6.2.3向量的数乘运算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习 目标 6.2.3 向量的数乘运算 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及其运算律，理解其几何意义.(重点) 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.(重点) 3.理解两个向量共线的含义，掌握共线向量定理，会判断或证明两个向量共线.(难点) 我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向， 平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？ 问题1 已知非零向量 ，作出 和 .它们的长度和方向与 有什么关系? O C A B P Q M N 上述这种实数与向量的乘法运算称为向量的数乘. 1.向量的数乘 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ．它的长度和方向规定如下： (2)当λ>0时， 的方向与 方向相同； 当λ<0时， 的方向与 方向相反. 当λ=0时， 问题2 若 ，则 λ=0，对吗？ 当λ=0或 时， ． 向量数乘结果仍然是向量 注：1.向量数乘的结果仍然是向量；所得的向量的方向由与决定； 2.实数和向量可以相乘，但不能相加减 将 的长度扩大（或缩小）|λ|倍，改变（不改变） 的方向. 3.向量数乘的几何意义： 追问：和向量 方向相同的单位向量是什么？ 问题3.1 3(2)与6之间有什么联系？ 问题3.2 (2+3)与2+3之间有什么联系？ 问题3.3 2(+)与2+2之间有什么联系？ 2.向量数乘的运算律 设 为任意向量，λ, μ为任意实数，则有： 结合律 分配律 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有 一、向量的线性运算 练2 若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 练1 计算： 二、用已知向量表示其他向量 练3 点C在线段AB上,且 = ,则 =___ , =__ A B C ￭ A D C B M E A B C D M 向量可以通过列方程组求解 练6 设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD= AB,BE= BC. 若 =λ1 +λ2 (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.  结论1 对于向量与,如果存在一个则实数，则与共线。 追问 当时，结论1成立吗？ 问题4 引入向量的数乘运算后，你能发现实数与向量的积 与原向量 之间的位置关系吗？ 问题5 反过来，如果与共线，是否存在实数使？ 结论2：反过来，如果与共线，存在唯一实数， 使 追问 当时，结论2成立吗？ 平面向量共线基本定理： 向量（ ≠ ）与共线的充要条件是： 数学符号表示： 时， l 根据这一定理，设非零向量 位于直线l上，那对于直线l上的任意一个向量 ，都存在唯一的一个实数λ，使________.也就是说，位于同一直线上的向量均可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 一、判断两个向量共线 练7 设 ， 不共线，判断下列各小题中的向量 与 是否共线. 判断系数 之比是否相等. 练8 设 是两个不共线的向量， ， . 若 是共线向量，求实数k的值为 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A B C 练9 如图，已知任意两个非零向量 ，试作 猜想A, B, C三点之间的位置关系，并证明你的猜想. O 二、证明或判断三点共线 证明或判断三点共线的方法： 有公共点B A、B、C三点共线 18 定理的应用： 1. 证明或判断向量共线 2. 证明或判断三点共线: AB=λBC 　　 　　　　　　　　且有公共点Ｂ 3.证明两直线平行: AB=λCD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD A,B,C三点共线 AB∥CD A P D C B 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 向量的数乘 定义 长度和方向 几何意义 向量数乘运算的运算律 λ(μa)=(λμ)a λ(a+b)=λa+λb 课堂小结 共线向量定理： 共线基本定理的应用: (1)有关向量共线问题: (2)证明三点共线的问题: (3)证明两直线平行的问题: $