8.3实数及其简单运算（7知识点+12题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

8.3实数及其简单运算 （7知识点+12题型+过关检测） 【题型1 无理数的判断】 1 【题型2 实数的分类】 3 【题型3 实数的相关性质】 4 【题型4 实数与数轴】 6 【题型5 比较实数的大小】 8 【题型6 无理数的估算】 10 【题型7 实数的混合运算】 11 【题型8 实数在程序设计中的应用】 13 【题型9 实数中与整数部分有关的运算】 14 【题型10 新定义下的实数运算】 16 【题型11 实数运算中的规律问题】 17 【题型12 实数运算与实际应用】 20 · 掌握核心概念：理解无理数和实数的定义，能准确判断无理数，掌握实数的完整分类标准，厘清有理数与无理数的本质区别。 · 吃透性质定理：熟记实数的相关性质（相反数、绝对值、倒数），掌握实数与数轴上的点一一对应的核心关系，能利用数轴解决实数相关问题。 · 提升运算能力：熟练进行实数的大小比较、无理数估算，掌握实数的加减乘除及混合运算，能处理实数范围内的绝对值、化简类运算。 · 突破综合题型：会解决实数与整数部分、新定义运算、程序设计、实际应用等综合题型，规范实数运算的书写格式，规避常见易错点。 03 知识•梳理 知识点1. 无理数的定义与常见类型 定义：无限不循环小数叫做无理数。 核心特征：无限、不循环，二者缺一不可；有限小数和无限循环小数都属于有理数，不是无理数。 常见无理数类型： 1. 含π类：如、、、等（π是无限不循环小数）； 2. 开方开不尽的数：如、、、等（开方结果是无限不循环小数）； 3. 有规律但不循环的无限小数：如（相邻两个1之间0的个数依次加1）、等； 4. 特殊结构小数：部分三角函数值（初中阶段仅需掌握基础常见型）。 无理数常见误区：带根号的数不一定是无理数（如、是有理数）；分数一定是有理数，不存在分数形式的无理数。 知识点2. 实数的定义与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类方式一：按定义分类 · 实数 · 有理数：整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数），可表示为有限小数或无限循环小数； · 无理数：无限不循环小数，正无理数、负无理数。 分类方式二：按正负分类 · 实数 · 正实数：正有理数、正无理数； · 0； · 负实数：负有理数、负无理数。 知识点3. 实数与数轴的核心关系 一一对应：数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示。 利用数轴：右边的点表示的实数总比左边的大，可直观比较实数大小、表示无理数位置。 知识点4. 实数的相关性质 · 相反数：实数的相反数是；0的相反数是0；若互为相反数，则。 · 绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；即，绝对值具有非负性。 · 倒数：非零实数的倒数是；0没有倒数；若互为倒数，则。 知识点5. 实数的大小比较 · 数轴法：数轴上右边的数＞左边的数； · 正负比较法：正数＞0＞负数，两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值大的反而小； · 作差法、平方法（常用于无理数大小比较）。 知识点6. 实数的运算 · 运算范围：有理数的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内完全适用； · 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里的； · 化简要求：含绝对值的先判断正负再去绝对值符号，无理数结果保留最简根式即可。 知识点7. 无理数的估算 核心方法：找到无理数的被开方数介于哪两个相邻的完全平方数（或完全立方数）之间，再确定无理数的整数部分和小数部分。 示例：，则的整数部分是2，小数部分是。 04 题型•汇总 【题型1 无理数的判断】 解题思路： 紧扣无理数“无限不循环小数”的核心定义，逐一排查选项：先排除整数、分数、有限小数、无限循环小数，再筛选含π、开方开不尽、有规律但不循环的无限小数，避开“带根号就是无理数”的误区。 【典例1】．下列各数中，是无理数的为（   ） A． B． C．3.3 D． 【答案】B 【分析】根据无理数和有理数的定义判断选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称． 【详解】解：A选项是整数，属于有理数； B选项是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； C选项3.3是有限小数，可化为分数，属于有理数； D选项是分数，属于有理数． 所以无理数的是B． 跟随训练1-1．在下列五个数中：，0，，，（两个1之间依次多一个2）有理数的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，熟记概念是解题的关键，根据有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数是无理数，逐个判断即可. 【详解】解： 在，0，，，（两个1之间依次多一个2）中， 是分数，是有理数， 0是整数，是有理数， 是有限小数，可化为分数，是有理数， 是无理数，是无限不循环小数，是无理数， ∴ 有理数的个数为3个. 跟随训练1-2．在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有__________个无理数． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断每个数即可． 【详解】解：3.16是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是无理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； （每两个2之间依次多1个1）是无限不循环小数，是无理数； 1.3是有限小数，是有理数． 故无理数有2个． 故答案为：2． 【题型2 实数的分类】 解题思路： 严格按照实数分类标准，先区分有理数和无理数，再细分整数、分数、正实数、负实数；分类时不重复、不遗漏，0既不是正数也不是负数，分数包含有限小数和无限循环小数。 【典例2】．在数，，0，中有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数和无理数的定义逐个判断，即可求解． 【详解】解：根据有理数和无理数的定义，可知和为无理数，0和为有理数， 有理数有2个． 跟随训练2-1．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关概念是解题的关键，正整数是大于零的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数．根据实数的分类即可解答． 【详解】解：是正整数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是整数，不是正整数； 是有限小数，是分数； ，是正整数； 是分数； （每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数， 故答案为：正整数：；分数：；无理数：． 跟随训练2-2．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 【题型3 实数的相关性质】 解题思路： 直接套用实数的相反数、绝对值、倒数性质解题，注意绝对值的非负性，多个非负数（绝对值、算术平方根、平方）和为0时，每一项都为0；求相反数、倒数时，连同符号一起运算。 【典例3】．实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义．先求给定实数的倒数，再求该倒数的相反数，即可得到结果， 【详解】解：实数的倒数， 则的相反数是2， 即实数的倒数的相反数是2， 故选：C． 跟随训练3-1．（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 跟随训练3-2．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1， (2)1或 (3)2或0或 【分析】本题考查了绝对值，实数的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）把a的值代入计算即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，分别化简绝对值即可； （3）分四种情况讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，分别化简绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，； （2）当时，； 当时，； 即当实数a不等于零时，的值是1或； （3）当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或0或． 【题型4 实数与数轴】 解题思路： 抓住“实数与数轴上的点一一对应”核心，利用数轴判断实数正负、大小关系，去绝对值符号时先根据数轴确定式子的正负，再按照绝对值性质化简，数形结合解题。 【典例4】．如图，在数轴上点A表示的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴与无理数的几何意义，解题的关键是利用勾股定理计算出线段长度，结合数轴确定点表示的实数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为和； 由勾股定理得，斜边长为； 数轴上点在原点右侧，且到原点的距离为， 则点表示的实数为； 故选：A． 跟随训练4-1．点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是__． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算及数轴上点的坐标特征，关键是通过不等式确定目标实数的取值范围，再对应到数轴上的点．首先估算的取值范围，进而推导的范围，最后匹配数轴上的点． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， ∴， 观察数轴可知，点在负数区域，点、在大于1的区域，只有点在0到之间的正数区域，故表示的点是； 故答案为：． 跟随训练4-2．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． (1)根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； (2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， ， 点表示的数是． 【题型5 比较实数的大小】 解题思路： 常用方法：①正负区分法（正数＞0＞负数）；②数轴法；③平方法（比较两个正无理数，平方大的数大）；④绝对值法（两个负数比较，绝对值大的反而小）。 【典例5】．在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先区分正数与负数，负数小于正数，再比较两个正数的大小即可确定最大数． 【详解】解：∵， ∴， ∵正数大于负数， ∴中，最大的数为； 故选：C． 跟随训练5-1．比较：________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】利用分母相同的正分数比较大小的规则，通过比较分子的大小来判断两个分数的大小关系，先确定的取值范围，进而得到分子的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个正分数分母相同，分子大的分数值大， ∴． 跟随训练5-2．比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． （1）使用作差法，计算两数之差，通过判断差的正负来比较大小； （2）使用作差法，计算两数之差，若差为正，则被减数大于减数． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 【题型6 无理数的估算】 解题思路： 找到被开方数介于两个相邻完全平方数之间，确定无理数的整数部分；小数部分=无理数本身-整数部分，估算取值范围时，保留一位或两位小数即可。 【典例6】．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，通过找到与被开方数相邻的两个平方数，确定无理数的范围，再进行简单运算得到最终式子的范围． 【详解】解： 即 即 的值在和之间 故选：B． 跟随训练6-1．已知，其中为正整数，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合已知条件即可求出正整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵，为正整数， ∴． 跟随训练6-2．魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且最小，则用该方法计算的值约为____． 【答案】5.2 【分析】先确定与27最接近的完全平方数，从而得出a和r的值，再代入给定的近似公式计算即可． 【详解】解：因为，且， 所以取正整数，此时， 根据题目中的近似公式， 将，代入得：（或）． 【题型7 实数的混合运算】 解题思路： 严格遵循运算顺序：先开方、乘方，再乘除，最后加减；有绝对值先判断正负去符号，合并同类二次根式，结果保留最简形式，有理数与无理数分开运算，切勿随意近似取值。 【典例7】．（1）计算：； （2）求x的值： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） 则， ∴． 跟随训练7-1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先计算乘方，除法转化为乘法，再从左到右依次计算乘除运算，最后计算减法； （2）先分别计算乘方、立方根、绝对值和算术平方根，再进行加减运算，注意，故，去掉绝对值后前面加负号需变号． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 跟随训练7-2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用乘法分配律简便运算即可； （2）先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，再进行加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型8 实数在程序设计中的应用】 解题思路： 读懂程序框图的运算规则，按照程序步骤，代入实数（含无理数）依次计算，注意判断条件，区分不同条件下的运算路径，最终输出结果，本质是实数运算的实际应用。 【典例8】．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数值转换机示意图，结合算术平方根定义，进行运算求值即可． 【详解】解：， ， ∴输出结果为3． 跟随训练8-1．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，算术平方根，立方根，无理数概念，根据程序流程图的顺序进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题图可知：当输入的值为时，，是有理数， 然后求的立方根：，是有理数， 再求的算术平方根：，是无理数， 则输出， 故答案为：． 跟随训练8-2．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 【题型9 实数中与整数部分有关的运算】 解题思路： 先估算无理数的整数部分，再确定小数部分，将整数部分、小数部分整体代入代数式计算，核心是掌握“小数部分=原无理数-整数部分”的公式，避免小数部分取值错误。 【典例9】．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算及其整数部分，根据无理数的估算得出，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 跟随训练9-1．大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a和b，再代入计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴的整数部分为8，的整数部分为1， ∵的小数部分为，的小数部分为， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 跟随训练9-2．大家知道的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用来表示的小数部分（因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）． （1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值____________． （2）已知：，其中x是整数，且，求的相反数____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先根据的小数部分为，的整数部分为，求出、的值，然后求出即可； （2）根据，其中x是整数，且，得出x为的整数部分，y为的小数部分，得出，，求出，最后写出其相反数即可． 【详解】解：（1）∵，, ∴，， ∵的小数部分为， ∴， ∵的整数部分为， ∴， ∴. （2）∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴ 的相反数为. 【题型10 新定义下的实数运算】 解题思路： 严格按照题目给出的新定义规则，将实数（含无理数）代入定义式，转化为常规实数混合运算，再按照运算顺序计算，注意新定义符号的含义，切勿混淆常规运算与新定义运算。 【典例10】．对于任意实数a、b，定义一种运算:．例如．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的解法以及实数的运算，通过解不等式求得不等式的解集是解题的关键．据新定义可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：※， ， 故选：A 跟随训练10-1．新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，根据题意求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， 由于x和y为两个连续正整数，， ∴，， ∴ ∴的算术平方根为4， 故选：C． 跟随训练10-2．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则______． 【答案】3.8 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键． 先根据新定义求出，，据此代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：3.8 【题型11 实数运算中的规律问题】 解题思路： 这类题型核心是先观察已知的实数运算算式，重点分析被开方数、结果的数字变化规律，结合平方根、立方根的运算性质，总结通用规律，再利用规律直接求解未知算式，常结合无理数估算、根式化简综合考查，关键是找准相邻算式的变化逻辑，避免规律总结错误。 【典例11】．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解.根据差倒数写出，得到规律即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，，，， ∴个数一循环， ， ∴． 故选：A． 跟随训练11-1．对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 【答案】 2 / 【分析】（1）根据给定的变换规则，先计算再计算即可； （2）先计算前几次变换的结果，归纳得到循环周期，再根据总项数和周期计算总和． 【详解】（1）当时，， ； （2）当时， ， ， ， 因此结果每3个数为一个循环周期， 一个周期内的和为， ， ． 跟随训练11-2．观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）根据平方差公式计算，即可得出规律； （2）根据题意给出规律，比较它们倒数的大小即可求出答案； （3）根据题意给出的规律进行化简后即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意：第8个等式， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 【题型12 实数运算与实际应用】 解题思路： 将实际生活中的问题转化为实数运算模型，多结合几何图形（正方形、正方体、圆）的面积、体积公式，或者行程、购物等实际场景，先根据题意列出含平方根、立方根或无理数的算式，再按照实数运算规则计算，结果贴合实际意义（如长度、面积取正值，无理数可保留最简根式或按要求估算），注意单位统一和结果合理性。 【典例12】．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 跟随训练12-1．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 跟随训练12-2．如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用、正方形与长方形的面积计算． （1）抓住“剪拼前后图形总面积不变”的核心，得到大正方形的面积，再通过正方形面积公式求边长． （2）通过设长方形纸片的宽为，长为，根据长方形的面积列方程得到长方形的长和宽，判断裁剪的可行性． 【详解】（1）解：∵小正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的边长为； 故答案为：； （2）解：设长方形纸片的宽为，则长为，由题意得：， 解得（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴不能剪出这样的长方形． 05 过关•检测 1．下列四个数中，其绝对值最大的数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 先根据绝对值的性质求出各数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而确定绝对值最大的数即可． 【详解】解：，，，， ∵，即， ∴绝对值最大的数是． 故选：B． 2．已知整数m满足，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，只需确定介于哪两个连续整数之间，即可求出整数m的值． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴， ∵，m为整数， ∴， 故选：C． 3．下列判断正确的是（　　） A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数 C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数 【答案】A 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，根据定义逐一判断每个选项的正误即可得到答案． 【详解】解：A选项，∵，2是整数，整数属于有理数， ∴该判断正确． B选项，∵是分数，分数属于有理数， ∴该判断错误． C选项，∵是无理数， ∴仍是无理数，不是有理数， ∴该判断错误． D选项，∵3.1415926是有限小数，有限小数属于有理数， ∴该判断错误． 故选：A． 4．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 5．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 6．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，理解“调日法”的算法规则是解题关键，按照规则依次进行三次计算即可得到结果． 【详解】解：∵． ∴第一次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第二次使用“调日法”得． ∵． ∴此时． 第三次使用“调日法”得． ∴使用三次“调日法”得到的近似分数为， 故选：C． 7．的整数部分是______． 【答案】 1 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质得到的取值范围，即可确定其整数部分． 【详解】解：∵，，且， ∴根据算术平方根的性质，可得. 不等式两边同时减1，得， 即， ∴的整数部分是1． 8．已知，且m是整数，则m的值为________． 【答案】3 【分析】先估算无理数的取值范围，再结合已知不等式和为整数的条件，即可确定的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，即 ． ∵ ，且是整数， ∴ 满足条件的整数为． 9．对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则__________． 【答案】1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据新定义的运算规则，先计算内层运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：首先计算 ， 然后计算 ， 故答案为：． 10．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是_________． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小． 分别估算三个数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，， 被墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 11．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 【答案】63 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与运算，解题的关键是根据所给式子得出结论．通过观察给定等式的规律，发现对于正整数a，等式成立，因此当时，n的值为． 【详解】解：已知，，，……， 可归纳出一般形式：． 当时，． 故答案为63． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，根据立方根，算术平方根的性质进行化简，进行解答即可； （2）根据立方根，算术平方根的性质进行化简，进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 14．阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 【答案】(1)的整数部分是3，小数部分为 (2)6 【分析】本题考查了估算无理数的大小估算，立方根，平方根的含义，求代数式的值． （1）根据题干中的方法即可求出结果； （2）根据题意可得，，，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分是3，小数部分为． （2）解：∵a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分， ∴，，， ∴. 15．对于一个三位自然数（a，b，c是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（t为9以内的正整数），则n是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以________，________，________． 所以________， 所以n是“好六数”． (3)已知三位自然数m是“好六数”，且，p是m去掉其百位数字后的两位数，而q是m去掉其个位数字后的两位数，请说明p与q的和能被3整除． 【答案】(1)不是 (2)，，7； (3)见解析 【分析】本题主要考查了新定义下的整式的加减，有理数的混合运算，列代数式，解题的关键是掌握新定义． （1）根据新定义进行验证即可； （2）整理代数式，然后根据新定义进行验证即可； （3）整理整式，表示出原数各位上的数字，表示出p与q，然后得出p与q的和，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴352不是“好六数”， 故答案为：不是； （2）解：因为， 所以，，． 所以， 所以n是“好六数”． 故答案为：，，7；； （3）解： ， 的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4， 是“好六数”， ， 即， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 又∵， ， ∵， 且为正整数， 为正整数， 能被3整除． 16．我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 【答案】(1)0 (2)5 (3)是关于7的对称数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，实数的运算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，根据x、y都是有理数，得到，据此求出x、y的值，进而计算与的值，再根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵与8是关于4的对称数， ∴， 解得； （2）解：∵与是关于的对称数， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是有理数， ∴都是有理数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与是关于7的对称数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3实数及其简单运算 （7知识点+12题型+过关检测） 【题型1 无理数的判断】 3 【题型2 实数的分类】 3 【题型3 实数的相关性质】 4 【题型4 实数与数轴】 4 【题型5 比较实数的大小】 5 【题型6 无理数的估算】 6 【题型7 实数的混合运算】 6 【题型8 实数在程序设计中的应用】 6 【题型9 实数中与整数部分有关的运算】 7 【题型10 新定义下的实数运算】 8 【题型11 实数运算中的规律问题】 8 【题型12 实数运算与实际应用】 9 · 掌握核心概念：理解无理数和实数的定义，能准确判断无理数，掌握实数的完整分类标准，厘清有理数与无理数的本质区别。 · 吃透性质定理：熟记实数的相关性质（相反数、绝对值、倒数），掌握实数与数轴上的点一一对应的核心关系，能利用数轴解决实数相关问题。 · 提升运算能力：熟练进行实数的大小比较、无理数估算，掌握实数的加减乘除及混合运算，能处理实数范围内的绝对值、化简类运算。 · 突破综合题型：会解决实数与整数部分、新定义运算、程序设计、实际应用等综合题型，规范实数运算的书写格式，规避常见易错点。 03 知识•梳理 知识点1. 无理数的定义与常见类型 定义：无限不循环小数叫做无理数。 核心特征：无限、不循环，二者缺一不可；有限小数和无限循环小数都属于有理数，不是无理数。 常见无理数类型： 1. 含π类：如、、、等（π是无限不循环小数）； 2. 开方开不尽的数：如、、、等（开方结果是无限不循环小数）； 3. 有规律但不循环的无限小数：如（相邻两个1之间0的个数依次加1）、等； 4. 特殊结构小数：部分三角函数值（初中阶段仅需掌握基础常见型）。 无理数常见误区：带根号的数不一定是无理数（如、是有理数）；分数一定是有理数，不存在分数形式的无理数。 知识点2. 实数的定义与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类方式一：按定义分类 · 实数 · 有理数：整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数），可表示为有限小数或无限循环小数； · 无理数：无限不循环小数，正无理数、负无理数。 分类方式二：按正负分类 · 实数 · 正实数：正有理数、正无理数； · 0； · 负实数：负有理数、负无理数。 知识点3. 实数与数轴的核心关系 一一对应：数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示。 利用数轴：右边的点表示的实数总比左边的大，可直观比较实数大小、表示无理数位置。 知识点4. 实数的相关性质 · 相反数：实数的相反数是；0的相反数是0；若互为相反数，则。 · 绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；即，绝对值具有非负性。 · 倒数：非零实数的倒数是；0没有倒数；若互为倒数，则。 知识点5. 实数的大小比较 · 数轴法：数轴上右边的数＞左边的数； · 正负比较法：正数＞0＞负数，两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值大的反而小； · 作差法、平方法（常用于无理数大小比较）。 知识点6. 实数的运算 · 运算范围：有理数的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内完全适用； · 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里的； · 化简要求：含绝对值的先判断正负再去绝对值符号，无理数结果保留最简根式即可。 知识点7. 无理数的估算 核心方法：找到无理数的被开方数介于哪两个相邻的完全平方数（或完全立方数）之间，再确定无理数的整数部分和小数部分。 示例：，则的整数部分是2，小数部分是。 04 题型•汇总 【题型1 无理数的判断】 解题思路： 紧扣无理数“无限不循环小数”的核心定义，逐一排查选项：先排除整数、分数、有限小数、无限循环小数，再筛选含π、开方开不尽、有规律但不循环的无限小数，避开“带根号就是无理数”的误区。 【典例1】．下列各数中，是无理数的为（   ） A． B． C．3.3 D． 跟随训练1-1．在下列五个数中：，0，，，（两个1之间依次多一个2）有理数的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 跟随训练1-2．在数，，，，，（每两个之间依次多个），中，有__________个无理数． 【题型2 实数的分类】 解题思路： 严格按照实数分类标准，先区分有理数和无理数，再细分整数、分数、正实数、负实数；分类时不重复、不遗漏，0既不是正数也不是负数，分数包含有限小数和无限循环小数。 【典例2】．在数，，0，中有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练2-1．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 跟随训练2-2．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【题型3 实数的相关性质】 解题思路： 直接套用实数的相反数、绝对值、倒数性质解题，注意绝对值的非负性，多个非负数（绝对值、算术平方根、平方）和为0时，每一项都为0；求相反数、倒数时，连同符号一起运算。 【典例3】．实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 跟随训练3-1．（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 跟随训练3-2．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 【题型4 实数与数轴】 解题思路： 抓住“实数与数轴上的点一一对应”核心，利用数轴判断实数正负、大小关系，去绝对值符号时先根据数轴确定式子的正负，再按照绝对值性质化简，数形结合解题。 【典例4】．如图，在数轴上点A表示的实数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是__． 跟随训练4-2．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【题型5 比较实数的大小】 解题思路： 常用方法：①正负区分法（正数＞0＞负数）；②数轴法；③平方法（比较两个正无理数，平方大的数大）；④绝对值法（两个负数比较，绝对值大的反而小）。 【典例5】．在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 跟随训练5-1．比较：________（填“”“ ”或“”）． 跟随训练5-2．比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【题型6 无理数的估算】 解题思路： 找到被开方数介于两个相邻完全平方数之间，确定无理数的整数部分；小数部分=无理数本身-整数部分，估算取值范围时，保留一位或两位小数即可。 【典例6】．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 跟随训练6-1．已知，其中为正整数，则的值为______． 跟随训练6-2．魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且最小，则用该方法计算的值约为____． 【题型7 实数的混合运算】 解题思路： 严格遵循运算顺序：先开方、乘方，再乘除，最后加减；有绝对值先判断正负去符号，合并同类二次根式，结果保留最简形式，有理数与无理数分开运算，切勿随意近似取值。 【典例7】．（1）计算：； （2）求x的值： 跟随训练7-1．计算： (1)； (2)． 跟随训练7-2．计算 (1)； (2)． 【题型8 实数在程序设计中的应用】 解题思路： 读懂程序框图的运算规则，按照程序步骤，代入实数（含无理数）依次计算，注意判断条件，区分不同条件下的运算路径，最终输出结果，本质是实数运算的实际应用。 【典例8】．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 跟随训练8-1．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 跟随训练8-2．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 【题型9 实数中与整数部分有关的运算】 解题思路： 先估算无理数的整数部分，再确定小数部分，将整数部分、小数部分整体代入代数式计算，核心是掌握“小数部分=原无理数-整数部分”的公式，避免小数部分取值错误。 【典例9】．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 跟随训练9-1．大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（  ） A．1 B．0 C． D． 跟随训练9-2．大家知道的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用来表示的小数部分（因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）． （1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值____________． （2）已知：，其中x是整数，且，求的相反数____________． 【题型10 新定义下的实数运算】 解题思路： 严格按照题目给出的新定义规则，将实数（含无理数）代入定义式，转化为常规实数混合运算，再按照运算顺序计算，注意新定义符号的含义，切勿混淆常规运算与新定义运算。 【典例10】．对于任意实数a、b，定义一种运算:．例如．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D．都不对 跟随训练10-1．新定义对于实数a，b，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 跟随训练10-2．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则______． 【题型11 实数运算中的规律问题】 解题思路： 这类题型核心是先观察已知的实数运算算式，重点分析被开方数、结果的数字变化规律，结合平方根、立方根的运算性质，总结通用规律，再利用规律直接求解未知算式，常结合无理数估算、根式化简综合考查，关键是找准相邻算式的变化逻辑，避免规律总结错误。 【典例11】．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D．4 跟随训练11-1．对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 跟随训练11-2．观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 【题型12 实数运算与实际应用】 解题思路： 将实际生活中的问题转化为实数运算模型，多结合几何图形（正方形、正方体、圆）的面积、体积公式，或者行程、购物等实际场景，先根据题意列出含平方根、立方根或无理数的算式，再按照实数运算规则计算，结果贴合实际意义（如长度、面积取正值，无理数可保留最简根式或按要求估算），注意单位统一和结果合理性。 【典例12】．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 跟随训练12-1．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 跟随训练12-2．如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 05 过关•检测 1．下列四个数中，其绝对值最大的数是（   ） A．3 B． C． D． 2．已知整数m满足，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．下列判断正确的是（　　） A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数 C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数 4．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 5．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 6．南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．现已知，则使用三次“调日法”可得到的一个更为精确的近似分数为（   ） A． B． C． D． 7．的整数部分是______． 8．已知，且m是整数，则m的值为________． 9．对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则__________． 10．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是_________． 11．已知，，，……，类比这些等式，若（为正整数），则等于___________． 12．计算： (1)； (2)． 13．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 14．阅读材料：因为，， 所以，，即，， 所以，的整数部分是2，小数部分为． 解答问题： (1)请你模仿材料中的解答过程，求的整数部分和小数部分； (2)已知a的立方根是2，b的一个平方根是，c是的整数部分．求的值． 15．对于一个三位自然数（a，b，c是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（t为9以内的正整数），则n是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以________，________，________． 所以________， 所以n是“好六数”． (3)已知三位自然数m是“好六数”，且，p是m去掉其百位数字后的两位数，而q是m去掉其个位数字后的两位数，请说明p与q的和能被3整除． 16．我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $