01 第一章 第一节 实数及其运算-【智乐星中考·中考备战】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（六三制）

1 2 第一节　实数及其运算 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　实数的分类 1. 按定义分类 负整数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 5 2. 按正、负数分类 正有理数 正无理数 0 负有理数 负无理数 6 知识点2　实数的有关概念 1. 数轴 (1)概念：规定了________、________和____________的直线.   (2)性质：①实数与数轴上的点是____________；  ②离原点越远的数的绝对值越________；  ③数轴上右边的数总比左边的数________.   原点 正方向 单位长度 一一对应的 大 大 7 2. 相反数：只有________不同的两个数互为相反数，即a+b=0⇔a， b互为相反数；实数a(a≠0)的相反数是-a，特别地，0的相反数是0.   几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的 距离相等. 3. 倒数：乘积是____的两个数互为倒数，即ab=1⇔a，b互为倒数. 实数 a(a≠0)的倒数是____，0没有倒数，1和-1的倒数是它本身.   4. 绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的______叫作数a的绝对 值，记作|a|.   符号 1 距离 8 【归纳总结】 绝对值的表示形式及意义 ①实数a的绝对值可以表示为|a|= ②对任意实数a，总有|a|≥0； ③若|x|=a(a≥0)，则x=±a. 9 5. 平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：一般地，如果一个数的________等于a，那么这个数叫作a的平 方根或二次方根，记作_____. 正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是0；负数没有平方根.   (2)算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个 正数x叫作a的算术平方根，记作_____. 正数的算术平方根是正数，0的 算术平方根是0.   (3)立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根 或三次方根，记作_____. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的 立方根是负数，每个实数有且只有一个立方根.   平方 ± 10 知识点3　近似数与科学记数法 1. 近似数：与实际完全符合的数称为准确数，与实际接近的数称为近似数. 2. 精确度：一个近似数的最后一位是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.　　 n为整数 3. 科学记数法：把一个数表示成a×10n的形式，使用的是科学记数法. 1≤|a|< 10 11 4. 常见单位换算 将含有计数(量)单位的数用科学记数法表示时，要注意原数与要求表示成 的科学记数法形式的单位，常考的计数单位有：1千=103，1万=104，1亿 =108. 常考的计量单位有：1 mm=10-3 m，1 μm=_____m，1 nm=_____m.   10-6 10-9 12 知识点4　计算器的使用 计算器的主要按键符号及功能说明： 1. ON/C(开机/清除)；OFF(关机键)；2ndF(第二功能选择键)；ANS(最终 答案存储器)；x-1(倒数)；yx(乘幂运算)；x2(平方)；(方根运算)； (开平方)；(开立方)； (分数输入). 2. 对于不同型号的计算器，使用方法也不完全相同，因此在使用计算器 之前应仔细阅读使用说明，了解计算器的操作要求. 13 知识点5　实数的大小比较 1. 数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 2. 法则比较法：正数>0>负数；两个负数比较大小，__________大的 数反而小.   3. 作差比较法：a-b>0⇔a>b；a-b=0⇔a=b；a-b<0⇔a<b. 绝对值 14 4. 作商比较法： (1)若a>0，b>0，则>1⇔a>b； =1⇔a=b；<1⇔a<b. (2)若a<0，b<0，则>1⇔a<b； =1⇔a=b；<1⇔a>b. 15 5. 平方比较法：若()2>()2>0，即a>b>0，则>. 如()2=<()2=2，则<. 适用条件：适用于含根号的无理数与其他数比较大小或二次根式的估值. 6. 倒数比较法：若ab>0，则<⇔a>b. 7. 特殊值法：含有字母时，给字母取特殊值更加简便快捷. 16 知识点6　实数的运算 1. 实数的运算法则 (1)四则运算 ①加法：同号两数相加，取________符号，并把_____________；绝对值 不相等的异号两数相加，取____________________的符号，并用_____________________________；互为相反数的两数相加得____；一个数同0相加，仍得这个数.   ②减法：a-b=a+(-b). ③乘法：a·b=ab，(-a)·(-b)=ab，a·(-b)=-ab，0·a=0. ④除法：a÷b=a·(b≠0)，0÷b=0(b≠0). 相同的 绝对值相加 绝对值较大的加数 较大的绝对值减去较小的绝对值 0 17 (2)乘方运算：an= . (3)零指数幂与负整数指数幂 ①a0=1(a≠0)； 遇0，结果写1，前提是a≠0 ②a-p=(a≠0，p为正整数). 例如：()-2=________，(-3)-1=________，2-2=________， (-)-2=________.   4 - 9 18 (4)幂的运算：an·(± )n=(±a·)n=(±1)n. 　　　 n为“偶”结果为1，“奇”结果为-1 (5)绝对值：|a-b|= (6)特殊角的三角函数值：sin 30°=________，sin 45°=______， sin 60°=，cos 30°=______，cos 45°=________，cos 60°=_______， tan 30°=________，tan 45°=1，tan 60°=________.   a-b b-a 19 2. 实数混合运算的顺序 (1)先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的：注意一定先计算各小项的值. (2)同级运算按从左往右的顺序运算. 3. 实数的运算律 (1)加法交换律：a+b=b+a. (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). (3)乘法交换律：ab=ba. (4)乘法结合律：(ab)c=a(bc). (5)乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac. 20 命题点1　实数的分类　 1. 【典例】 (2024·烟台)下列实数中的无理数是(　　) A. B. 3. 14 C. D. 21 【归纳总结】 常见无理数的形式 ①无限不循环小数； ②开方开不尽的数，如，… ③某些三角函数值，如sin 60°，cos 45°，tan 30°，… ④类似循环小数型，如1. 010 010 001…，4. 151 151 115…，… ⑤π 型，如，4π，，…(注意：π0=1) 22 2. (2025·威海)下表记录了某日我国四个城市的平均气温： 城市 北京 哈尔滨 威海 香港 气温(℃) -2. 6 -19. 8 4. 2 18. 7 其中，平均气温最低的城市是(　　) A. 北京 B. 哈尔滨 C. 威海 D. 香港 23 命题点2　实数的有关概念　 考法❶　相反数、倒数、绝对值 3. 【典例】 (2024·济宁)-3的绝对值是(　　) A. 3 B. C. -3 D. - 4. (2025·青岛)6的相反数是(　　) A. -6 B. 6 C. - D. 5. (2025·烟台)|-3|的倒数是(　　) A. 3 B. C. -3 D. - 24 考法❷　平方根、算术平方根、立方根 6. 【典例】 的平方根是(　　) A. 8 B. ±8 C. 2 D. ±2 7. (2025·济南)已知一个正方形的面积为2，则其边长为________.   8. 立方根是-2的数为________.   -8 25 命题点3　数轴　 9. 【典例】 【一题多设问】 如图，在数轴上的A，B，C，D，E五个点中： (1)点E表示的数是________；  (2)到原点距离相等的点是_____和_____，点C，D之间的距离是_______；  (3)若点A，B，C，D所对应的数分别为a，b，c，d，则a，b，c，d 的从小 到大关系为___________，a-b______0，b-c______0，a+b_______0， c+d_______0，c+a_______0；  -2 6 C D c<b<a<d > > > = < 26 (4)最小的负数对应的点是______ ，绝对值最小的数对应的点是______， 点D表示的数的倒数是______，点E表示的数的相反数是______；  (5)若点F到原点的距离为5，则点F表示的数是________；  (6)若一个点从点D处向右移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度， 此时终点所表示的数是________.   C B 2 5或-5 4 27 命题点4　科学记数法　 10. 【典例】 【本土素材】(2025·山东)好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次. 数据“9亿”用科学记数法表示为(　　) A. 9×107　 B. 0. 9×108　 C. 9×108　 D. 0. 9×109 思维导引：将9亿转化为数字→将数字用科学记数法表示. 28 【解题通法】 (1)表示形式：a×10n. (2)a的确定：1≤|a|<10. (3)n的确定： ①当原数的绝对值≥10时，n为正整数，且等于原数的整数位数减1； ②当0<原数的绝对值<1时，n是负整数，且它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的那一个). 29 11. 【新素材·科技发展】 (2025·威海)据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”. “破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写. 一皮秒仅相当于一万亿分之一秒. 400皮秒用科学记数法表示为(　　) A. 4×10-10秒 B. 4×10-11秒 C. 4×10-12秒　　 D. 40×10-12秒 30 12. 【新素材·科技发展】 (2025·青岛)2025年5月，我国在西昌卫星发射中心成功将行星探测工程天问二号探测器发射升空，天问二号探测器将对小行星2016HO3和主带彗星311P开启科学探测，其中一个目标所在轨道与太阳间距将达到3. 74亿千米. 3. 74亿=374 000 000，将374 000 000用科学记数法表示为(　　) A. 0. 374×109 B. 3. 74×108 C. 3. 74×107 D. 374×106 31 命题点5　实数的大小比较　 13. 【典例】(2024·山东)下列实数中，平方最大的数是(　　) A. 3 B. C. -1 D. -2 14. (2025·山东期末)下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是(　　) A. -2 B. - C. D. 32 命题点6　实数的运算　 15. 【典例】(2025·威海)计算：()-1--(1-)0=________.   1-2 33 16. 【核心素养·运算能力】(2025·山东)计算：|-|×+π0. 解：原式=×3+1=1+1=2. 34 17. (2025·济南改编)计算：(π-3)0+()-2+|-5|+2sin 45°-. 解：原式=1+4+5+2×-2=10-. 35 18. 【新设问·条件开放】 (2024·贵州改编)在①-22，②|-2|，③(-1)0， ④×2中任选3个代数式求和. 解：选取①②③进行求和， -22+|-2|+(-1)0=-4+2+1=-1. (答案不唯一) 36 【易错点加练】 易错点1　对算术平方根理解错误 1. 下列说法中，正确的是(　　) A. -9的平方根是±3 B. 16的算术平方根是2 C. 算术平方根等于它本身的数是0和1 D. 的算术平方根是3 37 【解析】 A.-9是负数,没有平方根,故本选项不符合题意. B.16的算术平方根是4,故本选项不符合题意. C.算术平方根等于它本身的数是0和1,故本选项符合题意. D.=,=3,3的算术平方根是,故本选项不符合题意.故选C. 38 易错点2　忽略绝对值的意义 2. 若|a|=5，|b|=3，则a+b=______________.   ±2或±8 【解析】 ∵|a|=5,|b|=3, ∴a=±5,b=±3. 当a=5,b=3时,a+b=5+3=8; 当a=5,b=-3时,a+b=5-3=2; 当a=-5,b=3时,a+b=-5+3=-2; 当a=-5,b=-3时,a+b=-5+(-3)=-8. 综上所述,a+b的值为±2或±8.故答案为±2或±8. 39 3. 当1≤m<3时，化简|m-1|-|m-3|=________.   2m-4 【解析】 根据绝对值的性质可知,当1≤m<3时,|m-1|=m-1,|m-3|=3-m, 故|m-1|-|m-3|=(m-1)-(3-m)=2m-4.故答案为2m-4. 40 易错点3　 有理数的乘方计算错误 4. 已知(2x-3)x+3=1，则x=(　　) A. -3或1　　 B. 1或2 C. 2或1或-3　 　D. 3或-1 【解析】 ①当2x-3=1时,x=2,此时(2x-3)x+3=15=1,等式成立.②当2x-3=-1时,x=1,此时(2x-3)x+3=(-1)4=1,等式成立.③当x+3=0时,x=-3,此时(2x-3)x+3= (-9)0=1,等式成立.综上所述,x的值为2或1或-3.故选C. 41 易错点4　混淆数轴上数的符号 5. 如图所示，若点A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，-a，1的大小关系表示正确的是(　　) A. a<1<-a B. a<-a<1 C. 1<-a<a D. -a<a<1 42 【解析】由数轴上点的位置关系可知a<0, ∴-a>0, ∴-a>a. 又∵点A到原点的距离大于1到原点的距离, ∴a<1<-a. 故选A. 43 1. (2025·济南)下列各数中为负数的是(　　) A. B. 0　 C. 2　　 D. -1 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 44 2. 下列各数中，无理数是(　　) A. B. C. D. 2π 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 45 3. (2025·山东)如图，数轴上表示-2的点是(　　) A. M B. N C. P D. Q 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 46 4. 根据某网站统计数据，截至2025年1月，某知名AI软件的总访问量达到了278 000 000次，其中278 000 000用科学记数法表示为(　　) A. 2. 7×108 B. 2. 78×108 C. 0. 278×109 D. 2. 78×107 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 47 5. 的平方根是(　　) A. 4 B. ±4 C. 2 D. ±2 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 48 6. 填空：-3的相反数是________，绝对值是________，|-2| =________.   3- 3- 2 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 49 7. 【新素材·时下热点】(2025·烟台)2025年2月2日是第29个“世界湿地日”， 主题是“保护湿地 共筑未来”. 国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地 面积稳定保持在56 350 000公顷以上. 将数据56 350 000用科学记数法表示 为______________.   5. 635×107 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 50 8. 【原创题】如图，数轴上的点A和点B分别在原点的右侧和左侧， 点A，B对应的实数分别是a，b，则a+b________0. (填“>”“<”或“=”)  < 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 51 9. (2025·北京)计算：|-3|++()-1-2sin 30°. 解:原式=3+3+2-2× =3+3+2-1 =4+3. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 52 53 $