13 第三章 第四节 反比例函数的综合应用-【智乐星中考·中考备战】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（六三制）

1 2 第四节　反比例函数的综合应用 第一、二章 3 目 录 难点分层透解 好题随堂演练 4 命题点1　反比例函数与一次函数结合　 【母题1】 如图，已知直线y=x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于 点A，B，点A的横坐标为-4，点B的横坐标为2. (1)求k和b的值. (2)观察图象，直接写出x+b≥的取值范围. (3)连接OA，OB，求△AOB的面积. 5 解:(1)设点A的坐标为(-4,t),代入反比例函数的解析式y=(k≠0)得k=-4t. ∵点B在反比例函数y=的图象上, ∴点B的坐标为(2,-2t). 将点A,B的坐标分别代入y=x+b得 解得 ∴k=-4t=12. 综上所述,b=3,k=12. 6 (2)-4≤x<0或x≥2. (3)如图,设直线与y轴交点为C. 由(1)易知直线的解析式为y=x+3. 当x=0时,y=3,∴C(0,3), ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9. 7 【解题模板】 解题方法 图形 面积 和差法 S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD 铅垂法 S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·h1+ BD·h2=BD·(h1+h2)， 即S△ABC=×水平宽×铅垂高 8 解题方法 图形 面积 等底等高法 过△PBC的顶点P作所对的边BC的平行线l，则直线l上任一点P'与BC组成的三角形的面积等于△PBC的面积 9 【变式1】 求线段和最值 若直线x=4上有一动点N，求当NA+NB的值最小时点N的坐标. 10 解:由题意知B(2,6),A(-4,-3).如图,作点B(2,6)关于直线x=4的对称点B'(6,6),连接AB',交直线x=4于点N,连接BN, 此时NA+NB=NA+NB'=AB',NA+NB的值最小,最小值为AB'的长. ∵A(-4,-3),B'(6,6), ∴易得直线AB'的解析式为y=x+, ∴当x=4时,y=×4+=,∴点N的坐标为(4,). 11 【变式2】 由面积比值求点坐标 若点E在线段AB上，且S△AOE∶S△EOB=2∶3，求点E的坐标. 12 解:如图,过点B作x轴的垂线,过点A作y轴的垂线,两垂线交于点G,过点E作EF⊥AG于点F. ∵S△AOE∶S△EOB=2∶3, ∴=, ∴=. ∵A(-4,-3),B(2,6), ∴G(2,-3). 13 易知△AEF∽△ABG, ∴===, 即==, ∴AF=,EF=, ∴点E的坐标为(-,). 14 【变式3】 由图形面积的值求点坐标 点Q在第一象限反比例函数的图象上，且点Q在点B左侧. 若△ABQ的面积为，求点Q的横坐标. 15 解:如图,过点Q作QH∥y轴交AB于点H. 设Q(m,),则H(m,m+3), 则QH=-(m+3)=-m-3. ∵S△ABQ=S△AQH+S△BQH=×6×(-m-3)=3(-m-3)=, ∴化简得3m2+11m-24=0, 解得m1=,m2=(舍去), ∴点Q的横坐标为. 16 【变式4】 由线段关系求点坐标 若点K在反比例函数y=(k≠0)第一象限内的图象上，直线OK与直线AB交于点M，且BM=4AM，求点K的坐标. 17 解:易知直线AB的函数解析式为y=x+3. ∵直线OK与直线AB交于点M, ∴点M在直线AB上. 设M(m,m+3). ①如图1,当点M在线段AB上时,分别过点A,B作x轴和y轴的平行线,交于点N,过点M作MD⊥AN于点D, 18 ∴MD∥BN,AD=m+4,AN=6. ∵BM=4AM, ∴=. ∵MD∥BN, ∴===, 解得m=-, ∴点M的坐标为(-,-). 19 设直线KM的函数解析式为 y=k1x, ∴-=-k1,解得k1=, ∴直线KM的函数解析式为y=x. 联立解得(负值已舍去) ∴点K的坐标为(2,). 20 ②如图2,当点M在线段BA的延长线上时. ∵BM=4AM,∴=. 由①同理可得=, 解得m=-6, ∴点M的坐标为(-6,-6), ∴直线KM的解析式为y=x. 21 联立解得(负值已舍去) ∴点K的坐标为(2,2). ③由BM=4AM,知BM>AM,则点M不在线段AB的延长线上. 综上所述,点K的坐标为(2,)或(2,2). 22 【变式5】 根据交点个数求平移距离 已知点C为直线AB与y轴的交点，点E(1，0)，作直线CE，将直线CE向下平移n(n>0)个单位长度后，与双曲线y=有唯一交点，求n的值. 23 解:∵C(0,3),E(1,0),∴易知直线CE的解析式为y=-3x+3. ∵将直线CE向下平移n(n>0)个单位长度, ∴平移后的直线解析式为y=-3x+3-n. 联立 得3x2+(n-3)x+12=0. ∵平移后的直线与双曲线y=有唯一交点,∴Δ=(n-3)2-4×3×12=0, 解得n1=15,n2=-9(舍去),∴n=15. 24 命题点2　反比例函数与几何图形结合　 【母题2】 如图，在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上， 点B的坐标为(9，3)，点C的坐标为(5，0)，反比例函数y=(k≠0，x>0) 的图象经过点A，与OB交于点E. (1)求该反比例函数的解析式. (2)将▱OABC向右平移，使它的对角线的交点M在 反比例函数的图象上，求平移的距离. (3)反比例函数y=(x>0)的图象与线段OB交于点E， 点G是y轴上的动点，连接GA，GE，求GA+GE的最小值. 25 解:(1)如图,过点B作BH⊥x轴于点H,过点A作AD⊥x轴于点D. ∵▱OABC的边OC在x轴上,点B的坐标为(9,3), ∴OH=9,BH=3. ∵点C的坐标为(5,0), ∴OC=5, ∴CH=OH-OC=4, ∴BC===5, ∴OC=BC=5,∴▱OABC是菱形, 26 ∴OA=AB=OC=BC=5. ∵BH⊥x轴,AD⊥x轴,∴AD=BH=3, ∴OD=4,∴A(4,3). ∵反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过点A(4,3), ∴k=4×3=12, ∴反比例函数的解析式为y=(x>0). 27 (2)∵O(0,0),B(9,3), ∴M(,). 设▱OABC向右平移m个单位长度, ∴平移后点M的坐标为(+m,). ∵平移后点M在反比例函数的图象上, ∴(+m)×=12, 解得m=,∴平移的距离为. 28 (3)如图,作点A关于y轴的对称点A',连接A'E交y轴于点G,此时GA+GE的值最小,最小值为A'E的长. ∵点B的坐标为(9,3), ∴直线OB的解析式为y=x. ∵反比例函数y=(x>0)的图象与OB交于点E, ∴x=, ∴x=6或x=-6(舍去), 29 ∴E(6,2). ∵A(4,3),∴A'(-4,3), ∴A'E==, ∴GA+GE的最小值为. 30 【变式1】 由面积倍数关系求点坐标 若坐标轴上有一点N，满足△OCN的面积是▱OABC的面积的2倍，求点N的坐标. 31 解:∵A(4,3),C(5,0), ∴S▱OABC=5×3=15. ∵△OCN的面积是▱OABC的面积的2倍, ∴S△OCN=15×2=30. ∵点C位于x轴上,∴点N只能位于y轴上, ∴×5×|yN|=30,∴yN=±12, ∴点N的坐标为(0,12)或(0,-12). 32 【变式2】 由面积相等求点坐标 连接AE，在反比例函数图象上是否存在点P(点P与点E不重合)，使得S△OAP=S△OAE？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 33 解:反比例函数图象上存在点P(点P与点E不重合), 使得S△OAP=S△OAE. 如图,过点E作EF⊥x轴于点F,过点A作AD⊥x轴于 点D,过点P作PG⊥x轴于点G, ∴EF=2,OF=6,AD=3,OD=4,∴DF=OF-OD=2. 设P(n,), ∴S△OAP=S梯形ADGP+S△POG-S△AOD=×(3+)(4-n)+n·-×4×3=-n+. ∵S△OAE=S梯形ADFE+S△AOD-S△EOF=×(2+3)×2+×4×3-×6×2=5+6-6=5, 34 ∴S△OAP=-n+=5, 整理得3n2+10n-48=0, ∴n=或n=-6(不符合题意,舍去), ∴点P的坐标为(,). 35 【变式3】 由特殊三角形存在性求点坐标 在x轴上是否存在点Q，使得△OAQ是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 36 解:设点Q的坐标为(q,0),易知∠AOQ≠90°. ∵点A的坐标为(4,3),点O的坐标为(0,0),∴OA2=25,OQ2=q2,AQ2=(4-q)2+9. ①当∠OAQ=90°时,OA2+AQ2=OQ2,即25+(4-q)2+9=q2, 解得q=; ②当∠OQA=90°时,OQ2+AQ2=OA2,即q2+(4-q)2+9=25, 解得q1=0(不符合题意,舍去),q2=4. 综上所述,点Q的坐标为(,0)或(4,0). 37 1. (2025·山东期末)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A(4，0)，C(0，3). (1)当反比例函数y=(x>0)的图象和矩形OABC有交点时，k的最大值为________. (请直接写出结果)  (2)如图，反比例函数y=(x>0)的图象与AB，BC分别交于点D，E，连接DE. ①当k=6时，求△ODE的面积； ②连接AC，判断DE与AC是否平行，并说明理由. 1 题序 2 38 解:(1)12 提示: 由反比例函数y=(x>0),得k=xy. 当反比例函数y=(x>0)的图象和矩形OABC有交点时,得0≤x≤4,0≤y≤3, ∴当x=4,y=3时,k有最大值3×4=12. 1 题序 2 39 (2)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形OABC为矩形,其中A(4,0),C(0,3), ∴B(4,3), ∴AB=OC=3,BC=AO=4. ∵反比例函数y=的图象与AB,BC分别交于点D,E, ∴D(4,),E(,3). 1 题序 2 40 ①如图1. ∵k=6,∴D(4,),E(2,3), ∴AD=,CE=2,∴BD=3-=,BE=4-2=2. ∴=--- =3×4-×3×2-×4×-×2× =12-3-3- =. 1 题序 2 41 ②DE与AC相互平行.理由如下: 如图2. 设直线AC的表达式为y=mx+n,将A(4,0),C(0,3)分别代入得解得 ∴直线AC的表达式为y=-x+3. 1 题序 2 42 设直线DE的表达式为y=px+q,将D(4,),E(,3)分别代入得解得 ∴直线DE的表达式为y=-x+. 易知≠3,∴DE∥AC. 1 题序 2 43 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与 反比例函数y=的图象在第一象限内交于A(a，4)和 B(4，2)两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA. (1)求一次函数与反比例函数的表达式. (2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥的解集. (3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，在x轴上是否存在点P，使以点O，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 1 题序 2 44 解:(1)∵反比例函数y=的图象过点B(4,2), ∴k=4×2=8, ∴反比例函数的表达式为y=. 把A(a,4)代入 y=得a==2,∴A(2,4). ∵一次函数y=mx+n的图象过点A,B, ∴解得 ∴一次函数的表达式为y=-x+6. 1 题序 2 45 (2)关于x的不等式mx+n≥的解集为2≤x≤4. 提示:观察函数图象可得当2≤x≤4时,y=mx+n的图象在y=的图象上方, ∴-x+6≥的解集为2≤x≤4. (3)存在. ∵A(2,4),∴直线OA的表达式为 y=2x. ∵过点B(4,2)作BD平行于x轴,交OA于点D, ∴D(1,2),∴BD=4-1=3. 1 题序 2 46 当四边形ODBP是平行四边形时,点P在x轴正半轴上, ∴DB=OP=3,∴P(3,0); 当四边形OBDP是平行四边形时,点P在x轴负半轴上, ∴DB=OP=3,∴P(-3,0). 综上所述,点P的坐标为(3,0)或(-3,0). 1 题序 2 47 48 $