，C重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点M，N，即， ∴， ∵，∴． 又∵是边上的高，且为定值，∴为定值． 【类比探究】 （1）如图1，在矩形中，，，点P是上不与点A，D重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，可求的值，请写出求解过程． 【深入探究】（2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，以为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长． 【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点E，D，F．若，请直接写出的面积． 一、单选题 1．已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在中，，，为角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．马扎（图1）是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带．图2为其侧面示意图．，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．若，，则的边长为（   ） A．8 B．9 C．12 D．14 5．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，（点在上方），作直线交边于点；在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线．若射线恰好经过点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，连接，取的中点，连接．若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 9．如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为（   ） A．12 B．24 C．27 D．30 10．如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．9.6 C．10 D．12 二、填空题 11．若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为 12．已知：如图，P、Q是边上两点，且，则 度． 13．如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为 ． 14．如图，在中，，为的角平分线．与相交于点，平分．有下列四个结论：①；②；③：④若，则．其中正确的序号是 ． 15．如图，已知等边三角形，点在上，点在的延长线上，于点于点交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是 ．（填序号） 16．如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是 ． 三、解答题 17．如图，在中，，是高．若，，求的长． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中的边上找一点，使得； (2)在图②中画出一个，使，为格点（点不与点重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰三角形． 19．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 20．如图，等腰直角三角形中，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形． (1)求证：； (2)当时，求． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 22．已知线段，以为斜边作和，连接，M、N分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含α、β的代数式表示） 23．在等边三角形中，，D是所在直线上的一个动点，于点E，于点F． (1)如图①，当D只在线段上移动时（D不与B，C重合），请说明的值是不是一个固定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请举出例子； (2)如图②、图③，当D在的延长线和反向延长线上时，请分别说明和有什么数量关系． 24．在中，，，点D在射线上，连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F．请探究 与的数量关系． (1)先将问题特殊化：如图1，若，点D与点C重合，求证：； (2)再将问题一般化：如图2，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)继续探究：若点D在线段上，问题(2)中与的数量关系是否发生变化，请画出图形并证明你的结论． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10等腰三角形 （4大考点+13大题型+3大易错+7大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点） 考点01等腰三角形的性质 考点02等腰三角形的判定： 考点03等边三角形的性质： 考点04等边三角形的判定： 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（13大重难题型） 题型01等腰三角形的有关定义 题型02等边对等角 题型03等腰三角形的三线合一 题型04等腰三角形与网格作图 题型05等腰三角形的判定 题型06等腰三角形综合问题 题型07等边三角形的性质 题型08等边三角形的判定 题型09等边三角形综合问题 题型10等腰三角形与函数综合问题 题型11等腰三角形与翻折、旋转问题 题型12等腰三角形与几何动点问题 题型13有关三角形新定义综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（3个易混易错点） 易错点01等腰三角形中的角度计算 易错点02等腰三角形中的分类讨论 易错点03等腰三角形中的最短距离 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（7大方法技巧） 技巧01：等腰三角形中的常用辅助线 技巧02：等腰（边）三角形与动点探究问题 技巧03：等腰三角形的基本模型：“角平分线+平行线” 技巧04：等腰三角形的基本模型：“角平分线+垂线” 技巧05：等腰三角形与二倍角模型 技巧06：将军饮马模型 技巧07：等腰三角形与等面积法 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等边对等角、三线合一 2.探索并掌握等腰三角形的判定定理，会利用等腰三角形的性质和判定进行计算与证明. 3.了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质定理. 4.探索等边三角形的判定定理，会证明一个三角形是等边三角形 考点01等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 几何语言：在 △ABC 中,因为AB=AC ,所以 ∠B=∠C 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 几何语言：①因为 AB=AC,AD⊥BC ,所以AD 平分∠BAC,且 BD=DC ②因为 AB=AC,BD=DC,所以AD⊥BC,且AD平分∠BAC ③因为 AB=AC,AD平分∠BAC，所以BD=DC ,且 AD⊥BC （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 考点02等腰三角形的判定： 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 考点03等边三角形的性质： （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 考点04等边三角形的判定： （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 题型01等腰三角形的有关定义 【典例1】已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（    ） A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根据等腰三角形的性质，分为腰和为底两种情况，求出三角形的边长，再根据全等三角形的性质，可能等于三角形的任意一边． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，， 当为腰时，另一腰长为8，底边长为； 当为底时，两腰长均为； ∴三角形的边长可能为8，8，2或5，5，8； ∵， ∴可能等于三角形的任意一边，即或5或8． 故选：C． 【变式练习】 1．等腰三角形的两边长分别为5和，则此三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．分类讨论腰为5或腰为两种情况讨论，利用两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为5和， ∴可能情况为：①腰为5，底为；②腰为，底为， 对于情况①：三边为， ∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形． 对于情况②：三边为， ∵，均成立， ∴能构成三角形． ∴周长为． 故选：B． 2．若的三边长，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据平方和为零的性质，每一项必须为零，从而得出边的关系和角的关系． 本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间的关系即可判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， ∴ 即 ， 且 即 ， ∴ △ABC 是等腰三角形（）且直角三角形（）， 故为等腰直角三角形． 故选：D． 3．已知a、b、c为的三边长，b、c满足，且a为方程的解，则的形状为 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值，平方的非负性和等边三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握绝对值与平方的非负性和三角形的三边关系是解题的关键，根据绝对值和平方的非负性求出b和c的值，再解方程求出a的可能值，结合三角形三边关系确定a的值，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴和， 解得：，， ∵ ∴或， 解得：或， ∴或， 当，，时，，不能构成三角形， 当，，时，，为等边三角形， 故答案为：等边． 题型02等边对等角 【典例2】如图，中，，，点是的中点，是线段的垂直平分线． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，进而得到，利用垂直平分线的性质得到，得到，再利用垂直的定义即可证明； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，， ∴， 由（1）得，， ∴． 【变式练习】 4．如图，四边形中，，，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两底角相等，及三角形内角和为是解题的关键． 连接，将四边形分割为两个等腰三角形，利用的条件，结合三角形内角和定理，先求出中底角的度数，再算出中底角的度数，最终求出的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ∵， ∴ 是等腰三角形， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 5．如图，四边形中，，，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由平行线的性质得，由垂直得，进而由判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，，在边上取一点，使得，在上取一点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）根据等边对等角可得，利用即可判定； （2）根据等角对等边可得，再根据全等三角形的对应边相等即可得出答案； 掌握全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型03等腰三角形的三线合一 【典例3】如图，在中，，是的中点，点在上，下列四个结论： ①；②图中共有两组全等三角形；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】结合等腰三角形的性质，得，证明，即，同理证明，，然后延长至点，使得，证明，运用直角三角形的两个锐角互余以及等角对等边，故，即可作答． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴； ∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴图中共有三组全等三角形 故②不符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ④延长至点，使得， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵ ∴ ∵， ∴， 即， ∴， 则， 即 则 ∵， ∴ 故④符合题意； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等角对等边，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式练习】 7．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ∴ 故选：B. 8．如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和等腰三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和等腰三角形三线合一是解题的关键． 延长交于点，根据等腰三角形三线合一得到，，根据三角形中位线定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 为的平分线，， ，， 为的中点． 为的中点， ． 9．如图，在中，，平分，是的垂直平分线，交于点，连接．求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． 连接，由等腰三角形的性质，可得，，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，即可证得结论． 【详解】证明：连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 10．如图，在中，为边上一点，，连接并延长至点，连接，，且_____．求证：_____． (1)给出下列信息：①；②；③．请从中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，分别填入横线上，使之构成真命题，并加以证明； (2)在（1）的条件下，若，，求． 【答案】(1)①②，③，见解析(答案不唯一) (2) 【分析】（1）若条件：①②，结论：③，则可通过证明，进一步得出，即可证明结论；若条件：①③，结论：②，则可证明得到结论；若条件：②③，结论：①，可添加辅助线，过点作，垂足为点，先证明，证明，再证明，，即可证明结论； （2）过点作，垂足为点，先求出，再求，最后根据三角函数的定义计算即可． 【详解】（1）解：“条件：①②，结论：③”或“条件：①③，结论：②”或“条件：②③，结论：①” 条件：①②，结论：③，证明如下： ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ； 条件：①③，结论：②，证明如下： ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 条件：②③，结论：①，证明如下： 分别过点B，C作的垂线，垂足分别为点F，G， 则， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为点， ，， ， ， ， 在，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义，等腰三角形的三线合一性质等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型04等腰三角形与网格作图 【典例4】图、图、图均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图中，是面积为的等腰三角形； (2)在图中，是面积为的直角三角形； (3)在图中，是面积为的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形的面积公式，等腰三角形的判定，直角三角形的判定，掌握格点图形的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的面积算出底高，再借垂直平分线找格点连出面积为的等腰三角形； （2）根据直角三角形面积算直角边，用网格横竖线定直角顶点连出面积为的直角三角形； （3）根据等腰直角三角形面积算直角边，靠垂直平分线和勾股定理找格点并验直角，连出面积的等腰直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 取格点、，使， 找垂直平分线上的格点，使到的距离为， 连接、、，得到， 则且． （2）解：如图，即为所求． 取格点作为直角顶点，使，， 连接、、，得到， 则且． （3）解：如图，即为所求． 取格点，，使， 根据格点性质，找垂直平分线上的格点，使， 连接、、，得到， 则且． 【变式练习】 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ， ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共3个点； 这样的C点有5个． 故选：C． 12．线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图） （1）在图①中找出格点D，使； （2）在图②中画出非格点的点E，使． 【答案】 图见详解，文字说明见详解 图与文字说明见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）构造等腰直角三角形，点D即为所求； （2）构造推出，再由，可得． 【详解】解：（1）所作点D如图所示： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴； （2）所作点E如图所示； 先构造， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 13．图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）关于等腰三角形的一点画出图形即可； （2）作一个直角边分别为的直角三角形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，即为所求；理由如下： ∵，, ∴, 即是直角三角形，且， ∴． （3）如图3中，即为所求（答案不唯一）． 题型05等腰三角形的判定 【典例5】．如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行线得，根据角平分线的定义可得，即，由等角对等边可得即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 是的角平分线 ， ， ∴， 是等腰三角形． （2）解：是等腰三角形，， ， 在中， ． 【变式练习】 14．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 15．如图，在中，，平分，过点A作交于点D，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则根据平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 为等腰三角形． （2）解：，， ， ∵， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 16．如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 题型06等腰三角形综合问题 【典例6】．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． 请直接写出线段、、之间的数量关系______． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出， 根据，，，可得，所以，据此判断出即可． 【详解】解：（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 【变式练习】 17．等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可以求得，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 若，则， ∵，， ∴，矛盾，故不可能； 若，则， 在中， ，即， ∴， 又，， ∴， 解得； 若，则， 又， ∴，， 解得， 综上，为或， 故答案为：或． 18．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，掌握等边三角形的判定和性质是解题关键． （1）证明是等边三角形，再结合平行线的性质，得到，即可得出是等边三角形； （2）先判定是的垂直平分线，再根据三线合一的性质证明即可； （3）根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，则，进而求出，再根据等边三角形的性质，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 19．已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）， 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）由（1）的结论知，，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，如图，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 20．如图，和都是等腰三角形，，，且，连接，． 【初步探索】（1）如图1，若，当时，___________； 【简单应用】（2）如图2，当点在的内部时，求证：； 【深入探究】（3）如图3，，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）10 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由即可得到； （2）先证明，证明即可得出结论； （3）先证明，得出，再证明垂直平分，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴． 即． ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴． 即． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴垂直平分． ∴． ∴的周长为． 题型07等边三角形的性质 【典例7】如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，可得，即可得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 【变式练习】 21．如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 22．如图，是等边三角形，若，则 °． 【答案】130 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 23．如图，在等边三角形中，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． 求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，又结合旋转的性质得，整理得，即可证明． 【详解】证明：∵三角形是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转， ∴， ∴， 则， 即， ∵ ∴， ∴． 24．如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形得到，继而得到，然后证明，即可得到； （2）由全等三角形得到，而，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 题型08等边三角形的判定 【典例8】．如图，在中，，点F在上，点D在的延长线上，，，且平分． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质． （1）根据角平分线定义结合平行线的性质得到，再由等边三角形的判定即可证明； （2）先求出，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长为． 【变式练习】 25．已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的定义，掌握绝对值的非负性是解题关键．利用绝对值的非负性，和为零则每个绝对值为零，推导出三边相等，即可得解． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 26．如图，点、、、在上，且，．则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等得到，进而推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为． 故答案为：9． 27．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点． (1)若，求的长； (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)8 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，30度角直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）求出，得，求出，； （2）由角平分线定义得，得出，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵的平分线分别交，于点， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形． 28．如图，是等边内的任意一点，将绕点顺时针旋转到的位置，连接．请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查旋转的性质及等边三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ∵将绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴是等边三角形． 题型09等边三角形综合问题 【典例9】在中，，点为所在直线上的一个动点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接． 【初步思考】（1）如图，当点在线段上，若，，则的周长是________； （2）若： 【深入探究】如图，当点在线段上时，请判断的形状？并说明理由； 【拓展延伸】当点在的延长线上时，请判断的形状？并说明理由． 【答案】（）；（）为等腰三角形，理由见解析；为等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）先证明，则有，再证明为等边三角形，从而求解； （2）先证明，所以，则，根据平行线的性质可得，所以，从而有，然后通过等腰三角形的判定即可求解； 证明，则有，又，所以，根据平行线性质可得，所以，则，根据等角对等边即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故答案为：； （2）为等腰三角形， 证明：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 如图，为等腰三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等角的补角相等等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 【变式练习】 （1）在与中，点在线段上，点在边右侧．，，，根据题意回答问题： ①如图1，当点与点重合时，求证：； ②如图2，当点线段上时，求证：； （2）如图3，在等边中，点，分别为线段，上一点，，连接交于点，连接，若，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解题意，构造全等三角形是解题关键． （1）①根据全等三角形的判定和性质即可证明；②在上截取，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可证明； （2）在上截取，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，结合等角对等边得出，即可得出结果． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②证明：在上截取，连接，如图所示： ∵，，， ∴与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在上截取，连接，如图所示： ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．小新在学习完等边三角形后，想进一步探究等边三角形的性质，设计了等边三角形中的双动点问题．已知，在等边三角形中，分别为边上的动点，且不与端点重合，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当时，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当在移动时，若始终保持，在的右侧作，交于．求证：； 【知识迁移】 （3）如图3，若，在运动时始终保持，在的右侧作，且，连接，试判断的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，正确判断三角形全等是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理可求出的度数； （2）由等边三角形的性质得，，得到，根据三角形外角的性质得出，根据证明，可得； （3）过点作交于点，可证明是等边三角形，得，再根据证明可得出，进而可得结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 又， 而， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作交于点，如图， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴, ∴， ∴． 31．在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据题意得为等边三角形，为直角三角形，继而求得； （2）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答； （3）通过旋转性质得为等腰直角三角形，为直角三角形，即可解答． 【详解】解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形， （2） 理由如下：如图， 把绕点C顺时针旋转得到， 连接， 由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， 即   （3）如图，将 绕点B顺时针旋转，得到 连接， 由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形， 的长为 ． 题型10等腰三角形与函数综合问题 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求抛物线的表达式，写出对称轴和顶点坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为，顶点为 (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． （1）把点A的坐标代入，求解即可； （2）过P作于点E，过点P作轴交于点H，，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则， 求得，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，得， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为． 答：抛物线的表达式为，对称轴为，顶点为． （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， ∴； 过P作于点E，过点P作轴交于点H，如图1： ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大为， ∴， ∴此时最大为，点P到直线的距离值最大， 即点P到直线距离的最大值为； （3）解：存在， 设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴M点的坐标为， ②当时，过点M作于H， ∴， ∴， ∴5，5， ∴或； ③当时，如图， ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴， 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或或． 【变式练习】 32．如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，直线交于点．      (1)求两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时， ①求的长； ②在轴上找一点，使的值最小，求出点坐标； (3)如图2，若，过点，交轴于点，此时在直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或或或 【分析】（1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； （2）①过F点作轴交于点W，证明，即可求F点坐标，从而可求； ②作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，当、D、P三点共线时，的值最小，再由在直线上，求出的直线解析式，联立可求D点坐标，再求直线的解析式，即可求点P的坐标； （3）由题意求出点C坐标，设，分两种情况讨论： ①以B为顶点时，，过点B作y轴的垂线l，过M作x轴的垂线，两垂线交l于点Q， 由，求M点的坐标； ②以C为顶点时，，过点M作x轴的垂线交x轴于点P， 由，求M点的坐标． ③以M为顶点时，，过点M作x轴的垂线交x轴于H，过点B作y轴的垂线，两垂线交于点K， 由，求M点的坐标． 【详解】（1）解：直线分别与轴，轴交于两点， 令，则， ， 令，则， ； （2）解：点是线段的中点， ， 过F点作轴交于点W，   ， ， ， ， ， ， ，， ， ； ②作E点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，   ， ， 此时，的值最小， ， ， 再由在直线上， 直线的解析式， 联立， ， ， 直线的解析式， ， ， ， 令，则， ； （3）解：存在，理由如下 ， 直线的解析式为， ， 的直线解析式为， 令，则， ， 设， ①如图2-1，以B为顶点时，， 过点B作y轴的垂线l，过M作x轴的垂线，两垂线交l于点Q，     ， 即， 当时即， 当时即 ②如图2-2，以C为顶点时，， 过点M作x轴的垂线交x轴于点P，   ， 即， 解得或（舍去）， 当时，， ， ③如图2-3，以M为顶点时，， 过点M作x轴的垂线交x轴于H，过点B作y轴的垂线，两垂线交于点K，       ，，， 即 解得： 当时，， ； 综上所述，M点坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 33．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为．点是轴上的一个动点，过点作直线轴交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（且不与点重合），当时，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的性质，分类讨论思想等内容，解题的关键是根据题目中的条件得出方程． （1）根据题意可得出点，的坐标，代入抛物线解析式，可得出，的值即可得出答案； （2）根据（1）中抛物线的解析式可得，则，所以，所以，则，又，所以，，由此可得出结论； （3）设，则，，用含的式子表示出，，，由是等腰三角形，可知需要分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点，， ，． ∵抛物线经过点，， 则，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：． 证明：由（1）知抛物线的解析式为， 令，则，解得，， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． （3）解：存在． 设，则，， ， ， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， ，即 解得（舍去）或或， 或． ②当时， ，即 解得（舍去）或（舍去）或， ． ③当时， ，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，点的坐标为或或或． 题型11等腰三角形与翻折、旋转问题 【典例11】问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． (1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明； (2)基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长； (3)拓展升华：如图4，中， ，，为的角平分线，的中垂线交延长线于F，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6 【分析】（1）根据平行线的性质易证，根据相似三角形的性质及角平分线的概念可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （2）由折叠的性质得出，，由（1）知，，由勾股定理求出的值即可得出答案； （3）根据可得，从而求得，再根据中垂线、三角形外角以及等量代换可知，然后可得出，最后根据相似三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）证明： ， 是的角平分线 又， （2）将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处 ， 由（1）知， ， （3）为的角平分线， ， ，， 的中垂线交延长线于F， ， 又 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、角平分线、中垂线、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式练习】 34．如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）菱形，见解析；（3）或 【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得； （2）由题意可得，，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形； （3）题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果． 【详解】解：（1）如图①，在中，， ∵是斜边上的中线，， ∴． （2）四边形是菱形． 理由如下： 如图②∵于点， ∴， ∴； 由折叠得，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （3）如图③，点与点在直线异侧， ∵， ∴； 由折叠得，， ∴； 如图④，点与点在直线同侧， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解． 35．【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 【答案】(1)△， (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用证明△△，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明△△，得出，，然后利用直角三角形的性质即可得出； ②过点作于点，过点作延长线于点，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到△△，同理：△△，求得，根据全等三角形的性质得到． 【详解】（1）解：如图1中， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：△，； （2）①证明：△和△均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ； ②，理由如下： 过点作于点，过点作延长线于点， ，，， ， 在△中， ， ， ， 在△和△中， ， △△， 同理：△△， ，， ， 在△和△中， ， △△， ． 36．已知中，，．以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到． (1)如图，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于点，延长至，使，过点作，交于点，过点作，交于点． ①求（用含的式子表示）； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到，求出的度数，从而得到，判定； （2）①根据旋转的性质，得到，而，从而用含的式子表示出； ②如图，取线段中点，连接，则，然后证明，从而得到． 【详解】（1）证明：∵以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到， ， ，， ， ， ∴， ∴； （2）①解：∵以为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到， ， ，，． ． ． ， ， ． ②证明：如图，取线段中点，连接， ∵，是直角三角形． ∴， 是等腰三角形． ． ∵， ， ． ∵， ． 由①，得， ， ， ， 是等腰三角形． 在与中， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转的性质进行边角关系转换、构造全等三角形是解答本题的关键． 题型12等腰三角形与几何动点问题 【典例12】如图，在中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿方向运动，速度为每秒；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒，两点同时开始运动，设运动时间为t秒． (1)①中斜边上的高为_____； ②当Q在上时，的长为_____（用含t的代数式表示）； (2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)①；② (2)出发秒后能形成等腰三角形 (3)当运动时间为6秒或秒时，是以为腰的等腰三角形 【分析】（1）①利用勾股定理可求解的长，利用面积法进而可求解斜边上的高； ②用t表示Q的运动长度为，进而解答即可； （2）用t可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：①在中，由勾股定理可得， ∴斜边上的高为； ②设运动时间为t秒．当Q在上时，的长为， 故答案为：①；②； （2）解：由题意可知，， ∵， ∴， 当为等腰三角形时，则有，即， 解得：， ∴出发秒后能形成等腰三角形； （3）解：在中，， 当点Q在上时，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴有和两种情况， ①当时，则， 解得：； ②当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上可知，当运动时间为6秒或秒时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【变式练习】 37．如图1，在中，，，．点在上，且．点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿线段运动到点停止．同时，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线运动到点停止．连接，设点的运动时间为秒． (1)写出的形状，并说明理由． (2)当点在线段上时，_____，_____．（用含的式子表示） (3)当直线与的一条直角边垂直时，直接写出的值． (4)如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，这两条垂线相交于点．当的一个内角等于时，直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)， (3)， (4)或或或 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握角所对的直角边等于斜边一半的性质是解题关键． （1）根据直角三角形两直角互余得出，根据即可证明是等边三角形； （2）根据点、的速度及线段的和差关系，用含的式子表示即可； （3）分、两种情况，利用含角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，分别求出的值即可； （4）分点在上方，、点在上方，、（两种）、共4种情况，利用含角的直角三角形的性质分别求出的值即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形，， ∴， ∵点、的速度为每秒1个单位长度，点的运动时间为秒， ∴，． 故答案为：， （3）解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 解得：； 如图，当时，此时，点在线段上，点在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：的值为或． （4）解：如图，当点在上方，时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 如图，当点在下方，时， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， 解得：； 如图，当时，此时点与点重合，点与点重合， ∴， 如图，当时，此时，点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵，， ∴， ∴ 综上所述：的值为或或或． 38．如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)线段的长为______． (2)当时，求的值． (3)求到的距离，并直接写出线段的长为______． (4)当点到的距离是点到的距离的2倍时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，求出，和的长，由，得出，代入并求解； （3）过点作，则为到的距离，设，由，得出，由得出，再根据，得出； （4）过点作于，过点作于，则，根据题意求出，过点作于，于，得出和，及四边形为矩形，求出，，，再分类讨论当在内部时及外部时，的值，进而求出，由，求出． 【详解】（1）解：,， ； （2）解：点的速度为2，点的速度为3，点的运动时间为， ，， ， 当时，， ， 又， ， ， ， 即， 解得． （3）解：如图，过点作，则为到的距离，且， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ，即， 解得，即， ， ，解得． （4）解：过点作于，过点作于，则， 在等腰直角三角形中中，，， 在中，， 过点作于，于， 由，，且，得， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 如图 当在内部时，即，，即， ， 如图 当在外部时，即， ， 又， 即， 由得，，， 当，即时， ，解得； 当，即时， ，解得， 两个解均在内，符合题意， 当点到的距离是点到的距离的2倍时，的值为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质判定，三角函数，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，分类讨论是解题的关键． 题型13有关三角形新定义综合问题 【典例13】概念学习．已知，点P为其内部一点，连接，在中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点P为的等角点．    (1)判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”． ①内角分别为的三角形存在等角点；______； ②任意的三角形都存在等角点；________； (2)如图①，点P是锐角的等角点，若，探究图①中，之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： (3)如图②，在中，，若的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求三角形三个内角的度数． 【答案】(1)①真命题；②假命题； (2)，理由见解析； (3)，，． 【分析】（1）①根据等角点的定义，可知内角分别为、、的三角形存在等角点，②根据等角点的定义，等边三角形不存在等角点，据此判断即可； （2）根据中，以及进行推导，即可得出、、之间的数量关系； （3）先连接，，再根据的三个内角的角平分线的交点是该三角形的等角点，以及三角形内角和为，得出关于的方程，求得的度数即得出可三角形三个内角的度数． 【详解】（1）①根据等角点的定义，如图所示的三角形就存在等角点P，    ∴内角分别为、、的三角形存在等角点是真命题； ②如图等边三角形中的 ∴等边三角形中不存在等角点；     ∴任意的三角形都存在等角点是假命题， 故答案为：真命题，假命题； （2）如图①，在中，，， ； （3）如图②，连接， 为的角平分线的交点， ，， 为的等角点， ，，， 又， ， ， 该三角形三个内角的度数分别为，，． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清等角点的定义，根据等角点的定义以及三角形的内角和为，得出角的关系式并进行求解． 【变式练习】 39．如图 1， 在长方形 中， 是 延长线上一点， 交 于点 是 上一点. 给出下列三个关系；①∠GAF=∠F；②AC=AG；③∠ACB=3∠BCE． (1)选择其中两个作为条件， 一个作为结论构成一个真命题， 并说明理由； (2)在（1）的情况下，若∠BCE=22.5°，AD=1，求点G到直线AF的距离； (3)规定：一个三角形中有两个内角满足， 则称这个三角形为 “完美三角形”．如图 2， 在 Rt△OPQ中，∠POQ=90°，OP=3，OQ=4．在线段OQ上是否存在点M，使得△PQM是“完美三角形”， 若存在，请求出OM的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)选①②作为条件，③作为结论；理由见解析 (2)点G到直线AF的距离是1 (3)存在，MQ= 或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，∠ACG＝∠AGC＝2∠F，根据平行线的性质可得∠F＝∠BCE，因此∠ACB＝3∠BCE． (2)作GH⊥DF，先证明△ACB≌△FGH，则GH＝CB＝AD＝1.，点G到直线AF的距离是1． （3）分两种情况： ①2∠Q＋∠MPQ＝90°时，证明△POM∽△QOP，利用相似三角形对应边成比例列比例式可求出OM的值． ② 2∠MPQ＋∠Q＝90°时，先证PM是∠OPQ的角平分线，然后作MN丄PQ于N，则MN＝OM，设OM为x，把MQ、NQ用含x的代数式表示出来，在Rt△MNQ中与根据勾股定理列方程可求出x的值，即OM的值． 【详解】（1）选①②作为条件，③作为结论；理由如下： ∵在长方形ABCD中，，∠ABC=90°，BC=AD， ∴∠F=∠BCE， ∵AC＝AG， ∴∠ACG=∠AGC， ∵∠GAF＝∠F， ∴∠ACG=∠AGC=2∠F=2∠BCE， ∴∠ACB＝3∠BCE． （2）∵∠BCE＝22.5°， ∴∠F=∠BCE＝22.5°，∠ACB=3∠BCE =67.5°， 过点G作GH⊥AF于H， 则∠FGH=90°－∠F=67.5°=∠ACB， ∵∠GAF＝∠F， ∴AG=GF， ∵AC＝AG， ∴AC＝GF，又∠ABC=∠FHG=90°， ∴△ACB≌△FGH（AAS）， ∴GH=CB=AD=1， 即点G到直线AF的距离是1； （3）①如图，若△PQM中2∠Q+∠MPQ=90°，则△PQM是“完美三角形”， ∵△OPQ中∠Q+∠OPM+∠MPQ=90°， ∴∠Q=∠OPM， 又∵∠POQ=∠POM， ∴△POM∽△QOP， ， ∴， 得； ②如图，若△PQM中若2∠MPQ＋∠Q＝90°，则△PQM是“完美三角形 ”， ∵△OPQ中∠MPQ＋∠OPM＋∠Q＝90°， ∴∠MPQ＝∠OPM， ∴PM是∠OPQ的角平分线， 作MN丄PQ于N点， 则MN＝OM， 设OM＝x，则MN＝x，MQ＝4－x ∵Rt△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝3，OQ＝4 ∴PQ＝5 ∵Rt△OPM和Rt△NPM中 OM＝MN，PM＝PM， ∴Rt△OPM≌Rt△NPM（HL）， ∴PN＝OP＝3， ∴NQ＝5－3＝2， 在Rt△MNQ中，MN2＋NQ2＝MQ2， ∴x2＋22＝（4－x）2， ， ∴， 综上，线段OQ上存在点M，使△PQM是“完美三角形”，且或． 【点睛】本题是一道综合性题目．考查了等腰三角形判定与性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和判定，相似三角形的性质和判定. 熟练掌握以上知识是解题的关键．另外，本题还运用了分类讨论的数学思想方法． 易错点01等腰三角形中的角度计算 【错因】计算时没有讨论顶角、底角 【避错关键】等腰三角形中的角分为顶角和底角，当没有确定已知角为何角时，要分两种情况进行讨论 等腰三角形中底角只能是锐角，顶角可以是锐角、直角或钝角 【典例】 1．若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其顶角的度数是 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键．等腰三角形有两个相等的底角，因此“一个角为另一个角的两倍”只能指顶角与底角之间的关系；分两种情况讨论：顶角是底角的两倍，或底角是顶角的两倍，利用三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：设顶角为度，底角为度， 则根据三角形内角和定理，有； 若顶角是底角的两倍，即， 代入方程得， 解得，则； 若底角是顶角的两倍，即， 代入方程得， 解得，则； 两种情况下三角形内角和均为，且满足等腰三角形条件． 故答案为：或． 2．若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是 ． 【答案】或 【分析】本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类思想是解题的关键． 设，顶角为，或设三角形的底角为，顶角为，根据三角形的内角和为，得出答案． 【详解】解：①设，顶角为，则， 解得：； ②设三角形的底角为，顶角为，则， 解得：， ； 三角形的“可爱角”应该是或． 故答案为：或． 3．如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于 度． 【答案】或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时（如图， ，则， 即顶角是； 当高在三角形外部时（如图， ，则， 即顶角是． 故答案为：或． 4．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，则此等腰三角形的顶角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形，解题的关键是画出图形，注意数形结合，容易忽略该等腰三角形为钝角三角形的情况． 分情况进行讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形，即可得出答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或 易错点02等腰三角形中的分类讨论 【错因】因不明确等腰三角形的顶角是钝角还是锐角而出错；对于边没有正确的分类 【避错关键】有关等腰三角形边或角的计算问题，一般要分类讨论，同时注意两点： 第一点：有关边长或周长的问题，要考虑三角形的三边关系； 第二，点：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角；等腰三角形的底角只能是锐角， 【典例】 5．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】或 【分析】设腰长为x，底边长为y，根据中线分周长的两种可能情况列方程组求解，并验证三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y． 一腰上的中线将周长分为两部分：一部分为腰长加半腰长， 即； 另一部分为底边长加半腰长， 即． 由题意，这两部分分别为和，因此分两种情况： 情况一：且， 解得：，， 情况二：且， 解得：，， 经检验，两种情况均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，几何问题(二元一次方程组的应用)，等腰三角形的定义，根据三角形中线求长度等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 6．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，一边长为可能是腰或底边，但需满足三角形三边关系．通过计算，为腰时不能构成三角形，故只能为底边，从而求出腰长，再计算优美比． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为． 若一边长为， 分两种情况讨论： 当为腰长时，则，．但，不满足三角形三边关系，故舍去． 当为底边长时，则，，．此时，，满足三角形三边关系，则优美比． 故答案为：． 7．如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解． （2）分类讨论：当时， 当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， 故答案为：． （2）分类讨论： 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ，题干要求，故该情况不存在； 故答案为：或． 易错点03等腰三角形中的最短距离 【错因】对最短距离理解不准确而出错 【避错关键】三角形周长最短时不一定是三条边都落在一条直线上，求线段或周长最短时要正确作出最短路径解决问题 【典例】 8．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，轴，，点C的坐标为，P为边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】作关于的对称点，连接交于点，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于点，连接， 此时，的值最小， 为等边三角形，轴， ， ， ， 点C的坐标为， ， ， ， 即最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 10．如图，已知，是内部的一点，且，点，分别是射线和射线上的动点，则的周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，对称的性质，两点间线段最短等知识，利用对称性把求三角形周长的最小值转化为折线段的最小值是解题的关键． 【详解】解：如下图所示， 分别作点关于，的对称点，，连接，，，，， 由对称的性质可得：，，，，， ，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，的周长的最小，最小值为线段的长， 即最小值为． 故选：B． 11．如图，点在等边的边上，，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，作点关于直线的对称点，过作于，交于，则此时，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 作点关于直线的对称点，过作于，交于，如图所示： 则此时，的值最小， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 技巧01：等腰三角形中的常用辅助线 《方法技巧》 对于单一的等腰三角形，是作底边上的高、底边上的中线还是顶角平分线可根据解题需要而定：对于 叠合的等腰三角形，则需巧作辅助线.下面就通过图形来说明巧作辅助线的方法： (1)如图①的情形，需作底边上的高； (2)如图②的情形，需作顶角的平分线； (3)如图③的情形，需作中线： (4)如图④的情形，需连接AD并延长，再证其是“三线”之一即可. 【典例】 1．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，试判断以为顶点的三角形的形状，并说明理由； （3）当点在线段上运动时，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见详解；（2）以为顶点的三角形的形状是等边三角形，证明见详解（3）=．证明见详解． 【分析】（1）过点D作DH∥AC交BC于H，则∠DHB=∠ACB，由是等边三角形，可得AB=AC，∠B=∠ACB=60°，可证△DEH≌△FEC（AAS），DH=FC即可； （2）以为顶点的三角形的形状是等边三角形，连结DG，由ED⊥AB于D，可求∠DEB=90°-∠B=30°，由，∠ACB=60°，可得∠GED=90°-∠DEB=60°，∠EGC=90°-∠GCE=30°可证△BHD为等边三角形，∠BDH=60°，再证∠F=∠EGC=30°，GE=EF=DE，结合∠GED=60°即可； （3）=由，△BHD为等边三角形，可得AD=HC，可证△DEH≌△FEC（AAS），可得HE=CE，由，∠ACB=60°，可得∠EGC=90°-∠GCE=30°利用含30°直角三角形性质GC=2EC=CH=AD即可． 【详解】证明：（1）过点D作DH∥AC交BC于H， 则∠DHB=∠ACB， ∵是等边三角形， 所以AB=AC，∠B=∠ACB=60°， ∴∠B=∠DHB=60°， ∴DB=DH， ∵作法DH∥AC， ∴∠HBE=∠F，∠DHE=∠FCE， ∵， ∴△DEH≌△FEC（AAS）， ∴DH=FC， ∴BD=CF； （2）以为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结DG， ∵ED⊥AB于D， ∴∠B+∠DEB=90°，∠B=60°， ∴∠DEB=90°-∠B=30°， 又∵，∠ACB=60°， ∴∠DEB+∠GED=90°，∠EGC+∠GCE=90°， ∴∠GED=90°-∠DEB=60°，∠EGC=90°-∠GCE=30°， 由（1）知DH=BD,∠B=60°， ∴△BHD为等边三角形， ∴∠BDH=60°， ∴∠HDE=90°-∠BDH=30°， ∠F=∠HDE=30°， ∴∠F=∠EGC=30°， ∴GE=EF=DE， ∴△DEG为等边三角形； （3）=． ∵，△BHD为等边三角形， ∴AB=BC，DB=BH， ∴AB-BD=BC-BH， ∴AD=HC， ∵作法DH∥AC， ∴∠HDE=∠F，∠DHE=∠FCE， ∵， ∴△DEH≌△FEC（AAS）， ∴HE=CE， ∵，∠ACB=60°， ∴∠EGC+∠GCE=90°， ∴∠EGC=90°-∠GCE=30°， ∴GC=2EC=CH=AD， ∴GC=AD． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形性质，等腰三角形判定，掌握等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形性质，等腰三角形判定是解题关键． 2．在△中，，点为的中点，点、分别在边、上． (1)如图1，若，，，求的值； (2)如图2，当，时，求证：； (3)如图3，连接，已知，，，若，用三条线段、、围成的三角形的面积为，求的长． 【答案】(1)3， (2)见解析， (3) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论； （2）如图2中，连接，作于，于．证明，，可得，，推出，再利用直角三角形30度角性质即可解决问题． （3）延长到，使得，连接，，作于．首先证明，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：连接， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 同理，， ； （2）证明：如图2中，连接，作于，于． ，， ，， ，， ，， ∴ ， ， ， ， ∴ ，， ，， ， ，， ， ，， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，，作于． ，，， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 由题意得：用三条线段、、围成的三角形的面积为，即由、、组成的三角形， ， ， ， ∵在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 技巧02：等腰（边）三角形与动点探究问题 《方法技巧》 解决探究性问题时，首先从特殊问题入手，探究它的解题思路，然后推导出一般规律遇到动点问题， 要根据问题中给定的条件，把实际问题转化为所学的知识求解即可， 【典例】 3．如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在，边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． (1)______，______（用含t的式子表示），______； (2)当t为何值时，为等边三角形？ (3)当t为何值时，为直角三角形？请直接写出t的值． 【答案】(1)，t，20 (2) (3)10或16 【分析】（1）先利用含30度角的直角三角形的性质可得，再表示，即可； （2）求解，可得时，为等边三角形，可得，再解方程即可； （3）当为直角三角形，①当时，则，②当时，则，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在，边上匀速移动，它们的速度分别为，， ∴，， ∴． （2）解：在中， ，， ． 当时，为等边三角形． ∴． ∴． 当时，为等边三角形； （3）解：当为直角三角形， ①当时，则， ∴， 即 ． ②当时，则， ∴， 即， ． 即当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，几何动态问题，掌握等边三角形，直角三角形的基础性质是解本题的关键． 4．如图，是边长为的等边三角形，点、点分别是边、上的动点． (1)若点在上以的速度由点向点运动，同时点在上以的速度由点向点运动，设点运动的时间为秒． ① 试求当为何值时，为等边三角形？ ② 若为直角三角形，试求的值． (2)如图2，点为外一点，且＝，．若点、点在运动过程中始终保持，试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①秒；②秒或秒 (2)不变， 【分析】（1）①由题意得：，，．根据题意当时，为等边三角形，解方程即可求解； ②根据题意分类讨论，分， ，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）延长至，使，连接，证明，进而证明 ，得出，即可求解． 【详解】（1）解：① 由题意得：，，．                 当时，为等边三角形． 即．             解得：．即秒时，为等边三角形．             ②是边长为的等边三角形， ，． ．若，则． ，即 （）， 解得．                 ．若 ，则 ． ，即， 解得．                 经验证，和均符合题意． 故若为直角三角形时，的值为秒或秒． （2）的周长不发生变化．理由如下： 延长至，使，连接． ，， ． 是等边三角形， ． ．                                     又 ，， ． ，．                                 ，， ． ． 即． ．                             又，， ． ． ． 的周长不发生变化，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 技巧03：等腰三角形的基本模型：“角平分线+平行线” 《方法技巧》 1.角平分线十平行线构造等腰三角形是指在一个角的平分线上取一点，通过作角的一边的平行线与角的另一边形成的三角形是等腰三角形. 2.解题思路：当题干中出现角平分线+平行线时，通常用于构造等腰三角形，再利用等腰三角形的边角关系解决问题 3.模型类型：如图，若∠1=∠2，AC∥OB,则△OAC为等腰三角形. 【典例】 5．（1）如图 1，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 交 AC 于 F， 过点 F 作 DF∥BC， 求证：BD=DF． （2）如图 2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点 D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？并证明这种关系． （3）如图 3，在△ABC 中，∠ABC 的平分线 BF 与∠ACB 的外角平分线 CF 相交于 F，过点 F 作 DE∥BC，交直线 AB 于点D，交直线 AC 于点 E．那么 BD，CE，DE 之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明） 【答案】（1）见详解；（2）BD+CE＝DE，证明过程见详解；（3）BD﹣CE＝DE，证明过程见详解 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠DFB＝∠CBF，∠ABF＝∠CBF，推出∠DFB＝∠DBF，根据等角对等边推出即可； （2）与（1）证明过程类似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出结论； （3）与（1）证明过程类似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵DF∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴BD＝DF； （2）BD+CE＝DE， 理由是：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵DF∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴BD＝DF； 同理可证：CE＝EF， ∵DE＝DF+EF， ∴BD+CE＝DE； （3）BD﹣CE＝DE． 理由是：∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵DF∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴BD＝DF； 同理可证：CE＝EF， ∵DE＝DF﹣EF， ∴BD﹣CE＝DE． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，本题具有一定的代表性，三个问题证明过程类似． 6．【探究思考】 （1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图①，是等边三角形，是的外角的平分线，点为射线上一点，且与相交于点．我们可以过点作的平行线，交于点，构造得到_____（填两个全等三角形），来证明； 【问题解决】 （2）如图②，在中，，在边上取一点，以为顶点，为一条边在的右侧作，点在延长线上，． ①求证：； ②如图③所示，当点在的延长线上时，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质，并用证明即可． （2）①过点D作的平行线，交于点，同（1）问，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得出与中，有，用证即可得出结论． ②过点D作的平行线，交于点，同（2）问，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得出与中，有，用证得出，再证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）∵过点D作的平行线，交于点G， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 是的外角的平分线， 又， ，， ， 在与中， ， ， ．    （2）①如图所示，过点D作的平行线，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ， ．    ②依然成立，如图所示，过点D作的平行线，交于点， ， ， ， ， ∴， ， ∴ ∴，即 ， ， ， 在与中， ， ， ． ∵，． ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 技巧04：等腰三角形的基本模型：“角平分线+垂线” 《方法技巧》 1.“角平分线十垂线构造等腰三角形”模型指的是当一个角的平分线垂直于某条线段时，通常延长这条线段与角的另一条边构造等腰三角形 2.模型类型：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD,故可以延长CD 交AB于点E,则△ACE是等腰三角形. 【典例】 7．如图，在中，是角平分线，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长，相交于点Q，根据证明，得到，再根据角平分线的定义以及证明从而得到进而得到结论． 【详解】证明：延长，相交于点Q，如图． ， ，， ． 在和中， , ， ， 平分，， ， ． 在和中， ， ． 8．如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线与点． (1)求证：． (2)连接，若，，，求三角形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图，延长，交于点，证明，，从而可得结论； （2）如图，过作于，结合全等三角形的性质求解，从而可得答案． 【详解】（1）证明：如图，延长，交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过作于， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 技巧05：等腰三角形与二倍角模型 《方法技巧》 在初中平面几何中，经常会遇到三角形中一个内角是另一个内角二倍的问题，这类问题往往需要作相应的辅助线.因为等腰三角形顶角的外角是其任一底角的二倍，因而构建等腰三角形是破解二倍角问题的一大妙招.常见的二倍角模型有以下几种： 【典例】 9．【问题引入】 （1）如图①，中，，，过点A作，垂足为点D．若，则______；______． 【类比探究】 （2）如图②，中，，过点A作，垂足为点D，且，若，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图③，中，，平分，交于点E．求证：． 【答案】（1）1，3；（2）；（3）见解析 【分析】此题考查三角形内角和定理，直角三角形30度角的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角， （1）根据三角形内角和定理求出，再利用直角三角形30度角的性质求出即可； （2）在上截取，连接，得到，根据，推出，根据等边对等角得到，利用外角性质推出，根据三角形内角和求出的度数； （3）在上截取，连接，证明，得到，，由，，得到，推出，进而得到结论． 【详解】解：（1）中，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为1，3； （2）在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．在等边的两边所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且．探究：当M、N分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N边上，且时，之间的数量关系是___________；此时___________； (2)如图2，点M、N在边上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当M、N分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1) (2)结论仍然成立，详见解析 (3)，详见解析 【分析】对于（1），由，可证得是等边三角形，又由是等边三角形，，易证得，然后由直角三角形的性质，即可求得之间的数量关系，此时； 对于（2），在的延长线上截取，连接，可证，即可得，易证得，则可证得，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； 对于（3），首先在上截取，连接，可证，即可得，然后证得，易证得，则可得． 【详解】（1）解：如图1，之间的数量关系． 此时． 理由：∵， ∴是等边三角形. ∵是等边三角形， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∵， ∴， ∴； 故答案为：，． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：， ∴； （3）， 证明：在上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 技巧06：将军饮马模型 《方法技巧》 涉及知识：两点之间线段最短：轴对称：三角形三边关系等. 解题思路：找对称点，实现折转直. 方法：如图，当A',P,B三点共线的时候，PA十PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短). 【典例】 11．如图，点是内任意一点，，，点、分别是射线、上的动点，求周长的最小值． 【答案】的周长最小，最小值为8． 【分析】设点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为E，当点M、N在DE上时，△PMN的周长最小． 【详解】如解图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点，连接、、、． 点关于的对称点为， ，，．。 点关于的对称点为， ，，． ， ， 是等边三角形． ． 的周长为． 此时的周长最小，最小值为8． 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 12．如图，点在内，点M，N分别是点关于，的对称点． (1)求证：； (2)如图2，若，，E，F分别是射线，上的一点，连接，和．求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据对称点的性质，得到线段相等关系，再通过角的关系证明三角形全等，从而得出 （2）利用对称点的性质将三角形的周长转化为线段 的长度，再根据已知条件求出 的长度． 【详解】（1）证明：连接 ∵点 是点 关于 的对称点 ∴ ， ∵点 是点 关于 的对称点 ∴ ， ∴ ； （2）解：连接ME、FN、MN， ∵，， ∴ ∴ ∵点 是点 关于 的对称点 ∴ ， ∵点 是点 关于 的对称点 ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形 ∴ ∵ 的周长 ∴当 、、、 四点共线时， 的周长最小，最小值为 的长度，即 技巧07：等腰三角形与等面积法 《方法技巧》 在等腰三角形中，由于对称性，经常可以把腰作为底边，也可以用底边作为底边，甚至可以用某条线段构造两个不同的小三角形，它们的面积和等于总面积，从而建立等式 【典例】 13．综合与探究 【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法． 如例图，在等腰中，是边上的高，点P是上不与点B，C重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点M，N，即， ∴， ∵，∴． 又∵是边上的高，且为定值，∴为定值． 【类比探究】 （1）如图1，在矩形中，，，点P是上不与点A，D重合的一个动点，连接，过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，可求的值，请写出求解过程． 【深入探究】（2）如图2，在矩形中，点M，N分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处，点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为点E，F，以为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长． 【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点E，D，F．若，请直接写出的面积． 【答案】（1），见解析；（2）24；（3） 【分析】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定、折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理、三角形面积等知识是解题的关键． （1）由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，然后由三角形面积即可得出结论； （2）连接，过点作于，证，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）连接，，，由，求得， 求出，从而求出． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，，，， ，， ，， ， 解得； （2）四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长； （3）如图，连接，，，过点作， 为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角的度数为和底角的度数为，当底角的度数为时，根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：① 当已知的角为顶角时，则顶角的度数是； ② 当已知的角为底角时，则另一个底角也为，顶角的度数为， 综上所述，顶角的度数为或， 故选：C． 2．如图，在中，，，为角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据等腰三角形三线合一的性质，得到，，在中，利用余弦求出，即可得解． 【详解】解：，为角平分线， ，， 在中，， ， ， 故选：C． 3．马扎（图1）是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带．图2为其侧面示意图．，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，等边对等角，根据题意得出，再由对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．若，，则的边长为（   ） A．8 B．9 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程．设的边长为，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：设的边长为，则， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即的边长为12， 故选：C． 5．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，（点在上方），作直线交边于点；在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线．若射线恰好经过点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的作法及性质，角平分线的作法，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．由作图可得垂直平分，平分，推出，，进而可得，最后利用三角形内角和定理列式求解． 【详解】解：由作图得垂直平分，平分， ，， ， ， ， ， 解得， 故选：C． 6．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 7．如图，，连接，取的中点，连接．若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，过点作于点，由直角三角形的性质得，即得，再根据勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在中，点在上，连接；过点作交于点D，交于点，且，在上取一点，使，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握判定定理是解题关键．利用证明，根据全等三角形的性质可得，，可判定①正确，根据等腰三角形的性质可得，即可得出，根据平行线的判定定理可判定②正确；只有，两个条件，无法判定，可判定③错误；综上即可得答案． 【详解】解：和中，， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中，只有，两个条件， ∴无法判定，故③错误； 综上所述：正确的结论为①②， 故选：B． 9．如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为（   ） A．12 B．24 C．27 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴的边长为24． 故选：B． 10．如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．9.6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，勾股定理，等腰三角形的性质，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则，为所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则，为所求的最小值， ∵，D是边上的中点， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，，D是边上的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 11．若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两条腰相等列出算式解答即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，底边长为， ∴腰长为， 故答案为：． 12．已知：如图，P、Q是边上两点，且，则 度． 【答案】60 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质．由已知可得为等边三角形，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 13．如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查的是翻折与直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，利用翻折得，然后用三角形的内角和计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，为的角平分线．与相交于点，平分．有下列四个结论：①；②；③：④若，则．其中正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“”证明，，可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出，利用证明可对④进行判断． 【详解】解：∵，为三角形的角平分线， ∴， ∴，故①正确； 在和中，，但没有相等的边，则和不一定全等， ∴，故②错误； ∵， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 若， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为的角平分线， ∴，， 在和中，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．如图，已知等边三角形，点在上，点在的延长线上，于点于点交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，可以证，进而得出，据此可判断①，证明，，可知，可得，据此可判断②④；根据现有条件无法证明，则可判断③． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， , ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴． ∵ ∴，即．故④正确． 根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 16．如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ∵，， ∴， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 三、解答题 17．如图，在中，，是高．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了利用勾股定理解三角形；先证明是等腰直角三角形，求出，再在中利用勾股定理即可求出. 【详解】解：， ． 是的高， ， ． 在中，． ． ． ． 在中，． ． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中的边上找一点，使得； (2)在图②中画出一个，使，为格点（点不与点重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，答案不唯一 (3)见解析，答案不唯一 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图及等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定等知识，熟知相关性质是正确解答此题的关键． （1）取格点，线段与的交点，即为线段的中点点的位置； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据找出点的位置． 【详解】（1）解：取格点，连接，线段与的交点，即为线段的中点点的位置，如图所示： 理由：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示： 即为求作的， 理由：与，两个三角形的底边都是，高都为4， ； （3）解：如图所示：点与点关于点所在的水平格线轴对称，此时，即为求作的． 19．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由得到，然后等量代换得到，推出，然后结合即可证明是等边三角形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 20．如图，等腰直角三角形中，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形． (1)求证：； (2)当时，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理等知识． （1）通过等腰直角三角形的性质找出对应边和对应角的关系，利用全等三角形的判定定理(SAS)来证明两个三角形全等； （2）先根据等腰直角三角形的边长求出斜边长度，再通过角度关系推出边的关系，进而求出的长度． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，BC、DE为斜边， ， ， 在和中， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）将反比例函数图象上的点的坐标代入其解析式即可； （2）先求出一次函数的解析式，再进而得到与轴的交点坐标，最后通过三角形的面积公式即可求出答案； （3）先设，再根据等腰三角形的判定与性质，分情况讨论即可求值． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点， 将代入得，， 解得，， 反比例函数的解析式为． （2）解：根据题意将代入得，， ． 将和分别代入得， ， 解得，， 一次函数的解析式为， 当时，即， 解得，， ， ， ． （3）解：存在． 设， ， ，，， 当时，， ， 解得，或， ，； 当时，， ， 解得，或（不符合题意，舍去）， ； 当时， ， 解得，， ． 综上，在轴上存在一点P，使得是等腰三角形；点P的坐标为，，，． 22．已知线段，以为斜边作和，连接，M、N分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含α、β的代数式表示） 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质． （1）①根据直角三角形斜边中线的性质得出，再根据等腰三角形“三线合一”即可证明；②易证，则，，即可得出，的度数，则，最后根据等腰三角形的性质即可解答； （2）易证，则，即可得出，的度数，则，最后根据等腰三角形的性质即可解答； 【详解】（1）解：①证明：连接， ∵M是线段的中点，， ∴， ∴， 又∵N是的中点， ∴； ②解：∵M是线段的中点，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵M是线段的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，N是的中点， ∴． 故答案为：． 23．在等边三角形中，，D是所在直线上的一个动点，于点E，于点F． (1)如图①，当D只在线段上移动时（D不与B，C重合），请说明的值是不是一个固定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请举出例子； (2)如图②、图③，当D在的延长线和反向延长线上时，请分别说明和有什么数量关系． 【答案】(1)的值是一个固定值2； (2)D在的延长线和反向延长线上时，和的数量关系分别是，． 【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由等边三角形的性质，直角三角形的性质推出，，于是得到； （2）由等边三角形的性质，直角三角形的性质，当D在延长线上时，推出，，得到，当D在的反向延长线上时，推出，，得到． 【详解】（1）解：的值是一个固定值， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是一个固定值2； （2）解：①当D在的延长线上， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴和数量关系是； ②当D在反向延长线上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴和的数量关系是． 24．在中，，，点D在射线上，连接，将线段绕点A 逆时针旋转得到线段（点E不在直线上），过点E作，交直线于点F．请探究 与的数量关系． (1)先将问题特殊化：如图1，若，点D与点C重合，求证：； (2)再将问题一般化：如图2，点D，F都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)继续探究：若点D在线段上，问题(2)中与的数量关系是否发生变化，请画出图形并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)图与证明见解析 【分析】（1）结合题干容易证明出，则．同时结合，证出四边形是平行四边形，因此，命题得证； （2）在上取一点G，使得，连接，容易证出．结合旋转的性质，可以证出，则，．由可以推出，则，通过等量代换，可以证出； （3）类比（2）的证明过程可得，结论不变． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：结论：， 证明：如图，在上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：结论：不变， 证明：如图，延长至点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴结论不变； 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质和三角形内角和定理，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $