6.3.1平面向量基本定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习 目标 6.3.1 平面向量基本定理 1.理解平面向量基本定理及其意义.(重点) 2.了解向量基底的含义，会用选定的一个基底表示其他向量.(重点) 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(难点) 我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力. 类似地，我们能否将向量 分解为两个向量，使向量 是这两个向量的和呢? 探究1 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量. 将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？ O M N 思考1 再给出另一个向量a，还能这样表示吗？ 思考2 与e1或e2共线的向量，能这样表示吗？ 思考3 零向量，也能这样表示吗？ 结论1：平面上任意一个向量a都可以表示为： a=λ1e1+λ2e2 3 探究2 如果给定的两向量e1，e2共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？ 结论2：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量. 4 探究3 现在我们知道，平面内任何一个向量a，都可以用两个不共线的向量e1，e2表示为a=λ1e1+λ2e2.在这种表示方法中，这样的实数λ1，λ2是唯一的吗？如何证明？ 结论3：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立. 5 注： ① 、是两个不共线的向量； ② 是平面内的任一向量； ③ , 实数,唯一确定. 1.平面向量基本定理 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.基底 思考1 作为一组基底的条件是什么？零向量可以作为基底吗？ 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 思考2 同一平面内的基底有多少对？ 思考3 若e1，e2能作为基底，那么e1，3e2能作为基底吗？ e1+3e2，e1-2e2能作为基底吗？ 2.基底 7 例1 (多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是 A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2 一、对基底概念的理解 ①基底不共线 ②基底不唯一 3.平面向量相等的充要条件 如果e1，e2不共线，且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2，那么 练习：已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝_____. 9 例2 已知向量e1、e2不共线，a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，c=-3e1+12e2，请用a，b表示c. 二、用基底表示向量 10 课本P27 练习2 练1 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O， 点E, F分别是OA, OC的中点，G是CD的三 等分点 (1) 用 表示 ；(2) 能由(1)得出DE, BF的关系吗? C B A D E F O G 二、用基底表示向量 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线， ，用{a，b}为基底表示 练2 题型二：用基底表示向量 C B A D E F 12 三、平面向量基本定理的应用 三、平面向量基本定理的应用 例4 如图示，CD是△ABC的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形. 向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一. 三、平面向量基本定理在几何中的应用 课本P27 练4 如图, 在△ABC中， , 点E, F分别是AC, BC的中点. 设 (1)用 表示 . (2)如果∠A=60°，AB=2AC，CD，EF有什么关系? 用向量方法证明你的结论. C B A D E F 三、平面向量基本定理在几何中的应用 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.知识点： (1)平面向量基本定理. (2)用基底表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：数形结合法. 3.易错点：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量. 例3 如图，在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的 中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 练3 如图，在△ABC中，点D是AC的中点， 点E是BD的中点，设＝a，＝c. (1)用a，c表示向量； (2)若点F在AC上，且＝a＋c， 求AF∶CF. $