11 第三章 第三节 反比例函数的图象与性质-【智乐星中考·中考备战】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（六三制）

1 2 第三节　反比例函数的图象与性质 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是________，它有两个分支且 关于________对称.   2. 画反比例函数图象的一般步骤 (1)列表，(2)描点，(3)连线. 双曲线 原点 5 3. 图象与性质 解 析 式 y=(k为常数，k≠0) k的符号 k>0 k<0 图 象 的 位置 6 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 性　质 在同一象限内，y随 x的增大 而_______；在不同象限内， 第一象限y值大于第三象限y值  在同一象限内，y随x的增大而 _______；在不同象限内，第 二象限y值大于第四象限y值  例如：若点A(x1，2)，B(x2，-1)，C(x3，4)都在反比例函数y=的图象 上，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A. x1<x2<x3　　B. x2<x3<x1 C. x1<x3<x2 D. x2<x1<x3 减小 增大 7 知识点2　反比例函数中k的几何意义 1. 如图，过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN， 垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S=|xy|=____.   |k| 8 2. 反比例函数图象中有关图形的面积 S△AOP=_______ S△OBP=_______ |k| |k| 9 S△APP'=_______ S△ABC=_______ S矩形OAPB=_______ S▱ABCD=_______ 2|k| |k| |k| |k| 10 知识点3　确定反比例函数的解析式 1. 方法：待定系数法(常常还会利用k的几何意义求解析式，具体见上述知识点). 2. 步骤 (1)设所求反比例函数解析式为y=(k为常数，k≠0)； (2)找出满足反比例函数解析式的点P(a，b)； (3)将点P(a，b)代入解析式得k=ab； (4)确定反比例函数解析式y=. 例如：若点(1，2)在反比例函数y=的图象上，则k=________.   2. 2 11 命题点1　确定反比例函数的解析式　 1. 【典例】 反比例函数y= 的图象经过点A(m，)，则反比例函数的 表达式为________.   y= 12 2. (2024·山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系. 下表是函数y=2x+b与y=部分自变量与函数值的对应关系： x - a 1 2x+b a 1 _______ _______ _______ 7 (1)求a，b的值，并补全表格； (2)结合表格，当y=2x+b的图象在y=的图象上方时，直接写出x的取值范围. 13 解:(1)当x=-时,2x+b=a,即-7+b=a. 当x=a时,2x+b=1,即2a+b=1, ∴解得 ∴一次函数的解析式为y=2x+5,∴当x=1时,y=2x+5=7. 当x=1时,y==7,即k=7,∴反比例函数的解析式为y=, ∴当x=-时,y=7÷(-)=-2; 当x=-2时,y=-. 14 补全的表格如下. x - -2 1 2x+b -2 1 　7　  　-2　  　-　  7 15 (2)-<x<0或x>1. 提示:画出两个函数的图象如图.由表格信息可得两个函数图象的交点坐标分别为(-,-2),(1,7),   ∴当y=2x+b的图象在y=的图象上方时,x的取值范围为-<x<0或x>1. 16 命题点2　反比例函数的图象与性质　 3. 【典例】 【一题多设问】 已知反比例函数y=(k≠-1). (1)若该反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值 范围为________；  (2)当k=2时，此反比例函数图象在第_______象限，关于直线_____________ 对称，在每一个象限内，y随x的增大而________；  (3)若点A(3，2)，B(a，6)在反比例函数y=(k≠-1)的图象上，则k=______，a=________；  k<-1 一、三 y=-x或y=x 减小 5 1 17 (4)若k>0，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数的图象上， 且x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3的大小关系是___________；  (5)若点P(x，y)在反比例函数y=(k≠-1)的图象上，则点 Q(-x，-y) ________(填“在”或“不在”)反比例函数y=(k≠-1)的图象上.   (6)当k=4时，若反比例函数的函数值y>1，则x的取值范围为________.   y1<y3<y2 在 0<x<5 18 【易错警示】 判断反比例函数增减性的注意点 　　正确理解反比例函数的增减性，注意自变量的取值范围，不能笼统地说y随x的增大而增大(或减小)，应指明在某一象限内函数的增减变化情况. 19 4. 关于反比例函数y=，下列结论正确的是(　　) A. 图象位于第二、四象限 B. 图象与坐标轴有公共点 C. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D. 若图象经过点(a，a+2)，则a=1 20 【解析】 反比例函数y=的图象在第一、三象限,与坐标轴没有交点,故A选项错误,B选项错误. 反比例函数y=,在每一个象限内,y随x的增大而减小,故C选项正确. ∵反比例函数y=的图象经过点(a,a+2), ∴a(a+2)=3,解得a=1或a=-3,故D选项错误.故选C. 21 5. 函数y=-ax+a与y=-(a≠0)在同一直角坐标 系中的图象可能是(　　) 22 6. (2025·山东)如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形. 若函数y=(x>0)的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为(　　) A. 0<x≤2 B. x≥2 C. 0<x≤4 D. x≥4 23 【解析】 ∵四边形OABC是面积为4的正方形, ∴设点B的坐标为(b,b). ∴b2=4,解得b=2(负值已舍), ∴点B的坐标为(2,2). ∵函数y=(x>0)的图象经过点B, ∴满足y≥2的x的取值范围为0<x≤2.故选A. 24 命题点3　反比例函数k的几何意义　 7. 【典例】 【转化思维】如图，点A在反比例函数y=的图象上， 过点A作x轴的垂线，垂足为B，点C在y轴上. 若△ABC的面积为2， 则k的值为(　　) 　　　 A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 25 【解析】 如图,连接OA. ∵AB⊥x轴,∴OC∥AB, ∴S△OAB=S△ABC=2. ∵S△OAB=|k|, ∴|k|=2,∴|k|=4. ∵k<0,∴k=-4.故选C. 26 思维导引：确定△ABC的底边AB→找三角形的高：点A到y轴的距离→将三角形的面积与k值进行联系，进而求解. 27 8. (2025·威海)如图，点A在反比例函数y=的图象上，点B在反比例函数 y=- 的图象上，连接OA，OB，AB. 若AO⊥BO，则tan∠BAO=________.   28 【解析】 如图,作BG⊥y轴,垂足为G,作AH⊥y轴,垂足为H, ∴∠OHA=∠BGO=90°. ∵点A在反比例函数y=的图象上,点B在反比例函数y=-的图象上, ∴S△BOG=1,S△AOH=2. ∵∠AOB=90°, ∴∠OAH=∠BOG, ∴△OAH∽△BOG, ∴==,∴tan∠BAO==.故答案为. 29 9. (2025·济南莱芜二模)如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上， 且AB∥x轴，点C，D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ________.   8 30 【解析】如图,延长BA交y轴于点E,则BE⊥y轴,四边形AEOD和四边形BEOC为矩形. ∵点A在双曲线y=上, ∴四边形AEOD的面积为4. ∵点B在双曲线y=上, ∴四边形BEOC的面积为12, ∴矩形ABCD的面积为12-4=8. 故答案为8. 31 命题点4　反比例函数的实际应用　 10. 【典例】 【新素材·科技发展】(2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数. 已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时，它的最快移动速度v=6 m/s；当其载重后总质量m=90 kg时，它的最快移动速度v=______m/s.   4 32 【解析】 设反比例函数的解析式为v=. ∵机器狗载重后总质量m=60 kg时,它的最快移动速度v=6 m/s, ∴k=60×6=360,∴反比例函数的解析式为v=. 当m=90时,v==4.故答案为4. 33 11. 【新考法·学科融合】 (2024·南通)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示. 如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是__________.   R≥3. 6 34 【易错点加练】 易错点　忽略k的正负 1. 如图，点A在x轴的正半轴上，点C在反比例函数y=(x<0)的图象上，AC交y轴于点B. 若点B是AC的中点，△AOC的面积为5，则k的值为________.   -10 35 【解析】 如图,过点C作CD⊥y轴,垂足为D. ∵点B是AC的中点,∴AB=CB. 在△AOB和△CDB中, ∴△AOB≌△CDB(AAS), ∴S△AOB=S△CDB,∴S△OCD=S△AOC=5,∴|k|=2S△OCD=10. ∵反比例函数y=(x<0)的图象在第二象限, ∴k=-10.故答案为-10. 36 2. 如图，点A是反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB. 若△ABP的面积等于3，则k的值为________.   6 37 【解析】设反比例函数的解析式为 y=. 如图,连接AO. ∵S△AOB=S△ABP=3,S△AOB=|k|, ∴|k|=3,∴k=±6. 又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限, ∴k>0,∴k=6. 故答案为6. 38 1. 一次函数y=ax+b与反比例函数y=(a，b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是(　　) 1 3 5 7 题序 2 4 6 39 【解析】 A.∵一次函数的图象经过第一、二、三象限, ∴a>0,b>0, ∴反比例函数y=的图象在第一、三象限,这与图形不符合,故A不符合题意. B.∵一次函数的图象经过第一、二、四象限, ∴a<0,b>0, ∴反比例函数y=的图象在第二、四象限,这与图形不符合,故B不符合题意. 1 3 5 7 题序 2 4 6 40 C.∵一次函数的图象经过第一、三、四象限, ∴a>0,b<0, ∴反比例函数y=的图象在第二、四象限,这与图形不符合,故C不符合题意. D.∵一次函数的图象经过第一、二、四象限, ∴a<0,b>0, ∴反比例函数y=的图象在第二、四象限,这与图形符合,故D符合题意.故选D. 1 3 5 7 题序 2 4 6 41 2. (2025·兰州)若点A(2，y1)与B(-2，y2)在反比例函数y=的图象上，则y1与y2的大小关系是(　　) A. y1<y2 B. y1≤y2 C. y1>y2 D. y1≥y2 1 3 5 7 题序 2 4 6 42 3. (2025·连云港)如图，正比例函数y1=k1x(k1<0)的图象与反比例函数y2=(k2<0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为-1. 当y1<y2时，x的取值范围是(　　) A. x<-1或x>1 B. x<-1或0<x<1 C. -1<x<0或x>1 D. -1<x<0或0<x<1 1 3 5 7 题序 2 4 6 43 【解析】由双曲线的对称性得点B的横坐标为1, ∴当y1<y2时,x的取值范围为-1<x<0或x>1. 故选C. 1 3 5 7 题序 2 4 6 44 4. 【新考法·学科融合】 已知蓄电池的电压U(单位：V)为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示. 下列说法不正确的是(　　) A. 当I≤10 A时，R≤4 Ω B. 蓄电池的电压是40 V C. 当R=8 Ω时，I=5 A D. 函数的表达式为I=(R>0) 1 3 5 7 题序 2 4 6 45 【解析】 设I=(R>0). ∵图象过(4,10), ∴U=40,故选项B正确,不符合题意, ∴I=(R>0),故选项D正确,不符合题意. 当R=8 Ω时,I=5 A,故选项C正确,不符合题意. 根据函数图象可得当I≤10 A时,R≥4 Ω,选项A错误,符合题意.故选A. 1 3 5 7 题序 2 4 6 46 5. 在同一平面直角坐标系中，若正比例函数 y=k1x 与反比例函数y=的图象没有交点，则k1k2的取值范围是(　　) A. k1k2<-1 B. k1k2>-1 C. k1k2<0 D. -1<k1k2<0 1 3 5 7 题序 2 4 6 47 【解析】 当k1>0时,正比例函数的图象经过第一、三象限,当k1<0时,正比例函数经过第二、四象限. 当k2>0时,反比例函数图象在第一、三象限,当k2<0时,反比例函数图象在第二、四象限. 若两个函数的图象没有交点,则k1,k2异号, ∴k1与k2的乘积为负.故选C. 1 3 5 7 题序 2 4 6 48 6. (2025·烟台)如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3，反比例函数y=(x>0)的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为(　　) A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 1 3 5 7 题序 2 4 6 49 【解析】 ∵菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,OA=3, ∴AM=CM,OC=BC=AB=OA=3,A(3,0). 设C(x,y),∴M(,),∴xy=·, 解得x=1. 如图,过点C作CH⊥AO于点H, 则OH=1,∴CH==2, ∴C(1,2), ∴k=1×2=2.故选D. 1 3 5 7 题序 2 4 6 50 7. (2025·齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象 与反比例函数y=(k≠0)的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点 C坐标为(0，3)，连接AC，BC. 若AC=BC，则实数k的值为________.   -6 1 3 5 7 题序 2 4 6 51 【解析】当y=0时,0=-x-1, 解得x=-1, ∴点B的坐标为 (-1,0). ∵点C坐标为(0,3), ∴BC===. 设点A坐标为(m,-m-1), ∴AC2=(m-0)2+(-m-1-3)2=2m2+8m+16. ∵AC=BC,∴AC2=BC2, ∴2m2+8m+16=10, 1 3 5 7 题序 2 4 6 52 解得m1=-3,m2=-1(不合题意,舍去), ∴m=-3, ∴点A坐标为(-3,2), ∴2=,解得 k=-6. 故答案为-6. 1 3 5 7 题序 2 4 6 53 54 $