18 第三章 第八节 二次函数的综合应用-【智乐星中考·中考备战】2026年山东省中考数学全练本PPT课件（六三制）

1 2 第八节　二次函数的综合应用 建议用时：60分钟 3 【拔高练·能力提升】 1.【一题多设问】 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的解析式. 解:(1)把A(-3,0),B(1,0)分别代入y=ax2+bx+2中得 解得 ∴二次函数的解析式为y=-x2-x+2. 1 3 题序 2 4 (2)如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作 MN∥y 轴交直线AC于点N， 当点M的坐标为多少时，线段MN有最大值？并求出其最大值. 1 3 题序 2 5 解：(2)易知C(0，2)，设点M的坐标为(x，-x2-x+2). 设直线AC的解析式为y=kx+b'. 将A(-3，0)，C(0，2)代入得解得 ∴直线AC的解析式为y=x+2， 1 3 题序 2 6 则点N的坐标为(x，x+2)， ∴MN=-x2-x+2-x-2=-x2-2x=-(x+)2+. ∵-<0，∴当x=-时，线段MN的长有最大值，最大值为，此时，点M的坐标为(-). 1 3 题序 2 7 (3)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QC+QB的值最小？若存在，求出点Q的坐标及QC+QB的最小值；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 8 解：(3)存在. 如图，连接AC，BQ. ∵Q为抛物线对称轴上一点， ∴QA=QB，∴QC+QB=QC+QA. 当Q，A，C三点共线时，QC+QB的值最小. 直线AC与抛物线对称轴的交点即为点Q. 由(2)得直线AC的解析式为y=x+2. 1 3 题序 2 9 ∵二次函数的解析式为y=-x2-x+2， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1. 将x=-1代入y=x+2得y=， ∴点Q的坐标为(-1，)， QC+QB的最小值为AC==. 1 3 题序 2 10 (4)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使|QA-QC|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及|QA-QC|的最大值；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 11 解：(4)存在. 由题知抛物线的对称轴为直线x=-1，A(-3，0)，B(1，0). ∵点Q在对称轴上，∴QA=QB， ∴|QA-QC|=|QB-QC|≤BC， 即当Q，B，C三点共线时，|QA-QC|的值最大. 易知C(0，2)，由点B(1，0)，C(0，2)可求得直线BC的解析式为y=-2x+2， 令x=-1，可得y=2+2=4， ∴存在满足条件的点Q，其坐标为(-1，4)，|QA-QC|的最大值为BC==. 1 3 题序 2 12 (5)如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作MN∥y轴交直线AC于点N， 作ME⊥AC于点E，当△MEN的周长有最大值时求出点M的坐标，并求出△MEN周长的最大值. 1 3 题序 2 13 解：(5)∵MN∥y轴，∴∠ACO=∠MNE. 又∵∠AOC=∠NEM=90°，∴△MNE∽△ACO，∴==. ∵OC=2，OA=3，∴AC=， ∴NE=MN，ME=MN，∴C△MEN=MN+NE+ME=(1+)MN， ∴当MN最大时，△MEN的周长有最大值. 由(2)知，MN的最大值为，M(-)，则△MEN的周长的最大值为+. 1 3 题序 2 14 (6)如图，点Q，P分别是抛物线的对称轴、直线BC上的动点，△OQP的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时点Q的坐标及△OQP的周长的最小值；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 15 解：(6)存在. 如图，作点O关于直线x=-1的对称点O'，关于直线BC的对称点O″，连接O'O″交直线x=-1于点Q，交直线BC于点P，此时△OQP的周长最小， ∴点O'的坐标为(-2，0). 设OO″交直线BC于点H，过点O″作O″M⊥x轴于点M. ∵B(1，0)，C(0，2)， ∴OB=1，OC=2， ∴tan∠OCB=，sin∠OCB=. 1 3 题序 2 16 由轴对称的性质可知∠OHB=90°，OH=O″H， ∴∠OCB+∠COH=90°，∠BOH+∠COH=90°， ∴∠OCB=∠BOH，∴sin∠BOH===， ∴BH=，OH=2BH=，OO″=， ∴O″M=，∴OM=，∴O″()，∴直线O'O″的解析式为y=x+. 当x=-1时，y=，∴点Q的坐标为(-1，)， C△OQP最小=O'O″==. 1 3 题序 2 17 (7)如图，若点D为OC的中点，点P是抛物线对称轴上一动点，点Q是x轴上一动点，求当四边形CPQD的周长最小时点P，Q的坐标，并求出四边形CPQD周长的最小值. 1 3 题序 2 18 解：(7)如图，作点C关于对称轴的对称点M，点D关于x轴的对称点N，连接MN，与对称轴交于点P，与x轴交于点Q，则点P，Q即为所求. 易得D(0，1)，M(-2，2)，N(0，-1)， 则MN=，易得直线MN的解析式为y=-x-1. 当x=-1时，y=，∴P(-1，). 令-x-1=0，解得x=-，∴Q(-，0)， ∴当P(-1，)， Q(-，0)时，四边形CPQD的周长最小，最小值为MN+CD=+1. 1 3 题序 2 19 (8)如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，连接MO，交AC于点D，当的值最大时，求点M的坐标及的最大值. 1 3 题序 2 20 解：(8)如图，过点M作MN∥y轴，交AC于点N. ∵MN∥y轴，∴∠NMD=∠COD. 又∵∠MDN=∠ODC，∴△MDN∽△ODC， ∴=. ∵OC=2，为定值， ∴当MN取最大值时，取得最大值. 由(2)知MN的最大值为，∴的最大值为， 此时，点M的坐标为(-). 1 3 题序 2 21 2.【一题多设问】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-x+2的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)点Q是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点Q，使S△ACQ=10？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 22 解：(1)存在. 理由如下： 如图，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，QC. 设Q(m，-m2-m+2)，则QE=-m，OE=m2+m-2，CE=m2+m， ∴S△ACQ=S梯形AOEQ+S△AOC-S△CEQ=(3-m)×(m2+m-2)+×3×2-(m2+m)×(-m) =10， 整理得m2+3m-10=0，解得m1=-5，m2=2， ∴点Q的坐标为(-5，-8)或(2，-). 1 3 题序 2 23 (2)如图，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM的面积最大？若存在，求出点M的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 24 解：(2)存在. 理由如下： 如图，过点M作MN⊥x轴交AC于点N. ∵S△ACM=|xA-xC|·MN=MN， ∴当MN的值最大时，S△ACM取得最大值. 易知C(0，2)，设点M的坐标为(x，-x2-x+2). 设直线AC的解析式为y=kx+b. 将A(-3，0)，C(0，2)代入得解得 1 3 题序 2 25 ∴直线AC的解析式为y=x+2， 则点N的坐标为(x，x+2)，∴MN=-x2-x+2-x-2=-x2-2x=-(x+)2+. ∵-<0， ∴当x=-时，线段MN的长有最大值，最大值为， 此时S△ACM=×=， ∴当M(-)时，面积有最大值，最大值为. 1 3 题序 2 26 (3)如图，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设四边形APCB的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标. 1 3 题序 2 27 解：(3)由(2)知直线AC的解析式为y=x+2. 如图，过点P作PG∥y轴交AC于点G. 设P(t，-t2-t+2)，则G(t，t+2)， ∴PG=-t2-t+2-t-2=-t2-2t， ∴S=S△ACB+S△APC=×2×(3+1)+×3×(-t2-2t)=-t2-3t+4=-(t+)2+. ∵点P在直线AC上方，∴-3<t<0， ∴当t=-时，S有最大值，最大值为， 此时，点P的坐标为(-). 1 3 题序 2 28 (4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 29 解：(4)存在. 由题易知抛物线的对称轴为直线x=-1， 设点Q的坐标为(-1，m). ∵点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)， ∴CQ2=(-1-0)2+(m-2)2=m2-4m+5， BQ2=(-1-1)2+(m-0)2=m2+4， BC2=(0-1)2+(2-0)2=5. 1 3 题序 2 30 如图，分三种情况考虑： ①当BQ=BC时，m2+4=5， 解得m1=-1，m2=1， ∴Q1(-1，-1)，Q2(-1，1). ②当CQ=BC时，m2-4m+5=5， 解得m3=0，m4=4， ∴Q3(-1，0)，Q4(-1，4). 当点Q的坐标为(-1，4)时，点Q，B，C在一条直线上，不符合题意，舍去Q4. 1 3 题序 2 31 ③当QB=QC时，m2+4=m2-4m+5， 解得m5=，∴Q5(-1，). 综上所述，抛物线的对称轴上存在点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为(-1，-1)或(-1，1)或(-1，0)或(-1，). 1 3 题序 2 32 (5)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为直角三角 形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 33 解：(5)存在. 由题知抛物线的对称轴为直线x=-1. ∵A(-3，0)，C(0，2)， ∴AC2=(-3-0)2+(0-2)2=13. 设点Q的坐标为(-1，y)，则QA2=(-1+3)2+(y-0)2=4+y2，QC2=(-1-0)2+ (y-2)2=y2-4y+5. 分三种情况考虑： ①若∠QAC=90°，则QA2+AC2=QC2， 即4+y2+13=y2-4y+5，解得y=-3， ∴点Q1的坐标为(-1，-3)； 1 3 题序 2 34 ②若∠QCA=90°，则QC2+AC2=QA2， 即y2-4y+5+13=4+y2，解得y=， ∴点Q2的坐标为(-1，). ③若∠CQA=90°，则QC2+QA2=AC2， 即y2-4y+5+4+y2=13， 解得y1=+1，y2=1-， ∴点Q3的坐标为(-1，+1)，Q4(-1，1-). 综上所述，所求点Q的坐标为(-1，-3)或(-1，)或(-1，+1)或(-1，1-). 1 3 题序 2 35 (6)如图，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 36 解：(6)存在. 如图，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1， Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点. 过点Q1作Q1D⊥y轴于点D. ∵∠BCQ1=90°，∴∠Q1CD+∠OCB=90°. 又∵在Rt△OBC中，∠OCB+∠CBO=90°， ∴∠Q1CD=∠CBO. 1 3 题序 2 37 又∵Q1C=BC，∠Q1DC=∠COB，∴△Q1CD≌△CBO(AAS)， ∴DQ1=OC=2，CD=OB=1，∴OD=OC+CD=3，∴Q1(2，3). 同理求得Q2(3，1)，Q3(-1，-1)，Q4(-2，1). 综上所述，存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形，点Q的坐标为(2，3)或(3，1)或(-1，-1)或(-2，1). 1 3 题序 2 38 (7)如图，点Q是直线AC上方抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E. 是否存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 39 解：(7)存在. 设E(n，0)，则BE=1-n，QE=-n2-n+2. 假设以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似，则有两种情况： ①若△BEQ∽△AOC，则 =， 即=，化简得n2+n-2=0， 解得n1=-2，n2=1(与点B重合，舍去)， ∴n=-2，QE=2，∴Q(-2，2). 1 3 题序 2 40 ②若△QEB∽△AOC，则 =， 即=，化简得4n2-n-3=0， 解得n1=-，n2=1(与点B重合，舍去)， ∴n=-，QE=，∴Q(-). 综上所述，存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似，点Q的坐标为(-2，2)或(-). 1 3 题序 2 41 3. 如图，二次函数y=x2-2mx-2m-1(m>0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F. 连接AC，BD. (1)若m=1，求点B和点C的坐标. (2)若∠ACO=∠CBD，求m的值. 1 3 题序 2 42 (3)若在第一象限内二次函数y=x2-2mx-2m-1(m>0)的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°. 请结合函数的图象，直接写出m的取值范围. 1 3 题序 2 43 解：(1)当m=1时， y=x2-2x-3. 当y=0时， x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴B(3，0). 令x=0，则y=-3，∴C(0，-3). (2)当y=0时， x2-2mx-2m-1=0，解得 x1=-1，x2=2m+1. ∵点A在点B的左侧， 且m>0，∴A(-1，0)，B(2m+1，0). ∵当x=0时， y=-2m-1，∴C(0， -2m-1)， ∴OB=OC=2m+1. ∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°. 1 3 题序 2 44 如图， 连接AE. ∵y=x2-2mx-2m-1=(x-m)2-(m+1)2， ∴D(m，-m2-2m-1)，F(m，0)， ∴DF=(m+1)2，OF=m，BF=m+1. ∵A，B关于对称轴对称， ∴AE=BE， ∴∠EAB=∠OBC=45°，∴AE⊥BC. 1 3 题序 2 45 ∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC， ∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF. ∵EF∥OC，∴tan∠ACE====. ∵tan∠DBF==m+1=tan∠ACE， ∴=m+1，∴m=1 或-1. ∵m>0，∴m=1. (3)0<m<. 1 3 题序 2 46 47 $