06 专题六 规律探索题-【智乐星中考·中考备战】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（六三制）

1 2 专题六　规律探索题 3 目 录 中考命题研究 专题分类突破 4 类型 命题趋势 数学思维 图形规律 图形累加规律探索 1. 考什么 一般以选择题或填空题的形式进行考查，规律的探索问题包括两类：图形规律、数式规律 2. 怎么考 规律探索题也是归纳猜想型问题，其特点是给出几个具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而猜想并归纳出一般性的结论 逻辑推理思维 数形结合思维 图形成倍递变规律探索 点的坐标规律探索 数式规律 数字规律探索 数字循环类规律探索 等式规律探索 5 类型1 图形规律 考法❶　图形累加规律探索 1. 【新考法·学科融合】(2025·烟台福山一模)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子. 第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是90，则n的值为(　　) A. 40 B. 42 C. 44 D. 46 6 【解析】 由所给图形可知, 第1种化合物分子结构模型中,氢原子的个数为4=1×2+2; 第2种化合物分子结构模型中,氢原子的个数为6=2×2+2; 第3种化合物分子结构模型中,氢原子的个数为8=3×2+2; …… ∴第n种化合物分子结构模型中,氢原子的个数为(2n+2). 令2n+2=90, 解得n=44, ∴第44种化合物分子结构模型中氢原子的个数为90. 故选C. 7 【思维点拨】 (1)标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”. (2)数图形个数：数出每组图形的个数. (3)找关系：将后一个图形与前一个图形进行对比，变化的和不变的分别是什么，猜想出图形变化规律，找到第n项(某项)的个数与序号n的关系. ①作差：一般适用于基础图形固定累加，通过作差观察累加个数，然后按照定量变化推导出关系式. ②作商：一般适用于基础图形递变累加，通过作商来观察图形个数. ③将图形个数与n进行对比，寻找是否存在与n有关的倍数、平方、平方加1、平方减1等关系. 8 (4)验证：代入序号验证所归纳的结论是否正确. 运用逻辑推理的思维，一步步进行分析与推导，最终得出正确的规律. 9 2. (2025·重庆)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是(　　) A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 10 【解析】 第①个图中有4个圆点, 第②个图中有8个圆点, 第③个图中有12个圆点, 第④个图中有16个圆点, …… 则第n个图中有4n个圆点, ∴第⑥个图中圆点的个数是4×6=24. 故选C. 11 考法❷　图形成倍递变规律探索 3. (2025·江西)如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC， AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；……依此类推，则△AnBnCn的面积为(　　) A. ()n+1 B. ()n C. ()n D. ()n-1 12 【解析】 ∵点A1,B1,C1分别为边AC,BC,AB的中点, ∴B1C1=AC,A1C1=BC,A1B1=AB, ∴△A1B1C1∽△ABC,相似比为. ∵△ABC的面积为1, ∴△A1B1C1的面积为()2×1=, 同理得△A2B2C2的面积为()2, …… ∴△AnBnCn的面积为()n.故选C. 13 4. (2025·青海)如图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程. 按此规律下去， 第⑥个图形中黑色三角形的个数是__________.   243 14 【解析】 第①个图形中有30=1(个)黑色三角形, 第②个图形中有31=3(个)黑色三角形, 第③个图形中有32=9(个)黑色三角形, 第④个图形中有33=27(个)黑色三角形, …… 按此规律,第⑥个图形中有35=243(个)黑色三角形. 故答案为243. 15 5. (2025·自贡)如图，在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，AB=DC=2. 以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，以点C为圆心，CE1的 长为半径画弧，交CD于点D1，过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1；再以 点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，以CF2的长为半径画 弧，交DC于点D2，过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2；又以点E2为圆心 ……重复以上操作，则D2 025F2 025的长为__________.   ()2 025 16 【解析】 ∵在△ABC中,AC=BC,CD⊥AB于点D,AB=DC=2, ∴AD=BD=1,∠ACD=∠BCD, ∴AC=BC==. ∵以点B为圆心,DB的长为半径画弧,交BC于点E1, ∴BE1=BD=1, ∴CE1=BC-BE1=-1. ∵以点C为圆心,CE1的长为半径画弧,交CD于点D1, ∴CD1=CE1=-1. 17 ∵过点D1作D1F1⊥DC,交AC于点F1, ∴AD∥D1F1,∴△CD1F1∽△CDA, ∴==,即==, ∴D1F1=,CF1=. ∵以点F1为圆心,F1D1的长为半径画弧,交AC于点F2, ∴F1F2=D1F1=, ∴CF2=CF1-F1F2=3-. 18 ∵以点C为圆心,CF2的长为半径画弧,交DC于点D2, ∴CD2=CF2=3-. ∵过点D2作D2E2⊥DC,交BC于点E2, ∴∠CD2E2=∠CD1F1=90°. 又∵∠D2CE2=∠D1CF1,∴△CD2E2∽△CD1F1, ∴=,则=, ∴D2E2=()2. 19 同理可得D3F3=()3,D4E4=()4,…… ∴D2 025F2 025的长为()2 025. 故答案为()2 025. 20 【思维点拨】 ①记首次值：根据题意可记第一次变换前的线段长(周长或面积)为a. ②计算变换值：通过计算得到第一次变换后、第二次变换后、第三次变换后……的线段长(周长或面积). ③找关系：观察、归纳出后一个线段长(周长或面积)与前一个线段长(周长或面积)之间存在的倍数关系n，列出关系式. ④得结论：第M次变换后，根据n，M，a之间的关系，求得线段长(周长或面积). 运用逻辑推理的思维，按步骤分析验证. 21 考法❸　点的坐标规律探索 6. (2025·山东)如图，取直线y=-x上一点A1(x1，y1)，①过点A1作x轴的垂线， 交 y= 的图象于点A2(x2，y2)；②过点A2作y轴的垂线，交y=-x的图象于点 A3(x3，y3)；……如此循环进行下去. 按照上面的操作，若点A1的坐标为 (1，-1)，则点A2 025的坐标是________.   (1，-1)　 22 【解析】 如图. ∵点A1的坐标为(1,-1), ∴点A2的横坐标为1, ∴点A2的坐标为(1,1), ∴点A3的纵坐标为1, ∴点A3的坐标为(-1,1), ∴点A4的横坐标为-1, ∴点A4的坐标为(-1,-1), ∴点A5的坐标为(1,-1), …… 23 ∴每四个点为一个循环. ∵2 025÷4=506……1, ∴点A2 025的坐标与点A1相同,∴点A2 025的坐标是(1,-1). 故答案为(1,-1). 24 【思维点拨】 ①记首次值：根据题意可记第一次变换前关键点的坐标. ②计算变换值：通过计算得到第一次变换后的坐标，第二次变换后的坐标，第三次变换后的坐标，…… ③找关系：观察、归纳出后一个坐标与前一个坐标之间存在的倍数关系(或点的坐标之间的循环情况)，列出关系式(或每一个循环内点的坐标). ④得结论：第n次变换后，根据点坐标的变化规律，得出结论，并验证. 运用逻辑推理的思维，按步骤分析验证. 25 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA=OB=4， 连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x 轴于点B1；过点B1 作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x 轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点 A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；……按照此规律操作下去，则点A2 025的 坐标为________________.   (4-) 26 【解析】 在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B在x轴上,OA=OB=4, ∴△OAB 是等腰直角三角形,∠OBA=45°. ∵OA1⊥AB,∴△OA1B 是等腰直角三角形. 同理可得△OA1B1,△A1B1B均为等腰直角三角形,∴A1(2,2), 根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形,依次可得 A2(3,1),A3(4-,),A4(4-,)… 由此可推出点A2 025的坐标为(4-,). 故答案为(4-,). 27 类型2 数式规律 考法❶　数字规律探索 8. 观察下列一组数：-1，，-，-，…它们是按照一定规律排列 的，那么这组数的第n个数是(　　) A. B. (-1)n C. (-1)n D. (-1)n 28 【解析】 观察可知,这组数中的第奇数个数是负数,第偶数个数是正数, ∴这组数的第n个数的符号为(-1)n. 分数的分子为从1开始的连续的奇数, ∴这组数的第n个数的分子为(2n-1). 分数的分母依次扩大2倍,且第一个分数的分母为1, ∴这组数的第n个数的分母为2n-1. ∴这组数的第n个数为(-1)n. 故选C. 29 9. (2025·泰安东平二模)已知一列数a1，a2，a3，…中，a1=2，a2=6且=an+1·an-1(n为正整数，且n≥2)，则a2 025=(　　) A. 2×()2 025 B. 2×()2 024 C. 2×32 025 D. 2×32 024 30 【解析】 由题意得=a3·a1,则36=2a3, 解得a3=18=2×32. =a4·a2,则182=6a4, 解得a4=54=2×33, …… ∴an=2×3n-1, ∴a2 025=2×32 024. 故选D. 31 考法❷　数字循环类规律探索 10. (2025·泰安新泰二模)若一列数a1，a2，a3，…，a2 025，满足任意相邻三 个数的和都相等，且a2=-5，a6=4，a10=2，则a1+a2+a3+…+a2 025=(　　) A. 670 B. -675 C. 677 D. 675 32 【解析】 由条件可知a1+a2+a3=a2+a3+a4=a3+a4+a5=…, ∴a1=a4=a7=…=a2 023=2,a2=a5=a8=…=a2 024=-5,a3=a6=a9=…=a2 025=4, ∴这列数为2,-5,4,2,-5,4,…,按2,-5,4为一组循环出现. ∵2 025÷3=675, ∴a1+a2+a3+a4+…+a2 025=675×(2-5+4)=675. 故选D. 33 【思维点拨】 (1)找关系：计算每一个数的值，根据结果找到1个循环周期内数的个数n. (2)求余数：求第M个数，则有M÷n=W……q(q为整数，0≤q<n). ①若q≠0，则与1个循环周期内第q个数相同； ②若q=0，则与1个循环周期内最后一个数相同. (3)得结论：结合推理得到的循环周期及倍数关系，确定数字末尾、点坐标、线段长、面积等结论. 34 11. 【新考法·新定义】(2025·潍坊高密三模)a是不为2的有理数，我们 把称为a的“关联数”. 如：3的“关联数”是=-2，-2的“关联数”是=. 已知a1=4，a2是a1的“关联数”，a3是a2的“关联数”，a4是a3的 “关联数”，……依此类推，则a2 025=________.   4 35 【解析】 ∵a1=4,∴a2==-1,a3==,a4==,a5==4,… ∴这些数每4个数为一个循环. ∵2 025÷4=506……1, ∴a2 025=a1=4. 故答案为4. 36 考法❸　等式规律探索 12. 观察下列等式： (x-1)(x+1)=x2-1； (x-1)(x2+x+1)=x3-1； (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1； … 根据以上规律计算42 025+42 024+42 023+…+43+42+4的值是(　　) A. B. C. D. 37 【解析】 当x=4时,有(4-1)×(42 025+42 024+…+4+1)=42 026-1, 左边可化简为3×(42 025+42 024+…+4+1)=42 026-1. ∴42 025+42 024+42 023+…+43+42+4+1=, ∴42 025+42 024+…+4=-1==. 故选C. 38 13. 【数学文化】1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》 中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”. 观察“杨辉三 角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律可得(a+b)5展开的多项式中各项 系数之和为________.   32 39 【解析】 观察“杨辉三角”与右侧的等式图,可以发现: 当n=1时,(a+b)1展开的多项式中各项系数之和为2, 即1+1=2=21; 当n=2时,(a+b)2展开的多项式中各项系数之和为4, 即1+2+1=4=22; 当n=3时,(a+b)3展开的多项式中各项系数之和为8, 即1+3+3+1=8=23; 40 当n=4时,(a+b)4展开的多项式中各项系数之和为16, 即1+4+6+4+1=16=24; … 可以发现,(a+b)n展开的多项式中各项系数之和为2n, ∴(a+b)5展开的多项式中各项系数之和为25=32. 故答案为32. 41 42 $