专题7.3 解一元一次不等式（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题7.3 解一元一次不等式 教学目标 1.理解一元一次不等式的概念，能准确识别一元一次不等式。 2.掌握不等式的解与解集的概念，会用不等式和数轴两种方式表示解集。 3.熟练掌握解一元一次不等式的步骤，能正确求解并求其特殊解。 4.能解决含参数一元一次不等式的基础问题，初步学会分类讨论思想。 5.会列一元一次不等式解决简单实际问题，提升数学建模能力。 教学重难点 重点 （1）一元一次不等式的概念识别与判断。 （2）解一元一次不等式的步骤及正确变形。 （3）在数轴上准确表示不等式的解集。 （4）求一元一次不等式的正整数、整数等特殊解。 （5）根据实际问题中的关键词列一元一次不等式。 难点 （1）解不等式时，系数化为1步骤中乘除负数的不等号方向改变。 （2）含参数一元一次不等式的求解及根据解集求参数范围。 （3）不等式与方程（组）的综合应用，用参数表示解并代入不等式求解。 （4）实际问题中隐含不等关系的挖掘与转化。 （5）一元一次不等式恒成立问题的求解。 知识点01：一元一次不等式的概念 1.定义：只含有一个未知数，左右两边都是整式，且未知数的次数为1、系数不为0的不等式，叫做一元一次不等式。 2.标准形式：或（），也可表示为、（）。 3.与一元一次方程的异同对比： 对比维度 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 1.只含一个未知数； 2.两边都是整式； 3.未知数次数为1 1.只含一个未知数； 2.两边都是整式； 3.未知数次数为1 不同点 用不等号（>、<、≥、≤）表示不等关系 用等号（=）表示相等关系 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次不等式，则__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数为且系数不为，列方程求解． 【详解】解：∵ 是关于的一元一次不等式， ∴未知数的次数，解得； 未知数的系数，解得． 综合以上两个条件，可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是同时满足 “未知数次数为” 和 “系数不为” 两个条件，避免只考虑次数而忽略系数的错误． 知识点02：不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的单个值，一个不等式有无数个解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，解集是一个取值范围。 3.解与解集的关系：不等式的每一个解都是解集的一个元素，解集包含所有解。 4.解集的两种表示方法： 不等式表示：如、，简洁直观； 数轴表示：定边界点（含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈），定方向（大于向右，小于向左）。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．不是这个不等式的解 C．小于的数都是这个不等式的解 D．小于的数都是这个不等式的解 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式解集，然后逐项分析求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意； 是这个不等式的解，故选项B不符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意； 小于的数都是这个不等式的解，故选项D不符合题意； 故选：C． 知识点03：一元一次不等式的解法 1.核心思路：类比一元一次方程的解法，利用不等式的基本性质，将不等式逐步变形为、、或的形式。 2.基本步骤、依据及注意事项： 解题步骤 具体做法 变形依据 核心注意事项 去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1.不漏乘不含分母的项；2.分子是多项式时加括号 去括号 按去括号法则，先小后大（或先大后小） 分配律、去括号法则 括号外是负数时，括号内各项要变号 移项 含未知数的项移到一边，常数项移到另一边 不等式性质1 移项要变号，不等号方向不变 合并同类项 系数相加，字母及指数不变 合并同类项法则 准确计算系数和，避免计算错误 系数化为1 两边同除以未知数系数（或乘其倒数） 不等式性质2、3 除以负数时，必须改变不等号方向 3. 与解一元一次方程的核心差异：系数化为1时，不等式需判断系数的正负，负数要变号，方程无需考虑。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】，见解析 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； 根据解不等式的方法解出不等式的解集，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示．    知识点04：一元一次不等式的特殊解 1.定义：在不等式的解集中，符合特定条件的解，如正整数解、负整数解、非负整数解、整数解等。 2.求解思路：先求出不等式的完整解集，再根据特殊解的条件筛选出符合要求的解。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，通过去分母，去括号，移项和合并同类项解不等式，然后求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴正整数解为，． 题型01一元一次不等式的概念识别 方法技巧：紧扣“一个未知数、整式、次数1、系数≠0”四大核心要素，逐一排查选项，不符合任一要素则不是一元一次不等式。 【典例1】. （25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义；一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵A项中含有两个未知数k和b，∴不是一元一次不等式． ∵B项中只含有一个未知数t，且t的次数为1，且为不等式，∴是一元一次不等式． ∵C项是方程，不是不等式，∴不符合． ∵D项中没有未知数，∴不是一元一次不等式． ∴属于一元一次不等式的是B项． 故选：B． 【变式1】. （23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【详解】解：（1）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （2）是一元一次不等式； （3）是一元一次不等式； （4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式， 综上所述：一元一次不等式有2个 故选：B． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为_________． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， 则且， 解，得或， 即或， 当时，，不符合系数不为0的条件， 当时，，符合条件， 故答案为：1． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式需满足未知数的次数为1且系数不为0是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义，的指数必须为且系数不为零，因此且，求解的值并验证． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式，因此的指数，且系数． 解，得或，即或． 当时，系数，不符合条件； 当时，系数，符合条件． 故答案为：． 题型02解一元一次不等式 方法技巧：严格按照“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤求解；每步关注易错点，如去分母不漏乘、去括号变号、系数化为1时负数变号。 【典例2】. （25-26九年级上·陕西西安·期末）不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．需运用不等式的性质，注意不等式两边同乘或同除以负数时，不等号方向要改变．解不等式即可． 【详解】解：∵ ∴不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． ∴移项得． ∴． 故选：C． 【变式1】. （2026·陕西西安·二模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：对于不含分母的不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1求解；对于含分母的不等式，需先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变． （1）是不含分母的一元一次不等式，直接通过移项、合并同类项、系数化为1即可得到解集； （2）是含分母的一元一次不等式，先去分母消除分母，再按步骤逐步化简求解． 【详解】（1）解：， 移项得，即， 系数化为1，两边同时除以2得． （2）解：， 两边同时乘以6去分母得， 去括号得， 合并右边常数项得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，两边同时除以5得． 【变式3】. （25-26八年级上·浙江湖州·期末）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）根据一元一次不等式的解法进行求解即可； （2）先去括号，然后再根据一元一次不等式的解法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 题型03在数轴上表示不等式的解集 方法技巧：分两步操作，第一步定边界：含等号（≥、≤）用实心圆点，不含等号（>、<）用空心圆圈；第二步定方向：“大于”向右画，“小于”向左画，标注清晰。 【典例3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解：根据图示可知：该不等式的解集为． 【变式1】. （25-26八年级上·浙江杭州·期末）不等式的解集表示在数轴上正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解不等式以及在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式的方法以及数轴表示不等式的解集是解题的关键． 先得出不等式的解集，再观察各选项的表示是否满足不等式解集即可． 【详解】解：不等式，解得， A、解集为，不满足题意要求； B、解集为，满足题意要求； C、解集为，不满足题意要求； D、解集为，不满足题意要求； 故选B． 【变式2】. （24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． 【变式3】. （25-26八年级上·河南驻马店·期末）解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”，最后在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 在数轴上表示不等式的解集如下． 题型04求一元一次不等式的特殊解 方法技巧：先求出不等式的完整解集，再根据特殊解要求（正整数、负整数、非负整数等），在解集中逐一筛选符合条件的数，注意边界值的取舍。 【典例4】. （25-26七年级下·上海·月考）求一元一次不等式的最小正整数解． 【答案】1 【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴最小正整数解为：1． 【变式1】. （2026·河北张家口·一模）能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解： ， ， ， ， ∴ 满足条件的负整数只有，共个． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，正确解方程和不等式是解题的关键．先解方程得到关于的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合是非正整数，求出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的方程的解为负数， ， ， 所有符合条件的非正整数为：，，，，， 所有符合条件的非正整数的和为：． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．观察在数轴上表示的解集，直接写出该不等式的正整数解． 【答案】解集为，在数轴上见解析，正整数解为，，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求一元一次不等式的整数解，通过移项和合并同类项解不等式，得到解集，然后在数轴上表示解集，观察得到正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示解集如图， ∴正整数解为，，． 题型05含参数的一元一次不等式求解 方法技巧：先将不等式整理为标准型或（含参数）；再分三类讨论： ①，不等号方向不变； ②，不等号方向改变； ③，判断不等式是否成立（无解或恒成立）。 【典例5】. （25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）解关于的不等式：（为常数且） 【答案】当时，；当时，不等式无解；当且时， 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先去分母把不等式转化为，再分，和三种情况解答即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即， 当，即时，不等式两边除以，得； 当，即时，不等式无解； 当，即且时，不等式两边除以，得； 综上，当时，；当时，不等式无解；当且时，． 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式解集的定义，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”是解题的关键． （1）分别解出两个不等式，再根据解相同列方程求解即可； （2）根据题意列出关于m的不等式，即可得解． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得， 两个不等式的解集完全相同， ， ． （2）解：不等式的所有解都能使不等式成立， ， 解得． 【变式2】. （25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程，解决下面的问题： (1)若，求的值； (2)若满足上面方程的不小于，求的取值范围； (3)求适合上面方程并满足的最小整数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，解决本题的关键是掌握解一元一次不等式，解一元一次方程的运算方法． （1）把代入，得出关于x的方程，解方程即可； （2）由题意得，得出．再由得，那么，解不等式即可． （3）由得出，把k的值代入得，，解不等式即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得． （2）解：， ， ， ， ， 解得． （3）解：， ， ， 把k的值代入得， ， 解得， 满足要求的最小整数x的值是． 【变式3】. （24-25七年级下·山东烟台·期末）已知关于x的不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，利用不等式的解集得出a、b的关系是解题关键． 先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集是， ，且， ，， 且， 把代入，得：， ， ， 不等式解集为：， ， 即不等式的解集是 题型06一元一次不等式与二元一次方程组的综合 方法技巧：先解二元一次方程组，用参数表示方程组的解；再将解代入不等式，得到关于参数的一元一次不等式；最后解该不等式，求出参数的取值范围。 【典例6】. （25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？ (2)若，且，试求x的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，二元一次方程组与不等式： （1）根据的解为，得到的解满足，进行求解即可； （2）分别用含的式子表示出，结合，且，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的解为， ∴的解满足， 解得． （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴x的最小值是5． 【变式1】. （25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程组，得， 为非正数，为负数， ， 解得， 的取值范围为； （2）解：， ， 不等式的解为， ，即， 的取值为． 整数． 【变式2】. （24-25八年级上·重庆·期中）（1）解二元一次方程组：； （2）求不等式的解集，并将解集表示在数轴上：． 【答案】 （1） （2），解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式；解答的关键是相应的知识的掌握与运用． （1）先用加减消元法，即可求解； （2）直接求该不等式的解集，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为：． （2）去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化一得． 解集表示在数轴上为： 【变式3】. （24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴，， 则原式． （3）解：由不等式可得 ∵不等式的解为， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． 题型07列一元一次不等式解决实际问题 方法技巧：第一步审清题意，抓住“至少、至多、不超过”等关键词，提炼不等关系；第二步设未知数，列一元一次不等式；第三步解不等式，检验解集是否符合实际意义；第四步写出答案，补上不等关系词汇。 【典例7】. （23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）一次智力测验，有20道选择题，评分标准是：对1题加5分，错1题扣2分，不答题不加分也不扣分．小亮有两道题未答，则他至少答对______道题，总分才不会低于60分． 【答案】14 【分析】设小亮答对x道题，根据题中条件得出答错的题数，再结合总分不低于60分列出一元一次不等式，求解后取最小正整数即可． 【详解】解：设小亮答对x道题， 由题意，小亮有两道题未答，因此答错道题， 根据题意列一元一次不等式得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 因为题数为正整数， 所以的最小值为． 【变式1】. （25-26七年级下·上海·月考）某次数学考试小王第一次得分70分，第二次得分83分，第三次至少多少分才能使平均分不低于80分？ 【答案】87分 【分析】根据题意列出不等式并解不等式即可． 【详解】解：设第三次得分，根据题意， 可得 ， 解得 ， 所以，第三次至少得87分，才能使三次的平均分不低于80分． 【变式2】. （25-26八年级下·陕西榆林·月考）全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂． (1)该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？ (2)若一周内需要生产不少于140万剂疫苗，选择大、小车间生产，问共有几种生产方案？ 【答案】(1)该公司每个大车间每周能生产疫苗15万剂，每个小车间每周能生产疫苗10万剂 (2)共有3种生产方案，方案1：投入8个大车间，2个小车间；方案2：投入9个大车间，1个小车间；方案3：投入10个大车间 【分析】（1）设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂，根据题意找出等量关系，列方程组，进行解答即可； （2）设投入m个大车间，则投入小车间个，根据题意列出不等式，进行解答即可． 【详解】（1）解：设该公司每个大车间每周能生产疫苗x万剂，每个小车间每周能生产疫苗y万剂， 依题意得：， 解得：． 答：该公司每个大车间每周能生产疫苗15万剂，每个小车间每周能生产疫苗10万剂． （2）解：设投入m个大车间，则投入小车间个， 依题意得：， 解得：， 即． 又∵m，均为正整数， ∴m可以为8，9，10，相应的为2，1，0 ∴共有3种生产方案， 方案1：投入8个大车间，2个小车间； 方案2：投入9个大车间，1个小车间； 方案3：投入10个大车间． 【变式3】. （25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）某校准备带领九年级同学参加物理和化学的实验考试，需要准备甲，乙两种手套，学校计划前往商场购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：副） 总费用（单位：元） 甲种手套 乙种手套 30 25 135 29 40 178 (1)甲种手套，乙种手套每副各多少元？ (2)该学校决定购买甲乙两种手套共1000副，且总费用不超过2450元，那么该中学最少可以购买甲种手套多少副？ 【答案】(1)甲种手套每副2元，乙种手套每副3元 (2)最少可以购买甲种手套550副 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设甲种手套每副x元，乙种手套每副y元，根据表格数据列方程组，进而解方程组即可求解； （2）设购买甲种手套为m副，则购买乙种手套副，根据题意列不等式，然后解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设甲种手套每副x元，乙种手套每副y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种手套每副2元，乙种手套每副3元； （2）解：设购买甲种手套为m副，则购买乙种手套副， 根据题意，得 ， 解得， 答：该中学最少可以购买甲种手套550副． 题型08一元一次不等式的最值问题 方法技巧：先求出不等式的解集，结合解集的取值边界，分析代数式的变化趋势；再根据题意确定代数式的最大值或最小值，注意实际问题中取整要求。 【典例8】. （24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 【变式1】. （24-25七年级上·湖南长沙·月考）已知，且，求的最大值． 【答案】17 【分析】本题主要考查了代数式的运算、解三元一次方程组、不等式等知识点，根据已知代数式将所求代数式转换成关于b的代数式成为解题的关键． 通过解方程组用b表示出a、c、d，然后代入得到只含b的代数式，最后结合b的范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ①+②得：④， ①+③得：⑤，即， ④+⑤得：，即， 将、代入得：， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为17． 【变式2】. （2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【详解】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式，解题的关键是不等式的数轴表示．根据不等式在数轴上表示即可，需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解：如图所示：， 故选：D． 2．将不等式化为“”或“”的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式，先移项，再在不等式的两边除以即可求解，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 不等式两边除以，得， 即， 故选：． 3．已知是不等式的一个解，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入不等式求出的取值范围，即可判断. 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴，即：， 故选：D ． 4．不等式的解集在数轴上表示如图所示，则阴影部分盖住的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的基本步骤得出不等式解集，再将求得的不等式代入数轴上表示出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 5．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用． 根据总人数不变，结合42座客车的乘坐情况（少租一辆，有一辆没坐满但超过30人），列出关于x的不等关系，对应选项判断即可． 【详解】解：设租36座的车x辆， 由题意得， 故选：D． 二、填空题 6．“与15的和不小于27”用不等式表示为______． 【答案】 / 【分析】先表示出b与15的和，再明确“不小于”表示的不等关系，即可将文字语言转化为数学不等式． 【详解】解：由题意得，b与15的和为，“不小于”的含义为大于等于，因此所得不等式为． 7．写出一个整数的值，使大于，则这个整数的值可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解不等式，通过解不等式得到，从而确定整数为负整数． 【详解】解：由题意得：， 移项得：， 即， 两边同时除以，不等号方向改变得：， 所以， 因此整数可以是任何负整数，如． 故答案为：． 8．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先由数轴判断不等式的解集，再根据解集写出一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知解集为， ∴解集是的一元一次不等式为． 9．如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据程序图分为奇数和偶数两种情况求出的最小值，通过比较找出最小的值． 【详解】解：当为偶数时， 可得：， 解得：， 是正整数， ； 当为奇数时， 可得：， 解得：， 为正整数， ， 输入的最小正整数是． 故答案为：． 10．茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 【答案】10 【分析】根据成品茶叶总质量表示出成品银针的质量，再结合鲜茶叶使用量不超过75千克的条件，列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设生产出的成品毛尖为千克，则生产出的成品银针为千克． 根据题意，得． 去括号，得． 合并同类项，得． 移项，得． 计算得． 系数化为1，得． 故生产出的成品毛尖至多为10千克． 三、解答题 11．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 (4)，数轴见解析 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解，再在数轴上表示解集． 【详解】（1）解：， 移项并合并同类项，得， 系数化为1得． 该解集在数轴上表示为 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为 （3）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为 （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为 12．下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 【答案】(1)不等式性质2；三 (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质及一元一次不等式的求解 （1）根据不等式的性质作答即可；第三步开始出错，移项时没有变号，写出正确的步骤即可； （2）按照正确的解一元一次不等式步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是不等式性质2. 第三步开始出现错误； 故答案为：不等式性质2；三． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 解一元一次不等式 教学目标 1.理解一元一次不等式的概念，能准确识别一元一次不等式。 2.掌握不等式的解与解集的概念，会用不等式和数轴两种方式表示解集。 3.熟练掌握解一元一次不等式的步骤，能正确求解并求其特殊解。 4.能解决含参数一元一次不等式的基础问题，初步学会分类讨论思想。 5.会列一元一次不等式解决简单实际问题，提升数学建模能力。 教学重难点 重点 （1）一元一次不等式的概念识别与判断。 （2）解一元一次不等式的步骤及正确变形。 （3）在数轴上准确表示不等式的解集。 （4）求一元一次不等式的正整数、整数等特殊解。 （5）根据实际问题中的关键词列一元一次不等式。 难点 （1）解不等式时，系数化为1步骤中乘除负数的不等号方向改变。 （2）含参数一元一次不等式的求解及根据解集求参数范围。 （3）不等式与方程（组）的综合应用，用参数表示解并代入不等式求解。 （4）实际问题中隐含不等关系的挖掘与转化。 （5）一元一次不等式恒成立问题的求解。 知识点01：一元一次不等式的概念 1.定义：只含有一个未知数，左右两边都是整式，且未知数的次数为1、系数不为0的不等式，叫做一元一次不等式。 2.标准形式：或（），也可表示为、（）。 3.与一元一次方程的异同对比： 对比维度 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 1.只含一个未知数； 2.两边都是整式； 3.未知数次数为1 1.只含一个未知数； 2.两边都是整式； 3.未知数次数为1 不同点 用不等号（>、<、≥、≤）表示不等关系 用等号（=）表示相等关系 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次不等式，则__________． 知识点02：不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的单个值，一个不等式有无数个解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，解集是一个取值范围。 3.解与解集的关系：不等式的每一个解都是解集的一个元素，解集包含所有解。 4.解集的两种表示方法： 不等式表示：如、，简洁直观； 数轴表示：定边界点（含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈），定方向（大于向右，小于向左）。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·上海闵行·期中）已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．不是这个不等式的解 C．小于的数都是这个不等式的解 D．小于的数都是这个不等式的解 知识点03：一元一次不等式的解法 1.核心思路：类比一元一次方程的解法，利用不等式的基本性质，将不等式逐步变形为、、或的形式。 2.基本步骤、依据及注意事项： 解题步骤 具体做法 变形依据 核心注意事项 去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1.不漏乘不含分母的项；2.分子是多项式时加括号 去括号 按去括号法则，先小后大（或先大后小） 分配律、去括号法则 括号外是负数时，括号内各项要变号 移项 含未知数的项移到一边，常数项移到另一边 不等式性质1 移项要变号，不等号方向不变 合并同类项 系数相加，字母及指数不变 合并同类项法则 准确计算系数和，避免计算错误 系数化为1 两边同除以未知数系数（或乘其倒数） 不等式性质2、3 除以负数时，必须改变不等号方向 3. 与解一元一次方程的核心差异：系数化为1时，不等式需判断系数的正负，负数要变号，方程无需考虑。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·月考）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    知识点04：一元一次不等式的特殊解 1.定义：在不等式的解集中，符合特定条件的解，如正整数解、负整数解、非负整数解、整数解等。 2.求解思路：先求出不等式的完整解集，再根据特殊解的条件筛选出符合要求的解。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）求不等式的正整数解． 题型01一元一次不等式的概念识别 方法技巧：紧扣“一个未知数、整式、次数1、系数≠0”四大核心要素，逐一排查选项，不符合任一要素则不是一元一次不等式。 【典例1】. （25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是( ) A． B． C． D． 【变式1】. （23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】. （25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为_________． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 题型02解一元一次不等式 方法技巧：严格按照“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”步骤求解；每步关注易错点，如去分母不漏乘、去括号变号、系数化为1时负数变号。 【典例2】. （25-26九年级上·陕西西安·期末）不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式1】. （2026·陕西西安·二模）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【变式3】. （25-26八年级上·浙江湖州·期末）解不等式： (1)； (2)． 题型03在数轴上表示不等式的解集 方法技巧：分两步操作，第一步定边界：含等号（≥、≤）用实心圆点，不含等号（>、<）用空心圆圈；第二步定方向：“大于”向右画，“小于”向左画，标注清晰。 【典例3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________． 【变式1】. （25-26八年级上·浙江杭州·期末）不等式的解集表示在数轴上正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【变式3】. （25-26八年级上·河南驻马店·期末）解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 题型04求一元一次不等式的特殊解 方法技巧：先求出不等式的完整解集，再根据特殊解要求（正整数、负整数、非负整数等），在解集中逐一筛选符合条件的数，注意边界值的取舍。 【典例4】. （25-26七年级下·上海·月考）求一元一次不等式的最小正整数解． 【变式1】. （2026·河北张家口·一模）能使不等式成立的负整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】. （25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．观察在数轴上表示的解集，直接写出该不等式的正整数解． 题型05含参数的一元一次不等式求解 方法技巧：先将不等式整理为标准型或（含参数）；再分三类讨论： ①，不等号方向不变； ②，不等号方向改变； ③，判断不等式是否成立（无解或恒成立）。 【典例5】. （25-26九年级上·江苏宿迁·自主招生）解关于的不等式：（为常数且） 【变式1】. （25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的两个不等式：与． (1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值； (2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围． 【变式2】. （25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程，解决下面的问题： (1)若，求的值； (2)若满足上面方程的不小于，求的取值范围； (3)求适合上面方程并满足的最小整数的值． 【变式3】. （24-25七年级下·山东烟台·期末）已知关于x的不等式的解集是，求不等式的解集． 题型06一元一次不等式与二元一次方程组的综合 方法技巧：先解二元一次方程组，用参数表示方程组的解；再将解代入不等式，得到关于参数的一元一次不等式；最后解该不等式，求出参数的取值范围。 【典例6】. （25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？ (2)若，且，试求x的最小值． 【变式1】. （25-26八年级上·浙江金华·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)若不等式的解为，求整数的值． 【变式2】. （24-25八年级上·重庆·期中）（1）解二元一次方程组：； （2）求不等式的解集，并将解集表示在数轴上：． 【变式3】. （24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 题型07列一元一次不等式解决实际问题 方法技巧：第一步审清题意，抓住“至少、至多、不超过”等关键词，提炼不等关系；第二步设未知数，列一元一次不等式；第三步解不等式，检验解集是否符合实际意义；第四步写出答案，补上不等关系词汇。 【典例7】. （23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）一次智力测验，有20道选择题，评分标准是：对1题加5分，错1题扣2分，不答题不加分也不扣分．小亮有两道题未答，则他至少答对______道题，总分才不会低于60分． 【变式1】. （25-26七年级下·上海·月考）某次数学考试小王第一次得分70分，第二次得分83分，第三次至少多少分才能使平均分不低于80分？ 【变式2】. （25-26八年级下·陕西榆林·月考）全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过12亿剂次．为了满足市场需求，某公司计划投入10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂． (1)该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？ (2)若一周内需要生产不少于140万剂疫苗，选择大、小车间生产，问共有几种生产方案？ 【变式3】. （25-26九年级下·辽宁鞍山·开学考试）某校准备带领九年级同学参加物理和化学的实验考试，需要准备甲，乙两种手套，学校计划前往商场购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：副） 总费用（单位：元） 甲种手套 乙种手套 30 25 135 29 40 178 (1)甲种手套，乙种手套每副各多少元？ (2)该学校决定购买甲乙两种手套共1000副，且总费用不超过2450元，那么该中学最少可以购买甲种手套多少副？ 题型08一元一次不等式的最值问题 方法技巧：先求出不等式的解集，结合解集的取值边界，分析代数式的变化趋势；再根据题意确定代数式的最大值或最小值，注意实际问题中取整要求。 【典例8】. （24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【变式1】. （24-25七年级上·湖南长沙·月考）已知，且，求的最大值． 【变式2】. （2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．将不等式化为“”或“”的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是不等式的一个解，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集在数轴上表示如图所示，则阴影部分盖住的数是（   ） A． B． C． D． 5．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．“与15的和不小于27”用不等式表示为______． 7．写出一个整数的值，使大于，则这个整数的值可以是__________． 8．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：______． 9．如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是_________． 10．茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 三、解答题 11．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $