8.1平方根（6知识点+10题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

8.1平方根 （6知识点+10题型+过关检测） 【题型1 平方根的概念】 1 【题型2 求一个数的平方根】 2 【题型3 求代数式的平方根】 3 【题型4 已知一个数的平方根求这个数】 4 【题型5 利用平方根解方程】 5 【题型6 求一个数的算术平方根】 6 【题型7 利用算术平方根的非负性解题】 7 【题型8 估计算术平方根的取值范围】 9 【题型9 与算术平方根有关的规律探索题】 11 【题型10 算术平方根的实际应用】 12 · 理解核心概念：掌握平方根、算术平方根的定义，明确二者的联系与区别，熟记平方根的性质，理解开平方与平方互为逆运算。 · 掌握运算技能：能准确求非负数的平方根和算术平方根，会利用平方根的意义解简单的一元二次方程。 · 突破核心考点：熟练运用算术平方根的非负性解题，掌握算术平方根的估算方法，能解决相关实际应用和规律探究问题。 · 规范解题格式：养成规范书写平方根、算术平方根表达式的习惯，规避符号、概念类易错点。 03 知识•梳理 知识点1. 平方根的定义 定义：如果一个数x的平方等于（即），那么这个数x叫做的平方根（也叫二次方根）。 记作：，读作“正负根号a”；其中叫做被开方数。 核心要求：被开方数（负数没有平方根）。 知识点2. 算术平方根的定义 定义：如果一个正数x的平方等于（即），那么这个正数x叫做的算术平方根。 记作：，读作“根号a”。 特殊规定：0的算术平方根是0（即）。 平方根与算术平方根核心区别： ✅ 平方根：包含正负两个值（0除外），记作； ✅ 算术平方根：只有非负一个值（正数或0），记作； ✅ 联系：算术平方根是平方根中非负的那一个。 知识点3. 平方根的性质 · 正数有两个平方根，它们互为相反数； · 0的平方根是0，0的算术平方根也是0； · 负数没有平方根（被开方数不能为负）； · 平方与开平方互为逆运算，可利用平方运算检验平方根是否正确。 知识点4. 算术平方根的重要性质：非负性 对于，有两层非负性： 1. 被开方数； 2. 算术平方根。 常见考法：多个非负数（算术平方根、平方、绝对值）相加和为0，则每一个非负数都为0。 知识点5. 重要公式 · （） · ，七年级简化：当时， 知识点6. 开平方定义 求一个数的平方根的运算，叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。 04 题型•汇总 【题型1 平方根的概念】 解题思路： 紧扣“，则x是a的平方根”核心定义，判断语句是否符合概念，区分平方根与算术平方根，牢记负数无平方根、正数有两个平方根。 【典例1】．16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根概念理解，求一个数的平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据平方根的定义，一个数的平方根是平方后等于该数的数． 【详解】解：∵ ， ∴ 16的平方根是， 故选：A． 跟随训练1-1．下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，平方数的非负性，掌握平方根仅对非负数有定义，利用平方数的非负性判断式子的正负是解题的关键． 平方根仅对非负数有定义，因此需找出无论取何值恒为负数的选项． 【详解】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意； B、当时，的值为，有平方根，不符合题意； C、恒成立，总有平方根，不符合题意； D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意． 故选：D． 跟随训练1-2．若实数x没有平方根，则x可以是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义，掌握平方根的定义是解决本题的关键． 依据“负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根”的性质，找出选项中的负数即可求解． 【详解】解：∵负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根， ∴要找没有平方根的实数，需选择负数， 选项中只有是负数， 故选A． 【题型2 求一个数的平方根】 解题思路： 先判断数为非负数，再找平方等于该数的数，结果要写正负两个值，规范书写，避免漏写负号。 【典例2】．的平方根是________． 【答案】 【详解】， 3的平方根是． 跟随训练2-1．9的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：9的平方根是． 跟随训练2-2．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 【题型3 求代数式的平方根】 解题思路： 先保证代数式整体为非负数（被开方数≥0），再将代数式看作整体，按求数的平方根的方法计算，结果带±号，注意化简代数式。 【典例3】．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 跟随训练3-1．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 跟随训练3-2．已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 【题型4 已知一个数的平方根求这个数】 解题思路： 利用“正数的两个平方根互为相反数”，列方程求出平方根的值，再平方得到原数；若已知一个平方根，直接平方即可得原数。 【典例4】．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的知识，熟练根据正数的平方根互为相反数列方程求解是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：． 故选：A． 跟随训练4-1．已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的计算，利用正数的两个不同的平方根互为相反数的性质，先求出a的值，再计算m的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根是与， ∴， 解得， 将代入，得， ∵是该平方根的平方， ∴． 故选：D． 跟随训练4-2．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【答案】25 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根求这个数，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，则，解方程求出x的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴这个正数是， 故答案为：． 【题型5 利用平方根解方程】 解题思路： 将方程变形为（）的形式，再根据平方根定义，得，注意方程有两个解，不能漏解。 【典例5】．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 跟随训练5-1．若，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个且互为相反数是解题的关键． 本题需要根据平方根的定义求解． 【详解】解：方程 两边开平方，得 ，即 ． 故答案为：． 跟随训练5-2．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义，转化为两个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 则或 或． 【题型6 求一个数的算术平方根】 解题思路： 算术平方根只有非负值，直接找正数的平方等于该数，结果只写正数，0的算术平方根是0，区分平方根与算术平方根的书写差异。 【典例6】．计算___________． 【答案】 4 【详解】解：∵， ∴． 跟随训练6-1．下列判断不正确的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．6是的算术平方根 C．是25的算术平方根 D．19的算术平方根是 【答案】C 【详解】解：A、∵，， ∴9的算术平方根是3，A判断正确； B、∵，，， ∴6是的算术平方根，B判断正确； C、∵，不符合算术平方根为非负数的要求， ∴不是25的算术平方根，C判断不正确； D、∵，， ∴19的算术平方根是，D判断正确． 跟随训练6-2．一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义及性质，关键是掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”这一核心知识点．先利用两个平方根互为相反数的性质列出关于的方程，求解得到的值；再代入平方根的表达式求出正的平方根，即为该正数的算术平方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数的算术平方根是7； 故答案为：． 【题型7 利用算术平方根的非负性解题】 解题思路： 核心：、、，多个非负数相加和为0，则每一项都为0，列方程组求解未知数，再代入计算。 【典例7】．若，则的值分别是（    ） A．1，2 B． C．－1，2 D．－1，－2 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，牢记算术平方根的非负性是解题关键，利用算术平方根的非负性求解，即算术平方根的值恒为非负数，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0． 【详解】∵算术平方根具有非负性， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， 解得，， 故选：B． 跟随训练7-1．若，为实数，且满足，则________ ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握平方和算术平方根的非负性是解题关键．根据平方和算术平方根的非负性可求出和的值，再计算乘积即可． 【详解】解： ，，且 ， 且， 解得，， ． 故答案为：． 跟随训练7-2．已知．求： (1)a、b、c的值 (2)求的值 【答案】(1)，，； (2)49 【分析】本题考查了绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性是正确解题的关键． （1）根据绝对值、偶次幂以及算术平方根的非负性进行计算即可； （2）将，，的值代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 【题型8 估计算术平方根的取值范围】 解题思路： 找到被开方数介于哪两个相邻完全平方数之间，再确定其算术平方根介于这两个完全平方数的算术平方根之间，判断整数部分或小数部分。 【典例8】．估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】通过找到与6相邻的两个完全平方数，即可确定的范围． 【详解】∵ ，，且 ， ∴ 根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大． 可得 ， 即 ， ∴ 的值在2和3之间． 跟随训练8-1．若为正整数，且满足，则________． 【答案】6 【分析】找出与38相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而得到符合条件的正整数． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴． 跟随训练8-2．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)在表中介于和之间，理由见解析． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 【题型9 与算术平方根有关的规律探索题】 解题思路： 观察已知算式的数字变化规律，重点看被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的关系，总结规律再应用。 【典例9】．已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 【答案】B 【分析】算术平方根的小数点向右移动n位，被开方数的小数点向右移动位，据此即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴是将的小数点向右移动1位得到的， 根据算术平方根的移动规律，被开方数的小数点应向右移动2位， ∴将的小数点向右移动2位，可得． 跟随训练9-1．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 跟随训练9-2．有一列数按如下规律排列：，，，，…，则第6个数是_____． 【答案】 【分析】先确定序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分母为的序号数次方，分子为序号数加上的算术平方根，即可得出第个数． 【详解】解：∵，，，，，…， 序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分母为的序号数次方，分子为序号数加上的算术平方根， 第个数为． 【题型10 算术平方根的实际应用】 解题思路： 将实际问题转化为数学模型，根据题意列出平方关系式，再求算术平方根（实际问题中长度、面积等结果为正数，只用算术平方根）。 【典例10】．要画一个面积为的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用和长方形的面积计算，熟练掌握根据比例关系设未知数并列方程求解的方法是解题的关键．根据长与宽的比例关系设出未知数，再利用长方形的面积公式列出方程，求解后得到未知数的值，进而求出长方形的宽． 【详解】解：∵长方形长与宽之比为， ∴设长为，宽为（）． ∵长方形面积为，且长方形面积长宽， ∴， 即， 解得． ∵， ∴． 则宽为． 故选：B． 跟随训练10-1．图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，关键是明确剪拼前后图形的面积相等．首先计算五个小正方形的总面积，再根据大正方形的面积等于该总面积，利用正方形面积公式求出边长． 【详解】解：根据题意，图1中五个小正方形的总面积为， ∴大正方形的面积为5， 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式得， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 跟随训练10-2．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 【答案】(1)9 (2)能 【分析】本题考查算术平方根的应用，利用面积公式：长×宽=面积，得到类似的等式，利用平方根的定义求解即可． （1）根据正方形面积公式：边长的平方=面积，求解即可； （2）设宽为x ，列式求解，再比较长和宽是否都大于（1）中所求明信片的边长即可． 【详解】（1）解：由题意，得明信片的边长为； （2）解：设宽为，则长为， 由题意，得， 整理，得， ∴， ， ∵， ∴能在不折叠的情况下将明信片放入此信封． 05 过关•检测 1．的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，故选A． 2．如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用平方根的定义分情况列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设第四个数为， ∵ 四个有理数之和的平方是， ∴ 四个有理数之和为或， ① 当四个数之和为时，，解得； ② 当四个数之和为时，，解得； ∴ 第四个数是11或7． 3．下列命题中，是真命题的是（   ） A．的算术平方根是4 B．是2的平方根 C．若，则 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【详解】解：A、，4的算术平方根是2，则此命题是假命题，故该选项不合题意； B、2的平方根为，∴是2的平方根，则此命题是真命题，故该选项符合题意； C、∵，∴或，则此命题是假命题，故该选项不合题意； D、只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，过直线上一点不存在与已知直线平行的直线，则此命题是假命题，故该选项不合题意． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的定义及有理数的乘方运算，需根据相关定义和法则逐一判断选项计算的正确性． 【详解】解：∵算术平方根的定义为非负数的正的平方根，即的结果为非负， ∴对于选项A，是16的算术平方根，结果为4，而非，A错误，不符合题意； ∵，∴B错误，不符合题意； ∵表示的相反数，，∴，C错误， 不符合题意； ∵，∴D正确，符合题意． 故选：D． 5．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题利用正数的平方根的性质解题，即正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到答案． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数. ∴ 解得 则9的算术平方根是3． 6．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，解题的关键是掌握算术平方根的定义； 将已知下降高度代入给定公式，通过求解算术平方根得到下降时间，再精确到1秒即可选出答案． 【详解】解：根据题意得，， 解得（负值已舍）， ∴， 故选：A． 7．若一个正数的两个平方根是和，则___________． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的性质列出方程是解题关键． 利用一个正数的两个平方根互为相反数这一性质列方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴，即， 解得． 故答案为：． 8．满足的整数a可以是_______（出一个符合题意的数即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】正确估算出不等式左右两边无理数的大致范围，再找出符合条件的整数． 【详解】解：估算的范围，可得，因此，， 化简并估算，可得，因为，因此，即，． 因此不等式的范围为，该范围内的整数有，任取一个即可，例如． 9．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 10．竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 【答案】10 【分析】根据题意，将已知条件代入计算公式，求解算术平方根即可． 【详解】解：把，代入公式中，得 解得：米/秒，（负值舍去）． 11．根据下表回答：______． x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 【答案】1.64 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟知定义是解本题的关键． 根据算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，这个正数就叫做a的算术平方根，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)算术平方根：；平方根： (2)算术平方根：；平方根： (3)算术平方根：；平方根： (4)算术平方根：；平方根： (5)算术平方根：；平方根： 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的概念及运算，明确两者的定义与运算规则是解答本题的关键． （1）针对，根据算术平方根（非负数的非负平方根）和平方根（数的正负两个平方根）的定义，直接计算对应结果； （2）针对，结合小数的开方规则，分别求出其算术平方根与平方根； （3）针对，利用分数的开方运算方法，计算出它的算术平方根与平方根； （4）针对，由于它不是完全平方数，其算术平方根与平方根需用根号表示； （5）针对，先计算乘方结果，再结合开方定义求出对应的算术平方根与平方根． 【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：； （2）解：算术平方根：；平方根：； （3）解：算术平方根：；平方根：； （4）解：∵7不是完全平方数，∴它的算术平方根是；平方根是； （5）解：算术平方根：；平方根：． 13．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 14．已知，求a，b，c的值． 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质．根据非负数的性质，令每个非负项分别为零，得到方程组，再求解方程组得出a，b，c的值． 【详解】解：由题意得， 解得． 15．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 16．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1平方根 （知识点+10题型+过关检测） 【题型1 平方根的概念】 2 【题型2 求一个数的平方根】 3 【题型3 求代数式的平方根】 3 【题型4 已知一个数的平方根求这个数】 3 【题型5 利用平方根解方程】 4 【题型6 求一个数的算术平方根】 4 【题型7 利用算术平方根的非负性解题】 4 【题型8 估计算术平方根的取值范围】 5 【题型9 与算术平方根有关的规律探索题】 5 【题型10 算术平方根的实际应用】 6 · 理解核心概念：掌握平方根、算术平方根的定义，明确二者的联系与区别，熟记平方根的性质，理解开平方与平方互为逆运算。 · 掌握运算技能：能准确求非负数的平方根和算术平方根，会利用平方根的意义解简单的一元二次方程。 · 突破核心考点：熟练运用算术平方根的非负性解题，掌握算术平方根的估算方法，能解决相关实际应用和规律探究问题。 · 规范解题格式：养成规范书写平方根、算术平方根表达式的习惯，规避符号、概念类易错点。 03 知识•梳理 知识点1. 平方根的定义 定义：如果一个数x的平方等于（即），那么这个数x叫做的平方根（也叫二次方根）。 记作：，读作“正负根号a”；其中叫做被开方数。 核心要求：被开方数（负数没有平方根）。 知识点2. 算术平方根的定义 定义：如果一个正数x的平方等于（即），那么这个正数x叫做的算术平方根。 记作：，读作“根号a”。 特殊规定：0的算术平方根是0（即）。 平方根与算术平方根核心区别： ✅ 平方根：包含正负两个值（0除外），记作； ✅ 算术平方根：只有非负一个值（正数或0），记作； ✅ 联系：算术平方根是平方根中非负的那一个。 知识点3. 平方根的性质 · 正数有两个平方根，它们互为相反数； · 0的平方根是0，0的算术平方根也是0； · 负数没有平方根（被开方数不能为负）； · 平方与开平方互为逆运算，可利用平方运算检验平方根是否正确。 知识点4. 算术平方根的重要性质：非负性 对于，有两层非负性： 1. 被开方数； 2. 算术平方根。 常见考法：多个非负数（算术平方根、平方、绝对值）相加和为0，则每一个非负数都为0。 知识点5. 重要公式 · （） · ，七年级简化：当时， 知识点6. 开平方定义 求一个数的平方根的运算，叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。 04 题型•汇总 【题型1 平方根的概念】 解题思路： 紧扣“，则x是a的平方根”核心定义，判断语句是否符合概念，区分平方根与算术平方根，牢记负数无平方根、正数有两个平方根。 【典例1】．16的平方根是（   ） A． B．4 C．-4 D． 跟随训练1-1．下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．若实数x没有平方根，则x可以是（   ） A． B．0 C． D．2 【题型2 求一个数的平方根】 解题思路： 先判断数为非负数，再找平方等于该数的数，结果要写正负两个值，规范书写，避免漏写负号。 【典例2】．的平方根是________． 跟随训练2-1．9的平方根是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求代数式的平方根】 解题思路： 先保证代数式整体为非负数（被开方数≥0），再将代数式看作整体，按求数的平方根的方法计算，结果带±号，注意化简代数式。 【典例3】．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 跟随训练3-2．已知与 互为相反数，求的平方根． 【题型4 已知一个数的平方根求这个数】 解题思路： 利用“正数的两个平方根互为相反数”，列方程求出平方根的值，再平方得到原数；若已知一个平方根，直接平方即可得原数。 【典例4】．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 跟随训练4-2．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【题型5 利用平方根解方程】 解题思路： 将方程变形为（）的形式，再根据平方根定义，得，注意方程有两个解，不能漏解。 【典例5】．若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 跟随训练5-1．若，则____________． 跟随训练5-2．解方程： (1)； (2) 【题型6 求一个数的算术平方根】 解题思路： 算术平方根只有非负值，直接找正数的平方等于该数，结果只写正数，0的算术平方根是0，区分平方根与算术平方根的书写差异。 【典例6】．计算___________． 跟随训练6-1．下列判断不正确的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．6是的算术平方根 C．是25的算术平方根 D．19的算术平方根是 跟随训练6-2．一个正数的平方根是与，则这个正数的算术平方根是______． 【题型7 利用算术平方根的非负性解题】 解题思路： 核心：、、，多个非负数相加和为0，则每一项都为0，列方程组求解未知数，再代入计算。 【典例7】．若，则的值分别是（    ） A．1，2 B． C．－1，2 D．－1，－2 跟随训练7-1．若，为实数，且满足，则________ ． 跟随训练7-2．已知．求： (1)a、b、c的值 (2)求的值 【题型8 估计算术平方根的取值范围】 解题思路： 找到被开方数介于哪两个相邻完全平方数之间，再确定其算术平方根介于这两个完全平方数的算术平方根之间，判断整数部分或小数部分。 【典例8】．估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 跟随训练8-1．若为正整数，且满足，则________． 跟随训练8-2．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【题型9 与算术平方根有关的规律探索题】 解题思路： 观察已知算式的数字变化规律，重点看被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的关系，总结规律再应用。 【典例9】．已知，如果，那么的值是（   ） A． B．2360 C．23600 D．236 跟随训练9-1．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 跟随训练9-2．有一列数按如下规律排列：，，，，…，则第6个数是_____． 【题型10 算术平方根的实际应用】 解题思路： 将实际问题转化为数学模型，根据题意列出平方关系式，再求算术平方根（实际问题中长度、面积等结果为正数，只用算术平方根）。 【典例10】．要画一个面积为的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（） A． B． C． D． 跟随训练10-1．图1为五个边长为1的小正方形拼成的图形，若将其剪、拼成一个大正方形（如图2），则图2中的大正方形的边长为______． 跟随训练10-2．为感谢消防英雄们对我们家园的守护，某校七年级学生制作了面积为的正方形感恩明信片． (1)该明信片的边长为___________； (2)制作好明信片后同学们准备用如图所示的信封寄给消防队．已知信封的长是宽的2倍，面积为，请问能否在不折叠的情况下将明信片放入此信封？并说明理由． 05 过关•检测 1．的值是(　　) A． B． C． D． 2．如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 3．下列命题中，是真命题的是（   ） A．的算术平方根是4 B．是2的平方根 C．若，则 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 6．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度（米）与下降的时间（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有（   ）（精确到1秒） A．14秒 B．16秒 C．13秒 D．15秒 7．若一个正数的两个平方根是和，则___________． 8．满足的整数a可以是_______（出一个符合题意的数即可）． 9．的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 10．竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 11．根据下表回答：______． x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 12．求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 13．求下列各式中的值． (1)； (2)． 14．已知，求a，b，c的值． 15．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 16．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $