2026年中考数学一轮复习学案 13 角、相交线平行线

中考数学一轮复习学案 13 角、相交线平行线 ​​ ​​ ■考点一　认识几何图形► 1.几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形。 2.立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形。 3.平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形。 4．正方体的展开图（共计11种）： 5.几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形；2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线；3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面；4）体：几何体简称体。 6.组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。 7.拓展：欧拉公式：V+F-E=2，（其中：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E））。 ■考点二　直线、射线、线段的相关概念► 1.直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）基本事实：经过两点有且只有一条直线。 2.线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离。 3.线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC。 ■考点三　角的相关概念► 1.角：有公共端点的两条射线组成的图形。 2.角平分线定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线。 性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB ，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC。 3.度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°。 4.余角和补角及其性质 1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角。 3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 ■考点四　相交线► 1.两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交。 2.垂直定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直。 3.垂直的性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 4.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。 5.三线八角：直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角。 6．对顶角：1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。2）性质：对顶角相等。 ■考点五　平行线的性质与判定► 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 3.平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行． （4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行（同一平面内）。 4.平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补。 5.平行线间的距离 1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。 2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等。 6.除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类： 做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图： ■易错提示► 1. 一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件：1）射线必须在角的内部；2）它把这个角分成两个相等的角； 2. 互为余角、补角是两个角之间的关系,只与角的度数有关，与角的位置无关； 3. 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；但∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角； 4. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件； 5. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不是一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的。 一、单选题 1．如图是一种保温杯，用数学的眼光可将“保温杯”近似地看成（　　） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．圆锥 2．下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A．四叶玫瑰线 B．阿基米德螺线 C．心形线 D．笛卡尔叶形线 3．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（　　） A． B． C． D． 4．下列各图，表示“射线”的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 6．如图，P为线段AB延长线上一点，且AB<BP，点M为线段AP的中点，N为线段 MB的中点，记AM=x，BN=y，若线段AB的长度是定值，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是 ( ) A．x+2y B． C．x+y D．2x+y 7．已知线段 ，在直线AB上作线段BC，使得 ．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 8．下列说法中错误的有(　　) （1）线段有两个端点，直线有一个端点； （2）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关； （3）线段上有无数个点； （4）同角或等角的补角相等； （5）两个锐角的和一定大于直角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中与相等（　　） A． B． C． D． 10．如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得，则点P到直线的距离可能为（　　） A．7m B．6m C．m D．4m 11．如图，下列说法错误的是（　　） A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 12．把含30°角的直角三角尺和一把直尺摆放成如图所示的图形，能使∠1 与∠2 互余的图形有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．若一个角的度数是29°46'，则，则它的余角的度数是　 　. 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于　 　度． 15．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则　 　． 16．如图，直线CD过点O，且∠BOC=2∠AOC，若∠AOB=87°，则∠BOD=　 　. 17．如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是　 　． 18．如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为　 　． 三、解答题 19．如图，BE是的角平分线，在AB上取一点，使. （1）求证：. （2）若，求的度数. 20．如图，已知，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 21．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题. （1）根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则　 　，　 　. 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 m 6 12 正八面体 n 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　 　. （3）一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数. 22．探索发现：（1）如图1，已知直线．若，，求的度数； 归纳总结：（2）根据（1）中的问题，写出图1中之间的数量关系为____________； 实践应用：（3）应用（2）中的结论解答下列问题： ①如图2，点A在B的北偏东的方向上，在C的北偏西的方向上，的度数为____________； ②如图3，已知直线，若，平分平分，求的度数． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意得：可将“保温杯”近似地看成圆柱． 故答案为：C． 【分析】根据“保温杯”的形象和圆柱体相近可得答案． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：A，是轴对称图形，也是中心对称图形，A符合题意； B，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，B不符合题意； C，是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意； D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选A. 故答案为：A . 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 3．【答案】B 【解析】【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，�与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符． 故选B． 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：依题意，射线是指射线的端点在点C上， 故选：B. 【分析】本题考查了射线的定义，其中射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线仅有一个端点，无法测量，根据题意，射线是指端点在点C上，结合选项，据此作答，即可得到答案． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是两点确定一条直线， 故答案为：C． 【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线，即可得到答案． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵M为AP的中点 ∴AP=2AM=2x ∵N为MB的中点 ∴BM=2BN=2y ∴AB=AM-BM=x-2y为定值，故为定值， 而x+2y、x+y、2x+y都不是定值. 故答案：B. 【分析】由中点的概念可知AP=2x，BM=2y，根据AB为定值可得x-2y为定值，即知为定值. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2， ∴AD= AC=1 如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6， ∴AD= AC=3 故答案为：C． 【分析】分类讨论，结合图形求解即可。 8．【答案】B 【解析】【分析】根据平面图形的基本概念依次分析各小题即可判断。 【解答】（1）线段有两个端点，直线没有端点，（5）20°+20°=40°是锐角，故错误； （2）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关，（3）线段上有无数个点，（4）同角或等角的补角相等，正确； 故选B. 【点评】本题是基础应用题，只需学生熟练掌握平面图形的基本概念，即可完成。 9．【答案】B 【解析】【解答】解：A、＋＝180°−90°＝90°，故与 互余，不一定相等，故选项A、C不合题意； B、设的余角为， ∴ ∵ ∴， ∴＝，故选项B符合题意； D、＋＝180°，故与 互补，故选项D不合题意. 故答案为：B． 【分析】由平角定义及角的构成可推出＋＝180°−90°＝90°，据此可判断A、C选项；由同角的余角相等可判断B选项；由邻补角定义可判断D选项. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴点P到直线的距离小于． 故选：D． 【分析】本题考查了点到直线的距离、垂线段最短，从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，其中垂线段最短，结合图形，据此作答，即可得到答案. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：A、∠1和∠3是同位角，故A正确； B、∠1和∠5是内错角，故B错误； C、∠1和∠2是同旁内角，故C正确； D、∠5和∠6是内错角，故D正确； 故答案为：B． 【分析】本题考查三线八角，根据同位角、同旁内角和内错角的定义，据此即可求解． 12．【答案】D 【解析】【解答】解：如图(1)， 如图(2)，延长EF交BC于点H. 是的一个外角， 如图(3)， 如图(4)，过点F作 综上所述，能使与互余的图形有4个. 故答案为：D . 【分析】过折点作已知平行线的平行线，构造出三线八角，然后根据平行线的性质解答即可. 13．【答案】60°14' 【解析】【解答】解：， 故答案为：． 【分析】根据余角的定义解答即可. 14．【答案】70 【解析】【解答】解：∵∠BOD=20°， ∴∠AOC=∠BOD=20°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE=90°， ∴∠COE=90°﹣20°=70°， 故答案为：70． 【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据垂直的定义得出∠AOC+∠COE=90°，即可求得结果。 15．【答案】5 【解析】【解答】解：∵M是AC的中点，N是CB的中点，∴MC=AC，CN=CB， ∴MN=MC+CN=AC+CB=（AC+CB）=×10=5． 【分析】根据中点定义，将表示为，再转化为，而，因此，代入即可求出结果。 16．【答案】122° 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】先根据∠BOC=2∠AOC求出，再利用邻补角的定义求解即可． 17．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACB=2∠DCB， ∵EG∥BC， ∴∠CEG=∠ACB， ∴∠CEG=2∠DCB，故①正确； ∵EG∥BC， ∴∠G+∠GCB=180°， ∵CG⊥EG， ∴∠G=∠GCB=90°， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD=∠BCD， ∵在△ADC中，∠ACD+∠ADC=90°， 又∵∠GCD+∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠GCD，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ∵，， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 【分析】由角平分线的概念可知，∠ACB=2∠DCB，根据平行线的性质，即可判断①；根据平行线和角平分线可得∠ACD=∠BCD，结合三角形的内角和定理结即可判断②；根据已知条件无法推知③；根据三角形外角的性质和角平分线的定义结合周角的定义即可判断④． 18．【答案】/75度 【解析】【解答】解：∠EOF = ∠AOB + ∠BOF - ∠AOE，设∠BOC=x. 因为∠AOE = ∠AOC - ∠EOC = (135° + x) -(135° + x) =(135° + x)， ∠BOF = ∠BOD - ∠DOF = (x + 45°) -(x + 45°) =(x + 45°). 所以∠EOF = 135° +(x + 45°) -(135° + x) = 135° +(x + 45° - 135° - x) = 135° + × (-90°) = 135° - 60° = 75°。 因此，∠EOF的度数为75°。 故答案为： . 【分析】本题的解题思路是先根据已知角度和射线位置关系，设出中间角∠BOC为x，然后用含x的式子表示出∠AOC和∠BOD。接着根据题目给出的比例关系，表示出∠EOC和∠DOF。关键的一步是找到∠EOF的正确组合方式，∠EOF = ∠AOB + ∠BOF - ∠AOE，这样代入化简后x正好抵消，得到固定值75°。 19．【答案】（1）解：∵ BE是的角平分线， ∴，又∵，∴，故，∴. （2）解：∵，∴，又∵在中，，∴， 又∵BE是的角平分线，∴. 【解析】【分析】（1）根据题意可得：，再根据等腰三角形的性质可得：，进而即可得到：，再根据定理内错角相等，两直线平行即可证明结论； （2）根据（1）的结论结合平行线的性质及三角形的内角和定理即可求得：，进而即可求得答案. 20．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 【解析】【分析】（1）本题考察直角三角形的性质和平行线的判定，由可得，在中，根据三角形内角和为，已知，可计算出。又因为，所以，根据“内错角相等，两直线平行”，可证明。 （2）本题考察平行四边形的判定与性质，由（1）已证，又已知，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形。根据平行四边形的性质，对角相等，因此。 （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 21．【答案】（1）8；6 （2）V+F-E=2 （3）解：由题意得：F+F-30=2， 解得F=16， ∴这个多面体的面数为16. 【解析】【解答】解：观察图形，长方体的顶点数为8；正八面体的顶点数为6； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 故答案为：8；6； （2）观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2； 故答案为：V+F-E=2； 【分析】（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可； （2）观察表格可得V、F、E之间的关系； （3）根据（2）中，顶点数，面数和棱数之间的关系式，代入求解即可. 22．【答案】解：（1）过点P作PQ//AC，如图所示： ∵AC//BD， ∴AC//QP//BD， ，， ． （2）； （3）①83°； ②∵AC//BD，∠CAP=30°，设∠PBD=α， ∴∠APB=∠CAP+∠PBD=30°＋α. 平分∠APB， . ∵BF平分， . ∴. 【解析】【解答】解：（2）由（1）可得：； 故答案为：； （3）①由（2）知，∠DBA=40°，∠ACE=43°， ， 故答案为：83°； 【分析】（1）过拐点作平行线，由平行线的性质和平行公理可得∠ACP=∠CPQ，∠QPD=∠BDP，相加即可得到结论； （2）由（1）的推理过程即可得出答案； （3）①由（2）的结论即可求解； （3）②设∠PBD=α，由（2）的结论和角平分线的定义得，由角平分线的定义和平行线的性质得，相减即可得到结论. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $