19.3第2课时二次根式的混合运算 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

19.3二次根式的加法与减法第2课时二次根式的混合运算 知识分点练 夯基础 知识点1 二次根式的混合运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： （1）______． （2）______． 4．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点2 运用乘法公式计算 5．计算的结果为______． 6．已知，则的值为__________． 7．已知，则代数式的值是______． 8．设．求和的值． 能力综合练 练思维 9．比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________． 10．已知，，则代数式的值等于________． 11．若为的小数部分，则的值为____． 12．已知，，则代数式的值是____________； 13．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是______．    14．若，则代数式的值为_____________． 15．计算： (1)； (2)． 16．计算： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．已知． (1)求的值； (2)求的值． 拓展探究练 提素养 19．观察下列等式： ①； ②； ③； … 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：． (2)计算：________（为正整数）． (3)计算：． 20．【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加法与减法第2课时二次根式的混合运算 知识分点练 夯基础 知识点1 二次根式的混合运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算及二次根式的平方差公式应用，根据合并同类项、积的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵合并同类项法则：同类项系数相加，字母及指数不变 ∴，故A选项错误； ∵积的乘方法则：，且负号在括号外， ∴，故B选项错误； ∵平方差公式：，这里，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 2．计算：________． 【答案】/ 【分析】先运用完全平方公式展开完全平方式，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算： （1）______． （2）______． 【答案】 1 【分析】（1）先根据立方根的定义，负整数指数幂的运算性质，零指数幂的运算性质化简各项，再进行有理数的加减运算； （2）根据二次根式的乘除运算法则化简计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 4．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再计算减法即可． （2）化为最简二次根式，合并被开方数相同的最简二次根式，约分后得出答案． （3）二次根式的混合运算：先乘除，再加减，依次计算即可． （4）二次根式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，依次计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 知识点2 运用乘法公式计算 5．计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，应用完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．已知，则的值为__________． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的运算、完全平方公式的应用．解题关键是将转化为，再分别计算和的值． 【详解】解： ． 故答案为：10． 7．已知，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、乘法公式，解题的关键是熟练掌握应用乘法公式，掌握二次根式的混合运算法则． 将代入代数式，利用完全平方公式以及平方差公式计算即可． 【详解】解：把代入代数式得， 原式 ． 故答案为：． 8．设．求和的值． 【答案】，4 【分析】本题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及熟练地运用完全平方公式． 分别将a，b代入中计算；先利用完全平方公式整理，再将a，b代入计算即可． 【详解】解： 能力综合练 练思维 9．比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________． 【答案】 【分析】将三个数转化为算术平方根的形式，通过比较被开方数的大小得到原数的大小关系即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即． 10．已知，，则代数式的值等于________． 【答案】19 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，已知字母的值，求代数式的值，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．先求出，，再将完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ． 故答案为：19． 11．若为的小数部分，则的值为____． 【答案】 【分析】估算出在哪两个连续整数之间求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是估算出在哪两个连续整数之间． 12．已知，，则代数式的值是____________； 【答案】 【分析】根据题中条件，利用二次根式性质化简，代入求值即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 13．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是______．    【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的乘法运算，无理数的估算．先把代入代数式得代数式的值为，再判断与11的大小，直到计算结果大于11再输出结果，从而可得答案． 【详解】解：当时，， 由，所以不能输出， 当时，， 由， ∴输出的结果是， 故答案为：． 14．若，则代数式的值为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，把所求式子变形为，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式， 故答案为： 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先利用平方差公式将原式展开，然后进行合并，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 18．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）利用二次根式的运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【详解】（1）解：， ；， （2）由（1）可知：，． ． 拓展探究练 提素养 19．观察下列等式： ①； ②； ③； … 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简：． (2)计算：________（为正整数）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键： （1）根据分母有理化，计算即可； （2）根据分母有理化，计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 20．【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $