7.4.1二项分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.1二项分布 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 【知识点1】独立重复试验的概念 （1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验； （2）定义：将一个伯努利实验独立地重复进行次所组成的随机试验称为n重伯努利实验； （3）特征：①同一个伯努利实验重复做n次；②各次试验的结果______. 【知识点2】独立重复试验的概率问题 问题： 次独立重复试验必须具备哪些条件？ 【知识点3】二项分布的概念 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为____________________________．如果随机变量X的分布列具有上述的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作_____________，且有_______，_________. 【知识点4】二项分布的判断 判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件． ①对立性：在一次试验中，事件发生与否必居其一． ②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件发生的概率都是同一常数． ③固定次数：试验次数是固定的正整数. 由上可以发现：两点分布是一种特殊的二项分布、即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布. 【知识点5】二项分布中几个重要的补充 ①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. ②二项分布的增减性与最大值记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. ③正好是二项式的展开式中的第项，故称随机变量服从二项分布,且 【知识点6】两点分布的概念 如果随机变量只取值0或1，且其概率分布是，______，，则称随机变量服从两点分布，记作______．且有_______，_________. 【知识点7】二项分布与两点分布有何关系？ 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 2．设随机变量，若，则p=（   ） A． B． C． D． 3．若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 4．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 7．抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 9．（多选）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（   ） A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 10．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 三、填空题 12．在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为______． 13．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 14．已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标__________次. 四、解答题 15．设甲、乙两位同学在2026年元旦放假期间(共3天)，每天参加体育锻炼的概率均为，且甲、乙两人的锻炼情况互不影响，每位同学每天锻炼情况相互独立. (1)用表示甲同学在2026年元旦放假期间锻炼的天数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)在2026年元旦放假的三天中，求“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”的概率. 16．某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列. 17．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 18．某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响. (1)求顾客获得一等奖的概率； (2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率. 19．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. (2)当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.1二项分布 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 【知识点1】独立重复试验的概念 （1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验； （2）定义：将一个伯努利实验独立地重复进行次所组成的随机试验称为n重伯努利实验； （3）特征：①同一个伯努利实验重复做n次；②各次试验的结果______. 【答案】相互独立 【知识点2】独立重复试验的概率问题 问题： 次独立重复试验必须具备哪些条件？ 【答案】①每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变；②各次试验结果互不影响；③每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的． 【知识点3】二项分布的概念 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为____________________________．如果随机变量X的分布列具有上述的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作_____________，且有_______，_________. 【答案】 【知识点4】二项分布的判断 判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下三个条件． ①对立性：在一次试验中，事件发生与否必居其一． ②重复性：试验可以独立重复地进行，且每次试验事件发生的概率都是同一常数． ③固定次数：试验次数是固定的正整数. 由上可以发现：两点分布是一种特殊的二项分布、即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式，二项分布中的每次试验的结果都服从两点分布. 【知识点5】二项分布中几个重要的补充 ①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是 与. ②二项分布的增减性与最大值记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. ③正好是二项式的展开式中的第项，故称随机变量服从二项分布,且 【知识点6】两点分布的概念 如果随机变量只取值0或1，且其概率分布是，______，，则称随机变量服从两点分布，记作______．且有_______，_________. 【答案】 【知识点7】二项分布与两点分布有何关系？ 【答案】（1）两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X=1)或不发生(X=0)；二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生次数X的分布列，试验次数为n次（每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生），试验结果有n+1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，……，n次．（2）二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1的二项分布． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】由题意得 故选：D. 2．设随机变量，若，则p=（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】根据二项分布的分布列可得，可解问题. 【详解】根据随机变量， 且，可得. 故选：C 3．若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二项分布的方差、利用二项分布求分布列 【分析】由二项分布的方差公式列方程求得，再由二项分布的概率求法求概率. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：B 4．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二项分布求分布列、独立事件的乘法公式 【分析】利用二项分布概率公式求解即可. 【详解】由未来连续3天每天下雨的概率均为，可知这3天中只有1天下雨的概率为：， 故选：A. 5．已知随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】独立重复试验的概率问题、二项分布的方差、二项分布的均值 【分析】根据二项分布的期望、方差公式得到方程组，求出、，再由二项分布的概率公式计算可得. 【详解】因为，且，， 所以，解得，即， 所以. 故选：D 6．若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A． B．10 C． D．11 【答案】C 【知识点】求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】根据求出，根据的分布列求出的分布列，再求期望可得答案. 【详解】因为，所以 因为，所以， 解得， ，， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 所以的分布列为 0 1 4 9 16 25 36 所以 . 故选：C. 7．抛掷一枚质地均匀的硬币8次，若正面朝上次的概率最大，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】二项式系数的增减性和最值、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】由二项分布的概率公式计算的概率，再结合组合数性质即可得解. 【详解】设抛掷一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上次，则， 则正面朝上次的概率为， 所以. 故选：A. 8．如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（    ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】利用n次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件进行求解. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C 二、多选题 9．（多选）下列例子中随机变量不服从二项分布的是（   ） A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 B．某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数 C．从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数 D．有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数 【答案】BCD 【知识点】独立重复试验的概率问题、判断随机试验中的随机变量 【分析】二项分布需满足固定次数n次独立重复试验、每次试验只有两个对立结果、成功概率p恒定、随机变量表示成功的次数这四大核心条件，据此逐项分析. 【详解】对于A：满足独立重复试验的全部条件，随机变量表示固定次数试验中成功的次数，服从二项分布； 对于B：的取值是，，显然不符合固定次数和成功概率恒定，因此不服从二项分布； 对于C:随机变量定义为 “直到摸出白球为止的试验次数”，本质是刻画 “首次摸到白球” 的试验次数，并非二项分布要求的 “固定n次试验中摸到白球的次数”，不符合二项分布的定义； 对于D：试验为不放回抽样，每次试验的概率会随抽样结果变化，不满足二项分布 “独立重复、概率恒定” 的条件，故不服从二项分布． 故选：BCD. 10．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、利用随机变量分布列的性质解题、二项分布的方差、二项分布的均值 【分析】根据二项分布的均值，方差以及概率公式逐项求解判断. 【详解】对于A：由，所以，所以A错误； 对于B：，所以B错误； 对于C：，所以C正确； 对于D：，所以D正确． 故选：CD. 11．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 【答案】BC 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、二项分布的均值 【分析】由已知，确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D. 【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为， 则，则，， 故A错误，B正确； 对于C，由题意一天至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为______． 【答案】 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、独立重复试验的概率问题、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用二项分布的概率公式求解. 【详解】记“A至少发生1次”为事件，则表示其对立事件“A发生0次”， 事件A的发生符合二项分布，设事件A在1次试验中出现的概率为p， ， 所以， 所以，解得 ，      故答案为：． 13．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 【答案】 【知识点】利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题 【分析】由已知可判断随机变量，利用二项分布的概率公式计算，即与的概率之和. 【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品（试验）取得次品（成功）的概率为， 从中取3次（做3次试验），为取得次品（成功）的次数，则， ． 故答案为： 14．已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标__________次. 【答案】8或9 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】根据题意，击中目标的次数，设最大，列式运算得解. 【详解】设击中目标的次数为，由题可知，击中目标的次数， 则， 令，即， 化简得，解得，又， 所以最有可能击中目标8或9次. 故答案为：8或9. 四、解答题 15．设甲、乙两位同学在2026年元旦放假期间(共3天)，每天参加体育锻炼的概率均为，且甲、乙两人的锻炼情况互不影响，每位同学每天锻炼情况相互独立. (1)用表示甲同学在2026年元旦放假期间锻炼的天数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)在2026年元旦放假的三天中，求“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”的概率. 【答案】(1)分布列见解析，1 (2) 【知识点】二项分布的均值、互斥事件的概率加法公式、利用二项分布求分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由题意，然后利用二项分布求出分布列并求出数学期望； （2）设乙同学元旦放假的三天中参加体育锻炼的天数为，则，记事件为“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”，则，然后利用互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【详解】（1）因为甲同学元旦放假的三天中锻炼情况相互独立，且每天参加体育锻炼的概率均为，故， 从而 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望. （2）设乙同学元旦放假的三天中参加体育锻炼的天数为，则. 记事件为“甲同学参加体育锻炼的天数比乙同学参加体育锻炼的天数恰好多2天”， 则. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由（1）知： . 16．某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）应用独立重复试验概率及互斥事件概率和公式计算求解； （2）应用二项分布求解概率，再应用得出分布列. 【详解】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 17．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值，并计算这300名市民评分的平均数； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)；这300名市民评分的平均数为. (2)分布列见解析， 【知识点】利用二项分布求分布列、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、二项分布的均值、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，即可求得实数的值；再由平均数的公式求出这300名市民评分的平均数； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值. 【详解】（1）解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得. 这300名市民评分的平均数为： . 所以这300名市民评分的平均数为：. （2）解因为评分在分以上的市民所占的频率为， 由题意可知，， 所以，，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 18．某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响. (1)求顾客获得一等奖的概率； (2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）先求出6个球中随机摸取2个球的情况数，再求从2个红球中随机摸取2个红球的情况数，进而可求得顾客获得一等奖的概率； （2）先求不获奖的概率，设3名顾客中获奖的人数为，服从二项分布，进而可求. 【详解】（1）设事件为“顾客获得一等奖”， 从6个球中随机摸取2个球的情况数为种， 从2个红球中随机摸取2个红球的情况数为种 则. （2）由题意得每次抽奖独立，则不获奖的概率为，则获奖的概率为， 设3名顾客中获奖的人数为，则， 则， ， 所以. 19．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. (2)当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)， 【知识点】二项分布的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用二项分布求分布列 【分析】（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可； （2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可. 【详解】（1）对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为， 由题意可知，的可能取值有，且， 则，， ，， 则的分布列如下： 则数学期望为； （2）由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为， 由，得， 因为为正整数，所以， 则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $